大題04數(shù)列

》明考情-加方向》.

數(shù)列也是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，填空題考察時(shí)難度不大，一般考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量和簡(jiǎn)單的通

項(xiàng)及求和等問題，教改之后難度略有降低，2023年高考出現(xiàn)在第21題壓軸題與導(dǎo)數(shù)綜合，2024年高考則

出現(xiàn)在第18題（2）中，與函數(shù)一起考察.

?研大題-梃能力自

題型一：數(shù)列的通項(xiàng)公式

典停I

1.（24-25高三上?上海松江?期中）（1）已知等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和為%,%=2,$5=20,求數(shù)列｛冊(cè)｝的

通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列九｝的前幾項(xiàng)和為%,S九=層+幾，其中九eN,n>1,求的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）an=n+1,（2）an=2n,nGN*

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由Ss=20,即隨等=爭(zhēng)=20,解得。3=4,

2d—。3-a1=2,d=1,

???an=n+1.

(2)當(dāng)72=1時(shí)，QI=S]=2,

22

當(dāng)ri>2時(shí)，an=Sn-=n+n—(n—l)—(n—1)=2n,

所以a九=2n,nEN*.

2.(1)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%+i=即+2九(〃為正整數(shù))，且臼=2.求數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)公式.

(2)記立為數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和.已知的=4,4Sn-1=(2n+3)an(n>2).求｛/J的通項(xiàng)公式.

(3)已知數(shù)列｛廝｝中，%=；,an+i=/J.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

(4)設(shè)數(shù)列｛%J滿足％,=a,對(duì)于〃為正整數(shù)，都有廝+an+1=2n.求數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式.

1九為奇數(shù)

n(4,幾=1n+a-L

【答案】(1)an=2；(2)an=(3)an=——；(4)an=

l2n+lfn>2.九一a,九為偶數(shù)

【解析】(1)因?yàn)?+1=。九+2%

所以Q九-冊(cè)—1二2九T(九22),所以

an~al=(an—an-l)+(an-l一an-2)+…+(。3-a2)+(a2-al)

=2n-1+2n-2+…+22+2=2a-2"-1)"-2.

1-2=2

又臼=2,所以當(dāng)幾=1時(shí)也適合上式，所以a九=2九；

(2)因?yàn)榫?2時(shí)，4Sn-l=(2n+3)an,

所以4szi+i-1=[2(n+1)4-3]an+1,兩式相減得到

45n+i—1—(4Sn—1)=[2(n+1)+3]a九+i—(2n+3)a九，化簡(jiǎn)整理得

(2n+l)an+1=(2n+3)an,

所以，當(dāng)nN2時(shí)，皿=生紀(jì)，

an2n+l

又當(dāng)幾=2,4s2—1=4(%+a2)—1=7a2，

又Ql=4,解得。2=5,

所以，當(dāng)九23時(shí)，

aaa

nn-l3_2n+l2?1-1717匚Q.w

=-------????-a7=------x------x---x-x5=Zn+1.

an-ian-2Q，22?1—1271—35

又當(dāng)九=2時(shí)，a2=5,滿足％1=2幾+1,

當(dāng)九=1時(shí)，的=4,不滿足。九=2n+1.

綜上所述，an=1,心2；

(3)因?yàn)閍1=。九+1—2:,故冊(cè)W0,

所以二一=——1,整理得二---1=2(—―1Y

an+lanan+l)

111

又=一，---1=2。0,----1W0,

3a】a?i

所以要：=2為定值.故數(shù)歹!]｛5-1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

a-nan

所以《一1=2九，得的1=￡^；

4,ix

(4)因?yàn)?a九+i=2九①，

所以a九+1+an+2=2(九+1)②，

②-①得.所以數(shù)列伍九｝的奇數(shù)項(xiàng)

與偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2—a+^—l^x2=n—a,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ccn=2(n—1)—^n-i=2(?i-1)—[(n-1)—d\=幾+a—1,

n+a-l,7i為奇數(shù)

月f以外?—

,九一071為偶數(shù)

瞎彼靛4

常見求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有如下六種:

(1)觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過(guò)觀察法猜想其通項(xiàng)公式.

(2)累加法：形如4+1=。“+/(”)的解析式.

(3)累乘法：形如a”=(a,戶0乂”..2,“eN”

(4)公式法：區(qū)分是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，直接套公式;

(5)取倒數(shù)法：形如a〃=P°"T的關(guān)系式

ma,-+f

(6)構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過(guò)變換遞推關(guān)系，將非等差(比)數(shù)列構(gòu)造為等差(比)數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公

式.

1.（2021?上海奉賢?一模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足即W0恒成立.

2

（1）若%1ati+2=kan+1S.an>0,當(dāng)｛lg%J成等差數(shù)列時(shí)，求k的值；

（2）若%1a九+2=2%^/且Q九>0,當(dāng)?shù)?1、。4=16立時(shí)，求劭以及冊(cè)的通項(xiàng)公式;

（n

【答案】（1）1；（2）a2=A/2,an=（V2）0

2

【解析】（1）若冊(cè)％i+2=kan+1^an>0,

2

所以]ga九q九+2=lg/can+1,BPlgan+lgan+2=跳+21gan+1,

當(dāng)｛恒七｝成等差數(shù)列時(shí)，lg%i+恒冊(cè)+2=21gan+1,

所以lgk=0,解得：fc=l；

（2）。九。71+2=2a九+]2,

22

令n=1可得的的=2a2,即的=2a2,

22

令九=2可得a2a4=2a3,BP16V2a2=2a3

所以16位02=2X4G23因?yàn)閮?cè)>0,所以2迎=（^3，解得。2=魚，

由a“an+2=2an+i2可得產(chǎn)=2薩，

an+lan

所以是首項(xiàng)為生=魚，公比為2的等比數(shù)列，

所以皿=/乂2皿-1,

an

所以也=V^x2°,

的

國(guó)=&x21，

。2

=V2X22,

。3

=2n-2,

an-l

以上式子累乘得：

J=（何…x2。+】+2+-2）=（悶zX2上戶=（V2）n-1x（悶5fs-2）=（魚產(chǎn)*

所以廝=（a）ST）：

2

2.（2023?上海嘉定?一模）已知數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和為無(wú),Sn=n+n,其中幾EN*.

求｛%J的通項(xiàng)公式；

【答案】an=2n,nEN*

【解析】因?yàn)镾九=n2+n,

當(dāng)九=1時(shí)，有QI=SI=2,

當(dāng)九>2時(shí)，有=(n—l)2+n—1=n2—n,

所以％i=Sn-S71T=2n,

經(jīng)檢驗(yàn)，的=2滿足上式，

所以Q九=2n,nEN*；

3.(22-23高二下?上海寶山?階段練習(xí))高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”

的稱號(hào)，以他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/(%)=[%],其中因表示不超過(guò)x的最大整數(shù).已知數(shù)列｛&J

滿足的=2,a2=6,an+2+5an=6an+1,若勾=[log5%i+i]，S九為數(shù)列｛J：°°?｝的前幾項(xiàng)和.

證明：數(shù)列｛。九+1-。打｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式.

71

【答案】證明見解析，an=5T+l(nGN*)；

【解析】證明：an+2+5an=6an+1,

a=—

&i+2—n+i5。n+15azi=5(。九+1—

又??,a2-ar=4,

???[an+1-Q九｝是以4為首項(xiàng)，公比為5的等比數(shù)列，

71-1n-1

an+1—an=(a2—%)x5=4-5(nEN*),

n2

an—an_1=4?S~

a2-=4x1,

71n2lx(15n)n

an+1一的=4?5T+4-5-+…+4xl=4x~=5-l,

1—5

nn-1

an+1=5+1,n>2,an=5+1,而%=2滿足上式,

所以a”=5"T+l(nGN*).

4.(22-23高三上?上海黃浦?階段練習(xí))已知數(shù)列｛即｝,｛%｝,｛4｝滿足的=瓦=q=1,cn=an+1-an

“+L臺(tái)-N*).

若｛源｝為等比數(shù)列，公比q>0，且瓦+無(wú)=63,求q的值及數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式;

_4n一1+2

【答案】Q=pa

n3

2

【解析】由題意可得，b2=q,b3=q9因?yàn)橥?82=683，所以l+q=6q2,

整理得6q2一q一1=0,解得q=一](舍),或q=[

所以4+i=-cn-3^7,%=,?%=焉?cn-4cn

n+ibqG)

所以數(shù)列｛”｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以4=1-4nt=4"T,neN*

所以電2_+i—a九—c九—4九i

則的=1,

@2=1,

1

a3-a2=4,

n_2

an—an_r=4(n>2),

各式相加，可得斯=1+1+41+42+?--+4n-2=+1=仁子,

111-43

當(dāng)n=1時(shí)，=1也符合該式，故an=4—+2.

題型二：數(shù)列的前n項(xiàng)和

1.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))記％為數(shù)列｛a“｝的前71項(xiàng)和，已知的=1,｛段｝是公差為之的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)好=求￡以九的值.

【答案】(1)。n=n

4

⑵g

【解析】(1)由題意/=1+-(71-1)=所以2szi=(71+l)Qn,當(dāng)？122時(shí)，2szi_i=71a九_(tái)],

兩式作差得2azi=(n+l)an-nan_lt(n-l)an=nan_r,

所以卑=奈3，則數(shù)歹U｛智為常數(shù)數(shù)列，且半=中=1，所以a“=n；

⑵由于筌=()-"=打】.

4

所以，數(shù)列｛4｝為首項(xiàng)為京公比為［＜1的等比數(shù)列，￡著為=±=泉

2.(24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí))記數(shù)列｛5｝的前幾項(xiàng)和為治,已知的=1,數(shù)列｛即+1-2S/是首項(xiàng)

為2,公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)e=幾％1，求數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和心.

【答案】⑴M=：.3"

(2n-l)-3n+1+3n(l+n)

(2)-----8.........-

【解析】(1)由數(shù)列｛『+1-25/是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

則Q九+1—2sli=2+(JI-1)X1=72+1,①

當(dāng)九=1時(shí)，a2-2ar=2,則g=4；

當(dāng)九之2時(shí)，an-2Sn_x=n,②

aa

則①一②得，n+l~n~2azi=1,

則即+i=3an+1,則。九+1+(=31rl+0,

又。2+~=3+1)'

所以數(shù)列｛。九+卦是首項(xiàng)為的+1=|,公比為3的等比數(shù)列，

所以冊(cè)+1=|-3n-1=|-3n,則a九=|-3n—

n

⑵bn=nan=^-3-p

則"=93】"+”2-1+/3->…+會(huì)3-5

1o12.3721+2+3+…+幾

2-3+--33+?-?+-?3n-

+產(chǎn)2

=”】+|.32+|.33+…+(3二產(chǎn),

設(shè)%=331+|-32+|.33+…

則3%=”2+|.33+|.34+…+(3…,

所以-2%=|.3】+”2+|.33+...+

_13(l-3n)n3九+1_(l-2n)-3n+1-3

―21-32-4

(2n-l)-3n+1+3n(l+n)

所以77=儂—-,則7n

rl841

2

3.(2023?上海嘉定?一模)已知數(shù)列｛@九｝的前〃項(xiàng)和為無(wú),Sn=n+n,其中nCN*.

⑴求｛a九｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)歹山工￡二｝的前n項(xiàng)和%.

【答案】(1)。九=2n,n6N*

⑵%=心

【解析】(1)因?yàn)椋?"+九,

當(dāng)九=1時(shí)，有GI=SI=2,

當(dāng)九>2時(shí)，有5幾_1=(n—I)2+n—1=n2—n,

所以a九—S九—^n-i=2九,

經(jīng)檢驗(yàn)，的=2滿足上式,

所以a九=2n,nEN*；

(2)因?yàn)?=2n,nGN*；

所以=---=---^―=Y

anan+12n(2n+2)4n(n+l)4\nn+17

因此4=3(1二+一工〕="1_工)=n

223nn+lJ4Vn+lj4(n+l)

4.已知遞增的等差數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)之和為27,前三項(xiàng)之積為585,

(1)求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn；

(2).=^^，數(shù)列他?｝的前幾項(xiàng)和記為說(shuō)，若"鹿€2,7；＜4恒成立，求；I的最小值.

anan+l

2

【答案】(l)Sn=2n+3n

⑵5

【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)分別為由,%+匕的+2*

固[。1++d)+(%+2d)=27

、I.(%+d)?(a1+2d)=585'

解得｛.二:或｛左二);，又?jǐn)?shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，所以｛1二:

2

???an=4n+1,???Sn="+4；+i"=(2n+3)n=2n+3n.

(2)由(1)得，ctn=4?i+19

11

則“

anan+l(4n+l)(4n+5)

1ll-±...^___="工_上)

49+913++4n+l4n+5/4\54n+57

因?yàn)?k是單調(diào)遞增，又4＞加，所以/I有最小值看

5.(24-25高三上?上海?期中)已知等差數(shù)列｛an｝滿足：ar=3,公差d豐0,且的、a4,的3恰為等比數(shù)列｛'｝

的前三項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛an｝與｛,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛c九｝滿足：cn=an+bn,求數(shù)列｛4｝前幾項(xiàng)和〃.

n

【答案】(1)@九=2n4-1,bn=3

【解析】(1)由題意可知，?4=aiai39即(%+3d)?=+12d),即(3+3d)?=3(3+12d),

整理可得小—2d=0,因?yàn)閐W0,

所以，d=2,

因此，CLn=%+(72—l)d=3+2(72-1)=271+1.

0T以，b]=—3,力2=。4=9,

則等比數(shù)列5｝的公比為q嘴=3,

故生=西-1=3x371-1=3n.

71

(2)由(1)可得％=dn+bn=(2.71+1)+3,

所以，〃=(3+3])+(5+32)+(7+33)+…+[(2n+1)+3n]

=[3+5+7+…+(2幾+1)]+(3+32+33+…+3n)

(3+2n+l)n+3(l-3n)3n+1-3

=n2+2n+

21-32

瞎

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

（1）直接利用等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求和.

(2)①12+22+32+..-5+誓"+1),②F+23+33+…

2?分組求和法

（1）利用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

，%=",土%且也｝,匕）為等差或等比麗?

求也｝

的前"

項(xiàng)和b，〃為奇數(shù)，

其中也｝，｛叩為等差或等比數(shù)列.

C〃為偶數(shù)，

n

（2）思路:將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列,從而求得原數(shù)列的前〃項(xiàng)和.如斯=為+金+...+自，貝IJ￡ak

k=l

nnn

Xbk+￡Ck+...+￡hk.

k=lk=lk=l

注意對(duì)含有參數(shù)的數(shù)列求和時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

3.錯(cuò)位相減法

（1）適用的數(shù)列類型：｛勾及｝,其中數(shù)列｛詼｝是公差為1的等差數(shù)列，｛兒｝是公比為q（q￥l）的等比數(shù)列.

（2）求解思路：

5”=。1仇+。2匕2+…①，

qS〃=a仍2+0263+…+。"-也,+。疝”+1②，

①一②得（1一q）Sn—aibi+d（岳+必+…+6"）-anbn+i,進(jìn)而利用公式法求和.

4.裂項(xiàng)相消法

（1）利用裂項(xiàng)相消法求和的基本步驟

裂項(xiàng)“觀察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式

累加-*將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加

消項(xiàng)一將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和

（2）常見數(shù)列的裂項(xiàng)方法

數(shù)列（”為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法

”為非零常數(shù)）—--=-(i-—)

n(n+k)knn+k

、

一｝—;1-=一1(/-1------1--)

4n2—122n~l2n+l

------——-(/n+fc—Vn)

Vn+Jn+k

Vn+Jn+k卜>

2nn_11

(乙)2

1(2n-l)(2n+1-l)J(2n-l)(2n+1-l)2n-l2n+1-l

5.倒序相加法

已知數(shù)列的特征是“與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和等于同一常數(shù)”，可用倒序相加法求和.解題時(shí)先把數(shù)列的

前〃項(xiàng)和表示出來(lái)，再把數(shù)列求和的式子倒過(guò)來(lái)寫，然后將兩個(gè)式子相加，即可求出該數(shù)列的前w項(xiàng)和的2

倍，最后求出該數(shù)列的前"項(xiàng)和.

1.(22-23高三上?上海靜安?期中)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前兀項(xiàng)和為目,首項(xiàng)為的,且|、an、

成等差數(shù)列.

(1)證明：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；

(2)若“=-21og2an，設(shè)％=組，求數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和

an

【答案】⑴an=2九一2

⑵品=

【解析】(1)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前幾項(xiàng)和為％,首項(xiàng)為由,且發(fā)九成等差數(shù)列.

貝!J：[+S九=2。九①，

當(dāng)九=1時(shí)，]+SI=2QI，解得：ar-

當(dāng)nN2時(shí)，1+5九_(tái)1=2的1T②，

①一②得：cc—2a—2a_整理得：衛(wèi)-=2,

nnnlfan-i

所以：數(shù)列｛an｝是以的=|為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以：%=32或1=2"-2.

(2)由于：即=2"-2,所以bn=-21og2a”=4一2n,則%=￡=黑="券，

所以7=9+曰+???+苫言①，

!…+6?+*，

①-②得:加=4—8假+*+…+表)一第=4—8.^^—分=蕓

2

解得.?〃=黑

2.(22-23高三下?上海?階段練習(xí))已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,｛%J的前兀項(xiàng)和記為立,若對(duì)一切

an

neN*均滿足(n+1)S2n-(4n+2)Sn=0.數(shù)列配=anp(p>0).

⑴求｛即｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列。n｝的前n項(xiàng)和加

【答案】⑴廝=n

n2+ny

—'P=1

⑵6=p(l-pn)npn+1

,p*1

(1-p)2-P

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由等=%￥得：5=3,所以。2=2,即d=a2—a1=l,

SfiTITI

an+nd+a^-

p4n+2^2n2x27i2(a九+?id+ai)2(a?i+九+1)

乂n+1一工一^Ixn-—a+a-

nrc1n+1

所以Q九=n.

an

(2)^bn=anp,得匕=zip".

所以，〃=P+2P2+3P34------1-(n-l)p九t+npn,

當(dāng)p=1時(shí)，7；=1+2+-+n=萼；

nn+1

當(dāng)pW1時(shí)，pTn=p2+2P3+3P4+—F(ri—l)p4-npf

1

(1—p)T=p+p2+p3_|,—ppn-1-j-pn—npn+1=P，—P)—npn+1,

ni-p

所以7n=萼車—二，

(l-p)z1-p

(n2+n/

——,p=1

即%=npn+1-

3.(23-24高三下?上海?期中)已知數(shù)列｛即｝滿足：的=1且廝+1=2與+3，bn=an+3.

(1)證明：數(shù)列｛篇｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式；

(2)若3n+￡乜1。2?-1=84,求n的值.

【答案】(1)證明見解析，廝=2.+1-3；

(2)3

【解析】(1)因?yàn)閮?cè)+i=2冊(cè)+3,b九=。九+3,

所以勾+1=an+1+3=(2an+3)+3=2(an+3)=2bn,

又瓦=%+3=4工0,所以匕W0,所以餐出=2,

所以數(shù)列｛g｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，

所以%=4X2吩1=2n+1,即廝+3=2"+1,所以廝=2n+1-3；

(2)￡k1=%+。3+…+a2n-i—(22—3)+(24—3)+—F(22,1—3)

=(22+24+26+…+22n)-(3+3+???+3)

=一二；)_xn=-(4n-l)-3n,

1-2233'7

又3荏+E21^2i-i=84,故3幾+-(471—1)—3n=84,

BP|(4n-1)=84,所以4幾=64,

解得九=3.

4.(23-24高三上?上海閔行?期中)等差數(shù)列｛際｝的前幾項(xiàng)和為男,已知Ss=85,且怒=7%.

(1)求的

(2)設(shè)匕若上>￡憶1打恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

anan+l

2

【答案】(1)。九=6n—1,Sn=3n+2n

(2)L+8)

a1+5d—7al

_5x(5-l),_-,

(5Cl］十~CL~~OD

解得｛)二，，所以=6n—1,Sn=(s+6；加=3九2.|_2n.

(2)由(1)可得力九=--—=--------=-f-----—―>

Cl-n^n+1(6n—1)(6?14-5)6\671—16714-57

所以1X1仇=|C—2)+1(.—+…+|(+一七)

5/11.1111\5/11\1

=&《一五+五一不+…+藐二-藐彳)=%仁一藐<]

因?yàn)閗>￡21仇恒成立，

所以kN即實(shí)數(shù)k的取值范圍為良+8).

2

5.(22-23高三上?上海嘉定?階段練習(xí))數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和％=n-n+c,

(1)若｛5｝為等差數(shù)列，求公差、首項(xiàng)、c的值；

(2)在(1)的條件下，求數(shù)列｛亡｝的前n項(xiàng)和4.

【答案】(1)公差為2,首先為0,c=0

'(2)7Hn=n—+1

2

【解析】(1)由題意，Sn=n—n+c,當(dāng)九=1時(shí)，a1=S1=l—l+c=c,

當(dāng)n>2時(shí)，S九_(tái)i=(n-I)2-(n-1)4-c,

2

則斯=Sn—Sn_^=71—72+C—[(Tl—I)?—(?1—1)+c]=2n—2,TLN2,

由a九+1—ctn=2(n+1)—2—(2n—2)=2,則g—=2—c=2、解得c=0,

故等差數(shù)列｛&J,公差為2,首項(xiàng)為0,c=0.

22

(2)由(1)可知，Sn=n—n,Sn+1=(n+l)—(n+1)=n(n+1),

1_1_1i

Sn+in(n+l)nn+1'

i.ii,,i1in

一—?-----------十,?,-----------------x------

Hn=l223nn+1n+1n+1

題型三：數(shù)列中的存在性、最值問題

1.(24-25高三上?上海?期中)在等差數(shù)列｛a九｝中，的=2,且g，%+2,%構(gòu)成等比數(shù)列?

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)令勾=2為+9,記%為數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和，若無(wú)之2024,求正整數(shù)九的最小值.

【答案】(1)。九=2n

Q)6

【解析】(1)在等差數(shù)列｛%｝中，的=2,設(shè)公差為d,

由的，的+2,他構(gòu)成等比數(shù)列，可得a2a8=(%+2)2,

即有(2+d)(2+7d)=(4+2d￥，解得d=±2

因?yàn)楫?dāng)d=—2時(shí)，a2=0,不滿足題意，舍去，

所以d=2,an=2+2(n—1)=2n.

(2)由(1)得加=2%+9=4九+9,貝IJ?。?,S九遞增，

n

Sn=(4+164--I-4)+9n=曲；］：)+9幾=4§+9n,

7

由S5=(x(46—4)+45=1409<2024,S6=|x(4-4)+54=5514>2024,

可得%22024時(shí)，正整數(shù)九的最小值為6.

2.(2022?上海?模擬預(yù)測(cè))已知無(wú)窮數(shù)列滿足的=a,a=2a-

n+1nan

(1)若a=2；

n-l

?+1；

(ii)數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為先且bn=5一元宗，求證：1一(I)"<Sn<1；

(2)若對(duì)任意的neN*,都有加>0,寫出a的取值范圍并說(shuō)明理由.

【答案】(1)(i)證明見解析，(ii)證明見解析；(2)a21.

【解析】(1)(i)由。九+1=2a九—^可得的i+i—%=―—,

anan

(J)TL=1H\|*，?CZ]=CL2,??>01??>Q]，

ai

②假設(shè)九=々時(shí)，ak+1>ak>…>a2>ar,則%>2,

/.n=fc+1時(shí)，a—a=a—>0,a>Qk+i，

k+2k+1k+1a/c+ik+2

由①②可知對(duì)一切正整數(shù)n都有廝+i>an,

?-J_2a^i—cifi-1_(2u^+l)(a陞-1)

??CLn-k1-J--=，

anan

...皿二=也色=2+2￡(2月，

n

3i-1),2tVan_1)(的―1)(I),

n-l

?+11

但當(dāng)?！=1時(shí)，21T+1=2=。1，

?1—1

?+1.

/\??_1_(2ci+1)(ct—1)

(ii)?a九+i1—nn,

an

.?.1=而=1(1+1\

an+i-1(2an+l)(an-1)3\an-12an+l/

?31,1

??--------=--------1--------,

由1+1—112a九+1

:.b=21=11,

naaa

n+l-^-2an+ln~^n+l-^

ai-1an+l-1an+l-1

由⑴知2n+1<6”</+1,可得(|)飛號(hào)!<()，即1-(丁<1--1Wl—(|)”<1,

(2):對(duì)任意的neN*,都有an>0,

且a九+1—c1=a——9*9*顯然a>0,由(1)證明知，

nnan

①a]—■ci>19則。九+1>0，,,。九+1>,。九>0；

②若的=a=1,則｛an｝為常數(shù)列，?,.9>0;

③若的=a<1,則&i+i—an<0,an<a<1,

又上皿=2+二，

1—a九an

若為。>0,則2+工>2,則守出>2,

anQ1-Gn

n-n

1-an>(1-ano)-2°,

???當(dāng)冊(cè)<1-(1-anJ-2九一"。<0時(shí)，有2九f。>-！―,

1a

~n0

J當(dāng)幾>g+1og2T^一時(shí)，V°，不符合題意.

綜上可知，a21.

3.(22-23高三上?上海黃浦?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和為%=3n2+5n,數(shù)列｛與｝滿足瓦=8,

bn=64%+「

(1)證明｛%｝是等差數(shù)列；

(2)是否存在常數(shù)a、b,使得對(duì)一切正整數(shù)n都有即=\ogabn+6成立.若存在，求出a、b的值；若不存在，

說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見解析；

⑵存在a=b=11.

【解析】(1)解：證明：因?yàn)閿?shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為%=34+5小

所以當(dāng)n=l時(shí)，a1=S1=3+5=8,

當(dāng)n>2時(shí)，Sn_i=3(n-I)2+5(n-1),

22

所以tin—Sn-Sn_1=3n+5n—3(n—l)—5(n—1)—6n+2,滿足a1=8,

所以數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為即=6n+2,neN*.

所以cin+i-=6(71+1)+2—6Tl—2=6,nGN*,

所以｛斯｝是等差數(shù)列；

(2)解：因?yàn)間=64^+1，

所以牛生=白

所以數(shù)列｛g｝是以8為首項(xiàng)，意為公比的等比數(shù)列，

所以4=8,(2產(chǎn)1=29-6%

9_6n

所以logaM=loga2=(9-6n)loga2,

要使對(duì)一切正整數(shù)n都有a九=logabn+b成立.

即6幾+2=(9—6n)loga2+b,

即6九+2=-6nloga2+91oga2+b,

所以｛J=9常先"解得

(2=91oga2+bU=11

故存在常數(shù)a,b,當(dāng)。=|,6=11時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n都有a“=logabn+b成立.

4.(2018?上海靜安?二模)已知數(shù)列｛即｝中，%_=a(aeR,aK-》an=2an_1+；+“缶)―(n>2,nGN*).

又?jǐn)?shù)列｛4｝滿足：bn=an+-(n6N*).

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若數(shù)列出“｝的各項(xiàng)皆為正數(shù)4=/。934設(shè)卻是數(shù)列｛%｝的前w和，問：是否存在整數(shù)a,使得數(shù)歹！J｛Tn｝

2

是單調(diào)遞減數(shù)列？若存在，求出整數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見解析;⑵(-卷+8)；(3)存在，此時(shí)aeN*

【解析】⑴:an=2az+；+而晶，

1111

ccH------=2cz_iH----1—------H------,

nn+lnnLnn(n+l)n+1

11ii

=2ct_^H-----1-------------1------,

n1nnn+ln+l

21

=2an-l=2(an-l+7)，

即獸=2,

bn-l

11

又瓦=ar+-=a+

由aW—a可知名H0，

所以｛,｝是以瓦=a+3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列；

(2)由⑴知生=(a+｝,2九t,

所以％i=(。+3,2rlt-W，

若｛%J是單調(diào)遞增數(shù)列，

則對(duì)于71EN*,an+1-an>。恒成立，

又即+1-即=(a+》?2"一圭—(a+3?2"-1+去

二(a+工)?271-14—....-,

[2yn+ln+2

11

=(a+—)?2n-1+--------------

l2)(幾+1)(n+2)

所以(a+J)?2"T+,“>0對(duì)于律eN*恒成立,

'2"(?1+1)(?1+2)

即a+A1,對(duì)于九6N*恒成立,

2n-1(71+1)(71+2)

由于—2f：)(“+2)單調(diào)遞增出一2n-1(n+l)(n+2)<0,

1

媽[一布即時(shí)=°-

所以a+|>0,又aH則a〉-

所以a的取值范圍為4-00)；

(3)因?yàn)閿?shù)列｛加｝的各項(xiàng)皆為正數(shù)，

所以a+|>。，則a>—

cn=log為=logi[(a+52九-1]=f+1—log2(a+

若數(shù)列｛七｝是單調(diào)遞減數(shù)列，則T“+l<即4+1<0

所以cn+i=-n-log2(a+|)<0,即log2(a+|)>-n

-1

又riGN*,所以log2(a+-)>—1,

即a+3>［，即a>0(a豐

故存在正整數(shù)a6N*,使得數(shù)列｛*｝是單調(diào)遞減數(shù)列.

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和S,的最值的方法

(1)通項(xiàng)法：①若ai>0,d<0,則S,必有最大值，”可用不等式組網(wǎng)2°,來(lái)確定；

&+1工0

②若見<0,d>0,則S,必有最小值，〃可用不等式組卜nW°，來(lái)確定.

(2)二次函數(shù)法：由于S產(chǎn)京2+(m—?小故可用二次函數(shù)求最值的方法求S，的最值，結(jié)合"CN*及二

次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定n的值.

(3)不等式組法：一般情況下，S.最大時(shí)，有［Sn^Snr，(佗2,”GN*),解得”的范圍，進(jìn)而確定力

1stiNs^+i

的值和對(duì)應(yīng)的a的值(即a的最值).

1.(23-24高三上.上海虹口?期中)已知公差d不為0的等差數(shù)列的前"項(xiàng)和為%，a=6,0=；.

3Sq3

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)令%=2an+12,正及為數(shù)列｛九｝前〃項(xiàng)和,若%>2024,求正整數(shù)n的最小值.

【答案】⑴即=2n；

(2)6.

5(。1+。5)

【解析】⑴由題設(shè)1=蕭焉=|g*="2的+5。5=3。9，

OQ—"y(UiTUg)D

2

所以7al+20d=3al+24d=>ar=d,而Q3=a1+2d=6=>a1=d=2,

所以an=2n.

(2)由題設(shè)%=4n+12,則〃=(4+42+“，+4n)+127i="m^+i2n=F+127i—/

所以〃=1522024,顯然6=?+12n-(在nGN*上遞增，

n=5時(shí)，1424<2024,

T5=-33+12X5--=

n=6時(shí)，T6=y+12x6-1=5532>2024,

所以加之2024成立，正整數(shù)n的最小值為6.

2.(23-24高三上?上海楊浦?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛&J滿足的+a2+a3+…+an=n-廝,〃是正整數(shù)

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)加=(2-m①兀-1)，如果對(duì)于任意正整數(shù)九，都有求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

4

n

【答案】(1)。?=1一0

⑵(一8,一Ut，+8)

【解析】(1)ar+a2+a3+???+an=n—an

a

九之2時(shí)，的+g+。3"?---^~n-i=(n—1)—an_r.

兩式相減得%l=1—an+。九_(tái)1，an—1=|(_ccn-r-1),

又%=1—=點(diǎn)從而—1=—3，所以｛。九—1｝等比數(shù)列，公比為5

所以&i-