第1章三角形的證明［3大考點(diǎn)14種題型】

【北師大版】

＞題型梳理

【考點(diǎn)1等腰三角形】.........................................................................1

【題型1含30。的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】.......................................................2

【題型2等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】......................................................4

【題型3等邊三角形的性質(zhì)與判定】............................................................5

【題型4解決“一線”的最短路徑問(wèn)題】...........................................................6

【題型5解決“兩線”的最短路徑問(wèn)題】...........................................................8

【考點(diǎn)2直角三角形】.........................................................................9

【題型6直角三角形全等的判定】..............................................................9

【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】...........................................................10

【題型8勾股定理及其逆定理】...............................................................12

【題型9命題與定理】........................................................................13

【考點(diǎn)3線段的垂直平分線、角平分線】........................................................13

【題型10利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)】...............................................14

【題型11段垂直平分線的性質(zhì)、判定與全等三角形的綜合應(yīng)用】...................................15

【題型12角平分線性質(zhì)的應(yīng)用】................................................................16

【題型13角平分線判定的應(yīng)用】................................................................18

【題型14角平分線性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】......................................................19

?舉一反三

【考點(diǎn)1等腰三角形】

1,等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).

性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).

等腰三角形的其他性質(zhì)：

(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等.

(2)等腰三角形兩底角的平分線相等.

(3)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

(4)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0。時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是

45°.

2.等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

1

(1)定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在小ABC中，???,..?AB=AC(等角對(duì)等邊).

【注意】

(1廣等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等.因?yàn)樵跊](méi)有判定出

它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.

(2)“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三

角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

3.等邊三角形及其性質(zhì)

等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

【注意】

(1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).

4.等邊三角形的判定

定等邊三角形的方法：

(1)定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

(3)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

5.含30。角的直角三角形的性質(zhì)

一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

【注意】

(1)該性質(zhì)是含30。角的特殊直角三角形的性質(zhì),一般的直角三角形或非直角三角形沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，更不能

應(yīng)用.

(2)這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍分關(guān)系.

(3)該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切.

(4)在有些題目中，若給出的角是15。時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和將15。的角轉(zhuǎn)

化后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題.

【題型1含30。的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法總結(jié)】常常利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)“30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”來(lái)解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)

題.

【例1】(23-24八年級(jí)?遼寧大連?期末)如圖，在等邊A2BC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AD=CE,

線段BE、CD交于點(diǎn)F,連接AF.

2

A

E

(1)求NCFE的度數(shù)；

⑵當(dāng)乙4FE=30。時(shí)，用等式表示線段CF與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式1-1](23-24八年級(jí).上海崇明?期末)如圖，△4BC和AZDE中，AB=AD,Z.B=ZD,BC=DE.邊

4。與邊BC交于點(diǎn)尸(不與點(diǎn)8,C重合)，點(diǎn)2,E在4。異側(cè).

(1)若乙8=30°,/-APC=70°,求NC4E的度數(shù);

(2)當(dāng)NB=30。，ABVAC,AB=6時(shí)，設(shè)力P=x,請(qǐng)用含尤的式子表示PD,并寫出PD的最大值.

【變式1-2](23-24八年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知在AABC中，乙4cB的平分線CD交48于點(diǎn)。，DEWBC.

(1)如圖1,求證：ACDE是等腰三角形；

(2)如圖2,若DE平分N2DC交AC于E,^ABC=30°,在BC邊上取點(diǎn)/使BF=DF,若BC=12,求。尸的長(zhǎng).

【變式1-3](23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期中)如圖，AABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從A、

B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿A3、BC方向勻速移動(dòng).

3

(1)當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度是lcm/s,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s,當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為f(s),當(dāng)t=2時(shí)，判斷ABPQ的形狀，并說(shuō)明理由；

⑵當(dāng)它們的速度都是lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，尸、。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),則當(dāng)

f為何值時(shí)，APBQ是直角三角形？

【題型2等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】

【例2】(23-24八年級(jí).安徽六安.期末)在等腰△ABC中，AB=BC,高A。、BE所在的直線相交于點(diǎn)R將

△ACD沿直線4D翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C，落在直線BC上，連接FC，.

(1)如圖1,當(dāng)乙480=45。時(shí)，

①求證：BF=AC-,

②求NFC，D的度數(shù).

(2)當(dāng)乙4BC=135。時(shí)，補(bǔ)全圖2,并求證：CFWAB.

【變式2-1](23-24八年級(jí)?安徽六安?期末)如圖，點(diǎn)。、E在AABC的邊BC上，AD=AE,BD=CE.

(1)求證：AB=AC.

(2)若NB4C=108。,2NDAE+ABAC=180°,直接寫出圖中除△ABC與△2DE外所有等腰三角形.

【變式2-2](23-24八年級(jí).湖北荊門.期末)如圖，在△ABC中，乙ACB=24B,NB4c的平分線4D交BC于

過(guò)C作CN14D交4D于〃，交2B于N.

4

A

(1)求證：△⑷VC為等腰三角形；

(2)求證：BN=CD.

【變式2-3X23-24八年級(jí)下?四川成都?期末)如圖1,在A2BC中,。為邊BC上L點(diǎn),2B=AD=CD,BC=AC.

圖1圖2

(1)求NC的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)E在C4延長(zhǎng)線上，連接BE,BE||AD,求證：AE=CD；

(3)在(2)的條件下，求證：CE-BD2AB.

【題型3等邊三角形的性質(zhì)與判定】

【例3】(23-24八年級(jí).全國(guó).單元測(cè)試)己知：如圖，4ABC、△CDE都是等邊三角形，AD,BE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

M、N分別是線段4D、BE的中點(diǎn).

⑵求WOE的度數(shù)；

(3)求證：AMNC是等邊三角形.

【變式3-1](23-24八年級(jí)?湖北咸寧?期末)如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E,F分別為邊BC,CA

的中點(diǎn).

5

ccc

圖1圖2圖3

(1)求證：ACFE為等邊三角形；

⑵連接CD交EF于點(diǎn)G,如圖2,求證：CG1FE；

(3)如圖3,已知△ABC的面積為8,求△￡>￡1/的面積.

【變式3-2](23-24八年級(jí)?安徽?期末)如圖，在等邊三角形48c中，點(diǎn)E在4B上，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上,

且ED=EC.

E

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)E為2B的中點(diǎn)時(shí)，貝!MEDB(填或.

(2)如圖2,當(dāng)E為48邊上任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在4B的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AABC的邊長(zhǎng)為2,AE=3,求CD的長(zhǎng).

【變式3-3](23-24八年級(jí)?北京?期末)如圖，=30。，點(diǎn)8與點(diǎn)C關(guān)于射線2H對(duì)稱，連接4C.。點(diǎn)為

射線力H上任意一點(diǎn)，連接CD.將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段CE,連接8E.

(1)求證：直線E8是線段2C的垂直平分線;

(2)點(diǎn)。是射線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出N4DC與NEC4之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型4解決“一線”的最短路徑問(wèn)題】

方法總結(jié)：(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，所得線段與直線

6

的交點(diǎn)即為所求的位置.

（2）求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，

連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，所得線段與該直線的交點(diǎn)即為所求的位置.

【例4】（23-24八年級(jí)廣東韶關(guān)?期中）如圖，等邊△力BC中，8。1力。于。，QD=1.5,點(diǎn)P、Q分別為AB、

AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=AQ=2,在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為

【變式4-1］（23-24八年級(jí)下?廣東清遠(yuǎn)?期末）如圖，在銳角三角形ZBC中，AB=4,△力BC的面積為7,BD

平分NABC,若N分別是8D,BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝"CM+MN的最小值為

【變式4-2］（23-24八年級(jí)下?河南鄭州.期末）如圖，在△4CD中，AB=AC=7,4。=8.3,點(diǎn)E在上，CE=CB,

C/平分/8CE交于點(diǎn)足點(diǎn)P是線段CF上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為（）

A.6B.7C.7.5D.8.3

【變式4-3］（23-24八年級(jí)?陜西西安?期末）如圖，在等腰△4BC中，AB=AC=10,BC=16,AABD是

等邊三角形，點(diǎn)P是N82C的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD,則PC+PD的最小值為.

P

7

【題型5解決“兩線”的最短路徑問(wèn)題】

【例5X23-24八年級(jí).新疆烏魯木齊.期末）如圖，已知的大小為a,尸是乙40B內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且0P=5,

點(diǎn)E、尸分別是。4、0B上的動(dòng)點(diǎn)，若APEF周長(zhǎng)的最小值等于5,則戊=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式5-1］（23-24八年級(jí)?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖所示，在P,Q兩村之間有兩條河，且每條河的寬度相同，

從P村往Q村，要經(jīng)過(guò)兩座橋EF,MN.現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一條道路，并在兩條河上分別架這兩座垂直于河岸的大

橋，問(wèn)：如何設(shè)計(jì)這兩座橋EF,MN的位置，使由P村到Q村的路程最短？（要求在圖上標(biāo)出道路和大橋的

位置）

【變式5-2］（23-24八年級(jí).湖北武漢.期末）如圖，^AOB=20°,M,N分別是邊。4,OB上的定點(diǎn)，P,Q分

別是邊OB,。4上的動(dòng)點(diǎn)，記NOPM=a,乙OQN=6,當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于a,。的數(shù)量關(guān)系

正確的是（）

A."a=30°B.p+a=210°C.￡-2a=30°D.￡+a=200。

【變式5-3］（23-24八年級(jí)下?重慶大渡口?期末）在ANBC和AAE尸中，AC=AE,連接CE,CE恰好平分N4CB,

在CE上存在一點(diǎn)使AD4F與N4CB互為補(bǔ)角，連接2D.

8

CA

圖3

(1)如圖1,當(dāng)乙4cB=60。時(shí)，求NC4E的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)NACB=120。，AD=4F時(shí)，試說(shuō)明EF與AC的位置關(guān)系；

(3)在(2)間的條件下，如圖3連接FD并延長(zhǎng)，分別交BC,2E于點(diǎn)M,N,若MN=4,AC=BC,P,Q

分別為力B和4E上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△DPQ周長(zhǎng)的最小值.

【考點(diǎn)2直角三角形】

1.直角三角形全等的判定

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.這一定理簡(jiǎn)稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.

2.直角三角形性質(zhì)

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

3.直角三角形判定

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【題型6直角三角形全等的判定】

[例6](24-25八年級(jí)?黑龍江齊齊哈爾?期末)如圖，在RtA4BC中，N2CB=90。，。是4B上的一點(diǎn),8。=BC,

過(guò)點(diǎn)。作4B的垂線交力C于點(diǎn)E,連接CD,BE,相交于點(diǎn)F.

⑴求證：BE1CD.

(2)若ABAC=30。，試判斷ACBD的形狀，并說(shuō)明理由.

【變式6-1](23-24八年級(jí)?云南曲靖?期中)如圖，在△力BC和△AB匕，中，ZC=乙C'=90°,AB=A'B',AD

與4。'分別為BC,B'C'邊上的中線，且CD=C'O',求證：4ABe三XA'B'C.

9

AA'

【變式6-2](24-25?重慶江北?開(kāi)學(xué)考試)如圖，△NBC中，AB=AC,2。，BC于點(diǎn)D

(1)求證：△4CD三△4BD；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CE14B于點(diǎn)E,CE交4。于點(diǎn)R若CE=AE.求證：AF=2CD.

【變式6-3](24-25八年級(jí)?貴州遵義?期末)如圖①，四邊形4BCD中,48=90。,連接2C,且47=2,

點(diǎn)E在邊BC上，連接DE,過(guò)點(diǎn)力作4FIDE,垂足為F,^AB=AF.

圖①圖②

⑴求證：^DAF=乙CAB；

(2)如圖②，連接力E,且AE是NB4F的角平分線，求證：DF=EF+CE.

【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】

【例7】(23-24八年級(jí).遼寧盤錦?期末)如圖，在A/IBC中，乙4cB=90。，點(diǎn)。為4C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作ZE18。

于點(diǎn)E.

B

E

(1)當(dāng)BD平分N4BC,且A4BC=60°時(shí)，求NR4E的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，DB=3,且△BCD的面積為：，求4E的長(zhǎng).

4

10

【變式7-1]（23-24八年級(jí).貴州貴陽(yáng).期末）如圖,直線a||b,CD14B于點(diǎn)D,若N1=130。，則乙2等于（）

C.40°D.30°

【變式7-2]（23-24八年級(jí)?浙江溫州?期末）圖1的指甲剪利用杠桿原理操作，圖2是使用指甲剪的側(cè)面示

意圖，/.CEO=90°,杠桿8c與上臂OC重合；使用時(shí)，8剛好至9點(diǎn)，當(dāng)4次||OE時(shí)，恰好CB”平分/OCE,

【變式7-3]（23-24八年級(jí)?遼寧盤錦?期末）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊

線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖1圖3

（1）【初步探究】在△ABC中，NB=42。,4。=70。，作ZBAC的平分線力。交BC于點(diǎn)Z）.在圖1中，作4E，BC

于E,求ND4E的度數(shù)；

（2）【遷移探究】在△力BC中，ZB=42°,ZC=70°,作NBAC的平分線2D交BC于點(diǎn)D.如圖2,在4D上任

取點(diǎn)R作FE1BC,垂足為點(diǎn)E,直接寫出NDFE的度數(shù)；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在AaBC中，NC>NB,4D平分NB4C,點(diǎn)尸在。力的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E1BC于E,求

出NDFE與NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

11

【題型8勾股定理及其逆定理】

【例8】(2024八年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí))葛藤是一種"刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常

常繞著樹(shù)干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹(shù)盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)

(1)想一想怎樣找出最短路徑；

(2)如圖，若樹(shù)干周長(zhǎng)為3m,葛藤繞一圈升高4m,則它爬行一周的路程是多少米？

【變式8-1](24-25八年級(jí)?全國(guó),期末)在AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D,E分別是斜邊力B和

直角邊CB上的點(diǎn)，把ADEB沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是夕.

(1)如圖①，如果點(diǎn)次和頂點(diǎn)4重合，求CE的長(zhǎng)；

⑵如圖②，如果點(diǎn)次落在4；的中點(diǎn)處，求CE的長(zhǎng).

【變式8-2](23-24八年級(jí)?湖南婁底?階段練習(xí))如圖，已知A/IBC中，乙4cB=90。，CDLAB,垂足為點(diǎn)

D,CE是4B邊上的中線.

(2)若4B=10,BC=6,求DE的長(zhǎng).

【變式8-3](23-24八年級(jí)?四川廣元?期末)已知在7X7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,在下列正方

12

形網(wǎng)格中用無(wú)刻度的直尺按要求作圖:

圖1圖2

⑴如圖1,48與CD交于點(diǎn)M；

①找格點(diǎn)E,使DEIMB且DE=AB-.

②直接寫出乙4MC的度數(shù).

（2）如圖2,點(diǎn)2、B、C均在格點(diǎn)上，依照（1）中方法在2B上作點(diǎn)M,使/CMA=45。.

【題型9命題與定理】

［例9］（23-24八年級(jí)?河南鄭州?期末）定理"三角形的任意兩邊之和大于第三邊"可以由你學(xué)過(guò)的哪一條基

本事實(shí)推理證明得到？.

【變式9-1］（2024八年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）下面定理中，沒(méi)有逆定理的是（）

A.同位角相等，兩直線平行B.對(duì)頂角相等

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

【變式9-2］（24-25八年級(jí)?上海楊浦?階段練習(xí)）將命題"等腰三角形中兩腰上的中線相等"的逆命題改寫成

”如果...，那么..."的形式.

【變式9-3］（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列命題可以作定理的有個(gè).

①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程;久+7=芽的根；④三角形的內(nèi)角

和是180。；⑤等式兩邊加上同一個(gè)數(shù)仍是等式.

【考點(diǎn)3線段的垂直平分線、角平分線】

1.線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)

（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上，則PA=PB.

13

(3)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.書寫格式：如圖所示，若PA=PB,則點(diǎn)P

在線段AB的垂直平分線上.

2.角的平分線的性質(zhì)

內(nèi)容：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

【提示】

(1)這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；

(2)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；

(3)使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；

(4)運(yùn)用角的平分線時(shí)常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用其相等來(lái)推導(dǎo)其

他結(jié)論.

4.角的平分線的判定

(1)內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

(2)角的平分線的判定的前提條件是指在角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等時(shí)，它才是在角的平分線上，角

的外部的點(diǎn)不會(huì)在角的平分線上.

【題型10利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)】

【方法總結(jié)】此類題目一般是借助線段垂直平分線的性質(zhì),將一條線段用另一條線段來(lái)替換.

【例10](23-24八年級(jí)?江蘇南通?期末)如圖，在AABC中，E是BC上一點(diǎn)=AB,EF垂直平分力C,力D1BC

于點(diǎn)。，AaBC的周長(zhǎng)為18cm,AC=7cm,則DC的長(zhǎng)為.

【變式10-11(23-24八年級(jí)下?河南周口?期末)如圖，。為BC上一點(diǎn)，CE垂直平分力。交力D于點(diǎn)E,已知AC=5,

BC=8,貝1JBD的長(zhǎng)為()

14

A.3B.5C.8D.18

【變式10-2](23-24八年級(jí)?寧夏石嘴山?期末)如圖，在AdBC中，AB=AC=10cm,DE垂直平分力B,垂

足為E,交4C于D,若ADBC的周長(zhǎng)為18cm,貝。BC的長(zhǎng)為.

【變式10-3](23-24八年級(jí)?廣西貴港?期末)如圖，在AABC中，DM,EN分別垂直平分邊AC和邊BC,交

邊4B于"、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F.

(1)若4B=3cm,求4CMN的周長(zhǎng).

(2)若NMFN=80°,求乙MCN的度數(shù).

【題型U段垂直平分線的性質(zhì)、判定與全等三角形的綜合應(yīng)用】

【例11】(23-24八年級(jí)?湖南株洲.期末)如圖，在四邊形力BCD中，ADWBC,E為CD的中點(diǎn)，連接4E、BE,

BE1AE,延長(zhǎng)4E交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(2)求證：AB=BC+AD：

(3)若四邊形4BCD的面積為32,AB=8,求點(diǎn)E到BC邊的距離.

【變式11-1](23-24八年級(jí).河北滄州?階段練習(xí))如圖，AABC中，^ACB=90°,80平分乙4BC交AC于點(diǎn)

D,過(guò)點(diǎn)C作CE1BD于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E.

15

(1)求證：BD是線段CE的垂直平分線；

(2)若NCBD=20°,求NADE的度數(shù).

【變式11-2](23-24八年級(jí)下.重慶沙坪壩?期末)如圖，在AaBC中，ZXCB=90°,AC=BC,￡為AC邊的

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作/W14B交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，CG平分N4CB交BD于點(diǎn)G,在邊上取一點(diǎn)F,使乙4CF=

MBG,連接CF.

⑴求證：4F=CG；

(2)試探究線段CF與DE長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)結(jié)論給予證明.

【變式11-3](23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末)如圖，DALAB,垂足為4CB14B,垂足為B,E為2B的

中點(diǎn)，AB=BC,CE±BD.

(1)求證：BE=AD.

(2)有同學(xué)認(rèn)為4C是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對(duì)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；

(3)若乙4BD=25。，求NBDC的度數(shù).

【題型12角平分線性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法總結(jié)】角平分線上有一點(diǎn)到一條邊有垂線段時(shí),通?？勺鬟@一點(diǎn)到另一邊的垂線段彳導(dǎo)到兩條垂線段的

16

長(zhǎng)度相等.

【例12】（23-24八年級(jí)下.山東青島.期末）如圖1,在AABC中，4D是△力BC的角平分線.

（1）若48=6,AC=3,BC=5,可得到結(jié)論：器=；

（2）若=AC=n,BC=t,可得到結(jié)論：,=；

（3）圖2中，AB=m,AC^n,BC=t,若CE是NBC4的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,可得到結(jié)論:

BE

族二----------.

【變式12-1］（23-24八年級(jí)下.湖南張家界.期末）如圖，點(diǎn)P是△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若△ABC的

周長(zhǎng)為18cm,面積為27cm2,則點(diǎn)尸到邊BC的距離是（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

【變式12-2］（23-24八年級(jí)?湖北武漢?期末）如圖，在△力BC中，AD是它的角平分線，點(diǎn)P是線段力D上的

任一點(diǎn)（不與A、。重合），PE||AB,交BC于點(diǎn)E,PF||AC,交BC于點(diǎn)、F,若點(diǎn)。至ijPE的距離為3,PF=6,

貝USAPOF=-

【變式12-3］（23-24八年級(jí)?云南紅河?期末）如圖所示，在A/IBC中，4D平分ABAC,NB=50。，過(guò)點(diǎn)。作

AC的垂線，交4C于點(diǎn)E,乙CDE=32°.

17

A

⑴求乙4DE的度數(shù)；

（2）若AC=6,2匹=三，求4B的長(zhǎng).

S&ABD4

【題型13角平分線判定的應(yīng)用】

【方法總結(jié)】證明一條射線（或線段）是角平分線，有兩種方法:①利用三角形全等證兩角相等;②利用到角兩邊

距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

【例13】（23-24八年級(jí)?重慶渝北?期末）已知，AABC和AECD都是等邊三角形，且點(diǎn)8、C、。在一條直

線上.

（2）若AD,BE交于。點(diǎn)，連接。C,求證：0c平分NBOD.

【變式13-1］（23-24八年級(jí).海南省直轄縣級(jí)單位?期中）如圖，已知點(diǎn)E、尸分別是△ABC的三邊上的點(diǎn),

CE=BF,SXDCE=S^DBF，且NBA。=42°,貝I］N84c的值是.

【變式13-2］（23-24八年級(jí).河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，三條公路兩兩相交于A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)

商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有處?（陰影部分不能修建超市）

18

A

【變式13-3]（23-24八年級(jí).湖南衡陽(yáng)?期中）如圖，AB=4C,BEUC于點(diǎn)及C4148于點(diǎn)尸,BE、CF相交

于點(diǎn)。，則①△28E三AACF；?ABDF=ACDE；③點(diǎn)。在乙8江的平分線上，以上結(jié)論正確的是.（填

序號(hào)）

【題型14角平分線性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】

【方法總結(jié)】當(dāng)遇到角平分線問(wèn)題時(shí)，除了常見(jiàn)的作垂線的方法，還有截長(zhǎng)法.遇到角平分線時(shí)的常見(jiàn)作輔助線

方法：

①作垂線:已知AP平分/BAC,過(guò)點(diǎn)P作PD_LAB,PE_LAC,得PD=PE且，可△ADP^AAEP;

②截長(zhǎng):已知AP平分/BAC,在AC上截取AF=AE,連接PF,可證得△AFPP^AAEP.

,C

K

AEB

【例14】（23-24八年級(jí)?江蘇泰州?期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，已知NDAC=a,=

90。一三（6平分〃。8交48于點(diǎn)￡,連接DE,貝UNDEC的度數(shù)為（）

A-IB-?C-300-ID.45。-a

19

【變式14-1](23-24八年級(jí)下?山東威海?期末)如圖，△ABC的內(nèi)角N4BC和外角NACD的角平分線BE,CE交

于點(diǎn)E,且NBEC=26°,貝ikCAE=.

【變式14-2](23-24八年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))如圖，AABC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZFXD=100°,乙4BC的

平分線交4C于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作垂足為F,且乙4EF=50。，連接DE.

⑴求證：DE平分Z71DC；

(2)若4B=7,AD=4,CD=8,ShACD=15,求△ABE的面積.

【變式14-3](23-24八年級(jí)下.黑龍江哈爾濱.期末)在△ABC中，/.BAC=60°,線段BF、CE分別平分N2BC、

乙4cB交于點(diǎn)G.

⑴如圖1,求NBGC的度數(shù)；

(2)如圖2,求證：EG=FG-,

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CD1EC交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接2D,點(diǎn)N在B4延長(zhǎng)線上，連接NG交4C于點(diǎn)M,使

ADAC=Z.NGD,若EB:FC=1:2,CG=10,求線段MN的長(zhǎng).

20

第1章三角形的證明［3大考點(diǎn)14種題型】

【北師大版】

＞題型梳理

【考點(diǎn)1等腰三角形】.........................................................................1

【題型1含30。的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】.......................................................2

【題型2等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】......................................................4

【題型3等邊三角形的性質(zhì)與判定】............................................................5

【題型4解決“一線”的最短路徑問(wèn)題】...........................................................6

【題型5解決“兩線”的最短路徑問(wèn)題】...........................................................8

【考點(diǎn)2直角三角形】.........................................................................9

【題型6直角三角形全等的判定】..............................................................9

【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】...........................................................10

【題型8勾股定理及其逆定理】................................................................12

【題型9命題與定理】........................................................................13

【考點(diǎn)3線段的垂直平分線、角平分線】........................................................13

【題型10利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)】...............................................14

【題型11段垂直平分線的性質(zhì)、判定與全等三角形的綜合應(yīng)用】...................................15

【題型12角平分線性質(zhì)的應(yīng)用】...............................................................16

【題型13角平分線判定的應(yīng)用】................................................................18

【題型14角平分線性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】......................................................19

?舉一反三

【考點(diǎn)1等腰三角形】

1.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角“).

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).

等腰三角形的其他性質(zhì)：

(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等.

(2)等腰三角形兩底角的平分線相等.

(3)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

(4)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0。時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是

45°.

2.等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

(1)定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

21

(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊“).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在仆ABC中，VZB=ZC,：.AB=AC(等角對(duì)等邊).

【注意】

(1)“等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等.因?yàn)樵跊](méi)有判定出

它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.

(2)“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三

角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

3.等邊三角形及其性質(zhì)

等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

【注意】

(1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).

4.等邊三角形的判定

定等邊三角形的方法：

(1)定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

(3)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

5.含30。角的直角三角形的性質(zhì)

一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

【注意】

(1)該性質(zhì)是含30。角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，更不能

應(yīng)用.

(2)這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍分關(guān)系.

(3)該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切.

(4)在有些題目中，若給出的角是15。時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和將15。的角轉(zhuǎn)

化后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題.

【題型1含30。的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法總結(jié)】常常利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)“30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”來(lái)解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)

題.

【例1】(23-24八年級(jí)?遼寧大連?期末)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AD=CE,

線段BE、CD交于點(diǎn)F,連接4F.

22

A

E

(1)求NCFE的度數(shù)；

⑵當(dāng)乙4FE=30。時(shí)，用等式表示線段CF與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(l)NCFE=60°；

(2)CF=2BF,證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)通過(guò)SAS證明ADBC三△瓦4B得出Z.BE=/.BCD,再由乙4BE+Z.CBE=60。即可推出結(jié)果；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CH1BE,垂足為H,通過(guò)AAS證明△4FC三△CHB得出CF=BH,再根據(jù)含30。的直角三角形

性質(zhì)推出CF=2FH即可得出結(jié)論；

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：???△ABC是等邊三角形，

：.^CAB=ABCA=60°,AC=CB,

在△力。。和八CEB中，

-AD=CE

乙CAB=/.BCA

.AC=CB

：.AADCCEB(SAS),

:.乙CBE=AACD,

."CFE=UBE+乙BCD="CD+4BCD=乙BCA=60°,

(2)證明：過(guò)點(diǎn)C作CHIBE,垂足為H,

:.乙CHB=90°.

23

9：^AFC=^AFE+乙CFE=30°+60°=90°,

：.^AFC=乙CHB,

在△4CF和△C8H中，

NAFC=（CHB

Z.ACD=乙CBE

、AC=CB

：.△ACF=△CBH（AAS）,

:?CF=BH,

■:乙FCH=180°-乙CHB-Z.CFE=180°-90°-60°=30°,

CF=2FH,

：.BH=2FH,

即BF+F”=2FH,

：.BF=FH,

：.CF=2BF.

【變式1-1］（23-24八年級(jí)?上海崇明?期末）如圖，△ZBC和△ZDE中，AB=AD,乙B=^D,BC=DE.邊

與邊交于點(diǎn)尸（不與點(diǎn)3,C重合），點(diǎn)8,E在ZO異側(cè).

D

⑴若匕B=30°,乙4PC=70°,求心CAE的度數(shù)；

(2)當(dāng)=30。，AB1AC,ZB=6時(shí)，設(shè)/尸=%,請(qǐng)用含x的式子表示尸D,并寫出PO的最大值.

【答案】(1)40。；

(2)尸。=6-%,3；

【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定三角形全等的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)證明△4BC三△40E,進(jìn)而解答即可.

(2)根據(jù)當(dāng)401BC時(shí)，x最小，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可.

【詳解】(1)解：在和△40E中，

24

AB=AD

乙B—Z-Df

、BC=DE

A^BC-AA^DE,

Z.BAC=Z.DAE,

Z-BAC-Z-DAC=Z-DAE—Z-DAC,

???乙BAD=Z-CAE,

???乙B=30°,^APC=70°,

???/.CAE=乙BAD=乙APC-Z.B=70°-30°=40°.

(2)解???AB1AC,

???/.BAC=90°,

vAB=6,AP=x,△ABC=△ADE,

???AB=AD=6,

???當(dāng)4。IBC時(shí)，x最小，尸0最大，PD=6-x,

v=30°,40IBC,

???乙APB=90°,

AP=-AB=3,

2

&p=x=3時(shí)，PD有最大值，即PD=aD-4P=6-3=3.

【變式1-2](23-24八年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知在AABC中，乙4cB的平分線CD交4B于點(diǎn)。，DEWBC.

(1)如圖1,求證：ACDE是等腰三角形；

(2)如圖2,若DE平分N4DC交4C于E,乙ABC=30°,在BC邊上取點(diǎn)尸使BF=DF,若BC=12,求。尸的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)4

25

【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的性

質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定進(jìn)行推論即可；

（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)，以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：:CD是乙4cB的平分線，

???乙BCD=Z.ACD,

???DEWBC,

???乙BCD=Z.EDC,

???Z-EDC=Z-ACD,

.?.ED=EC；

即△CDE是等腰三角形；

（2）解:（DEIIBC,乙4BC=30。,

AAADE=乙ABC=30°,

又???OE平分乙4DC,

???/,ADE=乙CDE=30°,

由（1）可知，乙ACD=乙BCD=Z.CDE=30°,

BF=DF,

???乙B=乙BDF=30°,

???乙DFC=30°+30°=60°,

在△。戶C中，^FDC=90°,ZFCD=30°,

i

AZ）F=-FC,

2

又,：DF=BF,BC=12,

???DF=-BC=ix12=4.

33

【變式1-3］（23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧.期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從4、

B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿A3、BC方向勻速移動(dòng).

26

(1)當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度是lcm/s,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s,當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為f(s),當(dāng)t=2時(shí)，判斷ABPQ的形狀，并說(shuō)明理由；

⑵當(dāng)它們的速度都是lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，尸、。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),則當(dāng)

f為何值時(shí)，aPeQ是直角三角形？

【答案】(1)△BPQ是等邊三角形，理由見(jiàn)解析

(2)當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或4s時(shí)，△BQP是直角三角形

【分析】(1)分別求出BP、BQ的長(zhǎng)可知BP=BQ,再由等邊三角形的性質(zhì)得到NB=60。，即可證明ABPQ是

等邊三角形；

(2)分當(dāng)4PQB=90°時(shí)和當(dāng)NBPQ=90。時(shí)兩種情況利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可，

本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握直角三角形含30

度角的性質(zhì)是關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：ABPQ是等邊三角形，理由如下；

由題意得，當(dāng)t=2時(shí)，AP=2cm,BQ=4cm,

/.BP=AB-AP=4cm,

：.BP=BQ,

'''△HBC是等邊三角形，

."B=60°,

.?.△8PQ是等邊三角形；

(2)解；?.?運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,

.'