二次函數(shù)的應用一其他拋物線問題

專題講練1二次函數(shù)的應用（一）一剎車問題掃碼查看

題型一最大距離，即車停下來問題，即最大距離問題

【典例】嗷材P56T5）汽車剎車后行駛的距離s（單位：m）關于行駛的時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s=15t-6

t2.

（1）汽車剎車后向前行駛了多長時間？

（2）汽車剎車后到停下，向前行駛的距離是多少？

【方法】⑴停止即滑行最大距離；

⑵配方法或公式法求最值.

題型二時間段內(nèi)運動距離問題

變式1.機著陸后滑行的距離y（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y=60t-在飛機著陸滑

行中，求最后4s滑行的距離.

題型三最近距離問題二差函數(shù)的最值

變式2.（2021.臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲

車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖

象如圖所示.

（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少?

⑵若乙車以lOm/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少?

專題講練2二次函數(shù)的應用（二）——運動與二次函數(shù)

考點一理解變春

【典例】（2022.武漢）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑

球前面70cm處.小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化

的數(shù)據(jù)，整理得下表.

運動時間t/s01234

運動速度v/cm/s109.598.58

運動距離y/cm09.751927.7536

小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函

數(shù)關系.

⑴直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；

（3）若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球?請說明理由.

黑球白球

?C

A

考點二注意隱最值的理解與運用

變式.一個滑道由滑坡（AB段）和緩沖帶（BC段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離為（單位：m）和滑

行時間tl（單位：S）滿足二次函數(shù)關系式，并測得相關數(shù)據(jù)：

滑行時間ti/S01234

滑行距離yi/S04.51428.548

滑雪者在緩沖帶上的滑行距離.%（單位：m）和在緩沖帶上的滑行時間以單位:s）滿足：％=52t2-2抬,滑雪者

從A出發(fā)在緩沖帶BC上停止，一共用了23s.

（1）求力和為L滿足的二次函數(shù)解析式；

（2）求滑坡AB的長度.\

BC

專題講練3二次函數(shù)的應用（三）一拱橋問題

考點一建模分析

【典例】如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m,如果水位上升3m，則水面CD的

寬是10m.

⑴建立如圖所示的平面直角坐標系，求此拋物線的解析式；

（2）當水位在正常水位時，有一艘寬為6m的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6m的長方體貨物（貨物與貨船

同寬）.問：此船能否順利通過這座拱橋?

n,nx—""(9=t=5=a==a==fl

考點二注意距離與坐標

變式.如圖1展示的是一個橫截面為拋物線的大棚，有關尺寸如圖2所示.大棚橫截面最高點到地面的距離為2

米，兩端觸地點A,B相距5米.

(1)以點A為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標系，求此拋物線的

解析式(不需要求自變量的取值范圍)；

(2)一位身高1.60米的菜農(nóng)，若要在大棚內(nèi)站直行走，求該菜農(nóng)在橫截面內(nèi)橫向的活動范圍為多少米？

(3)如圖3,為了使大棚更牢固，在此橫截面內(nèi)從A點起，沿地面每隔1米豎立一根鋼桿連接到大棚外邊緣上，

則在此橫截面內(nèi)所有鋼桿的長度和為米(直接寫出答案即可).

專題講練4二次函數(shù)的應用(四)—面積問題(1)

考點一注意自變量的取值范圍，結合圖象求最值

【典例】某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用周長為30米的籬笆

圍成.已知墻長為18米，設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米.

⑴若苗圃園的面積為72平方米，求x；

(2)若平行于墻的一邊長不小于8米，求面積最小值；

(3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍.

【思考】若平行于墻的一邊長不超過am,求面積的最大值.

考點二實際問題n設未知數(shù)n函數(shù)問題n方程問題，逐步轉化

變式.(2021?武珞路)兩段相互垂直的墻AB和AC的長分別為12m和3m,用一段長為23m的籬笆圍成一個

矩形菜園(籬笆全部使用完)，如圖所示，矩形菜園的一邊AD由墻AC和一節(jié)籬笆CD構成，一邊AF靠在墻AB

上，一邊EF上有一個2m的門.假設籬笆CD的長為xm,矩形菜園的面積為5爪2(5)0),回答下面的問題：

(1)①用含x的式子表示籬笆DE的長為m,x的取值范圍是___________；②菜園的面積能不能等

于90m2?若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由.

⑵求菜園面積S的最大值.

專題講練5二次函數(shù)的應用(五)一面積問題⑵

考點一圖形面積與最值，注意自變量取值范圍

【典例】某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m,寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域.其中一塊正

方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A,B,C三種花卉.活動區(qū)一邊與育苗區(qū)

等寬，另一邊長是10m.A,B,C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是200元、300元、400元.

(1)設育苗區(qū)的邊長為xm,用含x的代數(shù)式表示下列各量：

花卉A的種植面積是m2,花卉B的種植面積是m2,花卉C的種植面積是

_____m2.

(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？

(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m5求A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值.

40m

育苗在活動

花卉區(qū)

區(qū)B

20m

花卉

花卉A

C

考點二面積與費用，注意取整分析

變式.如圖，學校計劃建造一塊邊長為40m的正方形花壇ABCD,分別取四邊中點E,F,G,H構成四邊形E

FGH,四邊形EFGH部分種植甲種花，在正方形ABCD四個角落構造4個全等的矩形區(qū)域種植乙種花，剩余部分

種草坪.每一個小矩形的面積為xm2,,已知種植甲種花50元/rtf,乙種花80元//,草坪10元/病，，種植總費用

為y元.

⑴求y關于x的函數(shù)關系式；

(2)當種植總費用為74880元時，求一個矩形的面積為多少?

(3)為了縮減開支,甲區(qū)域改用單價為40元,/M的花，乙區(qū)域用單價為a元//S480,且a為10的倍數(shù))

的花，草坪單價不變，最后種植費只用了55000元，求a的最小值.

第三節(jié)其他拋物線問題

專題講練1二次函數(shù)的應用（一）——剎車問題

【典例】

解：（l）s=-6產(chǎn)+15t,t=-蕓荷=*

_~152_5x15_75

（）max-2488,

變式1.解：y=60t-|t2=-|（t2-40t）

=一式t-20）2+600,

當t=20時,ymax=600,

當t=16時,yi6=-24+600,

???y20—716=24,

最后4s滑行的距離為24m.

變式2.解:⑴甲車v=-t+16,

甲車s--|t2+16t,

當v=9時,t=7;

當t=7時,s=87.5;

（2）設兩車距離為sm,

w=20+10t—（—fracl2t2+16。

="t—6t+20,

當t=----=6,w=2.

2丐

專題講練2二次函數(shù)的應用（二）——運動與二次函數(shù)

【典例】解：⑴"-/z+iotRn-lt+io；

2

⑵令y=64,即-if+10t=64,解得tx=8e=32,當t=8時,v=6;當t=32時,v=-6（舍）,

.??它此時的運動速度為6cm/s；

⑶不會，理由：

設黑白兩球的距離為wcm,根據(jù)題意可知，W=7。+2t-y=#-8t+7。=X-16)2+6,*＞。,二

當t=16時,W的值最小，為6?.黑白兩球的最小距離為6cm,大于0?.黑球不會碰到白球

變式.解：(1)%=|好+2%;

(2)%=52t2—2區(qū)

t=—城=13,.?.下滑時間為。=10,yi=270,故AB的長為270m.

專題講練3二次函數(shù)的應用(三)—拱橋問題

【典例】解：⑴設拋物線解析式為y=a/,點B的縱坐標為n.

則點B(10,n),點D(5,n+3),

n=-4

則C^-25a解：得卜=-表,

ILl-D—乙

1

???y=------x2.

J25

(2)當x=3時,y=-表X9=_.；當x=10時,y=-4,-(-4)=3.64>3.6,...在正常水位時，此船能順利通

過這座拱橋.

答：在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋.

變式.解：(1)設拋物線的解析式為.y=aCx-2.5尸+2(

則0=a(0-2.5尸+2,解得a=-白

???拋物線的解析式為y=-J(x-2.5)2+2，

⑵由1.6=-^(X-2.5)2+2,

解得久】=萼,?=萼，

??.I/-%2|=逐,該菜農(nóng)在大棚內(nèi)站直行走的橫向活動的范圍是亦米；

(3)?.?拋物線的對稱軸為x=2.5,

當X=1或x=4時，

y=-^(l-2,5)2+2=1.28,

當x=2或x=3時，

y=一5(2—2.5)2+2=1.92,

所有鋼桿的長度和為1.28x2+1.92x2=64(米).

專題講練4二次函數(shù)的應用(四)——面積問題(1)

【典例】解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(30-2x)米，且30-2x518,

x>6,x(30-2x)=72,BPx2—15%+36=0.解得x1=3(舍)必=12,x=12;

⑵依題意彳導8W30-2xW18,解得6WxWll,面積S=久(30-2x)=-2(%-+^(6<x<ll),

X=ll時,S有最小值，S=11X(30-22)=88;

加熱

⑶令x(30-2x)=100,得%2-15%+50=0,解得4=5改=10.；.5秘$10,又30-2x/18,；.xN6,，x的取值范圍是6sx

<10.

【思考】

2

解:當a<15時，Smax=—|cz+15a;當15<a<18,Smax=拳.

變式.解:(1)①AC=3,CD=x,；.EF=AC+CD=3+x,

/.DE=23-CD-EF+2=23-x-(3+x)

+2=23-x-3-x+2=22-2x,

,.?0<22-2x<12,.\5<x<ll,

故答案為22-2x,5<x<ll;

②菜園的面積能等于90m2,根據(jù)題意，

得(3+x)(22-2x)=90,整理得：

2=

x—8x+12=。，解得：=2,x26,

"/5<x<ll,/.x=6.

2

答：當x=6m時，菜園的面積為90m;

(2)由題意，得S=(3+久)(22-2久)=-2x2+16%+66=-2(%-4)2+98,v-2<0,.?.當x>4時,S隨x的增

大而減小,￥5塊<11,...當x=5時，S有最大值，最大值為-2(5-4/+98=96,；.Smax=96.

專題講練5二次函數(shù)的應用(五)一面積問題⑵

【典例】B：