熱點題型?解答題攻略

專題08圓錐曲線?？碱}型全歸納

o-----------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01直線和圓錐曲線的位置關系...............................................................1

題型02弦長及三角形、四邊形面積問題...........................................................3

題型03中點弦問題（點差法）...................................................................6

題型04直線過定點問題.........................................................................7

題型05定點中的探究性問題.....................................................................8

題型06斜率的和、差、積、商為定值問題........................................................10

題型07線段、角度、面積定值問題..............................................................12

題型08圓錐曲線與向量結合....................................................................14

題型09定直線問題.............................................................................15

?>----------題型探析?明規(guī)律----------?>

題型01直線和圓錐曲線的位置關系

【解題規(guī)律?提分快招】

：r+r=1（。>6>0）與y=日+加聯(lián)立，兩邊同時乘上。為？即可得到

iab

Ii

|（a2k2+b1）x2+2kma2x+tz2（m2-62）=0,為了方便敘述，將上式簡記為4—+&+。=o.該式可以看成一!

Ii

|個關于x的一元二次方程，判別式為A=4a%2（/后2+62一機2）可簡單記4//（4一小2）.

Ii

!22I

!同理、~+q=l（a〉6>0）和X="+加聯(lián)立（。2+?b2）y2+2620盯+62加2一/〃=0,為了方便敘述，將上式I

ab\

I?

|簡記為4/+8v+C=0,A=4//（/+為2一機2）,可簡記4/62（/一機2）.

iI

；I

1/與C相離oA<0;/與C相切oA=0；/與。相交oA>0.：

Ii

II

I注意：（1）由韋達定理寫出玉+與=-0，x,x2=~,注意隱含條件A>0.

I（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.I

（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把力，〃互換位置即可.；

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（4）直線和雙曲線聯(lián)立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把/換成-/即可；

焦點在》軸的雙曲線，把/換成-/即可，/換成/即可.

（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用△判斷根的關系，因為此情況下往往

會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲

線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標.

一項麗菊

一、解答題

1.（2024高三?全國?專題練習）⑴求雙曲線一一手=1在點（行，后）處的切線方程；

（2）已知尸。,1）是雙曲線外一點，過尸引雙曲線/=1的兩條切線P4網(wǎng)，A,3為切點，求直線

的方程.

2.（2024高三下?全國?專題練習）己知點MG，%）為橢圓C.+y2=1上任意一點，直線/：與工+2為尸=2,點

廠為橢圓C的左焦點.

（1）求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；

（2）求證：直線與橢圓C相切；

3.（24-25高三上?江西新余?階段練習）已知拋物線。:/=22,5>0）的焦點為尸，以尸和C的準線上的兩

點為頂點可以構成邊長為拽的等邊三角形.

3

⑴求C的方程；

⑵若過點（-2,1）的直線/與C只有一個公共點，求直線I的方程.

4.（23-24高三上?重慶南岸?階段練習）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為近，且過點

p（4,-Vio）.

⑴求雙曲線的方程；

（2）直線/：>=h+也與雙曲線。的左支交于4,8兩點，求左的取值范圍.

5.（24-25高三上?廣東?階段練習）已知拋物線C:y2=加x（加>0）的焦點為尸，以尸和。的準線上的兩點為

頂點可以構成邊長為迪的等邊三角形.

3’一

⑴求C的方程；

⑵討論過點（-2,1）的直線I與C的交點個數(shù).

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6.（2024?山東泰安模擬預測）已知曲線C：肛=2,過C上點M（l,2）作兩條互相垂直的直線//,乙與C的

另一交點為A,4與。的另一交點為8.

⑴證明：C是雙曲線；

（2）若M到直線AB的距離為逐，求直線AB的方程.

題型02弦長及三角形、四邊形面積問題

【解題規(guī)律?提分快招】

一、弦長公式

\AB|="(匹―工2)2+(y72)2

［（再+/y—4再%］（最常用公式，使用頻率最高）

%)2-4%為

二、三角形面積問題

直線48方程：y=kx+m

_4X\kx0-y0+m\

2⑶J1+下2⑷

三、焦點三角形的面積

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【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?江西吉安?期末）在以。為原點的平面直角坐標系中，過點尸（0,3）且斜率存在的直線/與橢

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22

圓C：土+匕=1交于45兩點，設N8的中點為。.

124

(1)求直線/與。。的斜率之積；

(2)求△0/8而積的最大值.

2.(24-25高三上?廣東深圳?期末)已知橢圓C:，+方=1(°>6>0)的右焦點為尸，點MU])在C上，且

MFJ.x軸.

⑴求C的方程；

⑵過點尸(4,0)的直線交C于4B兩點，求VAOB面積的最大值.

3.(24-25高三上?湖南?階段練習)在平面直角坐標系中，已知動點E(x,y)滿足：

*2*456

7(^+2)+/-J(X-2)2+J?=±2.

(1)求動點￡的軌跡方程「；

(2)過耳(-2,0)作直線4交曲線r的y軸左側部分于A,8兩點，過6(2,0)作直線交曲線「的y軸右側部分于

C,。兩點，魚ABHCD,依次連接/,B,C,。四點得四邊形45。，求四邊形45co的面積的取值范圍.

4.(24-25高三下?山東德州?開學考試)已知拋物線￡:/=2X的焦點為歹，且48C為E上不重合的三點.

(l)^E4+FB+FC=0,求|而|+|而|+|正|的值；

(2)過43兩點分別作￡的切線與相交于點。，若|AB|=4,求面積的最大值.

5.(24-25高三下?山西晉中?開學考試)已知拋物線。:尤2=2加(p>0)的焦點為下，直線/過點尸交。于A,

B兩點，C在A,B兩點的切線相交于點尸，48的中點為。，且尸。交C于點E.當48垂直于V軸時，AB

長度為4.

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點P的橫坐標為4,求|。目；

(3)設拋物線C在點E處的切線與P4,尸5分別交于點N,求四邊形■面積的最小值.

6.(2024?甘肅張掖一模)6知曲線C上任意一點尸(xj)滿足,1+應『+'2一,k-"j+/=2.

(1)化簡曲線C的方程；

⑵已知圓(。為坐標原點)，直線/經(jīng)過點/(私0)("?>1)且與圓。相切，過點A作直線/的垂

線，交C于M、N兩點，求面積的最小值.

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題型03中點弦問題（點差法）

【解題規(guī)律?提分快招】

設直線和曲線的兩個交點/（七,為），B（x2,y2）,代入橢圓方程，得乂+3=1；誓+號=1；

abab

將兩式相減，可得百二江+匕3：=0；（占+?*-“2）=—3+為坐72）；

a2b2a2b-

同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：「：（二+%）（%—%）=］=左.4.日

b（再+'2）（苞一'2）bx0

設直線和曲線的兩個交點4X，乂），B（x2,y2）,代入拋物線方程，得%2=2R］；%2=2/2；

V，-v2P

將兩式相減，可得（%—%）（%+%）=2Mxi-％2）；整理得：7=——

再—yt+y2

【典例訓練】

一、解答題

1.（23-24高三上?湖北孝感?階段練習）已知雙曲線C：工-匕=1.

⑴若直線>=6與雙曲線。有公共點，求實數(shù)后的取值范圍；

（2）若直線/與雙曲線。交于4,3兩點，且4,3關于點對稱，求直線/的方程.

2.（23-24高三上?陜西商洛?期末）直線/i=2》-2與拋物線M：/=2px（p>0）交于A,B兩點，且|”|=5

（1）求拋物線”的方程；

⑵若直線/'與“交于C,力兩點，且弦C。的中點的縱坐標為-3,求/'的斜率.

2

3.（24-25高三下?湖北隨州?階段練習）已知橢圓上+必=1.

2.

（1）求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程；

⑵若過點N0,2）的直線/與橢圓相交，求被/截得的弦的中點的軌跡方程；

（3）求過點尸［；彳］且被P點平分的弦所在直線的方程.

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題型04直線過定點問題

【解題規(guī)律?提分快招】

一、靈點向西

定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系

等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

【一般策略】

①引進參數(shù).一般是點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等.

②列出關系式.根據(jù)題設條件，表示出對應的動態(tài)直線或曲線方程.

③探究直線過定點.一般化成點斜式y(tǒng)-y0=Kr-x0）或者直線系方程/（x,y）+Ag（x,y）=0

一、解答題

1.（2025?湖南岳陽一模）已知拋物線C:必=2/的焦點為尸，點廠在直線2x+3y-2=0上，4?是拋物

線C上兩個不同的點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線的斜率為后區(qū),后B，若壇/自8=-2,證明：直線過定點，并求定點坐標.

2.（24-25高三上?江蘇?階段練習）已知點（五1）在離心率為地的雙曲線C:二-烏=1（凡6>0）上.

3ab

⑴求C的方程；

⑵過點尸（1,0）的直線與C相交于及。兩點，8關于X軸的對稱點為A,求證：直線/。過X軸上的定點，并

求出該定點坐標.

22

3.（24-25高三下?北京海淀?升學考試）已知橢圓￡:1+1=1（°>6>0）,橢圓E的短軸長的2收，離心率

ab

為e=亨.過點M（2,0）與x軸不重合的直線/交橢圓￡于不同的兩點48,點4c關于x軸對稱.

（1）求橢圓E的方程；

（2）證明：直線BC過定點.

22

4.（24-25高三上?重慶渝中?階段練習）已知雙曲線C:谷-勺=1（4>0,6>0）的離心率為百，K,鳥分別

ab

為其左、右焦點，P為雙曲線上任一點，。（3,小）是雙曲線在第一象限內的點，畫?成的最小值是-2.

⑴過點。（3,加）分別作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與漸近線分別交于4,2兩點，。為坐標原點，求

四邊形。/。8的面積；

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(2)若不過點。的直線/與雙曲線交于不同的兩點M,N,且滿足四，”.證明：直線MN過定點，并求

出該定點坐標.

5.(2024?云南?模擬預測)拋物線「必=2px(p>0)的圖象經(jīng)過點加(1,-2),焦點為尸，過點尸且傾斜角為

。的直線/與拋物線「交于點A,B,如圖.

(1)求拋物線「的標準方程；

(2)當6=1時，求弦|/用的長；

(3)已知點尸(2,0),直線4P,8尸分別與拋物線「交于點C,D.證明：直線CD過定點.

22

6.(24-25高三下廣西?開學考試)已知橢圓E:=+二=l(a>b>0)上一動點P到原點O距離的最小值為百,

ab

最大值為2.橢圓￡的左頂點為4過n的兩條直線4，4關于直線/：y=x+2對稱，4，4與橢圓的另外一

個交點分別為N,/1,與y軸分別交于為S,T.

(1)求橢圓￡的標準方程；

(2)求|。訓。7|的值;

(3)直線兒W是否過定點?如果是，求出定點坐標;如果不是，請說明理由.

題型05定點中的探究性問題

【典例訓練】

一、解答題

1.(2024?山西太原二模)已知拋物線C：y2=2px的焦點為R過點。(2,1)且斜率為1的直線經(jīng)

過點?

(1)求拋物線C的方程；

(2)若4,8是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M(異于坐標原點。)，使得當直線N3經(jīng)過點

”時，滿足0/^08?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

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2.(24-25高三上?廣東深圳?期末)已知橢圓C:[+4=l(a>b>0)的左焦點為(-1,0),點上,|)為橢圓C

上一點，點A為橢圓C的左頂點.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵直線x=/M.y-l("7W0)與橢圓。交于M,N兩點，直線ZN分別與直線x=T交于尸，。兩點.

①求證：心心必為定值；

②以尸。為直徑的圓是否過定點，如果過定點，求出定點坐標，若不過定點，試說明理由.

3.(23-24高三下廣東深圳?期中)已知拋物線C:必=2"(0<0<3)的焦點為尸，點尸(1,1),戶司=三.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(-和的動直線/與C交于45兩點，C上是否存在定點M使得總+[=2(其中kMA,kMB分別為

直線〃4兒歸的斜率)？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由.

4.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末)已知雙曲線。：彳-5=1[>0,6>0)的離心率0=收，6』分別為其

兩條漸近線上的點，若滿足解=理的點P在雙曲線上，且△朝￡的面積為8,其中。為坐標原點.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過雙曲線C的右焦點用的動直線與雙曲線相交于43兩點，在x軸上是否存在定點使得市?標為

常數(shù)?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

22

5.(2024?山東濰坊?二模)已知雙曲線C：與一營=1(°>0,6>0)的實軸長為2道，右焦點與到一條漸近線

的距離為1.

(1)求C的方程；

⑵過C上一點耳(3,后)作C的切線4，4與C的兩條漸近線分別交于R,S兩點，鳥為點6關于坐標原點的

對稱點，過鳥作C的切線4，4與。的兩條漸近線分別交于M，N兩點，求四邊形RSMN的面積.

⑶過C上一點。向C的兩條漸近線作垂線，垂足分別為耳，H2,是否存在點°,滿足|0口|+|。也|=2,

若存在，求出點。坐標；若不存在，請說明理由.

22

6.(24-25高三上?北京通州?期末)已知橢圓C:J+a=l(a>6>0),以橢圓C的一個焦點和短軸端點為頂點

a

的三角形是邊長為2的等邊三角形.

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（1）求橢圓C的方程及離心率；

⑵斜率存在且不為0的直線/與橢圓C交于42兩點，與y軸交于點點A關于y軸的對稱點為H,直

線48交V軸于點N.在X軸上是否存在定點￡,使得=（O為坐標原點）？若存在，求出E

點坐標；若不存在，請說明理由.

題型06斜率的和、差、積、商為定值問題

【解題規(guī)律?提分快招】

口】關面前：

II

I在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這I

I類問題統(tǒng)稱為定值問題.這些問題重點考查學生方程思想、函數(shù)思想、轉化與化歸思想的應用.：

I【一般策略】

I①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；：

|②引進變量法：選擇適當?shù)膭狱c坐標或動直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量:

|的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值：

I【常用結論】：

［結論1過圓錐曲線上的任意一點P0°,刃）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點力,B,則直線必過一定|

|點（等軸雙曲線除外）.：

|結論2過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點B,則直線N3必過焦|

I占：

I八、、.

|結論3過圓錐曲線外一點尸作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點N,B,則直線N3已知且必過定點.|

|結論4過圓錐曲線上的任意一點尸Q。，以）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于48兩點，則MB為|

I定值.|

|結論5設點3是橢圓弓+，=1（。＞異0）上關于原點對稱的兩點，點尸是該橢圓上不同于43兩點|

I

|h2|

1的任意一點，直線口，網(wǎng)的斜率分別是"k,則好心，

'2aI

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?湖北武漢?開學考試）已知曲線C上的點到點下（-1,0）的距離比到直線x=3的距離小2,。為

坐標原點.直線/過定點

（1）直線/與曲線C僅有一個公共點，求直線/的方程；

（2）曲線C與直線/交于兩點，試分別判斷直線的斜率之和、斜率之積是否為定值？并說明理由.

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22

2.（24-25高三上?廣東深圳?期末）已知橢圓C:'+方=l（a>6>0）的左、右焦點分別為《，與，M（U）是

C上一點，且點M到點與，月的距離之和為26.

⑴求C的方程；

（2）直線/:y=；x+加與。交于A,3兩點，記直線M4,的斜率分別為自、k2.

①當機=0時，求K+M的值；

②當機變化時，試探究匕+為是否為定值.若是，求出該值；若不是，請說明理由.

3.（2025?安徽合肥一模）已知動圓6：。+2）2+出=/6>0）與動圓。2?-21+3?=［色>0）,滿足

卜-修=26,記￡與Q公共點的軌跡為曲線T,曲線7與x軸的交點記為/,8（點/在點3的左側）.

⑴求曲線7的方程；

⑵若直線/與圓/+/=3相切，且與曲線T交于《，鳥兩點（點月在了軸左側，點鳥在y軸右側）.

（i）若直線/與直線y=-^x和尸日x分別交于2兩點，證明：忸?！?住0;

（ii）記直線44，的斜率分別為左，k2,證明：&t?是定值.

4.（24-25高三上?河北?階段練習）已知雙曲線。:與-與=l（a>0,b>0）的焦點到漸近線的距離為1,右頂

ab

點到點RI』）的距離是血.動圓尸（點P為圓心）與Q交于四個不同的點4B,C,。，且直線/C,4D的斜率

分別為左他.

（1）求Q的方程.

⑵設直線43:y=h+?7.

①判斷點（2上加）是否在雙曲線工2-r=1上，并說明理由.

②若k=4,求直線48的一般式方程.

③試問麻生是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

5.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）已知雙曲線C.擠-捺=1（。>0,6>0）的離心率為血，點（3,-1）在

雙曲線C上，過。的左焦點下的直線/與C的左支相交于4,2兩點，且/分別交。的兩條漸近線于M,N

兩點.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若。是坐標原點，|上明=8#，求△MON的面積；

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(3)已知點尸(T,2),直線/尸交直線x=-2于點。，設直線勿，0?的斜率分別左，k2,求證：為定

值.

22

6.(24-25高三上?福建南平?期末)已知橢圓C：\+==1(穌6>0)的左，右焦點分別為不(-2,0),月(2,0),

ab

2

離心率為1.

(1)求c的標準方程；

(2)若C的左，右頂點分別為4，4,過點”(1,0)作斜率不為0的直線/,與C交于兩個不同的點p,Q.

(i)若造，而，求直線/的方程；

(ii)記直線4尸的斜率為左，直線4。的斜率為發(fā)2,證明：4為定值.

題型07線段、角度、面積定值問題

【典例訓練】

一、解答題

1.(2024?全國?模擬預測)已知動直線/：尸3=左(段發(fā))與拋物線。|：—=外相交于4由兩點，分別過4出

兩點作拋物線G的切線4,4相交于點P,點P的軌跡曲線記為C,1與G相交于兩點(4鄰近4).

2A2,B2

⑴求曲線G的方程；

(2)求證：對任意后e區(qū)公尸/出，^^當?shù)拿娣e均相等.

2.(24-25高三下?湖南?開學考試)已知。為坐標原點，尸為拋物線C：一=2處(p>o)的焦點，?是。上

異于。的一點.

⑴己知點T到廠的距離比到x軸的距離大1.

(i)求拋物線C的方程；

(ii)經(jīng)過點(0,6)的直線/與拋物線C相交于A,8兩點，若|/卻=24,求/的方程.

(2)過點T作拋物線C的切線，與x軸交于點證明：MF平分20FT.

3.(24-25高三上?內蒙古赤峰?期末)已知橢圓C：捺+*1(4>6>0),點臼在C上，且C的焦距為2,

左焦點為F，

(1)求C的方程;

(2)設。為原點，B為C上(除左、右端點外)一點,的中點為P,直線。尸與直線機：x=t(直線加不

12/148

過。和尸)交于點。，過點。作歹，交直線加于點E,證明：無論/為何值，均有NOQF=NOEF.

4.(24-25高三下?江西贛州?階段練習)已知橢圓=l(a>b>0)的離心率為自，短軸長為2,/是

橢圓E的右頂點.

(1)求橢圓￡的方程；

⑵設斜率為一包且過片的直線/與橢圓E交于R。兩點，求ARPQ的面積

3

⑶若過點尸(3,1)的直線機與橢圓￡交3,C兩點，直線”為x=3,設直線和直線/C分別與直線"交于

監(jiān)N兩點，求1PM.|PN|的值.

22

5.(24-25高三下?安徽阜陽?開學考試)已知雙曲線C：1T*=1(°>0,6>0)的右焦點為尸(2,0),過點尸

的直線/與雙曲線。交于/,3兩點.當小x軸時，|/3|=竿.

⑴若/點坐標為(4，乙)，8點坐標為伍，人)，證明：XI+M%=2(%f).

(2)在x軸上是否存在定點M,使得|/m「+|瓦1/『-|/甲為定值?若存在，求出定點"的坐標及這個定值；

若不存在，請說明理由.

f2

6.(24-25高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試)如圖，雙曲線C:5-谷v=l(a>06>0)的實軸長是虛軸長的2倍,

ab

焦點到漸近線的距離為1.動直線/分別交雙曲線。的兩條漸近線于N,其中點〃在第一象限，點N在

第四象限，且與雙曲線C只有一個公共點R

(1)求雙曲線。的標準方程；

(2)證明：點尸為線段AW的中點；

(3)過點P分別作兩條漸近線的平行線交漸近線于E,F,求證：四邊形。￡尸尸的面積為定值，并求出該定值.

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題型08圓錐曲線與向量結合

【典例訓練】

一、解答題

22

1.（24-25高三下?江西階段練習）已知雙曲線C:鼻-2=1（"0乃＞0）的右頂點為4立0），且它的一條

漸近線的方程為＞=?X.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若尸是雙曲線C上異于頂點的一個動點，過點A作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與直線。尸（O為坐

標原點）分別交于點MN,證明：OM-ON=\pP^.

2.（24-25高三上?北京西城?期末）已知橢圓從捺+/=1"＞0）的左右頂點分別為4,4,離心率為5，

點7（0,1）,△744的面積為2.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）過點T且斜率為左的直線交橢圓E于點C,。，線段CD的垂直平分線交了軸于點。，點。關于直線CO的

對稱點為尸.若四邊形尸CQD為正方形，求上的值.

3.（23-24高三下?安徽亳州?期末）已知。為坐標原點，A是拋物線C:f=2處（0＞0）上與點。不重合的任

意一點.

⑴設拋物線C的焦點為尸，若以尸為圓心，E4為半徑的圓尸交C的準線/于M、N兩點，且

=的面積為40,求圓廠的方程；

⑵若3是拋物線C上的另外一點，非零向量而、礪滿足|方+礪|=|況-礪證明：直線必經(jīng)過一個定

點.

fv21

4.（24-25高三下?重慶南岸?階段練習）橢圓C:二+與=1（。＞6＞0）的離心率為:，橢圓上任意一點到右焦

ab2

點的最小距離為1,斜率為左的直線/與橢圓C交于42兩點，線段48的中點為可（1,"7）（機＞0）.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵求上的范圍；

⑶設廠為。的右焦點，尸為c上一點，且而+切+麗=0.判斷|拓|、|而|、|礪|是否成等差數(shù)列，如果

是，說明理由并求該數(shù)列的公差.

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5.(2024高三?全國?專題練習)已知拋物線r：V=2/(p>0)經(jīng)過點尸(1,2),直線/與拋物線「有兩個不同

的交點42,直線P4交y軸于直線尸B交丁軸于N.

⑴若直線/過點。(0」)，求直線/的斜率上的取值范圍；

(2)若直線/過拋物線「的焦點廠，交V軸于點。，刀=4而，麗=〃而，求X+M的值；

(3)若直線/過點。(0,1),設0(0,0),的=2函，函=〃函，求的值.

X〃

22

6.(2025?新疆?模擬預測)已知雙曲線。：三一方=l(a>0,b>0),點尸(U)到C的兩條漸近線距離之比為1:3,

過點P的直線/與C交于43兩點，且當/的斜率為0時，AB=5

⑴求C的方程；

⑵若點45都在C的右支上，且/與x軸交于點。，設9=加而，而="而，求加+”的取值范圍.

題型09定直線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

二、一定直線而顧

定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產(chǎn)生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求

軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.

【一般策略】

①聯(lián)立方程消去參；

②挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標；

③將橫縱坐標分別用參數(shù)表示，再消參；

④設點，對方程變形解得定直線.

解題技巧：動點在定直線上：題設為某動點尸(%,%)在某定直線.

目標：需要消掉關于動點橫坐標或者縱坐標的所有參數(shù)，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種

情況：

(1)x0=a,即動點恒過直線x=a.

(2)y0=b,即動點恒過直線y=6.

(3)%=/(%),即動點恒過直線y=/(x).

一項麗菊

一、解答題

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1.(24-25高三下?廣東清遠?開學考試)橢圓C的中心在坐標原點、對稱軸是坐標軸，點卜口點

2^'也在橢圓。上.

(1)求橢圓。的方程；

(2)/、2是橢圓C的左、右頂點，過點(T,0)的直線/與橢圓C相交于M、N兩點(不與/、3重合)，直線

與直線3N相交于點G,求證：點G在一條定直線上.

2.(24-25高三上?上海?期中)已知雙曲線C的中心為坐標原點，片,8是C的兩個焦點，其中左焦點為

(―2-\/5,0)>離心率為6.

⑴求C的方程；

(2)雙曲線。上存在一點尸，使得/月"=120°,求三角形尸片鳥的面積；

⑶記C的左、右頂點分別為4,4,過點(-4,0)的直線與C的左支交于兩點，M在第二象限，直線乂4

與私交于點P.證明：點尸在定直線上.

3.(2024?全國?模擬預測)已知拋物線「/=2.(°>0),點尸為拋物線r的焦點，過尸作直線44分別交

拋物線「于點8,c和點4。，如圖所示.當直線4的斜率為1時，\BF\-\CF\=4y/2.

(1)求拋物線r的方程;

(2)延長34DC交于點延長/C,8。交于點N,求直線MV的方程.

22

4.(24-25高三下?廣西桂林?開學考試)已知橢圓。:三+二=1(。>6>0)的離心率為耳，耳分別是

ab2

橢圓。的左，右焦點.過點月且斜率不為0的直線/與橢圓。交于4,8兩點的周長為8.

⑴求橢圓O的標準方程；

(2)若直線I的斜率為1,求線段AB的長；

⑶若點尸在橢圓。上，且|以|=|尸倒，試問是否存在直線/,使得“5尸的重心在y軸上？若存在，請求出

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直線/的方程；若不存在，請說明理由.

5.(2024?貴州畢節(jié)?三模)在平面直角坐標系xoy中，。為坐標原點，N(-l,0),8(1,0),動點尸滿足％-kPB=3,

設點p的軌跡為曲線r.

⑴求曲線r的方程；

⑵過點C(l,l)的直線/與曲線「在y軸右側交于不同的兩點M,N,在線段上取異于點N的點。，

滿足|CMHON|=|MZ)HCN].證明：點。在定直線上.

?>-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(2024?貴州黔南?二模)已知拋物線E：y2^2px(p>0)的焦點為尸，過焦點/作直線/交拋物線E于

48兩點，。為拋物線￡上的動點，且n的最小值為1.

(1)拋物線E的方程；

(2)若直線/交拋物線E的準線于點C(-L-2),求線段的中點的坐標.

22

2.(24-25高三上?浙江杭州?階段練習)已知橢圓C：A+4=l(a>b>0)的兩個焦點分別為斗2，離心率為

ab

與，點尸為C上一點，△尸耳鳥周長為2&+2,其中O為坐標原點.

(1)寫出弦長公式.

⑵求C的方程；

(3)直線/：y=x+,"與C交于48兩點，求△0/2面積的最大值；

22

3.(2024?貴州六盤水?模擬預測)已知雙曲線C:5-與=1(“>0,6>0)的虛軸長為2,離心率為二，4,4

ab2

分別為C的左、右頂點，直線>=b-1交C的左、右兩支分別于D,E兩點.

⑴求C的方程；

⑵記4。,斜率分別為人/2，若匕+2色=0,求上的值.

22

4.(24-25高三下?江蘇南通?開學考試)在平面直角坐標系xQy中，已知雙曲線「：=-咚=l(a>0*>0)的

ab

離心率為2,左、右頂點分別為4B,且|/@=2.

(1)求「的方程；

(2)直線/與「的左、右兩支分別交于點C,D,記直線3C,8。的斜率分別為瓦，魚，且:=

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(i)求證：直線/過定點；

(ii)尸(-1,2),直線0P與3。交于點0判斷并證明直線/。與的位置關系.

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5.(2024?廣東深圳?模擬預測)已知橢圓C：3+}=1(a>6>0)的離心率為右頂點。與C的上，下頂

點所圍成的三角形面積為2道.

⑴求C的方程；

(2)不過點。的動直線/與C交于A,8兩點，直線。/與的斜率之積恒為:，證明直線/過定點，并求出

這個定點.

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6.(2024?湖北襄陽?模擬預測)設雙曲線￡:三-云=1(°>0,6>0)的左、右頂點分別為A,B,左、右焦點

分別為片，耳，閨閭=2右，且E的漸近線方程為了=±9，直線/交雙曲線E于P,。兩點.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)當直線/過點(4,0)時，求后.質的取值范圍.

22

7.(2024?山西?模擬預測)在以。為坐標原點的平面直角坐標系中，雙曲線C：=1(°>0,6>0)的虛

軸長為4,一條漸近線方程為了=2x,直線/：x=W-2交雙曲線C于，(西,乂)、見%，%)兩點(%>%>。)，

M為直線/上一點且押=前.點尸為直線/與x軸的交點.

(1)求雙曲線C的方程和焦距；

ANAP

(2)若線段上一動點N滿足=而下，求直線O