秘籍01力與物體的平衡

ccc

【解密高考】

【題型一】動(dòng)態(tài)平衡問題（押題型）

【題型二】受力分析與靜態(tài)平衡問題

【題型三】平衡中的臨界和極值問題

【誤區(qū)點(diǎn)撥】

共點(diǎn)力平衡中的臨界極值問題

解變高考

考情分析:平衡問題是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，新高考注重情景化試題，平衡問題經(jīng)常與實(shí)際生產(chǎn)、生活（包

括電磁學(xué)）中的情景相結(jié)合，通常需要考生從實(shí)際情景中提取相關(guān)信息且進(jìn)行模型建構(gòu)，選取正常的研究

對(duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡列方程求解；或找出其臨界條件，通過平衡條件求解情景問題中的極值。

通常需要與數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)相結(jié)合。

備考策略:根據(jù)新高考物理命題的趨勢(shì)，平衡問題往往需要考生對(duì)實(shí)際生產(chǎn)、生活、中國傳統(tǒng)文化、

現(xiàn)代科技的工具構(gòu)造和其工作原理有所了解，最起碼需要考生對(duì)上述工具構(gòu)造有一定的了解，考生在考場(chǎng)

上見到此類問題才不至于太陌生，教師在沖刺階段應(yīng)重視起來且適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生。

題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】動(dòng)態(tài)平衡問題

【例1】（多選）如圖甲所示，我國古建屋頂多采用蝴蝶瓦方式鋪設(shè)。圖乙是兩片底瓦和一片蓋瓦的鋪設(shè)示

意圖，三根相同且平行的椽子所在平面與水平面夾角為37。。圖丙為截面示意圖，弧形底瓦放置在兩根相鄰

的椽子正中間，蓋瓦的底邊恰與底瓦的凹槽中線接觸。已知相鄰兩椽子與底瓦接觸點(diǎn)間的距離和瓦的半徑

都為20cm,蓋瓦和底瓦形狀相同，厚度不計(jì)，質(zhì)量均為1kg、最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度

大小g?。簂Om/s?,在無擾動(dòng)的情況下，底瓦與蓋瓦均保持靜止。若僅鋪設(shè)這三片瓦進(jìn)行研究，則（）

蓋瓦底瓦

椽子

乙丙

A.底瓦與椽子間的動(dòng)摩擦因數(shù)石

O

B.底瓦與椽子間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃2［班

C.適當(dāng)增大兩椽子間的距離，底瓦更不容易下滑

D.適當(dāng)減小兩椽子間的距離，底瓦更不容易下滑

【答案】AC

【詳解】AB.以兩片底瓦和蓋瓦整體為研究對(duì)象，易得這個(gè)整體的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力

為3w?gcos37。，垂直椽子所在平面方向上整體處于平衡狀態(tài)，可知3%gcos37o=4&cosa

相鄰兩椽子與底瓦接觸點(diǎn)間的距離和瓦的半徑都為20cm,根據(jù)幾何關(guān)系tz=30°

可得椽子與底瓦接觸部位之間的彈力氏=3羋*

在無外界干擾的情況下，為使底瓦與蓋瓦不下滑，應(yīng)使4〃&23mgsin37。

解得〃〈百

O

故A正確B錯(cuò)誤；

C.適當(dāng)增大兩椽子間的距離，a增大，彈力心增大，最大靜摩擦力增大，底瓦更不容易下滑，故C正確;

D.適當(dāng)減小兩椽子間的距離，a減小，彈力練減小，最大靜摩擦力減小，底瓦容易下滑，故D錯(cuò)誤。

故選AC=

IN

求解集合的基本運(yùn)算問題需掌握''3種技巧”（1）先確定好研究對(duì)象并對(duì)其正確受力分析；

（2）分析其受力特點(diǎn)：若為“一恒一定向”即一個(gè)力為恒力，一個(gè)力方向確定一一“圖解法”（技巧：不

轉(zhuǎn)的力隨兩變力夾角的增大而增大，減小而減小、當(dāng)兩變力垂直時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的力最?。蝗魹椤皟勺兞愣?/p>

夾角“一一輔助圓法（技巧：“你平我大”一兩變力中其中一個(gè)力水平，另一個(gè)達(dá)最大）；若為“兩變力一

般變化一一正交分解法或矢量合成法。

【例2】（多選）如圖所示，地面上方空間中存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E,兩根豎直的絕緣桿之間有一條絕

緣輕繩系于A、8兩點(diǎn)，一個(gè)帶正電的小球通過光滑掛鉤懸掛在輕繩上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知重力加速

度為g,下列說法正確的是（）

E

A.將B點(diǎn)沿桿上移，繩上拉力變小

B.將8點(diǎn)沿桿下移，繩上拉力大小保持不變

C.將右側(cè)桿右移，繩上拉力增大

D.將右側(cè)桿左移，繩上拉力增大

【答案】AC

【詳解】AB.設(shè)小球帶電荷量為q,對(duì)小球受力分析如圖所示

將電場(chǎng)力與重力合成后等效為新的重力G，，過A、2兩點(diǎn)作虛線與平行，虛線與兩繩的夾角為a,設(shè)左邊

繩長(zhǎng)為L(zhǎng),右邊繩長(zhǎng)為上，過4、2兩點(diǎn)的虛線間的垂直距離為d,則有

￡jsin?+L2sina=d

可得

.d

sina=---------

%+L]

繩中的張力大小為

4=工

2cosa

將8點(diǎn)沿桿上移，再次穩(wěn)定后，4、8兩點(diǎn)沿垂直虛線方向的距離d減小，a減小，則繩中拉力減小，同理,

將8點(diǎn)沿桿下移，A、8兩點(diǎn)沿垂直虛線方向的距離/增大，則繩中拉力增大，故A正確，B錯(cuò)誤;

CD.將右側(cè)桿右移，d增大，則繩中拉力增大，將右側(cè)桿左移，1減小，則繩中拉力減小，故C正確，D錯(cuò)

誤。

故選ACo

【變式1】如圖所示，送水工人用特制的推車運(yùn)送桶裝水，到達(dá)目的地后，工人通過調(diào)節(jié)擋板0A轉(zhuǎn)動(dòng)可將

水桶卸下。若桶與接觸面之間的摩擦不計(jì)，她。8為銳角，。8對(duì)水桶的彈力大小分別為耳、F2O若保

持OB不動(dòng)，調(diào)節(jié)擋板OA,使OA繞。點(diǎn)由豎直緩慢轉(zhuǎn)到與08垂直的過程，下列說法正確的是（）

A.水桶受到的合力變小B.片先減小后增大

C.尸2一直增大D.%、F?都一直減小

【答案】D

【詳解】對(duì)水桶受力分析，如圖所示

OA由豎直緩慢轉(zhuǎn)到與OB垂直的過程中，水桶受到的合力為零，且尸2都在

減小。

故選D。

【變式2】"籃球夾背”是考驗(yàn)兩人協(xié)作能力的游戲，兩人背對(duì)背、手挽手，背上夾著球，從起點(diǎn)跑到終點(diǎn),

在球不掉落的情況下，最先完成的即獲勝。如圖甲所示，兩位同學(xué)夾著籃球勻速前進(jìn)，開始時(shí)兩位同學(xué)的

背之間的夾角為銳角。其模型可簡(jiǎn)化為圖乙，籃球夾在兩個(gè)平面之間。若忽略籃球受到的摩擦力和空氣阻

力，則下列說法正確的是（）

圖甲圖乙

A.若左右兩位同學(xué)的背與豎直方向的夾角均減小，則籃球所受兩位同學(xué)的合力增大

B.若僅左邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力增大

C.若僅右邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力增大

D.若僅左邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則右邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力減小

【答案】D

【詳解】A.由題意可知籃球處于平衡狀態(tài)，則對(duì)籃球受力分析可知籃球所受兩位同學(xué)的合力等于籃球的重

力，故籃球所受兩位同學(xué)的合力不變，故A錯(cuò)誤；

B.若僅左邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則籃球受到兩位同學(xué)作用力的夾角減小，作出籃球受力的動(dòng)

態(tài)矢量三角形，如圖所示

F右

可知左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力可能減小，可能不變，也可能增大，但是右邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力一定減小，

故B錯(cuò)誤，D正確；

C.若僅右邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則籃球受到兩位同學(xué)作用力的夾角減小，作出籃球受力的動(dòng)

態(tài)矢量三角形，如圖2所示

可知左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力減小，故C錯(cuò)誤。

故選D。

【變式3】如圖所示，質(zhì)量為優(yōu)的小球用輕繩Q4、連接，A端固定，在B端施加拉力尸，使小球靜止。

開始時(shí)OB處于水平狀態(tài)，現(xiàn)把小球向右上方緩慢拉起至。4繩水平，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持Q4與03的

夾角9=120。不變。下列說法正確的是（）

A.拉力產(chǎn)先變大后變小B.上的拉力先變小后變大

C.拉力9的最大值為半D.3上的拉力的最小值學(xué)

【答案】C

【詳解】AB.以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受到重力相g、拉力R繩子。4的拉力R三個(gè)力的作用，三個(gè)力構(gòu)

成矢量三角形，如圖所示

由圖可知拉力/一直變大，OA上的拉力瑞一直變小，故AB錯(cuò)誤;

CD.拉力尸的最大值為

上的拉力的最小值

Tmin-tan60°--

故C正確，D錯(cuò)誤。

故選C。.

【題型二】受力分析與靜態(tài)平衡問題

靜態(tài)平衡問題基本思路：

確定平研究對(duì)象：內(nèi)力與外力：受力分析

衡狀態(tài)受力平衡的判斷待求作用力系統(tǒng)外力：整體法

a=0物體或系統(tǒng)是內(nèi)力還是夕卜力素統(tǒng)內(nèi)力：隔離法

合成法*1

分解法*解

答

I求解或討*1正交方

」~|分解法法

矢量三

角形法

主要典型題:1.受力分析⑵共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用；3.電磁場(chǎng)中的平衡問題。

【例1】如圖甲所示，“張弦梁〃是新型自平衡空間結(jié)構(gòu)體系，被廣泛應(yīng)用于建筑當(dāng)中。圖乙是該結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化

模型，質(zhì)量分布均勻的水平橫梁架在兩根立柱上，兩根等長(zhǎng)的柔性拉索的一端分別連接橫梁的兩端，拉索

的另一端連接豎直支撐桿的下端，支撐桿的上端頂在橫梁的中央處。設(shè)水平橫梁的質(zhì)量為豎直支撐桿

的質(zhì)量為如兩根柔性拉索形成的夾角為120。，兩根拉索的張力均為尸（拉索的質(zhì)量忽略不計(jì)），重力加速

度為g，下列說法正確的是（）

A.橫梁對(duì)支撐桿的作用力大于支撐桿對(duì)橫梁的作用力

B.橫梁受到立柱沿水平指向橫梁中央的摩擦力作用

C.橫梁一端受立柱的支持力大小為，M+m）g

D.支撐桿對(duì)橫梁的作用力大小為尸+〃密

【答案】C

【詳解】A.根據(jù)牛頓第三定律可知橫梁對(duì)支撐桿的作用力等于支撐桿對(duì)橫梁的作用力，故A錯(cuò)誤；

B.把橫梁和支撐桿作為整體研究，拉索的力視為該整體的內(nèi)力，可知該整體在水平方向不受立柱的摩擦力

作用，故B錯(cuò)誤；

C.把橫梁和支撐桿作為整體研究，該整體在豎直方向上所受的支持力與重力平衡，根據(jù)對(duì)稱性可知橫梁一

端受立柱的支持力大小為該整體重力的一半，即為:（舷+，w）g,故C正確；

D.對(duì)支撐桿進(jìn)行受力分析，根據(jù)力的平衡關(guān)系可得是=2Fcos60。g=尸-/g

根據(jù)牛頓第三定律可知支撐桿對(duì)橫梁的作用力大小為尸一話,故D錯(cuò)誤。

故選C。

【例2】平衡術(shù)對(duì)人的觀察能力和動(dòng)手能力要求較高,極其鍛煉人的耐心。小強(qiáng)同學(xué)在海邊堆放了一些石塊,

如圖所示，石塊A、B的接觸面水平，不計(jì)空氣的作用力，下列說法正確的是（）

A.最上面的石塊D一定只受兩個(gè)力作用

B.心形石塊E一定不受摩擦力作用

C.石塊C可能受到6個(gè)力的作用

D.石塊B對(duì)石塊A的作用力方向一定豎直向上

【答案】D

【詳解】AB.因?yàn)椴恢澜佑|面是否水平，所以最上面的石塊D可能受摩擦力作用，心形石塊E也有可能

受摩擦力作用，故AB錯(cuò)誤；

C.石塊C最多受到重力，左右兩邊石塊對(duì)它的兩個(gè)摩擦力，兩個(gè)彈力，共5個(gè)力的作用，故C錯(cuò)誤；

D.石塊A、B的接觸面水平，把石塊A及其上面的石塊看作整體，根據(jù)二力平衡條件可知，石塊B對(duì)石塊

A的作用力方向一定豎直向上，故D正確。

故選D。

【例3】賣貨郎是舊時(shí)民間在農(nóng)村或城市小巷流動(dòng)販賣日用雜貨的商販，通常肩挑貨擔(dān)走街串巷，搖鼓叫賣，

喚人們出來購貨。如圖所示，假設(shè)賣貨郎的每個(gè)貨筐是質(zhì)量為M的立方體，每個(gè)貨筐由四條輕繩對(duì)稱懸掛

于扁擔(dān)上同一點(diǎn)，則賣貨郎肩挑扁擔(dān)勻速直線前進(jìn)時(shí)，下列說法正確的是（）

A.每條輕繩中的拉力大小為［圖

B.每個(gè)貨筐上四條輕繩中的拉力相同

C.若將貨筐上的四條輕繩減小同樣長(zhǎng)度但仍對(duì)稱分布，則每條輕繩中的拉力將變大

D.若將貨筐上的四條輕繩減小同樣長(zhǎng)度但仍對(duì)稱分布，則賣貨郎承受的壓力將變大

【答案】C

【詳解】A.假設(shè)輕繩與豎直方向的夾角為0,根據(jù)力的平衡

4Feosa=Mg

每條輕繩中的拉力大小為

4cosa

故A錯(cuò)誤；

B.四條輕繩中的拉力大小相等，方向不同，故B錯(cuò)誤；

CD.若貨筐上的四條輕繩做同樣縮短但仍對(duì)稱分布，a增大，根據(jù)

F=,

4cos。

每條輕繩中的拉力將變大，但賣貨郎承受的壓力保持不變，故C正確，D錯(cuò)誤。

故選C。

【變式1】圖1為某款瓜子去殼器，瓜子置于兩圓柱體間的凹槽中，向下按壓瓜子便可去殼。圖2為其剖面

簡(jiǎn)圖，將瓜子視為等腰三角形，頂角為。，豎直向下的作用力大小為R不計(jì)瓜子自重及摩擦，若設(shè)瓜子對(duì)

兩邊圓柱體的作用力大小為N,則（）

圖1圖2

C.增大兩圓柱體的間距，N減小D.增大兩圓柱體的間距，N增大

【答案】B

【詳解】AB.根據(jù)題意可知2Nsin]=/

故A錯(cuò)誤，B正確；

CD.因N與兩圓柱體的間距無關(guān)，故CD錯(cuò)誤。

故選Bo

【變式2】天平是實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量質(zhì)量的重要儀器。在學(xué)完共點(diǎn)力平衡后，小明設(shè)計(jì)了一款質(zhì)量測(cè)量裝置如圖

甲所示，。4、為不可伸長(zhǎng)的等長(zhǎng)輕繩，懸掛于豎直桿的頂端。，不可壓縮的輕桿為刻度尺，可

繞。點(diǎn)無摩擦在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在2端掛上標(biāo)準(zhǔn)祛碼，質(zhì)量為初°,A端掛上待測(cè)物體，如圖乙所示，

此時(shí)豎直桿交刻度尺處即為示數(shù)刻度P。不考慮豎直桿與間的相互作用，下列說法正確的是（）

°示數(shù)刻度尸

工

甲乙

A.刻度尺中點(diǎn)的刻度為零B.刻度尺A8上的刻度不均勻

C.待測(cè)物體的質(zhì)量為蕓名D.該裝置在月球上不能使用

Dr

【答案】B

【詳解】ABC.設(shè)輕桿AB上的力大小為尸，由祛碼與待測(cè)物體均平衡及力的三角形與幾何三角形相似，可

"OP~AP,OP~BP

e-左力/口BPBP

聯(lián)乂解得m=nk=m

a）/XrAn—Dr0

所以刻度尺AB的右端為零，左端為8,中點(diǎn)為〃私刻度不均勻，故AC錯(cuò)誤，B正確;

D.由于月球上物體仍然受到重力作用，則該裝置可在月球上使用，故D錯(cuò)誤。

故選Bo

【變式3】如圖所示,水平天花板下方固定一個(gè)光滑小定滑輪0,在定滑輪的正下方C處固定一個(gè)正點(diǎn)電荷，

不帶電的小球。與帶正電的小球b通過跨過定滑輪的絕緣輕繩相連。開始時(shí)系統(tǒng)在圖示位置靜止，已知0b<

0C?若6球所帶的電荷量緩慢減少（未減為零），則在6球到達(dá)。正下方前，下列說法正確的是（）

/〃〃〃/,

A.a球的質(zhì)量大于。球的質(zhì)量

B.b球的軌跡是一段以C點(diǎn)為圓心的圓弧

C.此過程中點(diǎn)電荷對(duì)6球的庫侖力大小不變

D.此過程中滑輪受到輕繩的作用力逐漸變大

【答案】D

【詳解】A.對(duì)6球進(jìn)行受力分析，受到輕繩的拉力八重力和庫侖力/，如圖所示。

'〃〃〃/.

由相似三角形可知

T/見g二F庫

0b~0C~bC

整理可得

由于Ob<OC,因此

ma<mb

故A錯(cuò)誤；

B.由外g不變，可知06不變，庫侖力減小，6C減小，故球的軌跡是一段以。為圓心的圓弧，故B錯(cuò)誤;

C.由于依減小，可知bC也減小，此過程中。球所受庫侖力減小且方向改變，故C錯(cuò)誤；

D.滑輪受到的輕繩的作用力大小均為此g,大小不變，由于6C減小，可知兩繩夾角減小，所以滑輪受到

兩繩的合力增大，故D正確。

故選D。

【題型三】平衡中的臨界和極值問題

常見的臨界狀態(tài)

⑴兩接觸物體脫離的臨界條件是兩物體間的彈力恰好為0;

⑵繩子斷開的臨界條件為繩中的張力達(dá)到最大值，繩子繃緊與松弛的臨界條件為繩中的張力恰好為0;

⑶兩物體間相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件為靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

常見的三種求極值的方法

⑴解析法：在解平衡方程時(shí)采用數(shù)學(xué)方法求極值.

（2）圖解法：對(duì)三力平衡情境，可畫出不同狀態(tài)下力的矢量圖，判斷各個(gè)力的變化情況，所求力與另一力

垂直時(shí)往往出現(xiàn)極值.

⑶極限法：極限法是一種處理極值問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題推向

極端（如“極大”“極小”等），從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，快速求解。

【例1】如圖所示,某同學(xué)在沙料場(chǎng)中發(fā)現(xiàn)沙子堆積時(shí)會(huì)形成圓錐體，且堆積過程中圓錐體的底角保持不變。

他測(cè)得某堆沙子的底部周長(zhǎng)約為62.8m,查閱資料發(fā)現(xiàn)沙子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)約為0.6,若沙子間的最大靜

摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則這堆沙子的體積約為（）

A.628m③B.472m3C.314m3D.157m3

【答案】A

【詳解】令圓錐體的底角為a,這堆沙子的底部周長(zhǎng)為62.8m,則底部半徑為

r=62,8m=101n

2萬

當(dāng)動(dòng)摩擦因數(shù)為4=0.6時(shí)，最大靜摩擦力等于重力的下滑分力，有

mgsina=jLimgcosa

解得

/z=tana=0.6

設(shè)這堆沙子高為結(jié)合幾何關(guān)系有

H

tana=—

聯(lián)立以上解得

7/=6m

則這堆沙子的體積約為

V=-^-r2H=628m3

3

故選A。

【變式1】如圖所示，輕質(zhì)滑輪固定在水平天花板上，動(dòng)滑輪掛在輕繩上，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕繩與

水平方向的夾角仇不計(jì)摩擦?，F(xiàn)將繩的一端由。點(diǎn)緩慢地向左移到尸點(diǎn)，則（）

A.。角不變，物體A上升

B.。角不變，物體A下降

C.。角變小，物體A上升

D.。角變小，物體A下降

【答案】A

【詳解】ABCD.對(duì)A物體由二力平衡可得，繩的拉力等于物體重力，對(duì)滑輪由三力平衡得，繩拉力的合力不

變，繩的拉力不變，故繩的夾角不變，所以。不變，由于。點(diǎn)緩慢地向左移到尸點(diǎn)，所以繩子向左移，故A

上升，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤。

故選Ao

【變式2】如圖所示，粗糙斜面C置于粗糙水平地面上，輕繩跨過光滑的定滑輪，一端懸掛物塊A,另一端

與斜面上的物塊B相連，滑輪左側(cè)的輕繩與斜面平行，整個(gè)裝置保持靜止?fàn)顟B(tài)。已知物塊A的質(zhì)量為L(zhǎng)2kg,

物塊B的質(zhì)量為1kg,斜面傾角6=37。，物塊B與斜面C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.8,最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力，g=10m/s2,sin37°=0.6,下列說法正確的是（）

///////////

A.地面對(duì)斜面C的摩擦力大小為12N

B.斜面C對(duì)物塊B的摩擦力大小為12N

C.若剪斷輕繩，則地面對(duì)斜面C的摩擦力大小為0N

D.若剪斷輕繩，則斜面C對(duì)物體B的摩擦力大小為6.4N

【答案】C

【詳解】A.對(duì)物體A受力分析，根據(jù)平衡條件可得輕繩的拉力為尸=，4g=12N

BC整體受力分析，根據(jù)平衡條件可得，水平方向上，地面對(duì)C的摩擦力與輕繩在水平方向的分力平衡，即

九血"cos8=9.6N

A錯(cuò)誤；

B.對(duì)B受力分析可得人B+〃%gsin37o=B

解得7ra=6N

B錯(cuò)誤；

D.剪斷輕2龜，B受至I］的最大靜摩擦力盤,=〃〃）gcos370=6.4N>/WBgsin370=6N

故物體B靜止在斜面上，此時(shí)受到的摩擦力為人=mBgsin370=6N

D錯(cuò)誤。

C.剪斷輕繩，因B靜止在斜面上，BC整體受力分析，水平方向整體不受外力，故地面對(duì)C的摩擦力為零,

C正確；

故選Co

ccc

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：共點(diǎn)力平衡中的臨界極值問題

L臨界或極值條件的標(biāo)志

有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點(diǎn)。

若題目中有“取值范圍”、“多長(zhǎng)時(shí)間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止

點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就對(duì)應(yīng)臨界狀態(tài)。

若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個(gè)

極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。

若題目要求“最終加速度”、“穩(wěn)定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

2.解決動(dòng)力學(xué)臨界、極值問題的常用方法

極限分析法一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題

推向極端（“極大”、“極小”、“極右”、“極左”等），從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)

象暴露出來，使問題明朗化，便于分析求解。臨界條件必須在變化中去尋找，

不能停留在一個(gè)狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個(gè)物理量推向極端，即極大和

極小，并依次做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。

假設(shè)分析法臨界問題存在多種可能，特別是非此即彼兩種可能時(shí)，或變化過程中可能出現(xiàn)

臨界條件，也可能不出現(xiàn)臨界條件時(shí)，往往用假設(shè)法解決問題。

數(shù)學(xué)極值法通過對(duì)問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系或畫出函

數(shù)圖像，用數(shù)學(xué)方法求極值如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值，但

利用數(shù)學(xué)方法求出極值后，一定要依據(jù)物理原理對(duì)該值的合理性及物理意義進(jìn)

行討論和說明。

物理分析方根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對(duì)物理過程的分析，利用平行四

法邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值與最小值。

例（多選）某個(gè)同學(xué)玩夾盒子的游戲，手握兩塊木板，兩木板間夾起盒子，如圖所示，已知木板與盒子之

間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,盒子與盒子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.6,每個(gè)盒子重約為G=5N,該同學(xué)兩手可以給木

板提供的水平壓力都為660N,則下列說法正確的是（）

A.該同學(xué)最多可以夾起16個(gè)盒子

B.該同學(xué)最多可以夾起12個(gè)盒子

C.若該同學(xué)夾起9個(gè)盒子，則第五個(gè)和第六個(gè)盒子之間的摩擦力為2.5N

D.無論該同學(xué)夾起多少個(gè)盒子，最邊上的盒子最易滑落

【答案】BCD

【詳解】ABD.水平方向根據(jù)受力平衡可知，木板與盒子間，盒子與盒子間的壓力大小一樣，由于木板與盒

子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)小于盒子與盒子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，則木板與盒子的最大靜摩擦力小于盒子與盒子的

最大靜摩擦力，所以無論該同學(xué)夾起多少個(gè)盒子,最邊上的盒子最易滑落;設(shè)該同學(xué)最多可以夾起幾個(gè)盒子，

以〃個(gè)盒子為整體，豎直方向根據(jù)受力平衡可得

2盤x=nG

又

舞X=//fN=30N

解得

n=12

故A錯(cuò)誤，BD正確；

C.若該同學(xué)夾起9個(gè)盒子，以9個(gè)盒子為整體，豎直方向根據(jù)受力平衡可得

2/=9G

解得木板與盒子間的摩擦力大小為

f=22.5N

以前5個(gè)盒子為整體，豎直方向根據(jù)受力平衡可得

5'=5G

解得

1=2.5N

可知第六個(gè)盒子對(duì)第五個(gè)盒子的摩擦力大小為2.5N,故C正確。

故選BCDo

變式1：如圖所示，輕繩的一端連接物塊P,另一端通過光滑的輕滑輪與斜坡上的小盒Q連接，輕繩與斜坡

的上表面平行，p、Q均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)向Q盒內(nèi)緩慢加入適量砂粒，此過程中p、Q一直保持靜止。則

斜面對(duì)Q的（

A.摩擦力一定增大

C.作用力一定增大D.作用力可能先減小后增大

【答案】C

【詳解】AB.設(shè)物塊P的質(zhì)量為小盒Q的質(zhì)量為5,對(duì)物塊P,重力Mg與拉力T二力平衡;若既>〃zgsin<9,

對(duì)小盒Q,則有N=mgcose,T=mgsmO+f

當(dāng)"增大時(shí)，"zgsin。也隨之增大，只要M?>n7gsin（9,/就繼續(xù)減小，當(dāng)睦=mgsine時(shí)，摩擦力減為零,

若朋g<〃zgsin。時(shí)，貝I］有T+/="zgsind

當(dāng)小增大時(shí)，摩擦力/隨之增大，AB錯(cuò)誤;

CD.對(duì)Q受力分析可知，斜面對(duì)其作用力（即N、/的合力）與Q的重力和繩的拉力的合力平衡，而繩的拉

力不變，Q的重力逐漸增大。兩個(gè)力的夾角不變，故其合力增大，斜面對(duì)Q的作用力增大，C正確，D錯(cuò)誤。

故選C。

變式2：如圖所示，某同學(xué)用繩拖一木箱在水平地面上勻速直線運(yùn)動(dòng)，繩與水平方向的夾角為0,木箱與地

面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃（0<4<1）。保持木箱的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，夾角。從0逐漸增大到90。的過程中，下列

說法正確的是（）

A.繩的拉力一直減小B.繩的拉力一直增大

C.繩的拉力先減小后增大D.繩的拉力先增大后減小

【答案】C

【詳解】對(duì)木箱受力分析如圖所示。

因?yàn)槟鞠鋭蛩龠\(yùn)動(dòng)，水平方向和豎直方向受力均平衡，則有尸cose=〃（6-尸$皿。）

/曰F_2_______fdG_____

則得cose+〃sin（941+〃2sin（6+e）

其中tan(p=一

4

因?yàn)閯t°>45。

當(dāng)6+0=90。時(shí)，sin（6+0）最大，/最小，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知。從0逐漸增大到90。的過程中，尸先減小后

增大。

故選C。

變式3：如圖所示，三根長(zhǎng)度均為乙的輕繩分別連接于C、。兩點(diǎn)，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相

距2L現(xiàn)在C點(diǎn)上懸掛一個(gè)質(zhì)量為機(jī)的重物，為使繩保持水平，在。點(diǎn)上可施加外力F（重力加速度

為g）,則下列說法中正確的是（

B.CD繩的拉力為立mg

A.AC繩的拉力為機(jī)g

2

c.外力廠的最小值為1加gD.外力廠的最小值為，咫

【答案】D

【詳解】AB.令A(yù)C繩與豎直方向的夾角為仇根據(jù)幾何關(guān)系有

2L—L

sin0=---二—

L2

解得

，=30

對(duì)C點(diǎn)與重物進(jìn)行分析，根據(jù)平衡條件有

TACcos0=mg,TACsin0=TCD

解得

色76

彳mg，TCD=—mg

故AB錯(cuò)誤;

CD.對(duì)D點(diǎn)進(jìn)行受力分析，作出矢量動(dòng)態(tài)三角形如圖所示

可知，當(dāng)外力廠方向與繩8。垂直時(shí)，外力尸最小，則有

F

min=TCDcos0=-mg

故C錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

(1)共點(diǎn)力平衡中的臨界與極值問題常與動(dòng)態(tài)平衡問題結(jié)合起來考查，應(yīng)用圖解法進(jìn)行分析，作出力的平行

四邊形或矢量三角形，常常有助于直觀地得到結(jié)果。

(2)由靜摩擦力變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力、摩擦力方向改變、彈力有無及方向改變常常是臨界與極值問題中要特別注

意的。

秘籍01力與物體的平衡

ccc

【解密高考】

【題型一】動(dòng)態(tài)平衡問題（押題型）

【題型二】受力分析與靜態(tài)平衡問題

【題型三】平衡中的臨界和極值問題

【誤區(qū)點(diǎn)撥】

共點(diǎn)力平衡中的臨界極值問題

解變高考

考情分析:平衡問題是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，新高考注重情景化試題，平衡問題經(jīng)常與實(shí)際生產(chǎn)、生活（包

括電磁學(xué)）中的情景相結(jié)合，通常需要考生從實(shí)際情景中提取相關(guān)信息且進(jìn)行模型建構(gòu)，選取正常的研究

對(duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡列方程求解；或找出其臨界條件，通過平衡條件求解情景問題中的極值。

通常需要與數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)相結(jié)合。

備考策略:根據(jù)新高考物理命題的趨勢(shì)，平衡問題往往需要考生對(duì)實(shí)際生產(chǎn)、生活、中國傳統(tǒng)文化、

現(xiàn)代科技的工具構(gòu)造和其工作原理有所了解，最起碼需要考生對(duì)上述工具構(gòu)造有一定的了解，考生在考場(chǎng)

上見到此類問題才不至于太陌生，教師在沖刺階段應(yīng)重視起來且適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生。

題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】動(dòng)態(tài)平衡問題

【例1】（多選）如圖甲所示，我國古建屋頂多采用蝴蝶瓦方式鋪設(shè)。圖乙是兩片底瓦和一片蓋瓦的鋪設(shè)示

意圖，三根相同且平行的椽子所在平面與水平面夾角為37。。圖丙為截面示意圖，弧形底瓦放置在兩根相鄰

的椽子正中間，蓋瓦的底邊恰與底瓦的凹槽中線接觸。已知相鄰兩椽子與底瓦接觸點(diǎn)間的距離和瓦的半徑

都為20cm,蓋瓦和底瓦形狀相同，厚度不計(jì)，質(zhì)量均為1kg、最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度

大小g?。簂Om/s?,在無擾動(dòng)的情況下，底瓦與蓋瓦均保持靜止。若僅鋪設(shè)這三片瓦進(jìn)行研究，則（）

B.底瓦與椽子間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃2［班

C.適當(dāng)增大兩椽子間的距離，底瓦更不容易下滑

D.適當(dāng)減小兩椽子間的距離，底瓦更不容易下滑

求解集合的基本運(yùn)算問題需掌握''3種技巧”（1）先確定好研究對(duì)象并對(duì)其正確受力分析；

（2）分析其受力特點(diǎn)：若為“一恒一定向”即一個(gè)力為恒力，一個(gè)力方向確定一一“圖解法”（技巧：不

轉(zhuǎn)的力隨兩變力夾角的增大而增大，減小而減小、當(dāng)兩變力垂直時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的力最?。蝗魹椤皟勺兞愣?/p>

夾角“一一輔助圓法（技巧：“你平我大”一兩變力中其中一個(gè)力水平，另一個(gè)達(dá)最大）；若為“兩變力一

般變化一一正交分解法或矢量合成法。

【例2】（多選）如圖所示，地面上方空間中存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E,兩根豎直的絕緣桿之間有一條絕

緣輕繩系于A、B兩點(diǎn)，一個(gè)帶正電的小球通過光滑掛鉤懸掛在輕繩上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。己知重力加速

度為g,下列說法正確的是（）

A.將2點(diǎn)沿桿上移，繩上拉力變小

B.將B點(diǎn)沿桿下移，繩上拉力大小保持不變

C.將右側(cè)桿右移，繩上拉力增大

D.將右側(cè)桿左移，繩上拉力增大

【變式1】如圖所示，送水工人用特制的推車運(yùn)送桶裝水，到達(dá)目的地后，工人通過調(diào)節(jié)擋板轉(zhuǎn)動(dòng)可

將水桶卸下。若桶與接觸面之間的摩擦不計(jì)，0AQB為銳角，08對(duì)水桶的彈力大小分別為尸|、F2O若

保持。8不動(dòng)，調(diào)節(jié)擋板。4使OA繞O點(diǎn)由豎直緩慢轉(zhuǎn)到與08垂直的過程，下列說法正確的是（）

A.水桶受到的合力變小B.片先減小后增大

C.8一直增大D.工、F?都一直減小

【變式2】"籃球夾背”是考驗(yàn)兩人協(xié)作能力的游戲，兩人背對(duì)背、手挽手，背上夾著球，從起點(diǎn)跑到終點(diǎn)，

在球不掉落的情況下，最先完成的即獲勝。如圖甲所示，兩位同學(xué)夾著籃球勻速前進(jìn)，開始時(shí)兩位同學(xué)的

背之間的夾角為銳角。其模型可簡(jiǎn)化為圖乙，籃球夾在兩個(gè)平面之間。若忽略籃球受到的摩擦力和空氣阻

力，則下列說法正確的是（）

圖甲圖乙

A.若左右兩位同學(xué)的背與豎直方向的夾角均減小，則籃球所受兩位同學(xué)的合力增大

B.若僅左邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力增大

C.若僅右邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則左邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力增大

D.若僅左邊同學(xué)的背與豎直方向的夾角增大，則右邊同學(xué)對(duì)籃球的作用力減小

【變式3】如圖所示，質(zhì)量為優(yōu)的小球用輕繩Q4、08連接，A端固定，在B端施加拉力尸，使小球靜止。

開始時(shí)OB處于水平狀態(tài)，現(xiàn)把小球向右上方緩慢拉起至。4繩水平,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持Q4與02的

夾角6=120。不變。下列說法正確的是（）

A.拉力產(chǎn)先變大后變小

c?拉力廠的最大值為辛

D.

【題型二】受力分析與靜態(tài)平衡問題

靜態(tài)平衡問題基本思路：

確定平研究對(duì)象：內(nèi)力與外力：受力分析

衡狀態(tài)一受力平衡的?判斷待求作用力系統(tǒng)外力：整體法

a=0物體或系統(tǒng)是內(nèi)力還是外力系統(tǒng)內(nèi)力：隔離法

合成法

分解法解

答

正交方

分解法法

矢量三

角形法

主要典型題：1.受力分析;2.共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用；3.電磁場(chǎng)中的平衡問題。

【例1】如圖甲所示，"張弦梁"是新型自平衡空間結(jié)構(gòu)體系，被廣泛應(yīng)用于建筑當(dāng)中。圖乙是該結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化

模型，質(zhì)量分布均勻的水平橫梁架在兩根立柱上，兩根等長(zhǎng)的柔性拉索的一端分別連接橫梁的兩端，拉索

的另一端連接豎直支撐桿的下端，支撐桿的上端頂在橫梁的中央處。設(shè)水平橫梁的質(zhì)量為豎直支撐桿

的質(zhì)量為根，兩根柔性拉索形成的夾角為120。，兩根拉索的張力均為尸（拉索的質(zhì)量忽略不計(jì)），重力加速

度為g,下列說法正確的是（）

甲乙

A.橫梁對(duì)支撐桿的作用力大于支撐桿對(duì)橫梁的作用力

B.橫梁受到立柱沿水平指向橫梁中央的摩擦力作用

C.橫梁一端受立柱的支持力大小為g（M+m）g

D.支撐桿對(duì)橫梁的作用力大小為尸+機(jī)g

【例2】平衡術(shù)對(duì)人的觀察能力和動(dòng)手能力要求較高，極其鍛煉人的耐心。小強(qiáng)同學(xué)在海邊堆放了一些石

塊，如圖所示，石塊A、B的接觸面水平，不計(jì)空氣的作用力，下列說法正確的是（）

A.最上面的石塊D一定只受兩個(gè)力作用

B.心形石塊E一定不受摩擦力作用

C.石塊C可能受到6個(gè)力的作用

D.石塊B對(duì)石塊A的作用力方向一定豎直向上

【例3】賣貨郎是舊時(shí)民間在農(nóng)村或城市小巷流動(dòng)販賣日用雜貨的商販，通常肩挑貨擔(dān)走街串巷，搖鼓叫

賣，喚人們出來購貨。如圖所示，假設(shè)賣貨郎的每個(gè)貨筐是質(zhì)量為M的立方體，每個(gè)貨筐由四條輕繩對(duì)稱

懸掛于扁擔(dān)上同一點(diǎn)，則賣貨郎肩挑扁擔(dān)勻速直線前進(jìn)時(shí)，下列說法正確的是（）

A.每條輕繩中的拉力大小為!Mg

4

B.每個(gè)貨筐上四條輕繩中的拉力相同

C.若將貨筐上的四條輕繩減小同樣長(zhǎng)度但仍對(duì)稱分布，則每條輕繩中的拉力將變大

D.若將貨筐上的四條輕繩減小同樣長(zhǎng)度但仍對(duì)稱分布，則賣貨郎承受的壓力將變大

【變式1】圖1為某款瓜子去殼器，瓜子置于兩圓柱體間的凹槽中，向下按壓瓜子便可去殼。圖2為其剖

面簡(jiǎn)圖，將瓜子視為等腰三角形，頂角為6,豎直向下的作用力大小為R不計(jì)瓜子自重及摩擦，若設(shè)瓜子

對(duì)兩邊圓柱體的作用力大小為N,則（）

圖1圖2

FF

N=-------N=-------

A.c。B.\。

2tan—2sin一

22

C.增大兩圓柱體的間距，N減小D.增大兩圓柱體的間距，N增大

【變式2】天平是實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量質(zhì)量的重要儀器。在學(xué)完共點(diǎn)力平衡后，小明設(shè)計(jì)了一款質(zhì)量測(cè)量裝置如

圖甲所示，為不可伸長(zhǎng)的等長(zhǎng)輕繩，懸掛于豎直桿的頂端。，不可壓縮的輕桿A8為刻度尺，

可繞。點(diǎn)無摩擦在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在8端掛上標(biāo)準(zhǔn)祛碼，質(zhì)量為A端掛上待測(cè)物體，如圖乙所示，

此時(shí)豎直桿交刻度尺處即為示數(shù)刻度P。不考慮豎直桿與A8間的相互作用，下列說法正確的是（）

o

A,刻度尺A8中點(diǎn)的刻度為零B.刻度尺AB上的刻度不均勻

Ap

C.待測(cè)物體的質(zhì)量為蕓恤D.該裝置在月球上不能使用

Dr

【變式3】如圖所示，水平天花板下方固定一個(gè)光滑小定滑輪0,在定滑輪的正下方C處固定一個(gè)正點(diǎn)電

荷，不帶電的小球。與帶正電的小球b通過跨過定滑輪的絕緣輕繩相連。開始時(shí)系統(tǒng)在圖示位置靜止，已知

Ob<0C。若6球所帶的電荷量緩慢減少（未減為零），則在6球到達(dá)。正下方前，下列說法正確的是（

A.。球的質(zhì)量大于6球的質(zhì)量

B.6球的軌跡是一段以C點(diǎn)為圓心的圓弧

C.此過程中點(diǎn)電荷對(duì)b球的庫侖力大小不變

D.此過程中滑輪受到輕繩的作用力逐漸變大

【題型三】平衡中的臨界和極值問題

常見的臨界狀態(tài)

⑴兩接觸物體脫離的臨界條件是兩物體間的彈力恰好為0;

⑵繩子斷開的臨界條件為繩中的張力達(dá)到最大值，繩子繃緊與松弛的臨界條件為繩中的張力恰好為0;

⑶兩物體間相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件為靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

常見的三種求極值的方法

⑴解析法：在解平衡方程時(shí)采用數(shù)學(xué)方法求極值.

（2）圖解法：對(duì)三力平衡情境，可畫出不同狀態(tài)下力的矢量圖，判斷各個(gè)力的變化情況，所求力與另一力

垂直時(shí)往往出現(xiàn)極值.

⑶極限法：極限法是一種處理極值問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題推向

極端（如“極大”“極小”等），從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，快速求解。

【例1】如圖所示,某同學(xué)在沙料場(chǎng)中發(fā)現(xiàn)沙子堆積時(shí)會(huì)形成圓錐體，且堆積過程中圓錐體的底角保持不變。

他測(cè)得某堆沙子的底部周長(zhǎng)約為62.8m,查閱資料發(fā)現(xiàn)沙子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)約為0.6,若沙子間的最大靜

摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則這堆沙子的體積約為（）

A.628m3B.472m3C.314m3D.157m3

【變式1】如圖所示，輕質(zhì)滑輪固定在水平天花板上，動(dòng)滑輪掛在輕繩上，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕繩

與水平方向的夾角仇不計(jì)摩擦?，F(xiàn)將繩的一端由。點(diǎn)緩慢地向左移到P點(diǎn)，則（）

A.。角不變，物體A上升

B.。角不變，物體A下降

C.6角變小，物體A上升

D.。角變小，物體A下降

【變式2】如圖所示，粗糙斜面C置于粗糙水平地面上，輕繩跨過光滑的定滑輪，一端懸掛物塊A,另一

端與斜面上的物塊B相連，滑輪左側(cè)的輕繩與斜面平行，整個(gè)裝置保持靜止?fàn)顟B(tài)。已知物塊A的質(zhì)量為L(zhǎng)2kg,

物塊B的質(zhì)量為1kg,斜面傾角37。，物塊B與斜面C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，=。8,最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力，g=10m/s2,sin37°=0.6,下列說法正確的是（）

A.地面對(duì)斜面C的摩擦力大小為12N

B.斜面C對(duì)物塊B的摩擦力大小為12N

C.若剪斷輕繩，則地面對(duì)斜面C的摩擦力大小為0N

D.若剪斷輕繩，則斜面C對(duì)物體B的摩擦力大小為6.4N

CCC

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：共點(diǎn)力平衡中的臨界極值問題

1.臨界或極值條件的標(biāo)志

有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存