2025中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-正方形的性質(zhì)與判定-專項(xiàng)訓(xùn)練

色題型梳理

題型1利用正方形的性質(zhì)求解

題型6與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題

題型2添加一條件使四邊形是正方形

題型7正方形與函數(shù)的綜合問(wèn)題

專題27正方形的性質(zhì)與判定題型3利用正方形的性質(zhì)與判定求角度

題型8與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型4利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)

題型9與正方形有關(guān)的閱讀材料題

題型5利用正方形的性質(zhì)與判定求面積

亦索基勒,建￡兔**■犯住東

1正方形的性質(zhì)

(1)正方形是最特殊的平行四邊形，其性質(zhì)具有菱形和矩形的性質(zhì).

四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角是直角，對(duì)角線相等且互相垂直.

(2)推廣：下圖中有很多等腰直角三角形，如ZVIBD,RABC,△力OB,△4。。等.

2正方形的判定

正方形的判定思路：具有矩形性質(zhì)的菱形或具有菱形的矩形.

(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

(2)對(duì)角線相等的菱形是正方形；

(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

鄰邊相等一個(gè)角是直角

基本方法橫塊化學(xué)勾，也造解密.俄力

【題型1】利用正方形的性質(zhì)求解

【典題1】（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P是對(duì)

角線BD上的一點(diǎn)，「尸14。于點(diǎn)尸，PE12B于點(diǎn)E,連接PC,當(dāng)PE:PF=1:2時(shí)，貝|

PC=()

A.V3B.2C.V5D.|

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?重慶?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形2BCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是

CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接4E,AF,4M平分NE4F.交CD于點(diǎn)M.若BE=DF=1,則DM

12

A.2B.V5C.V6D.

5

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形2BCD中,M為對(duì)角線上的一

點(diǎn)，連接力M并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P.若PM=PC,貝必”的長(zhǎng)為（）

A.3（73-1）B.3（373-2）C.6（V3-1）D.6（3V3-2）

3.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ZBCD的對(duì)角線ZC與BD相交

于點(diǎn)0.E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF.若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)

A.2V2B.2+V2C.4-2V2D.V2

【題型2】添加一條件使四邊形是正方形

【典題1】（2024?陜西榆林三模）己知菱形48C0的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，下列條件中，能

夠判定菱形4BCD為正方形的是（）

A.AC1BDB./.OAB=/LOBA

C.AB=BCD.AB=AC

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?河北滄州?三模）已知四邊形力BCD是平行四邊形，若AC1BD,要使得四邊形

4BCD是正方形，則需要添加條件（）

A.AB=BCB.4ABe=90°

C.乙ADB=30°D.AC=AB

2.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ADIBC,E、F、G、五分別是

AB,BD、CD、4C的中點(diǎn)，添加下列那個(gè)條件，能使得四邊形EFGH成為正方形（）

A.BD=CDB.BD1CDC.AD=BCD.AB=AC

3.（2024?河北邯鄲?三模）在cMBCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，E是近4B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不與A、B重合）連接E。并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)R連接4F,CE,下列四個(gè)結(jié)論中：

甲：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E,四邊形4ECF始終是平行四邊形；

乙：若乙4BC<90。，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形4ECF是矩形；

丙：若48〉2D,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形4ECF是菱形；

T：若48>40,ABAC=45°,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形4ECF是正方形.以上

所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（）

A.甲、丙、丁正確，乙錯(cuò)誤B.甲、乙、丙、丁都正確

C.甲、乙、丙正確，丁錯(cuò)誤D.甲、乙、丙錯(cuò)誤，丁正確

【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求角度

【典題1】如圖，在四邊形力BCD中，AB=BC=CD,zS=90°,NC=150。，貝此￡)的

度數(shù)是°.

【鞏固練習(xí)】

1.如圖，在正方形ABCD中，以對(duì)角線80為邊作菱形8。丘￡,連接則/AF8=

()

A.22.5°B.25°C.30°D.不能確定

2.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點(diǎn)，貝IUB4C與NZMC的大小關(guān)

系為：ABAC/.DAC(填“>”，"=”或

【題型4】利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)

【典題1】（2024?貴州遵義?三模）如圖，AABC是等腰直角三角形，AABC=90°,。是

4C的中點(diǎn)，連接B。并延長(zhǎng)至Q,使得8。=。。，連接2D和CD.①以點(diǎn)。為圓心，CD的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交8。于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)C、E為圓心，大:CE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于

點(diǎn)P;③作射線DP交BC于點(diǎn)R接EF.若4B=2a+2,貝UCF的長(zhǎng)為（）

C.4V2-4D.V2-1

【鞏固練習(xí)】

1.如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，AC1BD,E,尸分別是AB,CD的

中點(diǎn),若AC=BD=2,則所的長(zhǎng)是（

C.fD.V2

2.如圖，在正方形力BCD中，點(diǎn)尸在對(duì)角線BD上，PE1BC,PF1分別為垂足，連

26

-

接4P,EF,3FC

A

BEC

A.2V13B.5V2C.2V5D.5

【題型5】利用正方形的性質(zhì)與判定求面積

【典題1】（2024.重慶江津.模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰RtA4BC的斜邊4C的中點(diǎn)為Z）,NB=

90°,E是邊力B上一點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)。作DFIDE,交BC于點(diǎn)F.若CF=24E,四邊

形BEDF的面積是9,貝UBE的長(zhǎng)為.

【鞏固練習(xí)】

1.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，八邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135。，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最

小旋轉(zhuǎn)角為90。，其邊長(zhǎng)如圖中數(shù)據(jù)所示.設(shè)陰影部分面積為S],空白部分面積為S2,

的值為（）

4

AYB謂C.亨D謂

3

2.（山東泰安咱主招生）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ABAD=Z.BCD=90°,連

接AC.若AC=6,則四邊形ABC。的面積為（）

A.12B.14C.16D.18

【題型6】與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題

【典題1】（2024?福建三明?二模）如圖，正方形紙片2BCD,P為正方形AD邊上的一點(diǎn)

（不與點(diǎn)A,點(diǎn)D重合）.將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG

交DC于點(diǎn)H,折痕為EF,連接BP,BH,交EF于點(diǎn)連接PM.下列結(jié)論：①BP平

分乙4PG；②BP=EF；③PH=AP+”C；?MH=MF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

APD

A.4B.3C.2D.1

【鞏固練習(xí)】

1.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形4BCD折疊，使點(diǎn)。落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)4落在F處，折

痕為MN,則線段DN長(zhǎng)是（）

BE

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

2.（多選）（2022.山東濰坊.一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ZBCD中，點(diǎn)mF分別是邊

BC,48的中點(diǎn)，連接4E,DF交于點(diǎn)N,將△ABE沿AE翻折，得至！］△AGE,4G交DF于點(diǎn)

M.延長(zhǎng)EG交/。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CG,ME,取ME的中點(diǎn)為點(diǎn)。，連接N。，GO.則

B.AH=EH

C.CG||AED?S四邊形MNOG=

【題型7】正方形與函數(shù)的綜合問(wèn)題

【典題1】如圖，正方形ABC。的頂點(diǎn)A,8在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)

P,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P,。兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是

【鞏固練習(xí)】

1.（2024.山東濟(jì)寧.二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)丫=*與丫=-§的圖象和正

方形4BCD,原點(diǎn)。與對(duì)角線4C,BD的交點(diǎn)重疊，且如圖所示的陰影部分面積為8,則

AB=______

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,2),以線段4B為一

邊在第一象限內(nèi)作平行四邊形4BCD,其頂點(diǎn)D(3,l)在反比例函數(shù)y=§0>0)的圖象上.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)設(shè)將正方形2BCD沿x軸向左平移山(巾>0)個(gè)單位后，得到正方形480,點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)C，恰好落在反比例函數(shù)y=§0>0)的圖象上，求m的值.

【題型8】與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【典題1】(2024?海南省直轄縣級(jí)單位.二模)如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形4BCD中，E為對(duì)

角線AC上一點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EF1DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R以。E,EF為鄰邊作

矩形DEFG,連接CG.貝ikACG=,當(dāng)E點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑

長(zhǎng)是.

A

G

B

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?江蘇宿遷三模）如圖，正方形2BCD的邊長(zhǎng)是4,E為BD上一動(dòng)點(diǎn)，以EC為斜邊

作直角ACEF,且NCEF=30。，當(dāng)點(diǎn)E從B運(yùn)動(dòng)到。時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程為（）

A.4V2B.2V2C.V2D.6

2.（2024?遼寧營(yíng)口.一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=8,BC=10.點(diǎn)E在邊4。上，且

DE=8,M、N分別是邊4B、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN.P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接

PM,PN.PM+PN=10.則線段PC的長(zhǎng)為.

3.（2024.黑龍江佳木斯?三模）如圖，已知正方形2BCD的邊長(zhǎng)是4,E是邊上一動(dòng)點(diǎn),

A4EF是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，貝IMF+DF的最小值為.

/D

F

BE

【題型9】與正方形有關(guān)的閱讀材料題

【典題1】（2023?江蘇?中考真題）綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長(zhǎng)的比值為胃|乂5為正整數(shù)）的矩形稱為幾階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當(dāng)n=l時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬

（4D）與長(zhǎng)（CD）的比值是.

（2）操作驗(yàn)證：

用正方形紙片4BCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，展開(kāi)，折痕為CG；

第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)2、B分別落在邊力。、BC上，展開(kāi)，折痕為GK.

試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）

（3）方法遷移:

用正方形紙片4BCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)

要標(biāo)注.

（4）探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,點(diǎn)E為正方

形力BCD邊4B上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三

步，四邊形2GHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值.請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理

由.

【鞏固練習(xí)】

1.(2024.山東臨沂.二模)綜合與實(shí)踐

【提出問(wèn)題】

在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)E是射線8C上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF12E交正方形的外角ADCL的平分線于點(diǎn)F.求證：AE=EF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，小明的證明思路如下:

在B4上截取BP=BE,連接EP.

則易得2P=EC,AAPE=AECF=135°,.

?■?AAPE=△ECF.AE=EF.

補(bǔ)全小明的證明思路，橫線處應(yīng)填.

【深入探究】

(2)如圖2,在(1)基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)F作FG〃4E交直線CD于點(diǎn)G.以CG為斜邊向右作等腰

直角三角形HCG,點(diǎn)H在射線CF上.求證：FG=EF；

【拓展應(yīng)用】

(3)過(guò)點(diǎn)尸作FG〃人E交直線CD于點(diǎn)G.以CG為斜邊向右作等腰直角三角形HCG,點(diǎn)H在

射線CF上.當(dāng)48=5,CE=2時(shí)，請(qǐng)求出線段DG的長(zhǎng).

2.(2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,2),過(guò)點(diǎn)4分

別作》軸、y軸的垂線，垂足分別為B、C.

圖⑴圖(2)圖(3)

⑴四邊形。B4C的形狀是；

(2)一個(gè)以點(diǎn)力為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與光軸、y軸分別交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,連

接DE,設(shè)。D=a,OE=b.

①如圖(1),當(dāng)ACME被對(duì)角線。4平分時(shí)，求a、6的值；

②利用圖(2)探究：當(dāng)a、b為何值時(shí)，AADE是直角三角形？試寫(xiě)出你的求解過(guò)程；

(3)利用圖(3)探究：若點(diǎn)M在久軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，則以。、4、M、N為頂點(diǎn)的菱

形有個(gè).

參考答案與詳細(xì)解析

zhg題型梳理

題型1利用正方形的性質(zhì)求解

題型6與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題

題型2添加T件使四邂&E方形

題型7正方形與函數(shù)的綜合問(wèn)題

專題27正方形的性質(zhì)與判定題型3利用正方形的性質(zhì)與判定求角度

題型8與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型4利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)

題型9與正方形有關(guān)的閱讀材料題

題型5利用正方形的性質(zhì)與判定求面積

務(wù)實(shí)基越.3ti?嵬叁加鈉體親

1正方形的性質(zhì)

(1)正方形是最特殊的平行四邊形，其性質(zhì)具有菱形和矩形的性質(zhì).

四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角是直角，對(duì)角線相等且互相垂直.

(2)推廣：下圖中有很多等腰直角三角形，如A2BD,AABC,J\AOB,NAOD等.

2正方形的判定

正方形的判定思路：具有矩形性質(zhì)的菱形或具有菱形的矩形.

(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;

(2)對(duì)角線相等的菱形是正方形；

(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;

(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

基本方法橫塊化厚口，壁造解奠俄力

【題型1】利用正方形的性質(zhì)求解

【典題1】(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P是對(duì)

角線BD上的一點(diǎn)，「尸14。于點(diǎn)F，PE14B于點(diǎn)E,連接PC,當(dāng)PE:PF=1:2時(shí)，貝|

PC=()

A.V3B.2C.V5D.|

【答案】C

【分析】先證四邊形4EPF是矩形，可得PE=4F,^PFD=90°,由等腰直角三角形的性

質(zhì)可得PF=DF,可求4F,DF的長(zhǎng)，由勾股定理可求AP的長(zhǎng)，由“SAS”可證△4BP三4

CBP,可得AP=PC=店.

【詳解】解：如圖:

連接4P,

???四邊形48C。是正方形，

???AB=AD=3,UDB=45°,

PF1AD,PE1AB,/.BAD=90°,

.??四邊形4EPF是矩形，

PE=AF,/.PFD=90°,

.?.△PFD是等腰直角三角形，

???PF=DF,

??,PE\PF=1:2,

AAF-.DF=1:2,

AF=1,DF=2=PF,

??AP=y/AF2+PF2=A/1+4=V5,

??,AB=BC,乙ABD=Z.CBD=45°,BP=BP,

??.△ABP三△CBP(SAS),

AP=PC=V5,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

【鞏固練習(xí)】

L（2024.重慶?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形A8CD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是

CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE,AF,力M平分NE4F.交CD于點(diǎn)M.若BE=DF=1,則DM

12

C.V6D.

5

【答案】D

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方

形的性質(zhì)得到N48E=UDC=/.ADF=4。=90°,AB=4。=CO=8C=4,再證明△

ABE=△ADF(SAS)得至必E=AF,進(jìn)一步證明△4EM=△AFM(SAS)得到EM=FM,設(shè)

DM=x,則EM=FM=DF+DM=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtACEM中，由勾股定理得(x+1)2=3z+(4—久￥，解方程即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形4BCD是正方形，

：.^ABE=^ADC=4WF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又,：BE=O尸=1,

/.△ABE三△ADF(SAS),

：.AE=AF,

平分NE4F,

C.Z.EAM=Z.FAM,

又；AM=AM,

：.AAEM三△4FM(SAS),

：.EM=FM,

設(shè)DM=x,則EM=FM=DF+DM=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtACEM中，由勾股定理得EM?=。產(chǎn)+C"2,

(%+l)2=32+(4—x)2,

解得比=蓑，

：.DM=￡12,

故選：D.

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形力BCD中，M為對(duì)角線BD上的一

點(diǎn)，連接4M并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P.若PM=PC,貝IMM的長(zhǎng)為（）

A.3（V3-1）B.3（3V3-2）C.6（V3-1）D.6（3百一2）

【答案】C

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出AADMWACOM,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)可得=aDCM,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCMP=乙DCM,從而可得

4M=30。，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：???四邊形2BCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，

AD=CD=6,^ADC=90°,AADM=乙CDM=45°,

DM=DM

在AADM^A△CDM中，/.ADM=Z.CDM=45°,

AD=CD

???AADM三XCOM（SAS）,

???^DAM=ADCM,

???PM=PC,

：.4CMP=4DCM,

???乙APD=乙CMP+ZDCM=2ADCM=2ADAM,

又?：^APD+^LDAM=180°-AADC=90°,

???Z.DAM=30°,

設(shè)P。=x,貝IJ4P=2PD=2x,PM=PC=CD-PD=6—x,

AD=7Ap2—P￡）2=陋乂=6,

解得x=2V3,

PM=6-x=6-2V3,AP=2x=4A/3,

AM=AP-PM=4V3-（6-2V3）=6（V3-1）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角

形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形2BCD的對(duì)角線4c與BD相交

于點(diǎn)0.E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF.若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)

稱，則ABEF的周長(zhǎng)是（）

A.2V2B.2+V2C.4-2V2D.V2

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)

和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出BD=2VL根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得

DF=DC=2,4DFE=4BCD=90°貝IjBF=BD—DF=2近-2,再求出EF=BF=

2V2-2,BE=y/2BF=4-242,即可求出答案.

【詳解】解：正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,

1

：.BC=DC=2,乙BCD=90。,DO=-BD乙CBD=45。，

2f

：.BD=>JBC2+DC2=2V2,

'：ADEFAOEC關(guān)于直線。E對(duì)稱，

：.DF=DC=2,4DFE=乙BCD=90°,

：.BF=BD-DF=2V2-2,Z.BFE=90°,

:.LFBE=乙FEB=45°,

：.EF=BF=2V2-2,

/.BE=V2BF=V2（2V2-2）=4-2VL

/.△BEF的周長(zhǎng)是BE+FF+BF=4-2V2+2V2-2+2V2-2=2vL

故選：A.

【題型2】添加一條件使四邊形是正方形

【典題1】（2024?陜西榆林?三模）己知菱形2BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,下列條件中，能

夠判定菱形ABC。為正方形的是（）

A.AC1BDB./.OAB=/.OBA

C.AB=BCD.AB=AC

【答案】B

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)和正方形的判定，菱形的對(duì)角線互相垂直，四條邊相等，正

方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：：四邊形4BCC是菱形，

：.AC1BD,AB=BC,AB=AC,

故A、C、D選項(xiàng)均不能判定菱形ABCD為正方形，不符合題意，

在菱形4BCD中，Z.OAB=^OBA,

OA=OB,

VOA=OC,OB=OD,

：.AC=BD,

菱形4BCD為正方形，

故選：B.

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?河北滄州?三模）已知四邊形力BCD是平行四邊形，若4C1BD,要使得四邊形

4BCD是正方形，則需要添加條件（）

A.AB=BCB.乙ABC=90°

C.UDB=30°D.AC=AB

【答案】B

【分析】本題考查了添一個(gè)條件使四邊形是正方形，根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是

菱形”，可得四邊形4BC0是菱形，根據(jù)“有一個(gè)角是直角的菱形是正方形“，得出答案即

可，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：四邊形4BCD是平行四邊形，AC1BD,

，四邊形4BCD是菱形，

，再添加條件乙4BC=90°,即可判定四邊形4BCD是正方形，

故選:B.

2.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ADIBC,E、F、G、五分別是

AB.BD、CD、4C的中點(diǎn)，添加下列那個(gè)條件，能使得四邊形EFGH成為正方形（）

A.BD=CDB.BD1CDC.AD=BCD.AB=AC

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證EF=GH,EH=FG,推出四邊形EFGH是平行四

邊形，再根據(jù)4018C證明EF1FG,可得四邊形EFGH是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正

方形可得選項(xiàng)C為正確答案.

【詳解】解：???E、F、G、H分別是4B、BD、CD、AC的中點(diǎn)，

.-.EF是△ABO的中位線，是AaOC的中位線，F(xiàn)G是A08C的中位線，EH是AABC的中

位線，

EF=-AD,EF//AD,GH=-AD,GH//AD,FG=-BC,FG//BC,EH=-BC,

2222

EH//BC,

??.EF=GH,EH=FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

??.EF//AD,FG//BC,AD1BC,

???EF1FG,

???四邊形EFG”是矩形,

當(dāng)AD=BC時(shí)，EF=-AD=-BC=FG,

22

可得四邊形EFGH是正方形.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定

方法，以及中位線的性質(zhì)，即平行于三角形的第三條邊，且等于第三邊長(zhǎng)度的一半.

3.（2024?河北邯鄲?三模）在口48（7。中，對(duì)角線4C、BD相交于點(diǎn)。，E是近4B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不與A、B重合）連接E。并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)、F,連接4F,CE,下列四個(gè)結(jié)論中：

甲：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E,四邊形4ECF始終是平行四邊形；

乙：若NABC<90。，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形4ECF是矩形；

丙：若則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形4ECF是菱形；

T：若48>力。，ABAC=45。，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形力ECF是正方形.以上

A.甲、丙、丁正確，乙錯(cuò)誤B.甲、乙、丙、丁都正確

C.甲、乙、丙正確，丁錯(cuò)誤D.甲、乙、丙錯(cuò)誤，丁正確

【答案】A

【分析】本題主要考查平行四邊形以及幾種特殊平行四邊形的判定.熟悉平行四邊形、矩

形、菱形、正方形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵.

由于EF經(jīng)過(guò)平行四邊形4BCD的中心。，故四邊形2ECF一定也是平行四邊形，這可以通過(guò)

證明BE與CF相等來(lái)說(shuō)明.然后只要讓平行四邊形4ECF再滿足適當(dāng)?shù)奶厥鈼l件就可以變成

對(duì)應(yīng)的特殊平行四邊形.

圖1

:四邊形力BCD為平行四邊形，對(duì)角線4C與8￡）交于點(diǎn)0,

：.AB//DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

：.^OAE=乙OCF,

'J/.AOE=Z.COF,

J.^AOESACOF{ASA),

：.AE=CF,

又：-JAE//CF,

四邊形4ECF為平行四邊形，

即E在AB上任意位置（不與4、B重合）時(shí)，四邊形4ECF形為平行四邊形，故選項(xiàng)甲正確;

如圖2,

如圖3,

當(dāng)CE14B時(shí)，點(diǎn)E不在邊2B上，故選項(xiàng)乙錯(cuò)誤.

圖3

當(dāng)EFLAC時(shí)，四邊形AECF為菱形，故選項(xiàng)丙正確.

由丙知，若則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形2ECF是菱形,

VZBXC=45°,

：.^DAC=Z.BAC=45°,

：./.DAB=90°,

...若AB>4D,NB力C=45。，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形2ECF是正方形，故選項(xiàng)丁

正確.

故選：A.

【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求角度

【典題1】如圖，在四邊形2BCD中，AB=BC=CD,ZB=90°,Z_C=150。，則的

度數(shù)是'

【分析】如圖，作CE1BC,4E1CE于E,連接。E,證明四邊形2BCE是正方形，貝!|

/.BCE=90°,CE=AB=AE=CD,證明△CDE是等邊三角形，貝！=AE,4CED=

^CDE=60°,/LEDA=AEAD=15°,根據(jù)NCD4=NCDE—NED4求解作答即可.

【詳解】解：如圖，作CEL8C,451。5于心連接DE,

四邊形力BCE是矩形,

'：AB=BC,

四邊形2BCE是正方形，

J.Z.BCE=90°,CE=AB=AE=CD,

J./.ECD=4BCD-乙BCE=60°,

△CDE是等邊三角形，

：.DE=AE,^CED=ACDE=60°,

：.^EDA=4EAD=I」。。心EC+"ED)=15°,

2

C./.CDA=Z.CDE-Z.EDA=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與

性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【鞏固練習(xí)】

1.如圖，在正方形A8CQ中，以對(duì)角線8。為邊作菱形5DPE,連接則

()

A.22.5°B.25°C.30°D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得NADB=45。，再根據(jù)菱形的四條邊都相等

可得BD=DF,根據(jù)等邊對(duì)等角可得NDBF=NDFB,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：在正方形ABCD中，ZADB=|ZADC=jx90°=45°,

在菱形BDFE中，BD=DF,

所以，ZDBF=ZAFB,

在4BDF中，ZADB=ZDBF+ZAFB=2ZAFB=45°,

解得/AFB=22.5°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，菱形的四條

邊都相等的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的

性質(zhì)，難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點(diǎn)，貝IUBAC與NZMC的大小關(guān)

系為：ABACADAC（填“>”，"=”或

【答案】=

【分析】如圖，連接CE、CD,利用勾股定理求得AE、EC、CD、DA、AC的長(zhǎng)，再利用

勾股定理的逆定理即可求解.

【詳解】解：如圖，連接CE、CD,

AE=A/12+22=V5,

同理求得EC=CD=DA=Vl2+22=V5,AC=Vl2+32=V10,

：.AE=EC=CD=DA,

四邊形AECO是菱形，

V（V5）2+（V5）2=（V10）2,

：.AE2+EC2=AC2,

：.ZAEC=90°,

菱形AECD是正方形，

ZBAC=ZDAC,

故答案為：=.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【題型4】利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)

【典題1】（2024?貴州遵義三模）如圖，AdBC是等腰直角三角形，AABC=90°,。是

2C的中點(diǎn)，連接B。并延長(zhǎng)至Z）,使得BO=D。，連接4。和CD.①以點(diǎn)。為圓心，CD的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BD于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)C、E為圓心，大的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于

點(diǎn)P;③作射線DP交BC于點(diǎn)R接EF.若4B=2魚(yú)+2,貝船尸的長(zhǎng)為（）

A.2B.V2+1C.4V2-4D.V2-1

【答案】A

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，角

平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形4BCD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形

力BCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形48CD是正方形，求得AB=8C=CD=

2V2+2,得到=&28=4+2魚(yú)，求得BE=B0-DE=2,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NDEF=乙DCB=90°,EF=CF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：是AC的中點(diǎn)，

：.A0=CO,

;DO=BO,

四邊形4BCD是平行四邊形，

VZ/4FC=90°,

四邊形4BCD是矩形，

'：AB=BC,

...四邊形力BCD是正方形，

：.AB=BC=CD=242+2,

：.BD=\[2AB=4+2V2,

,:DE=OC=2V2+2,

：.BE=BD—DE=2,

由作圖知，DF平分4CDB,

：.Z.CDF=乙EDF,

,:DE=DC,DF=DF,

：.ADEF^△DCF(SAS),

:.乙DEF=乙DCB=90°,EF=CF,

：./.BEF=90°,

■:乙EBF=45°,

：.BE=EF,

：.CF=EF=2,

故選：A.

【鞏固練習(xí)】

L如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)。，AC±BD,E,尸分別是AB,CD的

中點(diǎn)，若AC=BD=2,則跖的長(zhǎng)是（）

A.2B.V3C.yD.V2

【答案】D

【分析】分別取的中點(diǎn)為G,H,連接EG,HE,HF,FG,利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)可以推

iHEG//^BD,HF//^BD,HE//^AC,FG//^AC,再根據(jù)4C_LBD,可以推導(dǎo)出四邊形EGFH

是正方形即可求解.

【詳解】解：分別取的中點(diǎn)為G,H,連接EG,HE,HF,FG,

???E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，

1111

?-.EG//^BD,HF//^BD,HE//^AC,FG//^AC,

又：AC±BD,AC=BD=2,

：.HE=EG=GF=HF=1,HF1FG,

.,?四邊形EGFH是正方形，

EF=V2FG=V2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線，利用題意證明出四邊形EGFH是正方形.

2.如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE1BC,PF1CD,E,F分別為垂足，連

接2P,EF,若黑=|,尸C=6,則2P=(

C.2V5D.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知識(shí)

點(diǎn)，掌握矩形和正方形的判定方法成為解題的關(guān)鍵.

如圖：延長(zhǎng)EP交2。于G,貝!!PG14。,由正方形的性質(zhì)可得482。=乙40c=NC=

/.ABC=90°,AB=BC=CD=AD/CBD=ABDC=Z.ADB=45°,易證四邊形PFCE是矩

形、四邊形力BEG是矩形、四邊形DFPG是矩形，貝"E=CF=6、PF=CE；再根據(jù)等腰

直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得BE=PE=6,0尸=PF、PF=DF=4,即四邊形DFPG

是正方形，進(jìn)而得到4G=BE=6,PG=PF=4,最后運(yùn)用勾股定理即可解答.

【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)EP交4D于G,則PG1AD,

:正方形力BCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上,

C./.BAD=Z.ADC=NC=A.ABC=90°,AB=BC=CD=AD.Z.CBD=乙BDC=乙ADB=

45°,

YPE1BC,PF1CD,E,尸分別為垂足,

四邊形PFCE是矩形，四邊形48EG是矩形，四邊形DFPG是矩形,

：.PE=CF=6,PF=CE,

:PE1BC.PF1CD,Z.CBD=乙BDC=45°,

：.BE=PE=6,DF=PF,即四邊形DFPG是正方形,

：.BP=y/BE2+PE2=6V2,

..DP__2

*PB~39

：.PD=|PB=4A/2,

'：PD2=PF2+DF2,

（4V2）=PF2+PF?,解得「尸=OF=4,

?.?四邊形4BEG是矩形，四邊形DFPG是正方形，

：.AG=BE=6,PG=PF=4,

：.AP=yjAG2+PG2=V62+42=V52=2V13.

故選A.

【題型5】利用正方形的性質(zhì)與判定求面積

【典題1】（2024?重慶江津?模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰RtA/lBC的斜邊4C的中點(diǎn)為。，NB=

90°,E是邊力8上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)。作交BC于點(diǎn)F.若CF=22E,四邊

;形BEDF的面積是9,貝UBE的長(zhǎng)為.

A

8M——、C

【答案】4

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DG14B于點(diǎn)G,作DH1BC于點(diǎn)H,連接BD,根據(jù)等腰直角三角形的

性質(zhì)易證4BCD,A480都是等腰直角三角形，得到DG=DH=BH=BG,進(jìn)而得到四邊形

BHDG是正方形，再證明△EDG0AFDH,得到EG=FH,SAEOG=S^DH，由四邊形BEDF

的面積是9,推出正方形2HDG的面積為9,進(jìn)而得到BG=4G=BH=CH=3,由CF=

2AE,求出EG=1,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DG于點(diǎn)G,作于點(diǎn)打，連接BD,

??,等腰RtAABC中,NB=90。，點(diǎn)。為斜邊4C的中點(diǎn),

???BD=AD=CD,BD1AC,=45°,

4ABD=LCBD=45°,^ADB=4CDB=90°,

△BCD,△ABD都是等腰直角三角形，

DGA.AB,DH1BC,

同理得：△4GD,△￡?”(:都是等腰直角三角形，

11

.??AG=BG=DG=-AB,BH=CH=DH=-BC,

22

???AB=BC,

DG=DH=BH=BG,

???乙ABC=90°

???四邊形BHDG是正方形，

vDF1DE,

???乙EDF=90°,

???Z.EDG+乙GDF=乙GDF+乙FDH=90°,

???(EDG=乙FDH,

???乙EGD=Z.FHD=90。，DG=DH,

???AEDGm工FDH(ASK),

???EG=FH,S^EDG=S?FDH，

???四邊形BEDF的面積是9,即S四邊形BFDG+S^EDG=9,

S四邊形BFDG+SAFDH=9,

二正方形BHDG的面積為9,

BG=AG=BH=CH=小=3,

■：CF=2AE,

???CH+FHAG+EGAE+EG+EG2AE,即2EG=AE,

AG=3EG=3

???EG=1,

???BE=BG+EG=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的判定與性質(zhì)，正方形的判定與

性質(zhì)，直角三角形的特征等知識(shí)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形全等時(shí)解題的關(guān)鍵.

【鞏固練習(xí)】

1.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，八邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135。，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最

小旋轉(zhuǎn)角為90。，其邊長(zhǎng)如圖中數(shù)據(jù)所示.設(shè)陰影部分面積為Si，空白部分面積為S2,則

的值為（）

4

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，圖形的面積等知識(shí)，作輔

助線利用圖形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心。向兩邊作垂線，垂足分別為點(diǎn)MN,延長(zhǎng)NB,AL4交于尸，則可得四邊形

ONFM為正方形；易得AF=BF,4尸=90。，則可求得FB的長(zhǎng)，求得正方形ONFM的面

積，正方形PSOR的面積，AFBa的面積，進(jìn)一步可求得S四邊形BNRP+S四邊形apsM，從而求

得AABP的面積，最后可求得S],52，從而求得其比值.

【詳解】解：如圖，過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心。向兩邊作垂線，垂足分別為點(diǎn)MN,延長(zhǎng)NB,M力交

于F點(diǎn)，則四邊形。NFM為正方形，

???乙NBA=A.BAM=135°,

???乙FBA=/.FAB=45°,

???乙F=90°,AF=BF,

???FB=V2,BN=2,

AS正方形ONFM=（2+V2）2=6+4近，S正方形PSOR=L^^FBA=1，S四邊形BNRP+

S四邊形/PSM=2X-X（2+1）X（2+V2-1）=3A/2+3,

故S-BP=（6+4V2）-（1+1+3V2+3）=V2+1,

S]=4（V2+1）+4=4V2（1+V2）,

S2=（2+4）（1+V2）xIx4=12（1+V2）,

.Si_4V^（i+yi）_V2

,?S2-12（1+V2）—3.

2.（山東泰安?自主招生）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,/.BAD=ABCD=90°,連

接2C.若4c=6,則四邊形4BCD的面積為（）

【答