2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷（廣東專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足W+2?=i（其中i為虛數(shù)單位），貝上的虛部為（）

A.-B.3C.1D.2

32

2.已知向量2=（-3,7）,&=（4-5m,m+15）,且則根二（）

人9393-73-73

A.—B.------C.—D.-----

22223232

3.四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤(rùn)，晶瑩剔透等特點(diǎn)深受民眾喜愛(ài)，某耙耙柑果園的質(zhì)檢員對(duì)剛采摘下來(lái)的耙

耙柑采用隨機(jī)抽樣的方式對(duì)成筐的耙耙柑進(jìn)行質(zhì)檢，記錄下了8筐耙耙柑中殘次品的個(gè)數(shù)為5,7,6,3,9,

4,8,10,則該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.設(shè)集合A={Mln(x-l)V0},B={x|0<2x-l<2},則AU3=()

D.［如《|

A.X1<X<B.{x|x<2}C.x<x<2

5.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。.｝的公比為q,且〃=log2。"，貝『'｛〃｝為遞減數(shù)歹U”是“。＜4＜1”的)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知橢圓C：*+丁=1（。＞1）的一個(gè)焦點(diǎn)為RC上不與P共線的兩點(diǎn)43滿足芬周長(zhǎng)的最大值

為12,則C的離心率為（）

ABC

-1-T-tD.當(dāng)

7.己知正四棱臺(tái)ABC。-ABC.的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,且BBJDD-則該棱臺(tái)的體積為（）

A.逑B.遞C.-D.-

2662

cos—x-1,X>0

8.已知函數(shù)〃x）=<[2）（a>。且awl）,若函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)

Tog〃（-x），x<。

數(shù)。的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知x>y>0,貝I」（）

ii11

AB.-<

-了>77Xx-y

x-1X11

C>—D.x+—>y+—

y-iyy%

10.某高中開(kāi)展一項(xiàng)課外實(shí)踐活動(dòng)，參與活動(dòng)并提交實(shí)踐報(bào)告可以獲得學(xué)分，且該校對(duì)報(bào)告的評(píng)定分為兩

個(gè)等級(jí)：合格，不合格.評(píng)定為合格可以獲得0.2學(xué)分，評(píng)定為不合格不能獲得學(xué)分.若評(píng)定為不合格，則

43

下一次評(píng)定為合格的概率為不，若評(píng)定為合格，則下一次評(píng)定為合格的概率為已知小李參加了3次課外

實(shí)踐活動(dòng)，則（）

A.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第一次評(píng)定不合格”是互斥事件

B.若小李第一次評(píng)定為不合格，則小李獲得0.4學(xué)分的概率為I1I2

C.若小李第一次評(píng)定為合格，則小李第三次評(píng)定為合格的概率為II

D.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第三次評(píng)定合格”相互獨(dú)立

11.已知曲線C：4x|x|=yW-4.點(diǎn)月（0,6）,瑪（0,—6），則以下說(shuō)法正確的是（）

A.曲線C不存在點(diǎn)P,使得|尸￡日尸閶=4

B.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.直線y=2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn)

4

D.點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。向y=±2x作垂線，垂足分別為48,貝1。4代創(chuàng)=[

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知sin（a-4）=<7,sinacos/?=3cosasin^,貝|cos（2o+2夕）=.

13.甲乙二人參加一種游戲：在一副撲克牌中取出5張數(shù)字分別為3,4,5,6,7的牌，隨后兩人分別從

其中隨機(jī)取走一張.甲聲稱：我不知道誰(shuí)牌上的數(shù)字更小，乙思考片刻后，作出了與甲同樣的判斷.在二

人的判斷均準(zhǔn)確的前提下，甲推斷出了乙手中牌上的數(shù)字，其為.

14.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,若函數(shù)〃2x+l）和/'（x+2）均為偶函數(shù)，且八2）=2,

2026

則￡/"）=.

Z=1

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）

某地教育局為提升教師的業(yè)務(wù)能力，從當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取100人參加教學(xué)技能比賽，統(tǒng)計(jì)他們

的得分（滿分100分），其得分在各區(qū)間的人數(shù)比例如下表.規(guī)定得分不低于80分的為優(yōu)秀教師.

得分[50,50)[60,70)[70,30)[80,JO)[90,1

區(qū)間

人數(shù)0.20.30.2

比例550

（1）求x的值并求參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率；

（2）以頻率估計(jì)概率，若在當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取3人，其中優(yōu)秀教師的人數(shù)記為X,求X的分布列

與期望.

16.(15分)

a2b-c

在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,=l,

acosAcosC

⑴求角A；

(2)若。是線段BC的中點(diǎn)，且AO=1,求S“BC；

(3)若VABC為銳角三角形，求VABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=oe"-x,g(.?)=x-alwc^aGR).

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(O,/(O))處的切線方程;

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若f⑺和g(尤)有相同的最小值，求”的值.

18.(17分)

空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，點(diǎn)c(-i,o,o),過(guò)點(diǎn)(1,0,0)的直線4與過(guò)點(diǎn)(0,-1,。)的直線的傾斜角之和

為兀，且4與平面xOy內(nèi)的拋物線/=4x交于A,B兩點(diǎn)，4與x軸交于F,D為z軸正半軸一點(diǎn)，且。尸=占，

(4，4均在平面尤。y內(nèi))

7T

(1)若4的傾斜角為5,求二面角A-的余弦值；

(2)求三棱錐ABC體積的最大值.

19.(17分)

對(duì)于數(shù)列優(yōu)｝,｛%｝,其中％eZ,對(duì)任意正整數(shù)鼠，都有k-％|＜左，則稱數(shù)列｛%｝為數(shù)列代｝的“七

-接近數(shù)列”.已知也｝為數(shù)列｛%｝的"-接近數(shù)列”，且4=￡＞，B.=元白.

i=li=\

(1)當(dāng)人=1時(shí)，若a“=2〃+J,求仿，々的值;

(2)當(dāng)孑=；時(shí)，若4=^+.：］,是否存在正整數(shù)上使得4＜瓦？如果存在，請(qǐng)求出/的最小值;

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)左=；時(shí)，若｛g｝為無(wú)窮等差數(shù)列，公差為d,證明：“數(shù)列也｝為等差數(shù)列”的充要條件是“deZ”.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷（廣東專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足1+2z=i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.-B.1C.1D.2

32

【答案】c

【解析】設(shè)z=x+M（x,yeR）,

則z=X—yi

則（x—yi）+2（x+M）=i,整理得3%+yi=i,故％=0,y=l,得z的虛部為1.

故選：C.

2.已知向量2=（-3,7）,&=（4-5m,m+15）,且五〃則機(jī)=（）

9393-73-73

A.—B.------C.—D.-----

22223232

【答案】C

【解析】?.?萬(wàn)〃B，二一3（〃?+15）=7（4-5〃?），解得7"='.

故選：C.

3.四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤(rùn)，晶瑩剔透等特點(diǎn)深受民眾喜愛(ài)，某耙耙柑果園的質(zhì)檢員對(duì)剛采摘下來(lái)的耙

耙柑采用隨機(jī)抽樣的方式對(duì)成筐的耙耙柑進(jìn)行質(zhì)檢，記錄下了8筐耙耙柑中殘次品的個(gè)數(shù)為5,7,6,3,9,

6/20

4,8,10,則該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】A

【解析】殘次品的個(gè)數(shù)由小到大排列為：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為5.

故選：A.

4.設(shè)集合A={x『n(x-l)40},B={x|0<2x-1^2),則AU-()

A.|x|l<x<—1B.{x|xW2}D.

【答案】C

fx-1'又八卜卜得

【解析】ln(x-l)W0=lnlo；則A=^x\l<x<2^,

故選：C

5.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的公比為4,且么=log2?！?，則“也｝為遞減數(shù)歹『'是"。<4<1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由題意得，。產(chǎn)％產(chǎn)且%>0,q>0,

bn=log2an=log2)=隰4+(w-l)lOg2q=z?log2^+log2亍.

若也｝為遞減數(shù)列，則log?“<0,故0<”1,充分性成立.

若0<q<l,則log2q<0,bn+i-b?=(n+1)log,q+log21Mlog2q+log2|=log2(?<0,他,｝為遞減數(shù)

q'q)

列，必要性成立.

所以“｛2｝為遞減數(shù)列”是“0<q<1”的充分必要條件.

故選：C.

6.已知橢圓C：「+y2=l(">l)的一個(gè)焦點(diǎn)為凡C上不與尸共線的兩點(diǎn)A,B滿足A4■周長(zhǎng)的最大值

7/20

為12,則C的離心率為（）

ABcD.逑

-I-f-t3

【答案】D

【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸，根據(jù)橢圓的定義|A尸|+1A/|=2a,|+1BF'卜2a,

△ABF周長(zhǎng)為/=|+1AF|+忸尸|,即/=4a+1AB|AF[-忸尸],

當(dāng)A,民尸三點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)取最大值，此時(shí)|AF［+忸尸［=|旗］,所以41ax=40=12,

解得a=3,又已知6=1,根據(jù)/-6?可得c=J/一％2=J9-1=2拒，

2應(yīng)

離心率e=￡

a3

故選：D

7.已知正四棱臺(tái)ABC。-A耳G2的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,且則該棱臺(tái)的體積為（）

A.述B.逋cD

26-i-I

【答案】B

【解析】對(duì)正四棱臺(tái)ABCD-ABGR,連接2綜OB,取。綜08中點(diǎn)分別為?！?，連接OH,DM,如下

因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，則四邊形ABCQA與G2均為正方形，且OH垂直于上下底面，DD{=BB,,

易知D,BJ/BH,DtBt=BH=yf2,故四邊形2耳54為平行四邊形，則BBJ/D尸，且BBLQH,

因?yàn)镈RLBB],則又DD、=BB\=D、H,且DH=；DB=&,

由DQ2+RH。=萩,即2￡>/2=2,解得2"=1；

由?！盻1_面AB1G2,DQu面4B1G2，則?！?，口。；

\2

貝U0H=血可-認(rèn)。。=

2

7

8/20

又正方形AB。1，的面積為1，正方形ABCD的面積為4,

故正四棱臺(tái)ABCD-A4G2的體積v=l(i+4+g)x與=尊.

故選：B.

,、cos—x-1,X>0

8.已知函數(shù)/(x)=12)(。>0且。力1),若函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)

-10go(T),尤<0

數(shù)。的取值范圍是()

【答案】A

【解析】y=-log”(-x)(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為y=log”x(x>0),

所以y=cosgx)-l與y=log"Mx>0)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有3對(duì)，

若0>1,畫出y=cos[：x)-l與y=log〃x(x>0)的圖象，如下：

顯然只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，

若0<。<1,畫出y=cos[^x)-l與y=log“x(x>0)的圖象，如下:

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是

9/20

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知x>y>0,則()

11ii

B.—<------

A?y6%x-y

x-1X11

C------>—D.-^+―>y+—

y-iy

【答案】BD

llii

【角窣析】因?yàn)樗晕?gt;拒>0,不<蘇，故A錯(cuò)誤;

,11-y

因?yàn)?------=-----x—y〉O,x>0,一><°,

xx-yx（x-y）

—y11

所以E<°,所以=白？故B正確;

因?yàn)槎贤翫=

x-y>0,

y-1yy(y-Dy(D

X—1Y

但y與1的大小不確定，故無(wú)法判斷一;與一的大小，故C錯(cuò)誤;

y-iy

因?yàn)?>0,所以5>1>0,所以x+?>y+[,故D正確.

故選：BD

10.某高中開(kāi)展一項(xiàng)課外實(shí)踐活動(dòng)，參與活動(dòng)并提交實(shí)踐報(bào)告可以獲得學(xué)分，且該校對(duì)報(bào)告的評(píng)定分為兩

個(gè)等級(jí)：合格，不合格.評(píng)定為合格可以獲得0.2學(xué)分，評(píng)定為不合格不能獲得學(xué)分.若評(píng)定為不合格，則

43

下一次評(píng)定為合格的概率為（，若評(píng)定為合格，則下一次評(píng)定為合格的概率為1.已知小李參加了3次課外

實(shí)踐活動(dòng)，則（）

A.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第一次評(píng)定不合格”是互斥事件

12

B.若小李第一次評(píng)定為不合格，則小李獲得0.4學(xué)分的概率為石

c.若小李第一次評(píng)定為合格，則小李第三次評(píng)定為合格的概率為T

D.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第三次評(píng)定合格”相互獨(dú)立

【答案】AB

【解析】A項(xiàng)，事件“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第一次評(píng)定不合格”不可能同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故A

正確；

10/20

B項(xiàng)，若第一次評(píng)定為不合格，設(shè)事件4="第i次評(píng)定為合格”，，=2,3.

則事件“小李獲得04學(xué)分”即事件44,

由概率乘法公式得，

4312

p（4A）=p（4）尸（AI4）=/g=石，故B正確；

C項(xiàng)，若第一次評(píng)定為合格，設(shè)事件4="第i次評(píng)定為合格"，4="第，次評(píng)定為不合格”，力=2,3.

則由全概率公式得，

p（A3）=p（A3|A）p（A2）+P（A（IA）P（A）=-x-+-x1--=-,故C錯(cuò)誤；

JJJ\JJ乙。

17

D項(xiàng)，由C項(xiàng)知尸（&14）=不；

若第一次評(píng)定為不合格，設(shè)事件A="第i次評(píng)定為合格"，％="第i次評(píng)定為不合格”，，=2,3.

由全概率公式可得

尸（A）=p（AIA）p（4）+P（Al4）p（4）=gx]+：x[iT]=M

即尸（A閭=H；

所以尸區(qū)IA）wP（AI4），即第一次評(píng)定是否合格對(duì)第三次評(píng)定合格的概率有影響，

故“小李第一次評(píng)定合格，，與“小李第三次評(píng)定合格”不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.已知曲線C:4xW=yW-4.點(diǎn)￡（0,百），BO-布）,則以下說(shuō)法正確的是（）

A.曲線C不存在點(diǎn)尸，使得|P41Tp閶=4

B.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.直線y=2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn)

D.點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。向，=±2%作垂線，垂足分別為A,B,貝U|04|Q?|=g

【答案】ACD

2

【解析】當(dāng)xwo，y＞。時(shí)，曲線c：4f=y2-4,即2一/=1,即第一象限是雙曲線的一部分；

4

2

當(dāng)％N0,yv。時(shí)，曲線C:4f=—V—%即匕+%2=_i,即第四象限不存在圖象；

4

2

x40,yN。時(shí)，曲線C:-4/=y一4,即乙+/=1,即第二象限是橢圓的一部分；

11/20

2

x<0,y40時(shí)，曲線C:一4/=一卡一4,即f一匕=1,即第三象限是雙曲線的一部分;

2

對(duì)于A,滿足|尸耳卜|尸回=4的點(diǎn)是在雙曲線的下支，此時(shí)c=右,。=2,可得雙曲線方程?一犬=1,

22

而根據(jù)前面討論可知，方程匕-/=1曲線上的點(diǎn)只能在第一象限和方程上+*2=1曲線上的點(diǎn)在第二象限,

44

肯定都不滿足1Ml-歸耳|=4,

22

而方程無(wú)2-匕=1曲線上的點(diǎn)在第三象限，但這條雙曲線與方程匕-V=1曲線是共漸近線雙曲線，

44

因此它們沒(méi)有交點(diǎn)，所以滿足|尸耳IT尸閶=4的雙曲線的下支點(diǎn)在第三象限也不存在，而第四象限沒(méi)有圖象，

即一定不存在點(diǎn)尸，使得|尸耳|-歸叫=4,故A正確;

對(duì)于B,由圖可得曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,一三象限曲線的漸近線方程為y=2x,所以直線y=2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn)，故C正確;

對(duì)于D,設(shè)。(%,%),設(shè)點(diǎn)A在直線>=2x上，點(diǎn)B在直線y=-2尤,

則由點(diǎn)到直線的距離公式可得

以|=色異，磔上左妥工

A/5，5

所以|QA|.|Q2|=\2x°~y°\x畫譽(yù)J=叵H,

v55

又點(diǎn)。是曲線。上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，

代入曲線方程可得\QA\-\QB\=國(guó)三=|,故D正確；

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12/20

12.已知sin(?(■—/7)=a,sinacos/?=3cos<zsin/7,貝)|cos(2。+2月)=.

【答案】1-8/

【解析】由5111((/—/)=。得$山?！辏?$，一<：0$儂111#=。，又因?yàn)閟intzcos"=3cosasin，，

所以cos(zsin[=3,sinacos^=,

所以sin(a+6)=sincrcos^+cosarsing=芋+￡=2。，

則cos(2a+2/7)=l-2sin2(a+^)=1-8a2.

故答案為：l-8?2

13.甲乙二人參加一種游戲：在一副撲克牌中取出5張數(shù)字分別為3,4,5,6,7的牌，隨后兩人分別從

其中隨機(jī)取走一張.甲聲稱：我不知道誰(shuí)牌上的數(shù)字更小，乙思考片刻后，作出了與甲同樣的判斷.在二

人的判斷均準(zhǔn)確的前提下，甲推斷出了乙手中牌上的數(shù)字，其為.

【答案】5

【解析】依題意，由甲判斷知，甲手中牌上的數(shù)字不可能是最大和最小數(shù)字，即甲手中牌上的數(shù)字是4,5,

6之一，

而乙聽(tīng)到甲的判斷后作出判斷，于是乙手中牌上的數(shù)字不可能為4和6,

所以甲推斷出了乙手中牌上的數(shù)字是5.

故答案為：5

14.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),若函數(shù)〃2x+l)和尸(x+2)均為偶函數(shù)，且尸⑵=2,

2026

則￡/⑺=.

1=1

【答案】2

【解析】因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，則/(2x+l)=/(-2x+l),即〃x+l)=/(f+1),

又因?yàn)?'(x+2)為偶函數(shù)，貝V(x+2)=/(-x+2).

由〃x+l)=〃r+l),求導(dǎo)得_f(x+l)—+1),即廣⑺―+2),

所以尸(x)=-/'(x+2),貝If\x)=-f\x+i)=-[-f(x+4)]=/(x+4),

所以尸(x)是以4為周期的周期函數(shù).

由/'(x)=—/'(T+2),可得/'(I)—'。),即尸⑴=0,則1(1)=一J⑶=0,

13/20

r(2)=-r(4)=2,所以r(i)+尸⑵+廣⑶+廣⑷=o,

20264

所以X(⑺=506^廣⑺+尸⑴+((2)=2.

1=14=1

故答案為：2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)

某地教育局為提升教師的業(yè)務(wù)能力，從當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取100人參加教學(xué)技能比賽，統(tǒng)計(jì)他們

的得分(滿分100分)，其得分在各區(qū)間的人數(shù)比例如下表.規(guī)定得分不低于80分的為優(yōu)秀教師.

得分[50,50)[60,70)[70,?0)[80,)0)[90,1

區(qū)間

人數(shù)0.20.30.2

比例550

(1)求x的值并求參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率；

(2)以頻率估計(jì)概率，若在當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取3人，其中優(yōu)秀教師的人數(shù)記為X,求X的分布列

與期望.

【解析】(1)由表可知,x+0.25+0.35+0.2+x=l,解得x=0.1,

參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率為0.2+x=0.3；

(2)由(1)可知，當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師是優(yōu)秀教師的概率為0.3,

X的取值可能為0,1,2,3,

3

尸(x=0)=(1-0.3)=0.343,尸(X=1)=C；X0.3X(1-0.3)2=0441,

P(X=2)=C；x0.32x(l-0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

X的分布列為

0123

0000

.343.441.189.027

￡(X)=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

14/20

或?qū)懗捎蒟?3(3,0.3),得E(x)=3x0.3=0.9.

16.(15分)

在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,a=l,/二=

cosAcosC

⑴求角A；

(2)若。是線段2C的中點(diǎn)，且AO=1,求S,ABC；

(3)若VABC為銳角三角形，求VABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【解析】(1)由題及正弦定理可知：s'"="sinB_變￡,...sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA

cosAcosC

sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=2sinBcosA,

又A+與+C=7t,/.sinB=2sinBCosA,

?/sinB>0,/.cosA=—,

2

AG(0,K),,\A=^.

(2)由(1)及余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,BP1=Z?2+c2-be,①

又因?yàn)橥ǘ1■通+,正，則而2=（，麗+1/],

22（22）

所以1=++、2+4°,

②

444

_3

由②x4—①得：bc=—,

2

訴"V36_36

//T以S八AR「__bcsinA.—_x_x—―------.

△A3。22228

(3)由(1)得人=色，則3+。=&，BPsinC=sinf--cosB+—sinB,

33<3J22

22

由正弦定理可知6=77sin3,c=-j=sinC,

)^sinB+-cosB

所以b+c=-^(sinB4-sinC=22sinB+

[22J

JT/JTTT

因?yàn)閂ABC為銳角三角形，所以0<8<],0<y-B<p

on71n兀兀n兀2兀mi?Un兀)(石1

即2sinB+；e(后2],

則a+6+ce（l+G,3],故VA3C的周長(zhǎng)的取值范圍為（l+百同.

15/20

17.(15分)

已知函數(shù)/(%)=一x,g(%)=x-cAwc^aGR).

(1)若a=l,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程；

⑵求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若/⑴和g(x)有相同的最小值，求。的值.

【解析】(1)因?yàn)閍=l,/(x)=aex-x=ex-x,

所以r(x)=e-l,

所以廣(0)=e0-1=0,/(0)=e°-0=l

所以，曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程y-i=o(x-o),即y=i

(2)函數(shù)g(元)=尤-。111元(aeR)的定義域?yàn)?0,+8),

所以，g，(尤)=1_色=士￡,

XX

所以，當(dāng)aWO時(shí)，g'(x)>0在(0,+動(dòng)上恒成立，函數(shù)g(x)在(0,+ao)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，尤e(0,a)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；+<?)時(shí)，g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，增區(qū)間為(0,+"),無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，減區(qū)間為(O,a),增區(qū)間為(a,+s).

(3)由(2)知，當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在(O,a)上單調(diào)遞減，g(x)在(a,+℃)單調(diào)遞增.

所以，g。)疝n=g(a)=a_alna

因?yàn)閒'(x)=aex-1,f\x)=ae*-1=。得x=In工，

a

所以，當(dāng)xe1-8,ln￡|時(shí)，f'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(ln，+j時(shí)，廣。)>0,/5)單調(diào)遞增,

1In21

所以，/OUn=/(ln—)=Qe%-出一=l+lna,

aa

因?yàn)?(%)和g(%)有相同的最小值，

所以l+lna=a—alna,Bp(l+a)lna—a+l=0,

16/20

1尤1

令。(％)=(1+%)111%—九+1,=ln%+--------1=Inx+—,

xx

令￡(%)=1口尤+工,tr(^)=---T=--r^

xxxx

所以，當(dāng)％￡(0,1)時(shí)，t(x)<0,方⑺單調(diào)遞減,當(dāng)“￡(l,+oo)時(shí),f(x)>0,*冗)單調(diào)遞增,

所以《力2(1)=1>0,即1(x)=ln尤+1>0,

所以，刈司在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)棰?（l+l）lnl—l+l=0,

所以，（l+a）lna—。+1=0等價(jià)于a=1

即。的值為1.

18.（17分）

空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，點(diǎn)C（-l,0,0）,過(guò)點(diǎn)（1,0,0）的直線乙與過(guò)點(diǎn)（0,-1,0）的直線4的傾斜角之和

為兀，且4與平面xOy內(nèi)的拋物線交于兩點(diǎn)，4與x軸交于尸，。為z軸正半軸一點(diǎn)，且。尸=百，

（4，4均在平面尤。y內(nèi)）

JT

（1）若4的傾斜角為萬(wàn)，求二面角A-SD-C的余弦值；

（2）求三棱錐D-ABC體積的最大值.

【解析】（1）若4的傾斜角為、則尸，。重合，|小|=|00|=6，

由題意直線4的傾斜角也為7:T，

如圖空間直角坐標(biāo)系中，

D(o,0,V5),C(-l,0,0),4(1,2,0),8(1,-2,0)，

則BA=(0,4,0),AD=(-l,-2,A/5),BC=(-2,2,0),CD=(1,0,75),

設(shè)平面的法向量為百=（石,X，zJ,

17/20

n,-BA=4y=0一l

則______r，令4=1,則々=（6,0,l）；

勺?AD=-xl-2yl+\J5zi=0

設(shè)平面BCD的法向量為0=（馬,為，Z2），

n,-BC=-2X+2y=0一ll

則_____.9廠9一，令馬=-1,則%=（石，拓,一1）;

設(shè)二面角A-3D-C的平面角為。，

則向sM=H點(diǎn)碼=尚=就余=鬻，

由圖觀察知。為銳角，故二面角A-BD-C的余弦值為旭.

33

（2）由題意可知，直線AB的斜率不為0,

設(shè)直線lAB：x=my+l,設(shè)A（xv%）,B（x2,%）,

x=my+1

聯(lián)立消x得/_4my-4=0,

y2=4x

IVi+y9=4m

則△=16/+16>0,/，又GT。，。）,

I%%一

設(shè)直線AB與x軸交于E,E（l,0,0）,貝1CE|=2,

又直線4"=沖+1,直線4與直線6的傾斜角之和為兀，且直線6過(guò)（。，-1，。），

則4與x軸交于尸（-九0,0）,

則S.ABC=曰CE||%-%|=+=Wl+m2.

設(shè)￡＞（0,0,3,由同=?,

則口Q=/z=^5-|OF|2=yl5-m2,小已［0,5）,

則