熱點題型?新情境問題攻略

專題20帶電粒子在立體空間中的運動問題破譯

目錄

01.題型綜述..................................................................

02.解題攻略..................................................................

03.高考練場...................................................................................33

01題型綜述

帶電粒子在立體空間中的組合場、疊加場的運動問題，通過受力分析、運動分析，轉(zhuǎn)換視圖角度，充分利

用分解的思想，分解為直線運動、圓周運動、類平拋運動，再利用每種運動對應(yīng)的規(guī)律進行求解。

02解題攻略

粒子在立體空間常見運動及解題策略

運動類型解題策略

在三維坐標(biāo)系中運動，每個軸方向都是常見

將粒子的運動分解為三個方向的運動

運動模型

旋進運動將粒子的運動分解為一個沿軸方向

一維加一面，如旋進運動的勻速直線運動或勻變速直線運動和垂直該

軸的所在面內(nèi)的圓周運動

把粒子運動所在的面隔離出來，轉(zhuǎn)換視圖角

運動所在平面切換，粒子進入下一區(qū)域偏轉(zhuǎn)

度，把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖，分析粒子在每

后曲線不在原來的平面內(nèi)

個面的運動

【典例剖析】

例1（2025?八省聯(lián)考云南）某小組基于“試探電荷”的思想，設(shè)計了一個探測磁感應(yīng)強度和電場強度的裝置，

其模型如圖所示.該裝置由粒子加速器、選擇開關(guān)和場測量模塊（圖中長方體區(qū)域）組成。"NPQ為場測

量模塊的中截面。以尸。中點O為坐標(biāo)原點，0P方向為x軸正方向，在MNPQ平面上建立。孫平面直角坐

標(biāo)系。

帶電粒子經(jīng)粒子加速器加速后可從。點沿y軸正方向射入。選擇開關(guān)撥到M擋可在模塊內(nèi)開啟垂直于。沖平

面的待測勻強磁場，長為2d的PQ區(qū)間標(biāo)有刻度線用于表征磁感應(yīng)強度的大小和方向；撥到與擋可在模塊

內(nèi)開啟平行于x軸的待測勻強電場，長為/的NP和QM區(qū)間，＞標(biāo)有刻度線用于表征電場強度的大小和

方向。帶電粒子以速度v入射，其質(zhì)量為根、電荷量為+4,帶電粒子對待測場的影響和所受重力忽略不計。

場

測

量

模

塊

S,

?S2

選擇開關(guān)粒子加速器

(1)開關(guān)撥到M擋時，在尸。區(qū)間(天,0)處探測到帶電粒子，求磁感應(yīng)強度的方向和大??；

(2)開關(guān)撥到當(dāng)擋時，在(〃,%)處探測到帶電粒子，求電場強度的方向和大??；

⑶求該裝置尸0區(qū)間和NP區(qū)間的探測量程。若粒子加速器的電壓為U,要進一步擴大量程，U應(yīng)增大還是

減小？請簡要說明。

例2.如圖所示，。孫z坐標(biāo)系內(nèi)有一邊長為2L的立方體空間立方體空間內(nèi)及邊界附近存

在沿y軸正方向的勻強電場和勻強磁場(圖中未畫出)，M、尸、K和N分別是AB、AA、A片和。1G的

中點。當(dāng)從Af點向K點射出速率為八質(zhì)量為〃?、電荷量為4的帶電微粒恰能通過P點。不計空氣阻力，

已知重力加速度為g。

⑴該區(qū)域的勻強電場的場強E和勻強磁場的磁感應(yīng)強度8

⑵若該微粒在M點沿方向以速度射入?yún)^(qū)域，求微粒離開立方體空間時的位置坐標(biāo);

⑶僅將電場反向，大小不變。若該微粒從M點沿MB方向以速度v=g麻高射入?yún)^(qū)域，求微粒離開立方體

空間時的位置坐標(biāo)；

例3.（2025高三上?河南南陽?階段練習(xí)）如圖所示，在x-y-z三維坐標(biāo)系的空間，在x軸上距離坐標(biāo)原點

切=0.2m處，垂直于無軸放置一足夠大的感光片。在X20空間存在著沿y軸正方向的勻強電場，電場強度

大小E=8.0x102v/m?，F(xiàn)有一帶正電的微粒從。點沿尤軸正方向射入該空間。微粒所帶電荷量q=1.6xW16

⑵若在該空間再添加一個沿y軸正方向的勻強磁場，磁場強度大小為0.1T。微粒以不同大小的初速度從。

點沿龍軸正方向射入。求：該微粒打在感光片上的位置到x軸的最大距離（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

例4.利用電場和磁場實現(xiàn)粒子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖1所示，平面左側(cè)存在沿y

軸負方向的勻強電場，右側(cè)存在沿?zé)o軸正方向的勻強磁場。一質(zhì)量為根、電荷量為q的帶正電的粒子，從

M卜2/,后,0）點以初速度/、沿著%軸正方向射入電場，恰好從。點進入磁場，再次從N（/,0,0）點通過%軸，

（1）求勻強電場的電場強度大小E和勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小B;

⑵從。點進入磁場運動時間為時，求粒子的位置坐標(biāo)；

⑶如圖2所示，若在yOz平面左側(cè)再加垂直X0X平面向里的勻強磁場，將上述帶正電粒子從

昌+j/，6z,0點以初速度“、沿著x軸正方向射入電磁場，運動軌跡恰好與x軸負半軸相切。求

所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小B'o

例5.（2025高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，在長方體區(qū)域內(nèi)，平面g旬?的左邊有垂直平面仍場的勻強

磁場、右邊有垂直平面ghb'a'的勻強電場?，F(xiàn)有電量為+4、質(zhì)量為機的一個粒子以大小為v的初速度從a點

沿平面。劭g進入磁場區(qū)域，經(jīng)〃點并垂直平面g何?的方向進入電場區(qū)域，最后從c'點離開電場。已知長方

sin53°-0.8,不計粒子重力。

⑴求磁感應(yīng)強度B和電場強度E的比值;

（2）求帶電粒子在磁場與電場中運動時間的比值;

⑶若只改變電場強度E大小，試討論：粒子離開長方體區(qū)域時動能4與E的關(guān)系式。

【變式演練】

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）空間直角坐標(biāo)系如圖所示，在y<。、z>0的區(qū)域內(nèi)存在沿z軸負方向的勻強電

場，電場強度大小為E（未知）；在y>。、z>0的區(qū)域內(nèi)存在沿x軸正方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小

為8（未知）；在y>0、zV0的區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向、磁感應(yīng)強度大小也為8的勻強磁場。一質(zhì)量為機、

電荷量為q的帶正電粒子在yOz的平面內(nèi)由y軸上的A點沿與y軸正方向成。=60。角的方向射入電場區(qū)域,

粒子由z軸上的點P（OQL）沿y軸正方向以大小為％的速度射入y>0、z>0區(qū)域，粒子經(jīng)該磁場偏轉(zhuǎn)后,

沿與>軸正方向成60。角的方向射入xOy平面下方。不計粒子的重力。求:

⑴電場強度的大小E；

⑵磁感應(yīng)強度的大小8;

⑶粒子經(jīng)P點后第三次穿過xQy平面時的位置坐標(biāo)。

2.（2025高三上?廣西貴港?階段練習(xí)）如圖所示，空間有一棱長為L的正方體區(qū)域，帶電粒子從平行于價

棱且與/共面的線狀粒子源連續(xù)不斷地逸出，逸出粒子的初速度為％,粒子質(zhì)量為優(yōu)，電荷量為+4,

經(jīng)垂直于上萬棱的水平電場加速后，粒子以一定的水平初速度從MS段（S為〃尸的中點）垂直進入正方體

區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域內(nèi)有垂直平面MPRG向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B,從M點射入的粒子恰好從R

點射出。忽略粒子間的相互作用，不計粒子重力。

⑵若該區(qū)域內(nèi)只有垂直平面MPRG向外的勻強電場，電場強度大小為名幽，已知從S點射入的粒子從0P

9m

邊上的某點射出，求該點距。點的距離Ay；

⑶以G為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，GA,GR，GM分別為無，丁，z軸的正方向，若該區(qū)域內(nèi)同時

存在上述磁場與電場，通過計算判斷從S點進入的粒子，離開該區(qū)域時的坐標(biāo)和速度大小

3.（2025高三上?甘肅白銀?期中）如圖所示，空間中有。孫z坐標(biāo)系，xOz平面水平，y軸沿豎直方向。在。

處有一個質(zhì)量為相、帶電荷量為+4的小球（可視為點電荷），不計空氣阻力，重力加速度為g。

⑴若在y20空間中存在著沿x軸負方向的勻強電場，電場強度大小E=」，將小球沿y軸正方向以速度V。

q

拋出，求小球落回X軸前動能的最小值；

（2）若在y20的空間中存在著正交的電場和磁場，其中勻強電場沿y軸正方向，電場強度大小E=些，勻強

q

磁場沿Z軸負方向，磁感應(yīng)強度大小為瓦小球以初速度%從。點拋出，速度方向在xQy平面內(nèi)且偏向上方，

7T

與X軸正方向成a角（OWaW,）,改變a的大小，多次發(fā)射小球后，求小球在電場和磁場中可能的運動軌

跡所覆蓋的面積；

⑶若在x>0區(qū)域存在沿y軸負方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為4為，在x<0區(qū)域存在沿y軸負方向的

勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為3綜，小球從。點沿x軸正方向以大小為%的速度拋出，求小球從拋出到再次

經(jīng)過y軸所用的時間及經(jīng)過y軸時到。點的距離。（忽略磁場的邊界效應(yīng)）

4.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）工程師在制做芯片的過程中，需要用電磁場精準(zhǔn)控制粒子的軌跡。如圖

所示，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系MLxyz,一粒子源不斷釋放質(zhì)量為加，電量為4陽的帶正電粒

子，初速度視為零，經(jīng)過加速電壓U后，以一定速度恰好沿著半徑為R的圓弧軌跡通過輻射狀電場，接著

垂直平面射入棱長為乙的正立方體區(qū)域，入射位置可調(diào)節(jié)，不計粒子重力及其相互作用。

（1）求輻射狀電場中離子運動軌跡處電場強度E的大?。?/p>

（2）若僅在正方體區(qū)域中加上沿x軸正方向的勻強磁場，讓粒子對準(zhǔn)邊中點X入射，電量為q的粒子

恰好在P&邊射出。若使所有粒子都能到達x"）平面內(nèi)的“W出Q,區(qū)域，求所加磁感應(yīng)強度B的大小及n

的最大值；

（3）若在正方體區(qū)域中同時加上沿％軸正方向場強為g=等4U的勻強電場和（2）中的勻強磁場，讓粒子對

準(zhǔn)平面中心/點入射，求電量為q的粒子離開正方體區(qū)域時的坐標(biāo)（結(jié)果保留根式和萬）。

5.（2024?四川德陽,模擬預(yù)測）如圖所示建立空間坐標(biāo)系。-孫z,其中無方向水平向右，z方向垂直于紙面向

外，三個無限大且與x軸垂直的平面與尤軸依次交于0、M,N三點，相鄰兩點間的距離均為d,三個平面

將空間劃分成不同的區(qū)域，在0<x<d區(qū)域團內(nèi)存在方向豎直向下的勻強電場耳，在衣x<24區(qū)域團內(nèi)存在方向

垂直于紙面向里的勻強磁場Bi,在2d<x的區(qū)域回內(nèi)存在方向均水平向右的勻強電場及和勻強磁場&所組成

的復(fù)合場。一個質(zhì)量為機、帶電量為+q的粒子，從距離。點正上方g的“點處，以速度vo水平向右射入?yún)^(qū)

域回，經(jīng)過〃點進入?yún)^(qū)域國，經(jīng)過N點進入?yún)^(qū)域回（重力忽略不計）。已知區(qū)域回、回的電場強度大小相等（未

知），區(qū)域回、回的磁感強度大小相等（未知），求：

（1）區(qū)域國內(nèi)的電場強度均大??；

（2）區(qū)域團內(nèi)的磁感應(yīng)強度8/大小；

（3）在整個運動過程中，粒子第〃5=1,2,3,...）次經(jīng)過x軸時，粒子距坐標(biāo)原點。的距離心

6.（2024?廣東?二模）如圖所示，以長方體的ad邊中點。為坐標(biāo)原點、ad方向為無軸正方向、

方向為y軸正方向、ab方向為z軸正方向建立。孫z坐標(biāo)系，已知長方體中存在沿y軸負

方向的勻強磁場，現(xiàn)有質(zhì)量為機、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力），從。點沿z軸正方向以初速度v

射入磁場中，恰好從。點射出磁場。

（1）求磁場的磁感應(yīng)強度B的大小；

（2）若在長方體中加上沿y軸負方向的勻強電場，讓粒子仍從。點沿z軸正方向以初速度v射磁場中，為

使粒子能從“點射出磁場，求電場強度0的大?。?/p>

（3）若在長方體中加上電場強度大小為￡,=友叱、方向沿z軸負方向的勻強電場，該粒子仍從。點沿

qL

Z軸正方向以初速度V射入磁場中，求粒子射出磁場時與。點的距離s?

7.（2024?湖南岳陽?三模）在如圖所示的。-孫z三維空間中，的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強電場，

在x>0區(qū)域內(nèi)存在半圓柱體肱VP-MNP空間區(qū)域，半圓柱沿y軸方向足夠高，該區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方

向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小平面在yOz平面內(nèi)，D點（0,0,0）為半圓柱體底面

qL

圓心，半圓柱體的半徑為r=L。一質(zhì)量為機、電荷量為+4的帶電粒子，從A點（I,0,0）以初速度大小

%,方向沿著x軸正方向射入勻強電場，經(jīng)過C點（0,L,0）后進入半圓柱體磁場區(qū)域，不計粒子的重力。

求：

（1）電場強度E的大?。?/p>

（2）帶電粒子在半圓柱體內(nèi)運動的時間；

（3）帶電粒子從半圓柱體射出時的位置坐標(biāo)。

8.（2024?吉林?二模）如圖所示，在三維坐標(biāo)系Oxyz中，xOz平面左側(cè)區(qū)域有沿y軸正方向的勻強電場；xOz

平面右側(cè)與垂直于y軸足夠大的熒光屏之間的區(qū)域有沿y軸正方向的勻強磁場，熒光屏與y軸交點位置的坐

標(biāo)為（O,d,O）。一質(zhì)量為加、電荷量為+4的粒子從坐標(biāo)為的尸點以大小為%的初速度沿Z軸負方

向射出，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后從。點進入磁場，再經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后擊中熒光屏，粒子再次經(jīng)過y軸的位置離。點

2

距離為不計粒子的重力。求：

（1）勻強電場的電場強度大小；

（2）粒子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)及勻強磁場的磁感應(yīng)強度大?。?/p>

（3）若在xOz平面與熒光屏之間的區(qū)域加上一平行于y軸的勻強電場，要使粒子仍打在熒光屏上（2）問中

所求的位置，則所加勻強電場的電場強度應(yīng)滿足什么條件。

9.（2025高三下?重慶南岸?階段練習(xí)）利用電場與磁場控制帶電粒子的運動，在現(xiàn)代科學(xué)實驗和技術(shù)設(shè)備中

有著廣泛的應(yīng)用。如圖，一粒子源不斷釋放質(zhì)量為m,帶電量為+4的粒子，以一定速度%垂直左面,

射入邊長為2L的正方體區(qū)域MNP。一。可調(diào)整粒子源位置,使帶電粒子在邊長為工的正方形

區(qū)域內(nèi)入射。以為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系M1一孫z,不計粒子重力及粒子間的相互作用。若僅在

正方體區(qū)域中加上沿+無軸方向的勻強電場，要讓所有粒子都到達前表面NP4M，所加電場強度的最小值設(shè)

為綜；若僅在正方體區(qū)域中加上沿+x軸方向的勻強磁場，要讓所有粒子都到達底面所加磁感應(yīng)

強度的最小值設(shè)為B。。（sin37。=0.6）

Cl）求心和穌的值。

（2）在正方體區(qū)域同時加上沿+x軸方向大小為心的勻強磁場和+z方向大小為:74的勻強電場，求從/點垂

直左面入射的粒子離開正方體區(qū)域時的位置坐標(biāo)。

（3）在正方體區(qū)域同時加上大小分別為￡用）的勻強電場及綜的勻強磁場，方向都沿+x軸。若垂直入射到

〃區(qū)域內(nèi)不同位置的粒子,有的從前表面NN出尸離開正方體區(qū)域，有的從底面河”出已離開正方體區(qū)域,

則￡應(yīng)滿足什么條件？

z

粒導(dǎo)

10.（2025高三上?廣西?階段練習(xí)）在工程師制做芯片的過程中，需要用電磁場精準(zhǔn)控制粒子的軌跡。如圖

所示，以M為原點建立空間直角坐標(biāo)系孫z。質(zhì)量為加、電量為q的帶正電粒子，初速度可視為零，經(jīng)

過電壓為U的電場加速后，以恰好沿著半徑為R的圓弧軌跡通過輻射狀電場，接著垂直平面對準(zhǔn)

MNNiMi面中點/射入邊長為L的正立方體區(qū)域，正方體區(qū)域中存在一沿?zé)o軸正方向的勻強磁場（含邊界），

離子源

⑴求輻射狀電場中粒子在圓弧軌跡處電場強度E的大??；

⑵若使粒子都能到達工監(jiān)平面內(nèi)的MNPQ區(qū)域，求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的取值范圍。

03高考練場

1.（2024?北京?高考真題）我國"天宮”空間站采用霍爾推進器控制姿態(tài)和修正軌道。圖為某種霍爾推進器的

放電室（兩個半徑接近的同軸圓筒間的區(qū)域）的示意圖。放電室的左、右兩端分別為陽極和陰極，間距為小

陰極發(fā)射電子，一部分電子進入放電室，另一部分未進入。穩(wěn)定運行時，可視為放電室內(nèi)有方向沿軸向向

右的勻強電場和勻強磁場，電場強度和磁感應(yīng)強度大小分別為E和耳；還有方向沿半徑向外的徑向磁場，

大小處處相等。放電室內(nèi)的大量電子可視為處于陽極附近，在垂直于軸線的平面繞軸線做半徑為R的勻速

圓周運動（如截面圖所示），可與左端注入的沆原子碰撞并使其電離。每個抗離子的質(zhì)量為M、電荷量為+e,

初速度近似為零。流離子經(jīng)過電場加速，最終從放電室右端噴出，與陰極發(fā)射的未進入放電室的電子剛好

完全中和。

己知電子的質(zhì)量為機、電荷量為?；對于債離子，僅考慮電場的作用。

（1）求債離子在放電室內(nèi)運動的加速度大小。；

（2）求徑向磁場的磁感應(yīng)強度大小區(qū)；

（3）設(shè)被電離的債原子數(shù)和進入放電室的電子數(shù)之比為常數(shù)左，單位時間內(nèi)陰極發(fā)射的電子總數(shù)為〃，求

此霍爾推進器獲得的推力大小凡

2.(2024?湖南?高考真題)如圖，有一內(nèi)半徑為2A長為L的圓筒，左右端面圓心。處各開有一小孔。

以。為坐標(biāo)原點，取方向為x軸正方向建立孫z坐標(biāo)系。在筒內(nèi)xVO區(qū)域有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度

大小為3,方向沿x軸正方向；筒外尤20區(qū)域有一勻強電場，場強大小為E,方向沿y軸正方向。一電子

槍在。'處向圓筒內(nèi)多個方向發(fā)射電子，電子初速度方向均在xOy平面內(nèi)，且在x軸正方向的分速度大小均

為山。已知電子的質(zhì)量為小電量為e,設(shè)電子始終未與筒壁碰撞，不計電子之間的相互作用及電子的重力。

(1)若所有電子均能經(jīng)過。進入電場，求磁感應(yīng)強度B的最小值；

(2)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強度2,若進入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為仇求tan。

的絕對值；

(3)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強度8,求電子在電場中運動時y軸正方向的最大位移。

3.(2022?山東?高考真題)中國"人造太陽"在核聚變實驗方面取得新突破，該裝置中用電磁場約束和加速高

能離子，其部分電磁場簡化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系Oxyz中，0<z?d空間內(nèi)充滿勻強磁場I,磁感應(yīng)

強度大小為8,方向沿x軸正方向；-3d,,z<0,y.O的空間內(nèi)充滿勻強磁場II,磁感應(yīng)強度大小為18,

2

方向平行于xOy平面，與x軸正方向夾角為45。；z<0,的空間內(nèi)充滿沿y軸負方向的勻強電場。質(zhì)

量為〃7、帶電量為+4的離子甲，從yOz平面第三象限內(nèi)距y軸為L的點A以一定速度出射，速度方向與Z軸

正方向夾角為夕，在yOz平面內(nèi)運動一段時間后，經(jīng)坐標(biāo)原點。沿z軸正方向進入磁場I。不計離子重力。

(1)當(dāng)離子甲從A點出射速度為%時，求電場強度的大小E；

(2)若使離子甲進入磁場后始終在磁場中運動，求進入磁場時的最大速度%;

(3)離子甲以%的速度從。點沿z軸正方向第一次穿過xOy面進入磁場求第四次穿過xOv平面的位

置坐標(biāo)(用d表示)；

(4)當(dāng)離子甲以繆的速度從。點進入磁場I時，質(zhì)量為4加、帶電量為+4的離子乙，也從。點沿z軸正

2m

方向以相同的動能同時進入磁場I,求兩離子進入磁場后，到達它們運動軌跡第一個交點的時間差△/（忽略

離子間相互作用）。

4.（2020?山東?高考真題）某型號質(zhì)譜儀的工作原理如圖甲所示。M、N為豎直放置的兩金屬板，兩板間電

壓為U,Q板為記錄板，分界面P將N、Q間區(qū)域