人教版高中數(shù)學(xué)必修4全冊(cè)學(xué)案目錄1.1任意角、弧度學(xué)案1.2任意角的三角函數(shù)學(xué)案2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念學(xué)案2.2平面向量的線性運(yùn)算學(xué)案2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案2.4平面向量的數(shù)量積學(xué)案2.5平面向量的應(yīng)用舉例學(xué)案3.1兩角和與差的三角函數(shù)學(xué)案3.2二倍角的三角函數(shù)學(xué)案3.3簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)案第1章三角函數(shù)1．1任意角、弧度一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議任意角的概念終邊相同的角的表示理解正角、負(fù)角的引入可類比正、負(fù)數(shù)；用集合和符號(hào)語言正確表示終邊相同的角；弄清1弧度的角的含義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角.判斷角所在的象限弧度的意義弧度與角度的換算特殊角的弧度數(shù)弧度制下的弧長(zhǎng)公式二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1．預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)理解正角、負(fù)角、零角等概念；掌握象限角的概念及判定方法．(2)會(huì)寫出終邊相同的角的集合、某個(gè)區(qū)間上角的集合、終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合以及象限角的集合．(3)準(zhǔn)確地掌握1弧度的角的定義以及弧度制引進(jìn)的意義；能根據(jù)弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，用弧度制確定角的大小．(4)能熟練地進(jìn)行弧度制和角度制這兩種量角制之間的換算，并能熟記特殊角的弧度數(shù)．(5)掌握弧度制下弧長(zhǎng)和扇形的面積公式，并能運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(6)理解用弧度制度量角，使角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．2．預(yù)習(xí)提綱(1)查閱小學(xué)教材，復(fù)習(xí)角的概念，并與高中教材中角的概念進(jìn)行對(duì)比；查閱初中教材(九年級(jí)上冊(cè))“弧長(zhǎng)及扇形的面積”，復(fù)習(xí)角度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式，并嘗試與高中弧度制下公式的互化．(2)對(duì)任意角的概念可從實(shí)際生活中尋找實(shí)例，請(qǐng)舉例并與同學(xué)交流辨析．(3)從具體實(shí)例中觀察終邊相同的角的關(guān)系并歸納小結(jié)，學(xué)會(huì)用集合和符號(hào)語言正確地表示出來．(4)理解1弧度的角的含義，體會(huì)弧度制引入的意義掌握“弧度數(shù)”與“角度數(shù)”換算的關(guān)鍵．(5)教材第6頁例2求解中蘊(yùn)含著分類討論的思想，為什么要對(duì)k分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類，思考其中的緣由．(6)上網(wǎng)查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料．(7)上網(wǎng)查閱了解軍事上用密位制度量角，了解密位制與角度值的關(guān)系．3．典型例題例1判斷下列說法是否正確．(1)終邊相同的角一定相等；(2)銳角都是第一象限角；(3)第一象限的角都是銳角；(4)小于90°的角都是銳角．分析：根據(jù)各類角的定義、范圍加以辨別．解：(1)不正確．如角與角的終邊相同，但不相等．(2)正確．因?yàn)殇J角是指大于小于的角，其終邊落在第一象限．(3)不正確．如角的終邊在第一象限，但它不是銳角．(4)不正確．如負(fù)角都是小于90°的角，但都不是銳角．點(diǎn)評(píng)：本題考查了關(guān)于各類角的定義及范圍，要求學(xué)生概念清晰，并善于用舉反例的方法進(jìn)行概念辨析．例2試寫出終邊在直線上的所有角的集合，并指出上述集合中介于和之間的角．分析：先找出終邊在直線上且在內(nèi)的角，再寫出與其終邊相同的角的集合，最后再考慮形式上的合并，然后給k賦值得出介于和之間的角解：終邊在直線上且在內(nèi)的角為和，所以終邊與其相同的角的集合為，即．取＝－1和0，得和介于和之間．點(diǎn)評(píng)：本題考查了終邊相同的角的集合表示，并要求在具體范圍內(nèi)找出與之終邊相同的角．本題終邊是一條直線，解題時(shí)需要先從射線入手，最后再進(jìn)行合并，有一定難度．例3如圖，用弧度制寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸正半軸，終邊落在陰影部分的角的集合(包括邊界)．分析：先確定角的終邊OA、OB的角，再依照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)規(guī)則，用終邊相同的角的寫法表示出符合條件的范圍．解：(1)圖中以O(shè)B為終邊的角看成，以O(shè)A為終邊的角看成，再根據(jù)終邊相同的角的表示方法，得到陰影部分的角的集合為．(2)圖中以O(shè)A為終邊的角看成，以O(shè)B為終邊的角看成，所以得到陰影部分的角的集合為．(3)把圖中陰影部分看成是由AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至x軸得到，所以陰影部分的角的集合為．點(diǎn)評(píng)：此類問題需要注意的是陰影部分的邊界所表示的角是互相聯(lián)系的．按逆時(shí)針方向選定前者為區(qū)域的起始邊界，后者為終止邊界，若起始邊所表示的角為，由起始邊旋轉(zhuǎn)至終止邊所旋轉(zhuǎn)的最小正角為，則終止邊所表示的角．本題還需要注意兩點(diǎn)，一是弧度制的正確使用；二是旋轉(zhuǎn)邊為直線的表示方法．例4一扇形AOB的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm，求扇形的半徑及圓心角∠AOB．分析：根據(jù)弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式列出方程組求解即可．解：設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角∠AOB為rad，則解之得答：扇形的半徑為1cm，圓心角∠AOB的弧度數(shù)為2rad．點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式及方程(組)的思想方法，需要注意的是公式中的圓心角應(yīng)采用弧度制，盡量避免初中所學(xué)的角度制下的計(jì)算公式．4．自我檢測(cè)(1)在0°～360°之間，①與終邊相同的角是_________；②與-990°終邊相同的角是_____________．(2)若是第四象限角，則是第_________象限角．(3)寫出與角15°終邊相同角的集合，并把該集合中適合不等式-1080°≤β＜-360°的元素β求出來．(4)_________度；-72°=_____________rad．(5)在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶5∶7，則∠A=________rad，∠B=_________rad．(6)半徑為2的圓中，①大小為的圓周角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_________；②長(zhǎng)為2的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為_____________rad．三、課后鞏固練習(xí)A組1．若將時(shí)鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了_________度，時(shí)針轉(zhuǎn)了_________度．2．與120°角終邊相同的角的集合是_______________________．3．把下列各角寫成的形式，并指出它們所在的象限或終邊位置．(1)–135°(2)—540°(3)1110°(4)765°4．與-1778°角終邊相同且絕對(duì)值最小的角是_________________．5．(1)將315°化為弧度是_________；(2)將化為角度是__________．6．把-885°化成的形式是____________________________．7．已知四邊形的四個(gè)內(nèi)角之比是1∶3∶5∶6，分別用角度和弧度將這些內(nèi)角的大小表示出來．8．第四象限角的集合可以表示為________________________．9．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm，求這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積．B組10．是第________象限的角．11．寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合（包括邊界）．（1）（2）（3）12．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出角的終邊．13．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1，-)，試寫出角的集合A，并求出A中絕對(duì)值最小的角．14．若，且與的角的終邊垂直，求．15．若是第三象限角，問是第幾象限角？2的終邊在哪里？16．在直徑為10cm的輪子上有一長(zhǎng)為6cm的弦，P是該弦的中點(diǎn)，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過5秒鐘后點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是多少？17．已知扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)它有最大面積？C組18．終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角的集合是______________________．19.若α的終邊落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之間的所有角α.．20．試寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合．21．若角的終邊與216°角的終邊相同，求在0°～360°內(nèi)終邊與的終邊重合的角．22．(1)設(shè)集合A={}，B={}，試判斷集合A與集合B之間的關(guān)系．(2)集合M＝{x|x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,4)＋\f(π,2)，k∈Z))))，則M與N間的關(guān)系為．23．已知A={}，B={}，則A∩B＝．24．(1)若角α與角β的終邊重合，則α與β的關(guān)系是____________；(2)若角α與角β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則α與β的關(guān)系是____________；(3)若角α與角β的終邊在同一條直線上，則α與β的關(guān)系是___________．25．一個(gè)扇形的面積為4cm2，周長(zhǎng)為8cm，則扇形的圓心角及相應(yīng)的弦長(zhǎng)分別是__________．26．若α是第三象限的角，則π－eq\f(1,2)α是第象限角．知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)任意角的概念注意角的正負(fù)終邊相同的角的表示注意的區(qū)別區(qū)間角的表示注意邊界能否取到弧長(zhǎng)與扇形面積熟知弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式綜合題體會(huì)弧度制表示的角與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；在數(shù)軸或在單位圓中看兩角的集合的關(guān)系.四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野歐拉與弧度制18世紀(jì)以前，人們一直是用線段的長(zhǎng)來定義三角函數(shù)的．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardoEulero，1707年～1783年)，在他于1748年出版的一部劃時(shí)代的著作《無窮小分析概論》中，提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與圓半徑的比值，并令圓的半徑為1，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化．這是歐拉在數(shù)學(xué)史上的重要功績(jī)之一．其次，歐拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想．他認(rèn)為，如果把半徑作為1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么半圓的長(zhǎng)就是，所對(duì)圓心角的正弦是0，即sinπ＝0．同理，圓的的長(zhǎng)是，所對(duì)圓心角的正弦是1，可記作．這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來，大大簡(jiǎn)化了某些三角公式及計(jì)算．1873年6月5日，數(shù)學(xué)教師湯姆生(JamesThom－son)在北愛爾蘭首府貝爾法斯特(Belfast)女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞．當(dāng)時(shí)，他將“半徑”(radius)的前四個(gè)字母與“角”(angle)的前兩個(gè)字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和引用．我國(guó)學(xué)者曾把radian譯成“弳”(由“弧”與“徑”兩字的一部分拼成)．建國(guó)以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都把radian譯作“弧度”．1881年，學(xué)者哈爾斯特(G．B．Halsted)等用希臘字母表示弧度的單位，例如用表示弧度．1907年，學(xué)者包爾(G．N．Bauer)用r表示；1909年，學(xué)者霍爾(A．G．Hall)等又用R來表示．現(xiàn)在人們習(xí)慣把弧度的單位省略．值得指出的是，1735年，歐拉右眼失明，《無窮小分析概論》這部著作出版于他這一不幸之后．他的著作，在樣式、范圍和記號(hào)方面堪稱典范，因此被許多大學(xué)作為教科書采用．1766年，他回到圣彼得堡研究院后不久，又轉(zhuǎn)成雙目失明．他以驚人的毅力，在圣彼得堡又用口述由別人記錄的方式工作了近17年，直到1783年76歲時(shí)突然去世．他一生發(fā)表過530部(篇)著作和論文；還留下大量手稿，讓圣彼得堡科學(xué)院編輯出版的會(huì)報(bào)在歐拉去世后利用了47年．1909年，瑞士自然科學(xué)學(xué)會(huì)開始出版歐拉全集，其中將包含他的886部(篇)著作和論文，預(yù)計(jì)會(huì)超過100卷(大四開本)．歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．歐拉在數(shù)學(xué)上的建樹很多，對(duì)著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創(chuàng)了圖論的研究．歐拉還發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間總有這個(gè)關(guān)系．被稱為歐拉示性數(shù)，成為拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)概念．在數(shù)論中，歐拉首先引進(jìn)了重要的歐拉函數(shù)，用多種方法證明了費(fèi)馬小定理．以歐拉的名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見，其中歐拉公式的一個(gè)特殊公式，將數(shù)學(xué)上的5個(gè)常數(shù)聯(lián)在一起．與此同時(shí)，他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)等方面取得了輝煌的成就．歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如(1736年)，i(1777年)，e(1748年)，sin和cos(1748年)，tg(1753年)，(1755年)，，(1734年)等．

1．2任意角的三角函數(shù)一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議任意角的三角函數(shù)值的定義三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)、三角函數(shù)線理解在銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上引出對(duì)任意角的三角函數(shù)值的定義，理解此定義關(guān)鍵把握有向線段及其數(shù)量的概念；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)中應(yīng)突出“同角”兩字，并深化對(duì)公式逆用、變用；理解誘導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)抓住角的終邊的對(duì)稱性，借助于圖像看三角函數(shù)值的關(guān)系.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號(hào)看象限二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1．預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；掌握各三角函數(shù)在每一象限的符號(hào)；(2)能在單位圓中作出一個(gè)角的正弦線、余弦線、正切線；(3)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能靈活應(yīng)用于求值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式．(4)能正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和證明.2．預(yù)習(xí)提綱(1)查閱初中教材(九年級(jí)下冊(cè))第7.1至7.4節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)——正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及相關(guān)求值問題；(2)理解任意三角函數(shù)值的定義，并與初中銳角三角函數(shù)的定義相比較，理解三角函數(shù)值與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān)；(3)對(duì)三角函數(shù)線的理解，首先了解有向線段及其數(shù)量的概念，三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時(shí)，要注意他們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序不能顛倒；(4)借助于三角函數(shù)值的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系，并體會(huì)公式的應(yīng)用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)，求出其余兩個(gè)；化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；證明簡(jiǎn)單的三角恒等式；(5)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)突出了對(duì)稱思想，從圖形的角度來理解誘導(dǎo)公式，理解角α的任意性；(6)課本第16頁例1、例2題型是根據(jù)角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)求出其余兩個(gè)值(簡(jiǎn)稱“知一求二”)時(shí)，要注意這個(gè)角所在的象限.一般涉及開方運(yùn)算時(shí)，要分類討論.課本第17頁例4由兩種解法體會(huì)證明恒等式常用方法：①?gòu)囊贿呴_始，證明它等于另一邊；②證明左、右兩邊等于同一式子；③分析法，尋找等式成立的充分條件.證明的指向一般“由繁到簡(jiǎn)”.例4中證法1使用的是作差法，它是上述方法的變形，其依據(jù)是①：.3．典型例題例1已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3，－4)(a<0)，求角的正弦值、余弦值、正切值．分析：利用三角函數(shù)的定義求解．解：因?yàn)閤=3a，y=-4a，且a<0，所以所以；；．點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角三角函數(shù)定義，需要注意的是字母運(yùn)算中字母的符號(hào)．若去除a<0的條件，那么本題又該如何解答？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚕?當(dāng)時(shí)，比較的大?。治觯涸趩挝粓A中根據(jù)三角函數(shù)線及弧長(zhǎng)公式將問題轉(zhuǎn)化為比較幾何線段的長(zhǎng)短．解：如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則有向線段MP＝sin．過點(diǎn)A(1，0)作單位圓的切線，交角的終邊于點(diǎn)T，則有向線段AT=tan．連結(jié)AP，由弧長(zhǎng)公式可得,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，即．點(diǎn)評(píng)：本題巧用單位圓中的三角函數(shù)線及弧長(zhǎng)公式將抽象的問題具體化，利用顯而易見的面積大小關(guān)系比較線段長(zhǎng)短，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性．例3已知sin=-2cos，求的正弦值、余弦值及正切值．分析：靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系求解．解：由題可得cos≠0，則<0，故為第二或第四象限角．又，所以．當(dāng)為第二象限角，則；當(dāng)為第四象限角，則．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件要能靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系解題．如本題采用先求正切值，并利用其符號(hào)判斷象限的方法，回避了其他不必要的討論．例4已知，求下列各式的值．(1)；(2)．分析：可以根據(jù)例4的方法，求解出sin、cos的值代入，也可以先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，將所求式化成只含tan的式子再代入，此處采用后一種方法．解：(1)；(2)．點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于、的齊次式的處理，將分子、分母同除以，得到只含有的式子再代值計(jì)算是處理此類問題的主要方法．值得一提的是對(duì)⑵式的變形，此處靈活運(yùn)用了恒等式，從而將原式轉(zhuǎn)化為齊次式．例5已知；(2)．分析：(1)根據(jù)尋求與的整體關(guān)系；(2)類比(1)的方法求，進(jìn)而得，最后求出．解：(1)因?yàn)椋?，則；(2)因?yàn)?，且，所以．又，所以，故，所以．點(diǎn)評(píng)：本題圍繞恒等式考查了，及之間的整體關(guān)系，其中對(duì)α角函數(shù)值符號(hào)的判斷也值得關(guān)注．例6設(shè)已知是方程的兩個(gè)根，求：(1)m的值；(2)的值．分析：(1)利用韋達(dá)定理及同角的平方關(guān)系得到關(guān)于m的方程求解；(2)先化簡(jiǎn)再代入．解：(1)由已知，有因?yàn)椋缘?，?jīng)檢驗(yàn)符合；(2)=．點(diǎn)評(píng)：本題依然圍繞恒等式考查與的整體聯(lián)系，但以韋達(dá)定理為背景，因此還要注意對(duì)判別式的檢驗(yàn)；對(duì)于代數(shù)式求值問題，一般都是采取先化簡(jiǎn)后求值的方法．例7求值(1)；(2)分析：誘導(dǎo)公式的運(yùn)用．解：(1)原式=====0；(2)原式=====4．點(diǎn)評(píng)：本題屬于靈活使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算，首先將問題轉(zhuǎn)化為求0°～360°之間角的三角函數(shù)值，然后將問題轉(zhuǎn)化成求0°～90°之間角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想．例8已知，且，求的值．分析：結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角函數(shù)關(guān)系式加以解決．解：由，有，所以，即①又因?yàn)棰谟散?、②及同角三角函?shù)關(guān)系可得：，所以．點(diǎn)評(píng)：本題先考慮利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知和所求進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用同角三角函數(shù)關(guān)系來溝通已知與所求．對(duì)于此類三角函數(shù)求值問題，也需要關(guān)注已知與所求之間的直接聯(lián)系，例如“已知，求的值”．例9設(shè)，求值：．分析：注意對(duì)角的整體處理．解：原式===．點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)時(shí)需要向已知條件看齊，運(yùn)用整體思想．4．自我檢測(cè)(1)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，－3)，則＝________________．(2)當(dāng)為第二象限角時(shí)，的值是__________________．(3)已知,,則的值是___________．(4)已知=_________________．(5)設(shè)，求的值．(6)求值：①；②；③．(7)已知，則_____________．三、課后鞏固練習(xí)A組1．已知點(diǎn)P(3,y)在角的終邊上，且滿足y＜0，=，求．2．若·<0，則角是第________象限角．3若tanx>0，且sinx＋cosx>0，則角x的終邊在第象限？4．函數(shù)的值域是______________________．5．已知角的終邊是OP，角的終邊是OQ，試在圖中作出、的三角函數(shù)線，然后用不等號(hào)(＜，＞)填空：(1)________；(2)________；(3)________．6．已知，則的值等于______________．7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是_________________．8．已知：，求下列各式的值：(1)；(2)．9．若，是方程2x2–x–m=0的兩個(gè)根，求m的值．10．化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)．11．化簡(jiǎn)：．12．設(shè)α是第二象限角，且則是第______象限角．13．求的值；14．化簡(jiǎn)：(1)(是第三象限角)；(2)15．若，求值：．16．已知的值．17．已知為第三象限角，求的值．B組18．已知角α的終邊在直線y＝－eq\f(3,4)x上，則2sinα＋cosα的值是__________．19．角的終邊在直線上，且，若P(m，n)是角終邊上一點(diǎn)，且|PO|=(O為原點(diǎn))，則_______________．20．若角為第二或第四象限角，則的值等于______21．已知||=－，||=－，且，試判斷P(，)在第象限． 22．利用單位圓寫出符合下列條件的角x：(1)若＜－，則x∈_____________；(2)若＞，則x∈_____________.23．∈(0，)且，是方程的兩根，求，，的值．24．若，化簡(jiǎn)：．25．設(shè)f()=，求的值．26．已知的值．27．若f()=，則f()的值為_____________．28．設(shè)．C組29．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))，且0≤α<2π，求角α．30．角α的終邊上有一點(diǎn)(a，－a)(a>0)，則使f(a)＝－eq\f(\r(2),2)的一個(gè)函數(shù)是_____________．31．若f(n)＝sineq\f(nπ,6)，則f(1)·f(3)·f(5)·f(7)·f(9)·f(11)＝________．32．已知tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(9,4)，則tan2α＋eq\f(1,sinαcosα)＋eq\f(1,tan2α)＝__________．33．(1)若，則_________．(2)已知，那么=．34．已知，求值：．35．(1)若f()=，求f()；(2)若f()=，求f()．36．化簡(jiǎn)：(1)(2)．37．設(shè)求的值38．在三角形ABC中，若求△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的大?。?9.已知，求．40.若等式成立，求x的集合．知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)任意角三角函數(shù)值的定義注意分類討論的思想方法三角函數(shù)值的符號(hào)注意分類討論的思想方法誘導(dǎo)公式熟練運(yùn)用公式，體會(huì)化歸思想三角函數(shù)線的應(yīng)用注意三角函數(shù)線由方向確定數(shù)量的正負(fù)同角三角函數(shù)關(guān)系注意平方關(guān)系的靈活運(yùn)用綜合題靈活運(yùn)用同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野三角學(xué)在我國(guó)的發(fā)展我國(guó)對(duì)三角知識(shí)的研究淵源較早．西漢末東漢初(約一世紀(jì))，我國(guó)古老的數(shù)學(xué)書籍《周髀算經(jīng)》一書里，記載著公元前7，8世紀(jì)人們?nèi)绾斡?jì)算地面一點(diǎn)到太陽距離的方法．當(dāng)時(shí)人在周城(周成李所建的都城洛邑，就是現(xiàn)在河南洛陽)，立8尺高的竿，如圖所示．某一天正午測(cè)得竿影長(zhǎng)是6尺，又在北方相距2000里的地方立同樣高的竿子，測(cè)得它的影長(zhǎng)為6尺2寸．他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距離是(里)，太陽距離地面的高是(里)．然后根據(jù)勾股定理，求出測(cè)者到太陽的距離是100000里．據(jù)記載，周代的天文官員，利用“重差術(shù)”測(cè)得太陽高遠(yuǎn)．三國(guó)時(shí)著名數(shù)學(xué)家劉徽，在古人“重差術(shù)”的基礎(chǔ)上，編撰了《海島算經(jīng)》一書．春秋時(shí)代的《考工說》一書，對(duì)“角”已有初步認(rèn)識(shí)．用“倨句”表示角度的多少，其中直角叫做“矩”．唐朝開元六年(718年)，在司天監(jiān)任職的印度人瞿傳悉達(dá)編譯《開元占經(jīng)》一百二十卷，講印度數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀編制的三角函數(shù)表載于卷一零四《九執(zhí)歷》中，這是傳入我國(guó)的最早的三角函數(shù)表．明朝初年，西洋三角學(xué)傳入我國(guó)．在《崇禎歷書》中載有《大測(cè)》、《測(cè)量全義》等有關(guān)三角學(xué)書籍，1631年，瑞士人鄧玉函(1576—1630)、德國(guó)人湯若望(1591－1666)與我國(guó)數(shù)學(xué)家徐光啟共同編譯《大測(cè)》二卷，鄧玉函在序言中說：“大測(cè)者，測(cè)三角形之法也．”我國(guó)“三角學(xué)”一詞，即由此而來．該書講了三角函數(shù)的造表方法和正、余弦的關(guān)系，倍、半角的公式，以及正弦定理、余弦定理與正切定理．1631年，意大利人羅雅谷(1593－1638)撰寫了另一部有關(guān)三角學(xué)的著作《測(cè)量全義》十卷．卷七稱：“每弧、每角有8種線，曰正弦，曰余弦，曰正切線，曰正割線，曰正矢，曰余切，曰余割，曰余矢．”這是我國(guó)三角八線名稱的由來．《測(cè)量全義》中所介紹的三角學(xué)內(nèi)容比《大測(cè)》豐富全面，除正、余弦定理和正切定理外，還有同角的三角函數(shù)公式與積化和差公式等．此外，《崇禎歷書》中還記載有《割圓八線》六卷，是一個(gè)每隔1’的五位三角函數(shù)表．其中包括正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，另外的三角函數(shù)中的正矢、余矢可有余弦、正弦推出．1653年，我國(guó)明末清初數(shù)學(xué)家薛鳳柞著《三角算法》一書，是我國(guó)數(shù)學(xué)家自己撰寫的第一部三角學(xué)著作．書中所介紹的三角學(xué)知識(shí)，要比《大測(cè)》、《測(cè)量全義》的內(nèi)容更詳細(xì)、完備．其中平面三角學(xué)的許多定理(除余弦定理外)都首次用對(duì)數(shù)來計(jì)算．清初著名數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633－1721)研究三角多年，對(duì)所傳入的三角學(xué)知識(shí)進(jìn)行了通俗易懂的解釋，著有《平三角舉要》五卷．其內(nèi)容由淺入深，循序漸進(jìn)，條理清晰，是當(dāng)時(shí)及以后青年人學(xué)習(xí)三角學(xué)的主要教科書．

第2章平面向量2.1向量的概念及表示一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議向量的實(shí)際背景：物理中位移、速度、力和幾何中有向線段等了解結(jié)合具體背景學(xué)習(xí)向量概念、與物理中矢量進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)向量是既有大小又有方向的量.平面向量的基本概念和幾何表示：向量、零向量、單位向量、相等向量及共線向量等理解向量相等的含義理解二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1.預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)理解向量、零向量、單位向量、相等向量及共線向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在圖形中辨認(rèn)共線向量與相等向量，能用有向線段表示已知向量．2.預(yù)習(xí)提綱(1)復(fù)習(xí)物理中位移、速度、力和幾何中有向線段等概念，理解平面向量的含義．(2)閱讀課本P57-58,思考下列內(nèi)容：①向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．符號(hào)表示以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量．向量也可以用小寫字母，，等表示．③向量的模：向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度或向量的模，記作||．④向量的其他概念及表示方法．3.典型例題(1)向量的有關(guān)概念例1給出下列命題：①若=，則；②若<，則；③若=，則∥；④若∥，則=；⑤若=0，則=0；⑥若=，則=．其中正確命題的序號(hào)是．分析：解答本題可借助于相等向量、共線向量的概念等基本知識(shí)逐一進(jìn)行判斷．解：由相等向量定義可知，若=，則，的模相等，方向相同，故①不正確，⑥正確．<知模的大小，而不能確定方向，故②不正確．共線向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共線，共線向量不一定相等，故③正確，④不正確．零向量與數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念，零向量不等于數(shù)字0，故⑤不正確．所以答案為③⑥．點(diǎn)評(píng)：此類題目關(guān)鍵是理解、區(qū)分向量的有關(guān)概念，從向量的長(zhǎng)度與方向兩方面認(rèn)識(shí)向量，可舉特例選擇．(2)共線向量與相等向量方向相同或相反的的非零向量為平行向量，零向量與任意向量平行．在圖形中要能識(shí)別共線向量與相等向量．例2如圖：EF是△ABC的中位線，AD是△ABC的BC邊上的中線，以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段表示的向量中(1)與向量共線的向量有哪幾個(gè)？請(qǐng)分別寫出這些向量；(2)與向量的模一定相等的向量有哪幾個(gè)？請(qǐng)寫出這些向量；(3)寫出與向量相等的向量．分析：根據(jù)共線向量與相等向量的定義即可解決．解：(1)與共線的向量有7個(gè)，它們分別是；(2)與向量的模一定相等的向量有5個(gè)，它們分別是；(3)如圖，==.(3)向量的應(yīng)用例3若且，判斷四邊形ABCD的形狀.分析：先由得出四邊形為平行四邊形，再由得出結(jié)論．解：由知∥且=，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?，所以四邊形ABCD為菱形．點(diǎn)評(píng)：隱含∥與=兩方面，一般，判斷四邊形的形狀需要判斷對(duì)邊與鄰邊的關(guān)系．4.自我檢測(cè)(1)判斷下列說法是否正確：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合；②若、都是單位向量，則；③物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量；④不相等的向量一定不平行；⑤若平行，平行，則平行；⑥零向量沒有方向；⑦零向量與任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的；⑨向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；⑩有向線段就是向量，向量就是有向線段．(2)思考討論：①所有的單位向量都相等嗎？②∥與∥一樣嗎？③向量、能不能用不等號(hào)將它們連接起來？即能表示為＞或＜嗎？三、課后鞏固練習(xí)A組1．給出下列命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②若向量與向量平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能稱之為向量的是．3．向量的長(zhǎng)度記作_____；的模是_____，是單位向量，則的值是____．4．與非零向量()平行的向量中，不相等的單位向量有_____個(gè)．5．已知、為不共線的非零向量，且存在向量，使∥，∥，則=_______．6．在直角坐標(biāo)系中，已知=2，則點(diǎn)P構(gòu)成的圖形是_______．7．如圖在正六邊形ABCDEF中，Ｏ為中心，(1)與相等的向量有；(2)與共線的向量有；(3)與的模相等且反向的向量有．8．直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，3)，(5，2)，試畫出兩個(gè)與向量不相等且又共線的向量．B組9.在直角坐標(biāo)系中，畫出向量：=5，的方向與x軸正向的夾角是30°，與y軸正方向的夾角是120°．10.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCMF是平行四邊形．分別寫出：(1)與共線的向量；(2)與共線的向量；(3)與相等的向量；(4)與相等的向量．11.一架飛機(jī)從A點(diǎn)向西北飛行200km到達(dá)B點(diǎn)，再?gòu)腂點(diǎn)向東飛行km到達(dá)C點(diǎn)，再?gòu)腃點(diǎn)向東偏南30°飛行了km到達(dá)D點(diǎn)．問D點(diǎn)在A點(diǎn)的什么方向，距A點(diǎn)有多遠(yuǎn)？12．右圖是中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法，如圖，馬可從A跳到A1，也可跳到A2，用向量表示馬走了“一步”，試在圖中畫出馬在B,C處走“一步”的所有情況．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在(0，0)，圓在軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為．知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)向量的實(shí)際背景結(jié)合向量相等的概念，在一些幾何圖形中,能找到相等的向量，理清平行向量、共線向量、相反向量、相等向量的概念平面向量的基本概念和幾何表示向量相等的含義四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野向量的由來向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓．課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向．但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量．例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量．在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象．這樣，就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型．從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系．

2.2向量的線性運(yùn)算一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算理解與實(shí)數(shù)的運(yùn)算比較,注意運(yùn)算法則的異同,理解共線定理的應(yīng)用向量共線定理理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義了解二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1.預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)理解向量加法的定義；掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則；(2)理解相反向量的概念，掌握向量減法運(yùn)算的法則．并結(jié)合平面上的三角形、四邊形等圖形進(jìn)行向量的加、減法運(yùn)算；(3)理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能用已知向量去表示與它共線的向量，能通過向量的加減運(yùn)算及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，判斷兩個(gè)向量是否共線．2.預(yù)習(xí)提綱(1)向量的加法回憶物理中矢量加法的相關(guān)知識(shí)，閱讀教材P59~61內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例1講的是向量的加法，計(jì)算時(shí)要善于把向量放到具體的三角形或平行四邊形中，靈活應(yīng)用兩種加法法則．思考：①在四邊形ABCD中，等于什么？②n個(gè)首尾相連的向量的和向量有何特點(diǎn)？例2講的是向量的加法的實(shí)際應(yīng)用，解決這類問題的基本步驟是將實(shí)際問題的量用向量表示、畫圖、用向量的加法解決問題．(2)向量的減法回憶物理中矢量減法的相關(guān)知識(shí)，閱讀教材P61~63內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例1中向量的減法的作圖說明當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí)，從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量就是．例2體會(huì)將一個(gè)向量表示成幾個(gè)向量的和或差的方法，這種“由簡(jiǎn)化繁”在數(shù)學(xué)證明中常常用到．(3)向量的數(shù)乘閱讀教材P63~64內(nèi)容，閱讀課本上的例題.例2讓我們認(rèn)識(shí)到向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類似.(4)向量共線定理閱讀教材P64~66內(nèi)容，思考①向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的乘積有何異同？②共線向量定理中為什么要規(guī)定？閱讀課本上的例4，回答下列問題①如果λ＞0，λ＜0時(shí)，點(diǎn)C分別在直線AB的什么位置上？②當(dāng)C與A重合時(shí)，λ的值為0；③當(dāng)C與B重合時(shí)，滿足關(guān)系式的λ還存在嗎？3.典型例題(1)向量的加法向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是等價(jià)的，具體應(yīng)用時(shí)三角形法則要求“首尾連接”，平行四邊形法則要求“共起點(diǎn)”，由已知向量表示未知的向量．例1如圖，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA的中點(diǎn).求證：(1)；(2).分析：求兩個(gè)向量的和，當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，可以用平行四邊形法則，當(dāng)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí)，可以用三角形法則.證明：(1)在中，由向量加法的三角形法則知：，同理中，由向量加法的三角形法則知：,所以(2)因?yàn)辄c(diǎn)D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，則四邊形ADEF為平行四邊形，則,同理四邊形BEFD中，,四邊形CFDE中，,將以上三式相加得：.例2已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．若，試用、表示向量．分析：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加法運(yùn)算的關(guān)鍵．解：由圖可知=，在四邊形ABCO中，根據(jù)平行四邊形法，則=+=；由三角形法則可知=+=+=+；=+=+=＝．點(diǎn)評(píng)：此題屬于用已知向量表示未知向量，盡量把未知向量放在三角形中，利用向量加法法則向已知量轉(zhuǎn)化，注意相反向量和向量和為零的向量．(2)向量的減法向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算，向量的減法滿足三角形法則，運(yùn)用三角形法則解決問題.例3化簡(jiǎn)：.分析：常有三種方法進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算：(1)利用統(tǒng)一成加法運(yùn)算；(2)利用統(tǒng)一減法運(yùn)算；(3)利用進(jìn)行合并運(yùn)算．解：解法一: 解法二:解法三: 點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的一般方法是根據(jù)式子的特點(diǎn)重新組合，將首尾相接的向量分在一起，并靈活運(yùn)用相反向量變形．特別是逆用向量減法．例4如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若＝，＝，＝，求證：+－＝．分析：本題解法很多，通過一題多解，加深對(duì)向量加減法概念的理解，熟悉加減法運(yùn)算的法則．證明：在平行四邊形ABCD中，．∴．點(diǎn)評(píng)：本題的其他證法，如或等等，可根據(jù)不同的思考給出不同的解答．(3)向量的數(shù)乘了解向量數(shù)乘運(yùn)算與加法的聯(lián)系，及向量數(shù)乘的幾何意義，向量共線定理對(duì)于證明三點(diǎn)共線的問題有很多應(yīng)用．例5計(jì)算(1)6-[4--5(2-3)]+(+7)；(2).分析：運(yùn)用運(yùn)算律，類比合并同類項(xiàng)求解解：(1)原式＝6-[-6-+15]++7＝13-7；(2)原式＝.點(diǎn)評(píng)：向量的線性運(yùn)算類似與代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中可以使用.例6在中，交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N．設(shè)，用表示向量．分析：本題除要進(jìn)行向量的加減運(yùn)算外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，同時(shí)還要利用相似三角形來解決.ABCABCDENM又ＡＭ是的中線，則，例7(1)已知，滿足，求證：，共線；(2)設(shè)兩個(gè)非零向量和不共線，如果＝2＋3，＝6＋23，＝4－8，求證：A、B、D三點(diǎn)共線.分析：解決向量共線問題，就要根據(jù)向量共線的條件，此題考查向量共線定理．證明：(1)由，得，所以，共線．(2)＝＋＋＝2＋3＋6＋23＋4－8＝12＋18＝6(2＋3)＝6，∴∥，即向量與共線，且又有相同起點(diǎn)A，∴A、B、D三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)：本題給出了利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線的方法，關(guān)鍵是能否找到惟一的實(shí)數(shù)使．先證向量共線，再證三點(diǎn)共線．例8已知和是兩個(gè)不共線的向量，=，=，=，若A、B、D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)λ的值．分析：解決本題首先由三點(diǎn)共線得兩個(gè)向量共線，再利用向量共線定理存在惟一實(shí)數(shù)，使，最后利用待定系數(shù)法求解．解：∵，且A、B、D三點(diǎn)共線，∴向量與共線，因此存在實(shí)數(shù)，使得=，即=[]=．∵與是兩不共線的向量，于是根據(jù)向量相等的條件，可得∴故當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，λ=3．點(diǎn)評(píng)：求參數(shù)時(shí)，要充分利用向量共線定理和待定系數(shù)法求解．例9(1)已知為兩個(gè)不共線的向量，且，其中，t是實(shí)數(shù)．求證：＝(1－t)＋t；(2)在△ABC中，P是AB邊的中點(diǎn)，求證：.分析：(1)中由＝t可知A、P、B三點(diǎn)共線，對(duì)直線外任意一點(diǎn)Ｏ，結(jié)論可知可以表示為與的線性組合，且其系數(shù)之和為１．(2)是(1)的一個(gè)特殊情形，對(duì)于關(guān)系＝(1－t)＋t，則有其另外的意義，在后面的教學(xué)中還會(huì)涉及．下面看一看當(dāng)t分別取0，1，－1，時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上的位置：當(dāng)t＝0時(shí)，P與A重合；當(dāng)t＝1時(shí)，P與B重合；當(dāng)t＝－1時(shí)，P在BA的延長(zhǎng)線上，且|AP|＝|AB|．證明：(1)∵＝t(t∈R)，∴＝＋(加法法則)＝＋t(已知條件置換)＝＋t(－)(減法法則)＝＋t－t(運(yùn)算律)＝(1－t)＋t．(運(yùn)算律)(2)∵P是AB的中點(diǎn)，則＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋－＝(＋)．4.自我檢測(cè)1．化簡(jiǎn)：(1)+()+＝；(2)化簡(jiǎn)：①－+－+＝；(3)[(2＋8)－(4－2)]=.2．在正六邊形ABCDEF中，O為中心，若＝，＝，則＝__________,＝___________.＝_______________.3．已知四邊形ABCD是正方形，E是DC中點(diǎn)，且=，=，則等于．4．在矩形ABCD中，|AD|=的大小和方向．5．下列命題：①在中必有；②若，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；③若、均為非零向量，則|＋|與||＋||一定相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為．三、課后鞏固練習(xí)A組1．化簡(jiǎn)：(1)；(2)=；(3)已知：3，則=．2．設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，則等于．3．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則＝____________.4．若D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則=．5.以下四個(gè)命題：①若；②|+|＜||+||；③如果非零向量與的方向相同或相反，那么+的方向必與、之一相同；④[(+)+]+=[()+]+.其中正確的序號(hào)是．6．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則=．7．已知△ABC是正三角形，以下等式：①|(zhì)|=；②；③；④，其中不成立的序號(hào)為．8．已知向量，，的模分別為1，2，3，則的最大值為；此時(shí)，，的方向．9.若點(diǎn)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足，則△ABC的形狀是.10．若M、N、P三點(diǎn)共線，且，則=．11．若，是不共線的向量，與k＋共線，求實(shí)數(shù)k的值．12．已知，是不共線向量，若＝，＝6，且//，則k的值為．13．在四邊形中，，其中不共線，則四邊形的形狀為_______．14．已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是．15．，不共線，且，如果A，B，C三點(diǎn)共線，則所滿足的條件是．16．四邊形ABCD是一個(gè)梯形，且M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知試用表示．B組17．已知分別是的邊上的中線，且，則可用向量表示為．18．△ABC的平面上有點(diǎn)P，滿足條件：＋＋＝，試確定點(diǎn)P的位置．19．已知四邊形ABCD滿足,求證：四邊形ABCD是梯形．20．已知平面上不共線的三點(diǎn)O，A，B．λ，μ是實(shí)數(shù)，如果λ＋μ=1，且=λ+μ，則點(diǎn)P在何處？21．已知、是兩個(gè)不共線但共起點(diǎn)的非零向量，為何值時(shí)，，，三向量的終點(diǎn)在一直線上()？BDECFOA22．如圖，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，O是DC的三等分點(diǎn)，BDECFOA(1)用，表示向量、、、；(2)求證B、E、F三點(diǎn)共線．23．已知向量，的模分別為5，12，(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，=13．24．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的序號(hào)為.eq\o\ac(○,1).若,則eq\o\ac(○,2).若，則eq\o\ac(○,3).若，則存在實(shí)數(shù)，使得eq\o\ac(○,4).若存在實(shí)數(shù)，使得,則25．要使下列結(jié)論成立，問非零向量應(yīng)分別滿足什么條件？(1)；(2)；(3)；(4)與是共線向量；26．已知向量，滿足===1，則=.27．若非零向量滿足，則下列結(jié)論中正確的是_______________．①｜2｜＜｜2｜②｜2｜＞｜2｜③｜2｜＞｜2｜④｜2｜＜｜2｜C組28、設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱調(diào)和分割,已知平面上的點(diǎn)，調(diào)和分割點(diǎn)則下面說法正確的是． eq\o\ac(○,1)．可能是線段的中點(diǎn) eq\o\ac(○,2)．可能是線段的中點(diǎn) eq\o\ac(○,3)．，可能同時(shí)在線段上（不包括兩點(diǎn)） eq\o\ac(○,4)．，不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上29．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若，證明：點(diǎn)O是△ABC的重心．30．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)O為平面內(nèi)不同于G的任意一點(diǎn)，證明：．31．若點(diǎn)P為△ABC的外心，且，則△ABC的內(nèi)角C＝___________.32．過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為。OABPQ33．如圖，有以下命題：設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則，把此命題推廣，設(shè)點(diǎn)是AB的n()等分點(diǎn)，則______．OABPQ34．在△OAB中，，，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)，，(1)試用和表示向量；(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)，．求證：．35．在的內(nèi)部有一點(diǎn)O滿足，求與的面積之比．36．已知O是正△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝，則△ABC的面積與△OAC的面積之比為．知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算、幾何意義正確使用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，幾何圖形中向量的表示及運(yùn)算向量共線定理向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與圖形性質(zhì)向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形的性質(zhì)有緊密聯(lián)系．向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)可以用圖形簡(jiǎn)明地表示，而圖形的一些性質(zhì)又可以反映到向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)上來．比如平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，向量加法及其交換律可以表示平行四邊形中的對(duì)邊平行以及三角形全等．這說明，以向量為工具，可以把幾何圖形、幾何變換、向量的運(yùn)算及交換律統(tǒng)一起來．請(qǐng)你思考一下，下表是否反映了這種情況？幾何圖形幾何變換向量運(yùn)算向量運(yùn)算律平行四邊形平移加法交換律：+=+結(jié)合律：(+)+=+(+)相似三角形相似數(shù)乘向量分配律：k(+)=k+k直角三角形垂直數(shù)量積交換律：分配律：(+)=+建立向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形的關(guān)系后，對(duì)圖形的研究推進(jìn)到了有效能算的水平，從而實(shí)現(xiàn)了綜合幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折．向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起．問題：向量有哪些運(yùn)算，符合哪些運(yùn)算法則？向量有乘法和除法運(yùn)算嗎？請(qǐng)同學(xué)自行查閱資料解決

2.3向量的坐標(biāo)表示一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議平面向量的基本定理及其意義了解結(jié)合直角坐標(biāo)系理解向量的基本定理與正交分解平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示理解用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算了解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件(對(duì)線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式不作要求)理解二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1.預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)了解把平面上的任意一向量分解成兩個(gè)給定方向的分向量的過程，了解平面向量基本定理；(2)閱讀課本,了解怎樣用坐標(biāo)(x，y)表示平面向量，學(xué)會(huì)利用坐標(biāo)來進(jìn)行平面向量的運(yùn)算，學(xué)習(xí)通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算來判斷兩個(gè)向量是否共線,會(huì)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題．2.預(yù)習(xí)提綱(1)平面向量基本定理.閱讀教材P70~71內(nèi)容，理解以下內(nèi)容：①平面向量基本定理；②基底；③向量的分解．思考討論：①平面向量定理中“有且只有”的含義是什么？②在表示向量時(shí)，基底惟一嗎？基底有什么特征？(2)平面向量的坐標(biāo)表示.閱讀教材P72~76內(nèi)容，理解以下內(nèi)容：①向量的坐標(biāo)表示；②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；③向量平行的坐標(biāo)表示.思考討論：①相等向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？②以(x,y)為坐標(biāo)的向量有多少個(gè)？3.典型例題(1)平面向量基本定理由平面向量共線定理可知，任意一個(gè)向量可用一個(gè)與它共線的非零向量來線形表示，而且這種表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共線定理的推廣，平面內(nèi)任一向量可以用兩個(gè)不共線的向量來表示．例1在平行四邊形中，設(shè)，試用表示．分析：解答本題首先借助三角形或多邊形法則，利用向量加減法，用表示來求或建立的方程，解方程組求解．解：如圖，方法一(轉(zhuǎn)化思想)設(shè)AC、BD交與點(diǎn)O，則有，；,．方法二(方程思想)設(shè)，則有且，即，，即，．點(diǎn)評(píng)：本題類型是用基向量表示未知向量，一般有兩種方法，一是充分利用向量線性運(yùn)算，靈活應(yīng)用三角形法則與平行四邊形法則求解，二是采用方程思想，即直接用表示，然后把看作未知量，利用方程思想求解．(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要從“數(shù)”的角度進(jìn)行考察，學(xué)習(xí)中始終要注意數(shù)形結(jié)合的思想.例2已知，，求實(shí)數(shù)x、y，使．分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可．解：由題意有=又∴=3且=5解之得x=7且y=4.點(diǎn)評(píng)：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到解方程的方法．例3已知A(-1，2)，B(2，8)，=，=-，求點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo)．分析：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量，和關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之．解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為、，由題意得

，=(3，6)，，又=，∴=，=即=(1,2)，=(1,2)∴且，且∴且，且∴點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo)分別為(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)．點(diǎn)評(píng)：本題涉及到方程思想，對(duì)運(yùn)算能力要求較高．例4已知當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)與平行？分析：本題可用平面向量基本定理和平行向量坐標(biāo)表示兩種方法求解，兩種方法的本質(zhì)一樣，從本題看，研究?jī)上蛄科叫袝r(shí)，若坐標(biāo)已知，用坐標(biāo)法更簡(jiǎn)單．解：法一：當(dāng)與平行時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)使=()，即=，即，∴與不共線，由平面向量基本定理可知，得，則．法二：要使與平行，則．求得．點(diǎn)評(píng)：此類問題要充分利用向量共線條件及向量共線定理、向量相等條件，建立方程與方程組，從而求解參數(shù)．例5用向量的坐標(biāo)運(yùn)算方法，求證：A(3,-4)，B(-9,2)，C(-1,-2)三點(diǎn)共線．分析：此題考察向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而證明三點(diǎn)共線．證明：證法一：由＝(-9，2)-(3，-4)＝(-12，6)，＝(-1，-2)-(-9，2)＝(8，-4)，∴＝-，∴//．又因?yàn)橛邢蚓€段，有公共端點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線．證法二：∵＝(-12，6)，＝(8，-4)，且(-12)×(-4)-6×8＝0,∴//，又因?yàn)橛邢蚓€段，有公共端點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線．例6已知，，及,試問:(1)t為何值時(shí),P在第二象限?(2)四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形?若能求出相應(yīng)的t；若不能,請(qǐng)說明理由.分析:利用向量相等建立向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,再由條件求出.解：(1)因?yàn)?，，若P在第二象限,則；(2)若四邊形OABP為平行四邊形,則,而無解,所以四邊形OABP不能構(gòu)成平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此類題目關(guān)鍵是正確進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，充分轉(zhuǎn)化條件，即向量相等的條件，得出P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系．4.自我檢測(cè)(1)在△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若，，則用基底，表示=．(2)，不共線，，，要使，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．(3)已知=(3，-1)，=(-1，2)，則-3-2=．(4)已知=(2，1)，=(x，-4)，當(dāng)2與-平行時(shí)，x＝．(5)已知向量＝(5，2)，=(x2+y2，xy)，且＝，求x，y的值．三、課后鞏固練習(xí)A組1．如果，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，給出下列命題：(1)若實(shí)數(shù)m，n使m＋n＝，則m＝n＝0；(2)空間任一向量可以表示＝λ1＋λ2，其中λ1，λ2為實(shí)數(shù)；(3)對(duì)實(shí)數(shù)m，n，m＋n不一定在此平面上；(4)對(duì)平面中的某一向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使＝m＋n.則以上命題為真命題的是．2．在梯形ABCD中，DC//AB，DAAB，下列各對(duì)向量①②③④⑤其中，能作為表示它們所在平面的所有向量基底的可以是_________．(填序號(hào))3．中,為中線AD上一點(diǎn),G為重心,若,則．4．已知，不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足向量等式3x＋(10－y)＝(4y+7)＋2x，則x＝_______，y＝_________．5．已知向量不共線，，要使，能成為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，或，其中，則=．7．兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則x=，y=．8．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于惟一的坐標(biāo)；③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于惟一的一個(gè)向量；④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)，其中正確的說法有__________．9．已知=(6,1)，=(x,y)，=(-2,-3),則=__________．10．點(diǎn)P在平面上作勻速成直線運(yùn)動(dòng)，速度=(2，5)，當(dāng)t=0，P在(-6,-2)處，當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為．11．下列幾組點(diǎn)中，三點(diǎn)共線的是①(0，0)，(1，1)，(3，1)；②(-1，-1)，(1，1)，(3，3)；③(-1，2)，(1，4)，(3，5)；④(2，0)，(0，-1)，(3，2).12．已知正方形PQRS的對(duì)角線的交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且，=(4，0)．則向量＝__________．13．若＋=(-3，-4)，-=(5，2)，則向量＝_____，||=_______．14．已知向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)的值是________．15．若向量，滿足，平行于軸，，則=.16．已知向量，，，若點(diǎn)、、能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．17．已知向量，，若不超過5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．和=(3,-4)平行的單位向量是_________.19.已知向量=（1,0），=（1,1），則與2+同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________.B組20．設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.21．以向量＝，＝為邊作平行四邊形OADB，對(duì)角線OD與AB交于C，又＝，＝，試用，為基底表示，，．22．如圖，∠AOB=120°，∠AOC=30°，OA=OB=1，OC=，設(shè)=，=，試用，表示．CBAO23．如圖，，，，．設(shè)，，用，表示為．CBAO24．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．若，，用，表示．25．在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，求的值．26．(1)已知平面上△ABC的頂點(diǎn)A(3，1)，B(5，2)，C(-1，6)，求向量，，2-3的坐標(biāo)表示．(2)直線l1平行于x軸，且過(0，4)點(diǎn)，直線l2平行于y軸，且過(-1，0)點(diǎn)．點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，且向量＝(-4，-3)，試求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．27．已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．28．設(shè)=(，)，=(，)，且//，求的值．29．在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．30．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，＝，＝，求證：//．31．設(shè)向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．32．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，．當(dāng)為何值時(shí)，(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上？(2)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等？C組33.是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的心．34．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，則的值為 .35．設(shè)兩個(gè)向量和其中為實(shí)數(shù).若求的取值范圍.36．已知向量與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表求（1）設(shè)，求向量與的坐標(biāo)；（2）證明：對(duì)任意的向量及常數(shù)，恒有成立；（3）求使為常數(shù)）的向量的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)平面向量的基本定理及其意義注意平面向量共線定理的坐標(biāo)計(jì)算，正確使用平面向量的基本定理平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件(對(duì)線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式不作要求)四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野定比分點(diǎn)向量公式的應(yīng)用課本例4證明了一個(gè)公式:，這個(gè)公式在向量中稱為定比分點(diǎn)向量公式．這個(gè)公式為我們解決一些數(shù)學(xué)問題提供了方便，更能為我們開拓解題思路，提高解題分析的能力．1．定比分點(diǎn)向量公式一般地，設(shè)、為直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是l上不同于、的任一點(diǎn)，在平面上任取一點(diǎn)O，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則．我們把它稱為定比分點(diǎn)向量公式，叫做點(diǎn)分有向線段所成的比．2．定比分點(diǎn)向量公式的應(yīng)用例如圖(1)，設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，且．求證：(1)；(2)設(shè)，用t表示；(3)如圖(2)，利用(1)求△ABC的重心的向量公式．ABABDCGF圖(2)OACBO圖(1)分析：確定分點(diǎn)和的值，代入定比分點(diǎn)向量公式．解：(1)由已知點(diǎn)C分向量所成的比，代入定比分點(diǎn)向量公式得=；(2)由(1)可得；(3)如圖(2)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，D分所成的比為1，代入公式得這就是三角形重心的向量公式．點(diǎn)評(píng)：觀察定比分點(diǎn)向量公式：，它實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的應(yīng)用，用一組不共線的基底、表示向量，存在的實(shí)數(shù)對(duì)滿足(這是一個(gè)定值)，因此，若，且，則可以說明三點(diǎn)必共線．問題：你能否用定比分點(diǎn)的公式解決鞏固練習(xí)中的問題？

2.4向量的數(shù)量積一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解結(jié)合物理中的功等概念理解向量的數(shù)量積概念數(shù)量積的坐標(biāo)表示掌握利用數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角的余弦理解用數(shù)量積判斷兩個(gè)非零向量是否垂直了解二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1.預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念及其幾何意義，掌握兩個(gè)向量夾角的概念，通過數(shù)量積的概念和運(yùn)算解決有關(guān)的幾何問題；(2)掌握平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式；通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，推出平面上兩點(diǎn)之間的距離公式并解決一些問題．2.預(yù)習(xí)提綱(1)復(fù)習(xí)平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算．(2)閱讀課本P76-80，弄清以下內(nèi)容：①向量的數(shù)量積定義；②向量的夾角；③向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律；④的幾何意義；⑤平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；⑥平面向量的模及平方的坐標(biāo)表示；⑦兩點(diǎn)間的距離公式；⑧向量的夾角公式；⑨向量垂直的等價(jià)條件.(3)閱讀課本P76-80例題.例1講了數(shù)量積的計(jì)算，直接利用數(shù)量積公式=．例2講了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，除了書上的解法，還可以先計(jì)算出、這兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示，在計(jì)算它們的數(shù)量積．例3在直線上任取兩個(gè)，構(gòu)成一個(gè)向量，稱為直線的方向向量，本例就是利用求兩條直線的方向向量的夾角，間接求直線的夾角．例4用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．3.典型例題(1)平面向量數(shù)量積的概念及幾何意義向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不是一個(gè)向量.向量夾角的定義強(qiáng)調(diào)共起點(diǎn),對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律要熟練掌握.例1已知=3，，與的夾角為，求：(1)·；(2)；(3)；(4)；(5).分析：由條件可獲得以下信息：已知向量的模及夾角，所求的問題涉及，，還涉及平方差公式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則.解：(1)=；；(3)；(4)；(5)=.點(diǎn)評(píng)：此類題目要充分利用有關(guān)的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的問題，特別靈活運(yùn)用.尤其是求解模問題是一般利用轉(zhuǎn)化為求模的平方.例2(1)設(shè)||=12，||=9，=-54求與的夾角θ；(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝4，||＝2．如果向量＋k與5＋垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(3)已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求的夾角的大小．分析：考查向量數(shù)量積公式的逆用及向量垂直的條件.解：(1)cosθ==∵0＜θ＜180∴θ=1350．(2)由題意=||||cos120°=4×2×(-)=-4，∵(＋k)⊥(5＋)，∴(＋k)(5＋)=0，即52＋(5k＋1)＋k2＝０，∴5||2＋(5k＋1)(-4)＋k||2＝0，∴5×16-(20k＋4)＋4k=0，∴k=．(3)因?yàn)榕c垂直，與垂直，，(1)-(2)得：(3)將(3)代入(1)得即．又∵0＜θ＜180，∴θ=600．點(diǎn)評(píng)：求向量夾角的問題應(yīng)用數(shù)量積的變形公式，故應(yīng)求兩個(gè)整體與；(2)轉(zhuǎn)化垂直條件建立參數(shù)k的方程，此題中利用例1數(shù)量積計(jì)算公式及重要性質(zhì)；本題(3)中為求兩整體或?qū)で髢烧哧P(guān)系，轉(zhuǎn)化條件解方程組，特別注意向量夾角范圍．例3已知向量=(4，-2)，＝(6，-3)，記與的夾角為．求：(1)；(2)的大小；(3)|2-3|；(4)(2-3)(＋2)．分析：設(shè)，則，cos==解：(1)＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos==，又因?yàn)?，所?0；(3)方法一：|2－3|＝＝＝；方法二：||=；(4)方法一：(2－3)(＋2)=22＋－62=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200．方法二：=(-10，5)，＋2=(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8)()(＋2)=(-10，5)(16，-8)=-160-40=-200．點(diǎn)評(píng)：此類問題是有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，在靈活應(yīng)用基本公式的前提下要認(rèn)真細(xì)心，特別注意向量夾角的范圍．例4在中,D是邊BC邊上一點(diǎn),DC=2DB,求．分析：若由定義求解則要求解三角形，計(jì)算比較復(fù)雜，所以，思路一：轉(zhuǎn)化為與的內(nèi)積計(jì)算．思路二：建系利用坐標(biāo)運(yùn)算．解：方法一：=方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,,,,由,設(shè),則，得D()．4.自我檢測(cè)(1)已知,,,則向量與向量的夾角＝．(2)已知,,當(dāng)(1)；(2)；(3)與的夾角為60°時(shí)，分別求與的數(shù)量積．(3)已知與共線，且與垂直，則m+n值為．(4)已知,,則32－2等于．(5)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是△ABC的心．三、課后鞏固練習(xí)A組1．已知向量和向量的夾角為，，則向量和向量的數(shù)量積=．2．已知||＝||＝1，且(2-)(3－2)＝8，則與的夾角為．3．在中，，，是邊的中點(diǎn)，則．4．設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則有下列命題：①()－()＝0；②||－||<|－|；③()－()與不垂直；④(3＋2)(3－2)＝9||2－4||2．這些命題中，是真命題的有．5．在△ABC中，若<0，則△ABC的形狀一定是_________三角形．6．已知向量夾角為，且；則．7．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||=3,=4,||=5，則的值等于________．8．在中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足,則等于________．9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且,則點(diǎn)O，N，P依次是的．(選用重心、外心、垂心、內(nèi)心填空)10．已知向量=(－1，2)，=(3，m)，且⊥，則m的值為____．11．已知+=(2，-8)，-=(-8，16)，則＝______，與的夾角的余弦值是_______．12．已知向量，，，則=_______．13．已知向量，．若向量滿足∥，，則______．14．已知點(diǎn)A(-2，-3)，B(19，4)，C(-1，-6)，則△ABC的形狀是是．15．設(shè)＝(x，2)，＝(－3，5)，且與的夾角是鈍角，則x的取值范圍是．16．已知=(-3，2)，=(1，2)，=+k，=3－，若//，則k=_____；若⊥，則k=__________．B組17．已知和是互相垂直的單位向量，且＝3＋2，＝－3＋4，求．18．設(shè)||=，||=1，且與的夾角為45，向量=+，=-，試求與的夾角的余弦值．19．已知||＝||＝1，|3－2|＝3，求|3＋2|的值．20．已知向量,的夾角為60°,且(＋3)⊥(7－5)，求證：(－4)(7－2)＝0．21．設(shè)向量＝(3，1)，向量＝(－1，2)，向量⊥，向量//，若＋＝，求D的坐標(biāo)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．DCAB22．如圖，在四邊形中，DCAB，，則的值為__________．23．在平面四邊形中，若，，則的值為．24.如圖,