第20講特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

典例精練

［例1］（2023隨州）如圖矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE〃AC,CE〃BD.

（1）求證:四邊形OCED是菱形；

⑵若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.

【例2］如圖，點A,F,C,D在同一條直線上，點B,E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE,/A=/D,

AF=DC.

⑴求證：四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)若NABC=90o,AB=4,BC=3,當(dāng)AF=時,四邊形BCEF是菱形.

【例3】（2024貴州）如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD\\BC,^ABC=90。,有下列條件:

①AB〃CD,②AD=BC.

⑴請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵在⑴的條件下，若.AB=3,AC=5,,求四邊形ABCD的面積.

針對訓(xùn)練

1.（2024武漢）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD:①畫NMAN；②以點A為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，

分別交AM,AN于點B,D；③分別以點B,D為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，兩弧交于點C;④連接BC,CD,BD.

若NA=44。,則/CBD的大小是（）

2.（2024成都）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

3.（2024吉林）如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以O(shè)AQC為邊作矩形OABC,

若將矩形OABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到矩形OABC,則點B，的坐標為（）

A.（-4,-2）B.（42）C.（2,4）D.（4,2）

4.（2024四川）如圖在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上把△ADE沿AE折疊點D恰好落在邊BC上

的點F處，則cosZCEF的值為（）

5.（2024上海）已知四邊形ABCD為矩形，過A,C作對角線BD的垂線，過B,D作對角線AC的垂線，如果以四條

垂線為邊拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

6.（2024廣西）如圖,兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°,則重合部分構(gòu)成的四

邊形ABCD的周長為cm.

7如圖，在RtAABC中,NACB=9(T,AC=3,BC=4,D是AB上一動點，過點D作DE_LAC于點E,DF±BC于點F,

連接EF,則線段EF的最小值是（）

A.2.5B.2.4C.2.2D.2

8.如圖，正方開?ABCD的邊長為4,G是邊BC上一點且BG=3,連接AG,過點D作DELAG于點E,作BF〃DE交

AG于點F,則EF的長為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

9.如圖，O是坐標原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負半軸上，頂點C的坐標為（3,4）,則頂點A的坐標

為（）

A.(-4,2)B.(-V3-4)C.(-2,4)D.(-4>V3)

第10題圖

10.（2024緩化）如圖,四邊形ABCD是菱開/CD=5,BD=8,AE，BC于點E,則AE的長是（）

AA.—24B.6C.485D.12

5

11.如圖矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=6,BC=8過點O作OELAC,交AD于點E,過點E作EF±B

D,垂足為F,則OE+EF的值為.

12.（2024山東）將一張矩形紙片（四邊形ABCD）按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C處,折痕為M

N,點D落在點D處,CD交AD于點E.若BM=3,BC=4,AC=3,則DN=.

第12題圖

13.（2024重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是CD的延長線上一點，連接A

E,AF,AM平分NEAF交CD于點M.若BE=DF=1,則DM的長度為（）

A.2B.V5C.V6D.y

14.（2024廣西）如圖在邊長為5的正方形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點，連接AG,BH,CE,DF,交點分別為

M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

A.lB.2C.5D.10

15.（2024天津）如圖,正方形ABCD的邊長為3夜,對角線AC,BD相交于點O,點E在CA的延長線上,OE=5,連接

DE.

⑴線段AE的長為;

⑵若F為DE的中點，則線段AF的長為.

16.（2024包頭）如圖,在菱形ABCD中，^ABC=60°,AB=6,,AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作

EFiaaB,垂足為F,連接DE.若CE=4F,求DE的長.

17.如圖在菱形ABCD中.對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點，連接OE.過點C作CF||BD交OE的延長

線于點F,連接DF.求證：

(1)AODE=AFCE-,

(2)四邊形OCFD是矩形.

18.(2024呼倫貝爾)如圖,在平行四邊形ABCD中，點F在邊AD上，AB=連接BF,點。為BF的中點,AO

的延長線交邊BC于點E,連接EF.

⑴求證:四邊形ABEF是菱形；

⑵若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=I,ABAD=120。,求AE的長.

FD

BEC

19.如圖矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上，頂點F,H在菱形ABCD的對角線BD上.

_AED

⑴求證:BG=DE-,//萬

⑵若E為AD的中點，F(xiàn)H=2,,求菱形ABCD的周長./

BGC

第20講特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

典例精練

【例1】(2023隨州)如圖矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE〃AC,CE〃BD.

⑴求證:四邊形OCED是菱形；

⑵若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.

解：(1)證明:^?^DE〃AC,CE〃BD,.^.四邊形OCED是平行四邊形.

又在矩形ABCD中,OC=OD,.?.口OCED是菱形.

⑵由題意狷S矩形ABCD=BCCD=6.

13

SAC。=zx6=1S四潮交CED=2sAecD=3.

［例2］如圖，點A,F,C,D在同一條直線上，點B,E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE,NA=/D,AF=DC.

⑴求證：四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)若NABC=9(T,AB=4,BC=3,當(dāng)AF=(時,四邊形BCEF是菱形.

解:⑴證明:?；AF=DC,；.AF+FC=DC+FC,即AC=DF.

在小ABC和4DEF中產(chǎn)=黑+葭R

/ID—Ue,

：.AABC^ADEF(SAS).

BC=EF,ZACB=ZDFE.ABC//EF.

四邊形BCEF是平行四邊形.

【例3】(2024貴州)如圖.四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD〃:BC,NABC=90。,有下列條件:

①AB〃CD,②AD=BC.

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵在⑴的條件下，若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.

解:⑴選擇①.

證明:；AB〃CD,AD〃BC,；.四邊形ABCD是平行四邊形.

又：NABC=90。,.??四邊形ABCD是矩形.

選擇②.

證明:；AD=BC,AD〃BC,；.四邊形ABCD是平行四邊形.

又：NABC=90。,...四邊形ABCD是矩形.

(2)/.ABC=90",BC=ylAC2-AB2=V52-32=4.

.?.矩形ABCD的面積是3x4=12.

針對訓(xùn)練

1.(2024武漢)小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD:①畫/MAN；②以點A為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，

分別交AM,AN于點B,D；③分別以點B,D為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，兩弧交于點C;④連接BC,CD,B

D.若NA=44。,則NCBD的大小是(C)

2.(2024成都)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,則下列結(jié)論一定正確的是(C)

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

3.(2024吉林)如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2).以O(shè)A,OC為邊作矩形OABC,

若將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到矩形OABC,則點B，的坐標為(C)

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

4.(2024四J11)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的

點F處廁cosZCEF的值為(A)

A±BC.三D.三

4￡344

5.(2024上海)已知四邊形ABCD為矩形，過A,C作對角線BD的垂線，過B,D作對角線AC的垂線，如果以四條

垂線為邊拼成一個四邊形，那這個四邊形為(A)

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

6.(2024廣西)如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°,則重合部分構(gòu)成的四

邊形ABCD的周長為8V3cm.

第6題圖

7.如圖，在RtAABC中,/ACB=9(T,AC=3,BC=4,D是AB上一動點，過點D作DE_LAC于點E,DF±BC于點F,

連接EF,則線段EF的最小值是(B)

A.2.5B.2.4C.2.2D.2

8.如圖，正方形ABCD的邊長為4,G是邊BC上一點，且BG=3,連接AG,過點D作DE,AG于點E,作BF〃DE交

AG于點F,則EF的長為(C)

A.-B.-C.-D.-

5555

9.如圖，O是坐標原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負半軸上，頂點C的坐標為(3,4),則頂點A的坐標

為(C)

A.(-4,2)B.(-V3>4)C.(-2,4)D.(-4-V3)

10.(2024緩化)如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE，BC于點E,則AE的長是(A)

A.?

24

11.如圖矩形ABCD的對角第隹BD交于點O,AB=6,BC至過點O作OE,AC,賽處存點E,過點E作EF±B

D,垂足為F,則OE+EF的值為_葺

12.(2024山東)將一張矩形紙片(四邊形ABCD)按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C處,折痕為M

N,點D落在點D處,CD交AD于點E.若BM=3,BC'=4,AC=3,則DN=|.

13.(2024重慶)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是CD的延長線上一點，連接AE,AF,

AM平分NEAF交CD于點M.若BE=DF=1廁DM的長度為(D)

A.2B.V5C.V6D.y

14.(2024廣西)如圖，在邊長為5的正方形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點，連接AG,BH,CE,DF,交點分別為

M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為(C)

A.lB.2C.5D.10

15.(2024天津)如圖,正方形ABCD的邊長為3a,,對角線AC,BD相交于點O,點E在CA的延長線上,OE=5,連

接DE.

⑴線段AE的長為2:

(2)若F為DE的中點廁線段AF的長.手

16.(2024包頭)如圖,在菱形ABCD中，N71BC=600,AB=6,AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作E

FLAB,垂足為F,連接DE.若CE=2F,求DE的長

解:過D作DH_LAC于H.

,在菱形ABCD中,/ABC=6(F,AB=6,

.\AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°.

AABC,AACD都是等邊三角形.

ZEXF=60°,4C=AB=6,AH=CH=|4C=3.

?.?EF±AB,.*.ZAEF=30°,.\AE=2AF.

又?；CE=AF,；.AE=2CE,

/.CE=2,；.HE=CH-CE=1.

在RtACDH中，DH2=CD2-CH2=27,

???DE=VDH2+HE2=2V7.

17如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點，連接OE過點C作CF//BD交OE的延

長線于點F,連接DF.求證:

(1)AODE^AFCE;

(2)四邊形OCFD是矩形.

證明：(1)；E是CD的中點,；.DE=CE.

VCF/7OD,.'.ZODE=ZFCE.

在4ODE和^FCE中｛fR23ODE=AFCE(ASA).

△DEO=Z.Chr,'/

(2)VAODE^AFCE,/.OD=CF.

CF〃BD,...四邊形OCFD是平行四邊形.

??,四邊形ABCD^g^AACXBD..,.ZCOD=90°.

四邊形OCFD是矩形.

18.（2024呼倫貝爾）如圖,在平行四邊形ABCD中，點F在邊AD上，AB=2F,連接BF,點。為