5.3.1

課時(shí)2等比數(shù)列的性質(zhì)1.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；2.理解等比中項(xiàng)的概念，能用公式求解；3.掌握判斷等比數(shù)列的常用方法；4.能通過(guò)等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式了解等比數(shù)列的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用于解決問(wèn)題.等差數(shù)列等比數(shù)列定義an-an-1=d公差與公比d可以為0通項(xiàng)公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

q不可以為0an=a1qn1an=amqnm

一、等比中項(xiàng)的概念

與等差中項(xiàng)類似，如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．此時(shí)，.對(duì)等比中項(xiàng)的理解：(1)若G是a與b的等比中項(xiàng)，則

，所以

.(2)與“任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b都有唯一的等差中項(xiàng)”不同，只有當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)，并且有兩個(gè)等比中項(xiàng)，分別是

與；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)沒(méi)有等比中項(xiàng)．

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減例1.等比數(shù)列{an}中，

，

，則

與

的等比中項(xiàng)是()A. B.4 C. D.解：由題，

，所以

，

，故

與

的等比中項(xiàng)為.歸納總結(jié)

由等比中項(xiàng)的定義可知：

.這表明：只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．異號(hào)的兩數(shù)沒(méi)有等比中項(xiàng)．反之，若，則

，即a，G，b成等比數(shù)列．

方法歸納判定等比數(shù)列的方法：(1)定義法：

或

(2)等比中項(xiàng)法：

(3)通項(xiàng)法：

證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則am=a1qm1，an=a1qn1,as=a1qs1，at=a1qt1,所以aman=(a1qm1)(a1qn1)=a12qm+n2,asat=(a1qs1)(a1qt1)=a12qs+t2,因?yàn)閙+n=s+t(m,n,s,t∈N*),所以aman=asat.探究3：等比數(shù)列{an}中,已知m+n=s+t(m,n,s,t∈N*)，證明aman=asat.

1．在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．2．等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.歸納總結(jié)1.在等比數(shù)列{an}中，a3a5

=14，則a1

a7等于（）A.5B.8

C.10

D.142.已知等比數(shù)列{an}中,a5+a7=8,則a4(a6+2a8)+a3a11的值為(

)A.128 B.64 C.16 D.8DB3.已知等比數(shù)列{an}

的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=6

，求log3a1+log3a2+…+log3a10.解:∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6+a4a7=6，∴a5a6=a4a7=3，則log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?a3?…?a10)=log3(a5a6)5

=log335=