2021年湖南省長沙市長郡名校聯(lián)考高考數(shù)學一模試卷一、單項選擇題（每小題5分）.1．若復數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，則P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}3．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．24．設a，b是實數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某班科技興趣小組研究在學校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測量頂部的面積，將圖書館看成是一個長方體與一個等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測量長方體的底面正方形的邊長為26米，高為9米，當正四棱錐的頂點在陽光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的對角線的延長線上時，測的光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點的影子到長方體下底面最近頂點的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：，，）A．990 B．890 C．790 D．6906．已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝?；（ii）A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素，則有序集合對（A，B）的個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知實數(shù)a，b，c∈R，滿足，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點M在線段AC上除A，C的位置運動，現(xiàn)沿BM進行翻折，使得線段AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．為了了解市民對各種垃圾進行分類的情況，加強垃圾分類宣傳的針對性，指導市民盡快掌握垃圾分類的方法，某市垃圾處理廠連續(xù)8周對有害垃圾錯誤分類情況進行了調(diào)查．經(jīng)整理繪制了如圖所示的有害垃圾錯誤分類重量累積統(tǒng)計圖，圖中橫軸表示時間（單位：周），縱軸表示有害垃圾錯誤分類的累積重量（單位：噸）．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論正確的是（）A．當x∈[0，2）時有害垃圾錯誤分類的重量加速增長 B．當x∈[2，4）時有害垃圾錯誤分類的重量勻速增長 C．當x∈[4，6）時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當x∈[2，4）時增長了30% D．當x∈[6，8]時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當x∈[0，2）時減少了0.6噸10．如果平面向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．||＝3|| B． C．與的夾角為30° D．在方向上的投影為11．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB（A為塔頂，B為塔底）的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D（B，C，D不在同一直線上），測得CD＝s．測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．數(shù)學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設計作品的主要幾何元素．如我們熟悉的∞符號，我們把形狀類似∞的曲線稱為“∞曲線”．在平面直角坐標系xOy中，把到定點F1（﹣a，0），F(xiàn)2（a，0）距離之積等于a2（a＞0）的點的軌跡稱為“∞曲線”C．已知點P（x0，y0）是“∞曲線”C上一點，下列說法中正確的有（）A．“∞曲線”C關(guān)于原點O中心對稱 B． C．“∞曲線”C上滿足|PF1|＝|PF2|的點P有兩個 D．|PO|的最大值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）13．在（2+）6的展開式中，常數(shù)項等于．14．已知是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對稱軸，則f（x）的對稱中心為．15．定義函數(shù)f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．當x∈[0，n）（n∈N*）時，f（x）的值域為An．記集合An中元素的個數(shù)為an，則值為．16．若關(guān)于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，則正數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．△ABC的內(nèi)角A，B、C的對邊分別為a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥．（1）求C；（2）若，求sinA．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3＝8，S5＝2a7．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．19．如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC上的動點且滿足DE∥BC，記．將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點N為MC的中點．（1）當EN∥平面MBD時，求λ的值；（2）試探究：隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改變？如果是，請說明理由；如果不是，請求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大?。?0．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整數(shù)a的最大值．21．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，過橢圓C的左焦點F1作不與x軸重合的直線MN與橢圓C相交于M，N兩點，過點M作直線m：x＝﹣2a的垂線ME，E為垂足．（1）求橢圓C的標準方程；（2）①已知直線EN過定點P，求定點P的坐標．②點O為坐標原點，求△OEN面積的最大值．22．某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有2n﹣1個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率均為p，且每個電子元件能否正常工作相互獨立．若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．（1）當n＝2，p＝時，若該電子產(chǎn)品由3個系統(tǒng)G組成，每個系統(tǒng)的維修所需費用為500元，設ξ為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費用，求ξ的分布列與數(shù)學期望；（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問p滿足什么條件時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？

參考答案一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：復數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，設z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故選：B．2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，則P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}解：集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}．故選：C．3．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．2解：圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心坐標為：（1，4），故圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離d＝＝1，解得：a＝，故選：A．4．設a，b是實數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：因為a，b都是實數(shù)，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分條件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要條件．故選：D．5．某班科技興趣小組研究在學校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測量頂部的面積，將圖書館看成是一個長方體與一個等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測量長方體的底面正方形的邊長為26米，高為9米，當正四棱錐的頂點在陽光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的對角線的延長線上時，測的光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點的影子到長方體下底面最近頂點的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：，，）A．990 B．890 C．790 D．690解：如圖1，根據(jù)題意得：∠PSO＝30°，CC1＝9，SC1＝11.8，AB＝26，所以，故SO＝SC1+C1O＝11.8+18.2＝30，故在Rt△PSO中，設PO＝x，則PS＝2x，SO＝30，所以|SO|2+|OP|2＝|SP|2，即：900+x2＝4x2，解得在正四棱錐P﹣ABCD中，PO'＝17﹣9＝8，AB＝26，取BC中點E，連接EP，EO'，所以EO'＝13，由正四棱錐的性質(zhì)得△PEO'為直角三角形，故|PE|2＝|PO'|2+|O'E|2＝132+82＝233，所以，所以正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積為．故選：C．6．已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝?；（ii）A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素，則有序集合對（A，B）的個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10解：若集合A中只有1個元素，則集合B中只有4個元素，則1?A，4?B，∴4∈A，1∈B，此時只有＝1；若集合A中只有2個元素，則集合B中只有3個元素，則2?A，3?B，∴3∈A，2∈B，此時有＝3；若集合A中只有3個元素，則集合B中只有2個元素，則3?A，2?B，∴2∈A，3∈B，此時有＝3；若集合A中只有4個元素，則集合B中只有1個元素，則4?A，1?B，∴1∈A，4∈B，此時有＝1，∴有序集合對（A，B）的個數(shù)為：1+3+3+1＝8．故選：B．7．已知實數(shù)a，b，c∈R，滿足，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：因為，則a＞0，c＜0，對于函數(shù)f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴l(xiāng)na＜a，即，∴，令函數(shù)h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的圖像如下：∴a＜b，綜上：b＞a＞c，故選：D．8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點M在線段AC上除A，C的位置運動，現(xiàn)沿BM進行翻折，使得線段AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．解：因為AB＝2BC＝4，AC＝2，且點M在線段AB上除A、C的位置運動，要使AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，則當M恰好為C點時，為臨界條件（M不可為C點，但可用來計算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因為AB＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值為1．故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．為了了解市民對各種垃圾進行分類的情況，加強垃圾分類宣傳的針對性，指導市民盡快掌握垃圾分類的方法，某市垃圾處理廠連續(xù)8周對有害垃圾錯誤分類情況進行了調(diào)查．經(jīng)整理繪制了如圖所示的有害垃圾錯誤分類重量累積統(tǒng)計圖，圖中橫軸表示時間（單位：周），縱軸表示有害垃圾錯誤分類的累積重量（單位：噸）．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論正確的是（）A．當x∈[0，2）時有害垃圾錯誤分類的重量加速增長 B．當x∈[2，4）時有害垃圾錯誤分類的重量勻速增長 C．當x∈[4，6）時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當x∈[2，4）時增長了30% D．當x∈[6，8]時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當x∈[0，2）時減少了0.6噸解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，由統(tǒng)計圖可知，第2周增長數(shù)量比第1周增長數(shù)量明顯要多，所以是加速增長，所以選項A正確；對于B，當x∈[2，4）時圖象是線段，所以是勻速增長，所以選項B正確；對于C，當x∈[4，6）時增長數(shù)量比當x∈[2，4）時增長數(shù)量要少，所以是減少，所以選項C錯誤；對于D，當x∈[0，2）時共增長2.4噸，當x∈[6，8]時共增長0.6噸，所以減少了1.8噸，所以選項D錯誤．故選：AB．10．如果平面向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．||＝3|| B． C．與的夾角為30° D．在方向上的投影為解：因為，所以．對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以與的夾角為180°，故C錯誤；對于D，在方向上的投影為，故D錯誤．故選：AB．11．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB（A為塔頂，B為塔底）的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D（B，C，D不在同一直線上），測得CD＝s．測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：對于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和為180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理＝，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝，即可求AB；對于B，在△BCD中，已知一邊CD，一角∠BCD，無法求解三角形，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，無法求解三角形，在△ACD中，已知一邊CD，一角∠ACD，無法求解三角形；對于C，在△ACD中，已知一邊CD，兩角∠ACD，∠ADC，由三角形內(nèi)角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知兩角∠ACB，∠ABC＝90°，一邊AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB；對于D，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，邊CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立關(guān)于AB的方程，即可求解AB．故選：ACD．12．數(shù)學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設計作品的主要幾何元素．如我們熟悉的∞符號，我們把形狀類似∞的曲線稱為“∞曲線”．在平面直角坐標系xOy中，把到定點F1（﹣a，0），F(xiàn)2（a，0）距離之積等于a2（a＞0）的點的軌跡稱為“∞曲線”C．已知點P（x0，y0）是“∞曲線”C上一點，下列說法中正確的有（）A．“∞曲線”C關(guān)于原點O中心對稱 B． C．“∞曲線”C上滿足|PF1|＝|PF2|的點P有兩個 D．|PO|的最大值為解：對A，設動點C（x，y），由題意可得C的軌跡方程為，把（x，y）關(guān)于原點對稱的點（﹣x，﹣y）代入軌跡方程，顯然成立；所以A正確；對B，因為P（x0，y0），故，又，所以a2sin∠F1PF2＝2a?|y0|，即，故，故B正確；對C，若|PF1|＝|PF2|，則P（x0，y0）在F1F2的中垂線即y軸上．故此時x0＝0，代入，可得y0＝0，即P（0，0），僅有一個，故C錯誤；對D，因為∠POF1+∠POF2＝π，故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，因為|OF1|＝|OF2|＝a，，故．即，所以．又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，當且僅當P，F(xiàn)1，F(xiàn)2共線時取等號．故，即|OP|2≤2a2，解得，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）13．在（2+）6的展開式中，常數(shù)項等于160．解：（2+）6的展開式的通項公式為Tr+1＝＝26﹣rx3﹣r，令3﹣r＝0，可得r＝3，所以常數(shù)項為23＝160．故答案為：160．14．已知是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對稱軸，則f（x）的對稱中心為（kπ﹣，0），（k∈Z）．解：f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）＝sin（x+?），tan?＝．∵是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對稱軸，∴f（0）＝f（），∴sin（0+?）＝sin（+?）＝cos?，∴tan?＝1，∴?＝，∴f（x）＝sin（x+），由x+＝kπ，得：x＝kπ﹣，∴對稱中心為（kπ﹣，0）（k∈Z）．故答案為：（kπ﹣，0），（k∈Z）．15．定義函數(shù)f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．當x∈[0，n）（n∈N*）時，f（x）的值域為An．記集合An中元素的個數(shù)為an，則值為．解：根據(jù)題意，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，即[x]＝，則有x[x]＝，則[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n﹣1；故an＝1+1+2+3+……+（n﹣1）＝1+，＝（）+（）+……+（）＝++……+＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝2（1﹣）＝；故答案為：．16．若關(guān)于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，則正數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．解：因為，即e[ln（ax）﹣x+1]＝[ln（ax）﹣x+1]+1有解，由ex≥x+1，當且僅當x＝0時取等號，可知ln（ax）﹣x+1＝0在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，所以ax＝ex﹣1在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，即在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，設，則，易知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，而f（1）＝1，x→0時，f（x）→+∞，x→+∞時，f（x）→+∞，∴要使在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，只需a≥1．故答案為：[1，+∞）．四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．△ABC的內(nèi)角A，B、C的對邊分別為a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥．（1）求C；（2）若，求sinA．解：（1）∵向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥，∴（c﹣a）（sinA+sinC）＝（b﹣a）sinB，由正弦定理可得（c﹣a）（a+c）＝（b﹣a）b，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由（1）可得B＝﹣A，由題設及正弦定理可得：sinC+3sin（﹣A）＝3sinA，即+cosA+sinA＝sinA，可得sin（A﹣）＝，由于0，﹣＜A﹣＜，∴cos（A﹣）＝，∴sinA＝sin（A﹣+）＝sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin＝．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3＝8，S5＝2a7．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意可得，解得a1＝2，d＝3，所以數(shù)列{an}的通項公式為a；（2）因為b＝（﹣1），所以T2n＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2n﹣a2n﹣1）+（22+23+…+2n+1）＝3n+＝3n+22n+2﹣4．19．如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC上的動點且滿足DE∥BC，記．將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點N為MC的中點．（1）當EN∥平面MBD時，求λ的值；（2）試探究：隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改變？如果是，請說明理由；如果不是，請求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大?。猓海?）取MB的中點為P，連接DP，PN，因為MN＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四點共面，又EN∥面BMD，EN?面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP為平行四邊形，所以NP∥DE，且NP＝DE，即，即．（2）解：取DE的中點O，由平面MDE⊥平面DECB，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如圖建立空間直角坐標系，不妨設BC＝2，則，D（λ，0，0），，所以，．設平面BMD的法向量為，則，令，即，又平面EMD的法向量，所以，即隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小不變．且，所以二面角B﹣MD﹣E的正弦值為．20．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整數(shù)a的最大值．解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），∵f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R），∴f′（x）＝﹣＝，當a≤0時，f′（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得0＜x＜a，綜上，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當a＞0時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增；（2）由f（x）＞0得lnx﹣a（1﹣）+1＞0，故＜lnx+1，即a＜對x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）＝，則g′（x）＝＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，則h′（x）＝1﹣＝，∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，故?x0∈（3，4）滿足x0﹣lnx0﹣2＝0，當1＜x＜x0時，h（x）＜0，g′（x）＜0，當x＞x0時，h（x）＞0，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，故g（x）min＝g（x0）＝＝x0，故a＜x0，∵3＜x0＜4，a∈Z，故a的最大值是3．21．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，過橢圓C的左焦點F1作不與x軸重合的直線MN與橢圓C相交于M，N兩點，過點M作直線m：x＝﹣2a的垂線ME，E為垂足．（1）求橢圓C的標準方程；（2）①已知直線EN過定點P，求定點P的坐標．②點O