第8章立體幾何初步8.4.1

平面學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面的概念，理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系并會(huì)用規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá).2.了解3個(gè)基本事實(shí)和3個(gè)推論.3.理解平面的特點(diǎn)和基本性質(zhì).(難點(diǎn))4.共線、共面、共點(diǎn)問題的證明與判斷.(重點(diǎn))

教室里的桌面、黑板面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？新知探究平面的概念與畫法1【直觀理解】課桌面、黑板面、教室平面、平靜的水面都給我們以平面

的直觀感覺，但它們都不是平面，而是平面的一部分.【抽象理解】平面是平的，是無(wú)限延展的，沒有厚薄，大小之分平面的概念平面與平面圖形的區(qū)別和聯(lián)系平面是不可度量的；是無(wú)限延展，無(wú)厚薄，無(wú)大小的理想的面我們?nèi)粘＝佑|到的是平面圖形，如三角形，正方形，圓等，它們有大小之分，它們都不是平面，而是平面的一部分我們可以用平面圖形來(lái)表示平面平面的概念與畫法1平面的畫法如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋，那么被遮擋部分一般用虛線畫出或者不畫.在立體幾何中，平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常將平行四邊形的銳角化成45°，且使橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，通常將平行四邊形的一組對(duì)邊畫成鉛垂線.

平面的概念與畫法1平面的畫法相交平面示意圖立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見的畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線.即眼見為實(shí)，眼不見為虛.1.平面的畫法及表示畫法平面水平放置平面豎直放置

表示①平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)：平面________；②相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)：平面____或平面____；③希臘字母：平面

，平面___，平面γABCDACBDαβ知識(shí)概念2.點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置的符號(hào)表示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言點(diǎn)A在直線l上_______點(diǎn)A在直線l外_______點(diǎn)A在平面α內(nèi)_______點(diǎn)A在平面α外_______直線l在平面α內(nèi)_______直線l不在平面α內(nèi)_______平面α，β相交于直線l_______A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αα∩β=l生活中經(jīng)?？吹接萌羌苤握障鄼C(jī)、自行車等．思考：幾個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？新知探究平面的基本性質(zhì)3圖形語(yǔ)言——

(1)基本事實(shí)①的條件為“過不在一條直線上的三點(diǎn)”，如果改為“過三個(gè)點(diǎn)”，則可能存在無(wú)數(shù)個(gè)平面基本事實(shí)①過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

應(yīng)用——確定平面；判定兩平面是否重合；證明點(diǎn)線共面對(duì)基本事實(shí)①的理解(2)基本事實(shí)①的結(jié)論為“有且只有一個(gè)平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性思考：如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？AlABl直線l在平面外．直線l在平面內(nèi)．平面經(jīng)過直線l．新知探究平面的基本性質(zhì)3圖形語(yǔ)言——

(1)直線是平面的真子集基本事實(shí)②如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)對(duì)基本事實(shí)②的理解(2)整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)思考：如圖，把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？B新知探究平面的基本性質(zhì)3圖形語(yǔ)言——

基本事實(shí)③如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；

判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).

①若兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則過這兩

點(diǎn)的直線就是相交平面的交線；對(duì)基本事實(shí)③的理解：②若兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這三點(diǎn)

共線；③若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與

另一平面的交點(diǎn)比在兩平面的交線上；④若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則這

兩個(gè)平面相交.基本事實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，_________一個(gè)平面

A，B，C三點(diǎn)不共線?存在_______平面α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在___________

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_____基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的___________

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l有且只有兩個(gè)點(diǎn)唯一的這個(gè)平面內(nèi)l?α公共直線3.4.推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得下面三個(gè)推論作用：確定一個(gè)平面用兩根繩子可說(shuō)明桌子的四條腿的底端在一個(gè)平面內(nèi)。

(1)(多選)下列說(shuō)法正確的是A.平面是處處平的面B.平面是無(wú)限延展的C.平面的形狀是平行四邊形D.一個(gè)平面的厚度可以是0.001

cm例

1√√平面是無(wú)限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，A，B兩種說(shuō)法是正確的；C，D兩種說(shuō)法是錯(cuò)誤的.典例分析平面的概念及其基本性質(zhì)(2)把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上.①A?α，a?α：

；

②α∩β=a，P?α且P?β：

；

③a?α，a∩α=A：

；

④α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O：

.

CDAB

用符號(hào)和圖形表示下列語(yǔ)句：(1)若A，B兩點(diǎn)既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，則直線AB是平面α與平面β的交線；跟蹤訓(xùn)練

1符號(hào)表示為：A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，則α∩β=AB.圖形表示如圖①.(2)兩條相交直線a和b都在平面α內(nèi)；符號(hào)表示為：a∩b=P，a?α，b?α.圖形表示如圖②.(3)直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面α外，a與b相交于一點(diǎn)M.符號(hào)表示為：a?α，b?α，a∩b=M.圖形表示如圖③.課后作業(yè)教材128練習(xí)14基本事實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，_________一個(gè)平面

A，B，C三點(diǎn)不共線?存在_______平面α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在___________

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_____基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的___________

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l有且只有兩個(gè)點(diǎn)唯一的這個(gè)平面內(nèi)l?α公共直線推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得下面三個(gè)推論作用：確定一個(gè)平面

已知直線b∥c，且直線a與b，c都相交，求證：直線a，b，c共面.例

2∵b∥c，∴不妨設(shè)b，c共面于平面α，設(shè)a∩b=A，a∩c=B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b?α，∴A∈α，同理B∈α，∴a?α，∴直線a，b，c共面.典例分析點(diǎn)線共面問題

反思感悟1.確定平面：借助基本事實(shí)1及推理2.兩點(diǎn)在面內(nèi)（基本事實(shí)2）3.線在面內(nèi)（三線共面）證明多線共面的兩種方法

如圖所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).跟蹤訓(xùn)練

2方法一(納入法)∵l1∩l2=A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B，∴B∈l2.又l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).

如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，它的三邊AB，BC，AC延長(zhǎng)后分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R.求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線上.例

3典例分析方法一由AB的延長(zhǎng)線交平面α于點(diǎn)P，根據(jù)基本事實(shí)3，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l.∵P∈直線AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α=P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn).∵平面ABC∩α=l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線上.證明三點(diǎn)共線的方法知識(shí)梳理點(diǎn)共線問題1.確定平面（借助基本事實(shí)1及推理）2.找平面交線3.點(diǎn)在線上（三點(diǎn)共線）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D，A，Q三點(diǎn)共線.跟蹤訓(xùn)練

3∵M(jìn)N∩EF=Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，∴Q∈直線AD，即D，A，Q三點(diǎn)共線.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn).例

4

∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線AA1上，即R∈AA1，∴直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn).證明三線共點(diǎn)的步驟知識(shí)梳理

在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求證：EF，GH，BD相交于一點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練

4

O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，∴O∈BD.即EF，GH，BD相交于一點(diǎn).如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說(shuō)明理由.例

5典例分析平面的交線問題如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，A1B，CF.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形.∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面.∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F(xiàn)∈平面ABB1A1，F(xiàn)∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.∴過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF.

反思感悟由基本事實(shí)3知，找兩個(gè)平面的交線的突破口是找到這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).找兩個(gè)平面交線的突破口如圖所示，G是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn).試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線.跟蹤訓(xùn)練

5(1)過點(diǎn)G及AC；畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N，連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示.(2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.畫法：連接EF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交