2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷02（新高考II卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合4={引y=log2X,x>l},3={yy=則4口8=（）

A.卜。B.{y|0<j<l}

C.D.0

2.已知等差數(shù)列{?！皚的前〃項(xiàng)和為S“，則“S3>0”是“{S,}為遞增數(shù)歹廣的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.若將函數(shù)/（x）=cos（5+°）（0>O）的圖象向左平移!■個(gè)單位長度后得到的圖象與的圖象完全重

合，則。的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

4.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在探究姜撞奶隨著時(shí)間變化的降溫及凝固情況的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，將時(shí)間x分鐘與

溫度,（攝氏度）的關(guān)系用模型y=Ge”、（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合.設(shè)z=lny,變換后得到一組數(shù)

據(jù):

X22.533.54

Z4.044.013.983.963.91

由上表可得線性回歸方程z=-0.06x+a,則q等于（）

A.-4B.e-4C.4.16D.e416

5.已知拋物線。：丁=2/（。>°）的焦點(diǎn)為八拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,且|P同=2,則點(diǎn)尸到直線

/:履7+3=0的距離的最大值為（）

A.&B.6C.75D.20

6.某單位安排甲、乙、丙、丁4人在國慶7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲連續(xù)值班3天，乙

連續(xù)值班2天，丙、丁各值班1天，則不同的值班安排方法種數(shù)為（）

A.28B.24C.20D.16

7.已知圓M:/+y2-6y=0與圓N:（x-cos6）~+（y-sin。）"=1（0V6V2兀）交于A、7兩點(diǎn),則AABM

（M為圓M的圓心）面積的最大值為（）

99

A.亞B.—C.20D.—

\x—a\+a,x<2

8.已知曲線y=、1。與曲線y=l+bg2%恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

1+-----,x>2

、x-1

A.（-oo,l）B.[1,2）C.（-oo,2）D.[l,+oo）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=3+4i,貝U（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

B.z的虛部為

C.忖=5

D.z-z=5

10.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為尸（A）=1，尸仍）=：，則下列結(jié)論正確的是（）

_11Q

A.尸（A”]B.-<P（AUB）<-

C.一定有3=4D.若P（通）=g,則A與3相互獨(dú)立

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知居（-3,0）,耳（3,0）,。為原點(diǎn)，P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且垂直于y軸,

垂足為則滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為橢圓的是()

|「耳|+|尸局

A.=10B.\PFt\-\PF2\+\POf^41

\PH\5\PH\_5

M+\PF2\66

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且X~N(98,/),對于X2100的

零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為Q05,現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取400個(gè)，用y用表示400個(gè)零

件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間(96,100)的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量Y的方差是.

13.已知tan(a-￡)=；,tana=2,貝tan2crtan2/7=.

14.如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)。，若存在以。為頂點(diǎn)的角a,使得對于曲線G上的任意兩個(gè)不同

的點(diǎn)A,B,恒有NAOBWcr成立，則稱角a為曲線G的相對于點(diǎn)。的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲

%產(chǎn)+1,尤>0

線G的相對于點(diǎn)。的“確界角”.已知曲線C：y=，12(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，。為坐標(biāo)原

—x2+l,x<0

116

點(diǎn),曲線C的相對于點(diǎn)。的“確界角”為夕，則夕=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

如圖，設(shè)VABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,dc,已知耳sinB=b(l+cos/54C),。是BC的中

點(diǎn).

⑴求4AC；

(2)若c=2,AD=近,求VA3C的周長.

B

AC

16.（15分）

統(tǒng)計(jì)顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為2020年—2024年我國

在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中2020年—2024年對應(yīng)的代碼依次為1—5.

年份代碼X12345

市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36

y?5.16,v?1.68?￡匕%”45.10,其中匕

i=\

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（匕,%）、（%,%）、匕、（匕,外）,其經(jīng)驗(yàn)回歸直線丁=加+。的斜率和截距的

_n___

^v^-nvy

最小二乘估計(jì)公式分別為務(wù)=三------,??1.83.

i=\

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型y=b?+a擬合〉與x的關(guān)系，請估計(jì)2028年我國在線直播生活

購物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到0.01）;

（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率P,現(xiàn)從我國在線直播購物用戶

中隨機(jī)抽取5人，記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X,若尸（X=5）=尸（X=4）,求X的數(shù)

學(xué)期望和方差.

17.（15分）

22

已知雙曲線C：4-^=1（。>0，b>0）的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為八動(dòng)點(diǎn)3在雙曲線C上，當(dāng)

ab

3尸_14^時(shí)，忸同=|”|.

（1）求C的離心率；

（2）已知a=l,M,N兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若礪=2前，求△MON

的面積.

18.（17分）

已知函數(shù)〃x)=(x2-2x)e，.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)尤＜0時(shí)，〃為)＜依恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)關(guān)于x的方程〃x)=b有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解占，芍，且6-1＜為＜當(dāng)，求證:

b+2be+4e2

X-X＜---------5---------.

212e2

19.(17分)

給定數(shù)列｛與,｝，若對任意九〃eN*且WN7Z,紇+凡是｛4｝中的項(xiàng)，則稱｛4｝為數(shù)列”；若對任意

機(jī),”eN*且“*n,Bm-坊是阻｝中的項(xiàng)，則稱｛4｝為“J數(shù)列”.

⑴設(shè)數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和為S“，若S.="+”，試判斷數(shù)列｛%｝是否為數(shù)列”，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列也,｝既是等比數(shù)列又是“J數(shù)列”，且4=8,4220,求公比4的所有可能取值；

(3)設(shè)等差數(shù)列｛cj的前〃項(xiàng)和為對任意“wN*,，是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列｛c,J是數(shù)列”.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷02（新高考II卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合4={引y=log2X,尤>l},8={yy=則4口3=（）

A.B.{y|0<y<l}

C.D.0

【答案】A

【解析】因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=log2X為增函數(shù)，當(dāng)X>1時(shí)，log2X>log21=。，即A={y|y>0},

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y為減函數(shù)，當(dāng)彳>1時(shí)，gpB=Lo<y<M,

222[2J

因止匕，AnB=jy0<j<|j.

故選：A

2.已知等差數(shù)列{“的前〃項(xiàng)和為九則“邑>?！笔恰皗Sj為遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由{%}是等差數(shù)列，S3>0,得53=4+/+4=3。2>。，所以的>。，

6/21

54=4+/+%+%,不能判斷為的正負(fù)，所以不能判斷,3的大小,

所以不能確定｛S,,｝是否遞增數(shù)列;

若｛S,｝為遞增數(shù)列,則S"—S“T＞0（〃N2）,即此2時(shí)%＞0,

所以。2>0，S3=4+%+%=3出，所以S3>。,

所以邑＞。是｛S,,｝為遞增數(shù)列的必要不充分條件.

故選：B

3.若將函數(shù)/（x）=cos（ox+協(xié)（。＞0）的圖象向左平移T個(gè)單位長度后得到的圖象與的圖象完全重

合，則。的最小值為（）

【答案】B

【解析】由題知，三是函數(shù)〃尤）周期的整數(shù)倍，所以5=竺山優(yōu)€2）,

22co

所以。=4MZ;eZ）,所以正數(shù)。的最小值為4.

故選：B.

4.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在探究姜撞奶隨著時(shí)間變化的降溫及凝固情況的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，將時(shí)間x分鐘與

溫度?。〝z氏度）的關(guān)系用模型＞=。盧/（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合.設(shè)2=lny,變換后得到一組數(shù)

據(jù)：

X22.533.54

z4.044.013.983.963.91

由上表可得線性回歸方程z=-0.06x+a,則q等于（）

A.-4B.廠C.4.16D.e416

【答案】D

則3.98=-0.06x3+a,解得。=4.16,因止匕z=-0.06x+4.16,

由>=￡■//兩邊取對數(shù)，Iny=c2x+lnC1,又z=lny,

416

所以生=-0.06,InC]=4.16,即c2=-0.06,q=e.

7/21

故選：D

5.已知拋物線。：丫2=2/（。>0）的焦點(diǎn)為人拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,且忸同=2,則點(diǎn)尸到直線

/:丘->+3=0的距離的最大值為（）

A.aB.73C.V5D.20

【答案】A

【解析】設(shè)尸的橫坐標(biāo)為與，則22=2px。，得/=一2，則戶司=%+?=—2+?=2,解得p=2,貝U

p2p2

%=1.

由題意知直線/：履->+3=0過定點(diǎn)Q（0,3）,連接尸。，

則當(dāng)尸時(shí)，點(diǎn)P（l,2）到直線/的距離最大，最大值為|尸0|=］（1一0）2+（2-3）2=0.

故選：A

6.某單位安排甲、乙、丙、丁4人在國慶7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲連續(xù)值班3天，乙

連續(xù)值班2天，丙、丁各值班1天，則不同的值班安排方法種數(shù)為（）

A.28B.24C.20D.16

【答案】B

【解析】記國慶7天假期的編號依次為1,2,…,7,則甲、乙值班安排方法的情況及相應(yīng)值班安排方法種數(shù)

如下表：

甲乙不同的值班安排方法種數(shù)

4,5

1,2,35,6C；A；

6,7

8/21

5,6

2,3,4C；A；

6,7

1,2

3,4,5C；A；

6,7

1,2

4,5,6C；A；

2,3

1,2

5,6,72,3C；A；

3,4

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知共有C；A；+C；A；+C；A；+C；A；+C；A；=24種不同的值班安排方法.

故選：B.

7.已知圓M:x2+y2-6y=0與圓N:（x—cos6）2+（y-sin^）2=1（0<^<2TI）^^A、5兩點(diǎn)，則△ASM

（M為圓M的圓心）面積的最大值為（）

9Q

A.&B.—C.2A/2D.—

【答案】C

【解析】由題意得：M:x2+（y-3）2=9,所以圓心M（0,3）,半徑r=3,

由兩圓相交于A、3兩點(diǎn)可知：|八例=|4叫=r=3,

9/21

11Q

所以△ABM的面積S/BM=-|MA|x|MB|xsinZAMB=-x3x3xsinZAMB=-sinZAMB,

因?yàn)镹是半徑為1的圓，所以|AB|V2,

當(dāng)|AB|=2時(shí)，|MN|=V32-12=2A/2,

又\MN\=^cos20+(sin0-3)"=J10-6sind，

此時(shí)由J10-6sin0=2/,解得sin6=g,cosd=±2^,故|鉆|可以取最大值2,

所以當(dāng)|AB|=2時(shí)，NAWB最大，且NAA7B是銳角，

根據(jù)函數(shù))7=5由龍的單調(diào)性可知：當(dāng)|AB|=2時(shí)，sinNAMB最大,

c-1

在AABM中由余弦定理可得:

2\MA\-MB\2X3X39

所以sinNAM3=—所以5"桁工■|x^^=2夜'

故選：C.

\x-a\+a,x<2

8.已知曲線1。與曲線y=i+iog2]恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

1+----,x>2

、x—1

A.(-oo,l)B.[1,2)C.(-8,2)D.[!,+<?)

【答案】C

【解析】,=歸-4+4的圖象是以(°,4)為端點(diǎn)的兩條射線.

\x—c^+a,x<2

當(dāng)aWl時(shí)，曲線y1c與曲線y=l+log2算恰有兩個(gè)公共點(diǎn)(1,1)，(2,2),如圖1.

1H-------,x>2

x-1

\x-a\+a,x<2

當(dāng)l<a<2時(shí)，曲線y=<1+-L,x>2與曲線X+bg"的公共點(diǎn)就是曲線口…與曲線E+l"

x—1

的交點(diǎn)與(2,2),如圖2.

\x-a\+a9x<2

當(dāng)a=2時(shí)，曲線y=,uJ_y>2與曲線>=l+l°g2X只有一個(gè)公共點(diǎn)(2,2),如圖3.

X-1

10/21

\x-c^+a,x<2

當(dāng)a>2時(shí)，曲線y1與曲線y=l+bg2X無公共點(diǎn)，如圖4.

1+-----,x>2

.x-1

綜上，。的取值范圍為（-力,2）.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2—i）=3+4i,貝U（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

B.z的虛部為gi

C.目=5

D.z-z=5

【答案】AD

,、3+4i（3+4i）（2+i）211

【解析】由z（2-i）=3+4i^fz=-------=---㈡——^=-+—i,

v72-i（2-i）（2+i）55

211

對于則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第一象限，正確;

A,5,yA

對于B,

對于C,

對于D,

故選：AD

10.已知事件A、8發(fā)生的概率分別為尸（A）=g,尸（3）=：,則下列結(jié)論正確的是（）

11/21

A.=gB.1<P（AUB）<|

C.一定有3=4D.若尸（A研=，，則A與8相互獨(dú)立

【答案】ABD

【解析】對于A選項(xiàng)，由對立事件的概率公式可得網(wǎng)可=1-尸⑷=l_g=g,A對；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)镻（AUB）=P（A）+P（3）-P（AnB）=t-P（AnB）vt，

當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，等號成立，

又因?yàn)锳n^cA,

33

所以，P（AUB）=P（A）+P（8）-P（AnB）=——P（AQB）>——min（P（A）,P（B））

當(dāng)且僅當(dāng)81A時(shí)，等號成立，

綜上所述，-<P（AUB）<1,B對；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)镻（A）=g,P（B）=；,無法確定A、B的包含關(guān)系，C錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)槭?1-P⑻=1-；=?，

所以，P（A可=|=P（A）尸⑻，則A、方獨(dú)立，進(jìn)而可知，A與B相互獨(dú)立,D對.

故選：ABD.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知居（-3,0）,月（3,0）,。為原點(diǎn)，尸為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸”垂直于y軸,

垂足為則滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為橢圓的是（）

A.|正耳|+歸瑪1=10B.|P^|-|P^|+|PO|2=41

\PH\5\PH\_5

|%+|*6||^1|-|^||6

【答案】ABD

【解析】對于A,|尸耳|+|尸閶=10>6,由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的軌跡為橢圓，故A正確；

對于B,設(shè)P(x,y),則(|尸娟+|尸閭)2=|尸盟2+儼耳「+2|尸周療用=@+3)2+9+口-3)2+產(chǎn)+2|尸團(tuán).|尸工|

=2(x2+/)+18+2|Pf；|-|P^|=2|OP|2+2|Pf；|-|Pf；|+18=82+18=100,

12/21

.?.|嶼|+怛閶=10>6,；.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為橢圓，故B正確;

對于C,設(shè)P(%y),

x[j(x+3y+y2J(x3)，y2]§

12x6

國J(x+3)2+y2-，(x-3)2+y2

=9,即||尸片|-|尸修=1°>6,這樣的點(diǎn)尸的軌跡不存在，故C錯(cuò)誤;

12禺6

對于D,設(shè)尸(x,y),

口國國Q(X+3)2+.+J(x_3j+y2)5

6，

則J(X+3K-&-3丫+『-3"

W(x+31+y2+J(x_3)2+y2)_5,gp|P77|+|P771=W>6,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故D正確.

12國6

故選：ABD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且X~N(98,/),對于XN100的

零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05,現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取400個(gè)，用y用表示400個(gè)零

件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間(96,100)的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量y的方差是.

【答案】36

【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間(96,100)的概率為1-2x0.05=0.9,

即1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間(96,100)的概率為0.9,所以卜~3(400,0.9),

故。(￥)=400x0.9x0.1=36.

故答案為：36

已知；

13.tan(a-")=,tanc=2,則tan2atan2/?=

【答案】謂

2tancr44

【解析】由tan2a=

1-tan2cr1-43

13/21

tan67-tan(<2-/?)3

tan/?=tan^6z-(6z-/?)j=

一尸)

l+tanatan(ol+2x-4

2

2x-

424

有.20=%第1」7

16

可彳導(dǎo)tan2atan2尸———x—=-----

故答案為：一不

14.如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O,若存在以。為頂點(diǎn)的角a,使得對于曲線G上的任意兩個(gè)不同

的點(diǎn)A,8,恒有NAOBWe成立，則稱角a為曲線G的相對于點(diǎn)。的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲

xe'_1+l,x>0

線G的相對于點(diǎn)。的“確界角”.已知曲線C：y=12（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），。為坐標(biāo)原

—無~+1,無W0

116

點(diǎn)，曲線C的相對于點(diǎn)。的“確界角”為夕，則尸=

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，過原點(diǎn)作y=猶1+1的切線,

設(shè)切點(diǎn)4(%,卒獷+1),/=(x+l)eA-1,左=(尤i+l)e*T,

則切線方程為（書審+1）=5+l）eM（x-xJ,

又切線過點(diǎn)（0,0）,所以-書獷-1=（一片-占）e3，所以片e『-1=0.

設(shè)g(x)=x2ei,(x>0),貝i]g<x)=(x2+2x)ei>0,故g(x)為增函數(shù)，且=

所以玉=l,k]=2,

當(dāng)x<0時(shí)，過原點(diǎn)作了=上%2+1的切線,

16

設(shè)切點(diǎn)B\x2,^-xf+1，—17」

y一g%/2一耳馬,

14/21

則切線為y-[,￥+i]=gx2（x-x2）,又切線過點(diǎn)（o,o）,

1,1,1

所以---x,-]=—x,又x,V0,x,=—4,k,=—,

16822

因?yàn)闊o人=-1，所以兩切線垂直，所以尸=，

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖，設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知石涵116=6（1+??/54。），。是BC的中

點(diǎn).

⑴求4AC；

(2)若c=2,AO=g,求VA8C的周長.

【解析】(1)方法一：由正弦定理有&sin/B4Csin3=sin5(l+cosZa4C),

因?yàn)锽€(0,兀)，所以sinB>0,

則V3sinZBAC=1+cosZBAC,

即gsin/BAC—cosZZMC=1,所以sin(NBAC_；］=：.

又ZB4Ce(O,7r),所以一二<N8AC-火〈型.

666

所以/A4C_；=g,解得/BAC=g.

663

方法二：由正弦定理有V3sinZBACsinB=sinB-(1+cosZBAC),

因?yàn)?6(0,兀)，所以sinB>0,

則V3sinZBAC=1+cosZBAC,

即3sin2ZBAC=(1+cosZBAC)2,

即3(1-cosZBAC)(1+cosZBAC)=(1+cosZBAC)2,

15/21

1兀

又0</BAC<7i,所以cos/BAC=—,所以/2AC=—.

23

（2）方法一：因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，

即28=4+26+〃，

整理得^+26-24=0,

解得6=4或6=-6（舍去）.

在VABC中，由余弦定理得/=b2+c2-2bccosZBAC=16+4-2x4x2x-=12,

2

解得a=2右（舍負(fù)）,

所以VABC的周長為6+26.

方法二：因?yàn)?。是BC中點(diǎn)，ZADB+ZADC=n,

所以由余弦定理的推論得7+[TJ-4一"Z

_<---?-1_人__—o

y/la______\fla

即262-/=20,①

在VABC中，由余弦定理得片=廿+。2-26CCOS/8AC=62+4-26,②

聯(lián)立①②解得匕=4,a=2^/3（。和6的負(fù)值舍去），

所以VABC的周長為6+2g.

16.（15分）

統(tǒng)計(jì)顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為2020年—2024年我國

在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中2020年—2024年對應(yīng)的代碼依次為1—5.

年份代碼X12345

市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36

_5

7*5.16,屋1.68，￡匕,產(chǎn)45.10,其中匕=嘉

Z=1

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（匕,%）、（%，%）、L、（匕,%）,其經(jīng)驗(yàn)回歸直線、=加+。的斜率和截距的

16/21

最小二乘估計(jì)公式分別為3=號--------，??1.83.

Z=1

(1)由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型＞=匕6+。擬合＞與X的關(guān)系，請估計(jì)2028年我國在線直播生活購

物用戶的規(guī)模(結(jié)果精確到Q01)；

(2)已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率P,現(xiàn)從我國在線直播購物用戶

中隨機(jī)抽取5人，記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X,若尸(X=5)=尸(X=4),求X的數(shù)

學(xué)期望和方差.

【解析】(1)設(shè)v=?,則y=6v+a,

_55

因?yàn)?.16,v?1.68>￡v；=>Ji=15,

i=li=l

5____

4510一5x1.68x5.16

所以，b="98,

f5v；-5V.15-5xl.682

i=l

所以，＞與x的擬合函數(shù)關(guān)系式為y=1.98?+1.83

當(dāng)x=9時(shí)，)=1.98x3+1.83=7.77,

則估計(jì)2028年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為7.77億人.

(2)由題意知*~3(5,尸),所以，P(X=4)=C^P4(1-P)=5P4(1-P),

p(X=5)=C；ps,

由P(X=5)=P(X=4),可得5p"(I—尸)=尸，

因?yàn)椤?尸＜1,解得尸=：,

0

所以，E(X)=5x/F，。⑻=5x|1||=||.

17.(15分)

22

己知雙曲線C：二-4=1(a＞0,b＞0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為產(chǎn)，動(dòng)點(diǎn)8在雙曲線C上，當(dāng)

ab

"JLAF時(shí)，忸尸|=|AF|.

(1)求C的離心率；

(2)已知4=1,M,N兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若旃=2的，求△MON

17/21

的面積.

【解析】(1)設(shè)/(GO),將＞c代入雙曲線方程得y=±￡,止匕時(shí)忸典=|AF|,

a

b2

22222

所以一=a+c,BPc—a=a+ac2a+ac—c=0J

a

則2+e-/=o,所以e=2(負(fù)值舍去)，

故。的離心率為2.

(2)因?yàn)閍=l,由(1)知c=2,b=5/3,

雙曲線方程為：尤漸近線方程為y=±VJx,

設(shè)M4,石％),N(%,-豆與)，9%％)，

則MB=(x0一-6不)=2BN=2(%-x0,-yj3x2-%),

2X2+xx

3

所以

6%-2^3%2

%=

3

(2%2+玉)2-2A^"%2)29

又5(4,%)在雙曲線上，所以=1,整理得：xx=—,

927x28

27r

由漸近線方程為y=土瓜得NMON=y

所以△MON的面積為1\OM\]ON\-sinZMON

2

18.(17分)

已知函數(shù)〃x)=(x2_2x)e1

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x<0時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

18/21

⑶關(guān)于云的方程y(x)=6有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解入，%,且6-1<玉<々，求證：

b+2be+4e2

XX

2~\<^2'

【解析】⑴由〃x)=(尤2_2x)e，，求導(dǎo)可得/(司=(/-2卜，=1+四)(無一0六,

令尸(x)>0,得x<-也或x>&,令尸⑺<0,得-應(yīng)<x<夜，

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜8,-0),(點(diǎn),+8),單調(diào)遞減區(qū)間為卜夜，點(diǎn)).

(2)當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0^等價(jià)于。<""=(x-2)e",

設(shè)g(%)=(x-2)e*(x<0),貝i]g<x)=(x-l)ex<0,

所以g(x)在(-雙0)上單調(diào)遞減，所以aWg(O)=-2.

(3)當(dāng)x<0時(shí)，/(*)=卜2-2x)e*=[(x-l『-f|e*>0,

由(1)可知，/(x)在(。,夜)上單調(diào)遞減,在(&,+可上單調(diào)遞增，

作出函數(shù)/■(”的大致圖象，如圖：

因?yàn)椤ā?=/(2)=。，所以/<。，所以目一1<占<2.

由/