第五節(jié)圓基本圖形分析

專題講練1圓中的基本圖形分析（一）——垂切圖

考點(diǎn)一運(yùn)用角等弧等結(jié)合勾股定理計(jì)算

【典例】如圖,AB是。。的直徑,AD是弦,CE切。0于點(diǎn)C,交AD的延長(zhǎng)線于E,且CELAE若AB=10,AE=6,

求CD的長(zhǎng).

變式1.如圖,AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D是。。上的兩點(diǎn),AC平分NB力D,CE團(tuán)4D交AD延長(zhǎng)線于E,CF，AB于F,

若DE=2,FO=3,求CF的長(zhǎng).

變式2.如圖，已知點(diǎn)C,D在以AB為直徑的。0上,CE是。。的切線，力?；谻E于E,連ACCD,若CD=6,AC=8,

求。0的半徑.

A

考點(diǎn)二過(guò)圓心作弦垂線構(gòu)矩形用勾股定理

變式3.如圖，AB為OO的直徑,C為。O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D,AD交。O于E,

若DE=1,CD=2.

(1)求00的半徑；

⑵求tan/ABE的值.

專題講練2圓中的基本圖形分析(二)一半角圖〈圓的有關(guān)性質(zhì)與三角函數(shù)〉

考點(diǎn)一運(yùn)用直徑化斜為直用半角模型

【典例】已知AB為。0的直徑，點(diǎn)C為。0上一點(diǎn)，sinA=/求sinZCOB的值.

變式1.如圖M,N,P為0O上三點(diǎn)，且sinP=芻求sin2P的值.

考點(diǎn)二作垂線用半角模型

變式2.如圖,AB是。。的直徑，乙4BT=45。,47=AB.延長(zhǎng)TO交。O于M,連接AM,求tanM的值.

考點(diǎn)三連圓心與弧的中點(diǎn)得平行用半角模型

變式3.如圖,AB是。。的直徑,BC是。。的弦，-AD?CD.若tan/BCD=/求器的值.

專題講練3圓中的基本圖形分析（三）一內(nèi)切圖

考點(diǎn)一與梯形兩邊相切

【典例】如圖，在四邊形ABCD中,AB〃CD,AD，AB,以D為圓心,AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E.

若魯則sinC的值是（）

考點(diǎn)二三角形的內(nèi)切圓

變式1.在4ABC中,AB=7,BC=5,AC=8^AABC內(nèi)切圓的半徑.

變式2.（2024?江漢）如圖,△ABC的內(nèi)切圓0O與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,且AB=20,BC=21,AC=13,則下

列說(shuō)法不正確的是（）

A.ZEDF=ZAB.ZEOF=ZB+ZC

14

C.BD=14D.OE=—

3

變式3.如圖，在R3ACB中,NC=90。,。。為內(nèi)切圓,D,E,F為切點(diǎn)，連AD,交。O于M.若FM〃BC,求tanNOBD

的值.

A

E

BC

專題講練4圓中的基本圖形分析(四)—等腰圖

考點(diǎn)一折弦圖

【典例】如圖,CD是AABC的外角NECA的平分線,CD交過(guò)A,B,C三點(diǎn)的。。于點(diǎn)D.

⑴試判斷4DAB的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若AB=2,BD=國(guó),求。0的半徑.

變式1.如圖，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，AC為。0的直徑，乙4CD與乙BCD互余.

(1)求證：-CD?BD;

⑵若CD=4V5,BC=8,求AD的長(zhǎng)

考點(diǎn)二折弦圖與三角函數(shù)一一半角問(wèn)題

變式2.如圖，已知AABC是。0的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),AB=2C,若tan/CW=［，求

tanz_B2C的值.

專題講練5圓中的基本圖形分析（五）一切徑圖〈切線與三角函數(shù)〉

考點(diǎn)一切線與正弦函數(shù)，注意作垂線構(gòu)直角三角形

【典例】如圖,AB為。O直徑,AT為。O切線，連接OT,BT交。O于E,AT=AB,求sin/BTO的值

考點(diǎn)二切線與正切函數(shù)

變式1.如圖,AB是。0的直徑NABT=45o,AT=AB,連接0T交。。于C,連接AC,求tan/TAC的值.

變式2.如圖,AB是。0的直徑,.乙4BT=45。,47=4B,0T交。0于C,連接BC,求tan/BCO的值

考點(diǎn)三注意全等轉(zhuǎn)化

變式3.如圖,AB為。。的直徑,CB為。0的切線,AC交。。于點(diǎn)D,過(guò)D作。。的切線交BC于點(diǎn)E,交0C

于F,若OF=CF,求tanZACO的值.

專題講練6圓中的基本圖形分析（六）一雙切圖〈雙切線與三角函數(shù)〉

考點(diǎn)一注意結(jié)合射影相似轉(zhuǎn)化線段的比

【典例】如圖,PA,PB分別與。0相切于A,B兩點(diǎn),AC是。。的直徑,AC=AP,連接OP交AB于點(diǎn)D,連接PC

交。0于點(diǎn)E,連接DE,BC,求tan/EAB的值.

變式1.如圖,PA,PB為。0的切線,A,B為切點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交。O于C點(diǎn)，連PO交。O于點(diǎn)E,若BE〃AC,求tanZ

APO的值

考點(diǎn)二注意結(jié)合全等轉(zhuǎn)化線段比

變式2.如圖,PA,PB為。O的切線,A,B為切點(diǎn),AC為。O的直徑，連PC交。O于F點(diǎn)，若BF〃AC,連AB交P

C于點(diǎn)G,求tanZAPC的值.

變式3.如圖，已知CA,CD是。。的兩條切線,A,D為切點(diǎn),AB是。O的直徑,BE〃CD交。。于E,若AB=AC=8,

求cos/ABE的值.

專題講練7全國(guó)各地中考題選-----圓?

考點(diǎn)一雙勾列方程

1.（2023?大連）如圖,AB為。O的直徑,C為。。上一點(diǎn),D為BC的中點(diǎn)，連接OD交BC于點(diǎn)E.

⑴求證:OD〃AC;

⑵若DE=4,AD=2V35,,求。O的半徑.

考點(diǎn)二勾股定理與相似相結(jié)合

2.（2023?成都）如圖，以△ABC的邊AC為直徑作。O,交BC邊于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB交。O于點(diǎn)E,連接A

D,DE,ZB=ZADE.

⑴求證：AC=BC;

⑵若tanB=2,CD=3,求AB和DE的長(zhǎng).

考點(diǎn)三注意角度的轉(zhuǎn)換

3.（2023?北京）如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,BD平分^ABC,^BAC=AADB.

（1）求AB/1D的大小；

⑵過(guò)點(diǎn)C作（交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若"=力。,85=2,,求此圓半徑的長(zhǎng).

第五節(jié)圓基本圖形分析

專題講練1圓中的基本圖形分析（一）一垂切圖

【典例】解:連0C,作OFLAD于F,易證四邊形OCEF為矩形,.?.CE=OF,OC=EF=5,；.AF=1=DF,，DE=4,

又(OF=y/OA2-AF2=2V6,CD=<DE2+CE2=2710.

變式1.解:連接CD,CO,CB,CE=CF,CD=CB,

/.ACDE^ACBF,

/.DE=BF=2,Z.OC=OB=FO+BF=5,CF=<OC2-FO2=4.

變式2解:連接OC,BC,證AC平分/DAB,；.CB=CD=6,

AB=<AC2+BC2=10,

AOO的半徑為5.

變式3.解:(1)連接OC,BE,交OC于F,貝[]DE=CF=1,DC=EF=FB=2,設(shè)。O半徑為R,在RtAOBF中，(R—1/+

22=R2,R=|；

(2)由(1)知tan^ABE=

專題講練2圓中的基本圖形分析(二)

—半角圖〈圓的有關(guān)性質(zhì)與三角函數(shù)>

【典例】解作CDXAB于D,設(shè)CD=a,AC=3a,AD=27^1,設(shè)(。4=。。=r,產(chǎn)=。+(2y[2a-r)2,■-r=

CD4

si.n/COB=—=—V2.

oc9

變式1.解作直徑AN,連接AM,OM作MB_LAN于B,設(shè)MB=3a,AM=5a,AB=4a,設(shè)OA=OM=r,：.r2=(3a)2+

(4a—r)2,

r=-25a,???si.n2rPr?=smZ-MOB=——MB=—24.

8OM25

變式2魂星:作AN1TM于N,tan/AOT=2,設(shè)ON=a,AN=2a,

AO=MO=s/Sa,

a?.2aV5-1

tanM=-7—p—=-----.

(V5+l)a2

變式3.解:連接AD,AC,過(guò)點(diǎn)D作DE_LAC交AC于點(diǎn)E,NBCD=NCDE=NADE,設(shè)AE=a,DE=3a,r2=a2+

(3a-r)2,???r=|a,

54

???OE=3a—a=-a,

33

???BC=2OE=2a,又CD=4。=V10a,.

3BC8

專題講練3圓中的基本圖形分析(三)—內(nèi)切圖【典例】B

解:連接BD,.\ZABD=ZCBD,.\/BDC=NDBC,；.CD=BC,設(shè)AB=1,CD=3,

作BM_LCD于M點(diǎn)BM=V5,sinC=y.

變式L解:設(shè)。。的半徑為R,過(guò)B作BDXAC于點(diǎn)D,設(shè)AD=xJ^(CD=8-x,AB2-AD2=BC2-CD2,

???72—x2=52—(8—X)2,X=y,

???BD=7AB2—AD2=空

2

+AC+BC}-R=YAC-BD,：.R=5

變式2.A

變式3.解:易證△OBD^ADAC,AC=BD,^AABC中,OD=R,AE=x,

(x+2A)2+(%+R)2=(2X+R)2解得X=2R,

故tanZ-OBD=

專題講練4圓中的基本圖形分析(四)—等腰圖【典例】M：(DADAB是等腰三角形.

⑵連接OB,DO并延長(zhǎng)交AB于F,易證DFLAB,則BF=AF=1,

???BD=V10,

DF=yjBD2-BF2=3,設(shè)DO=OB=R,在RtAOBF中有.Z?2=l2+(3-R)2,.-./?=|

變式1.解:(1)連接BD,；.ZDAC=ZBCD,.\ZDBC=ZBCD,ABD=CD;

(2)連接DO并延長(zhǎng)DO交CB于H點(diǎn),，CH=4,DH=8,設(shè)。O的半徑為R,(8-R)2+42=R2,R=5,

???AD=J102-(4V5)2=2V5.

變式2解連接OD交AC于M,設(shè)DM=1,AM=2,OO的半徑為r,則(r-l)2+22=r2,r=接連接AO并延長(zhǎng)

交BC于H,tan/。4M=黑=*設(shè)CH=3x,AH=4x,則AC=5x=4,x=l，CH=y,OH=y-j=套連接OC,t

12

-24

anZ.BAC=tanZ/ZOC=￥=—.

M7

專題講練5圓中的基本圖形分析(五)

—切徑圖〈切線與三角函數(shù)〉

【典例】解作OC_LBE于C,設(shè)BC=CE=OC=1,貝!]ET=2,TC=3,

0T=>JOC2+TC2=V10,

???sinNBTO=*=*

變式1.解作CM±AB于M廁翳=詈=設(shè)OM=a,CM=2a,則0C=V5a=0A,

AM=l)a,

???taS4C=tan〃CM=瑞三今

變式2.解作CEXAB于E,tanz.BCO=tan^ABC=-=—.

BE2

變式3.解:連接OEQD,作OH_LAC于點(diǎn)H,易證OE〃AC,且0E=易證△DCF四△EOF,DC=OE=AD,連

接BD,；.BD_LAC,；.BA=BC,

ZCAB=45°,，OHXAD,/.0H=AH=DH,CH=30H,/.tanZACO=OH/CH=|

專題講練6圓中的基本圖形分析(六)

雙切圖〈雙切線與三角函數(shù)》

【典例】解:設(shè)PC交AB于F,?喘=>?.等=署=也設(shè)OD=1,則BC=AD=BD=2,DP=4,向=共=CF=

2

3

1

???tanzEXB=tanzFCB=

3

變式1.解:連接BC,AB廁AB_LBC,AB_LPOnPO〃BC

???LJOCBE.又?.?OC=OE=4OEB=60°,

/.ZAPO=30°,.\tanZAPO=V3

變式2.解:連接BC,PO交AB于點(diǎn)M,；.NBAC=/ACG,nAG=CG,；./APG=/PAGnPG=AG,；.PG=GC,；.A