莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)3月份月考試卷(教師版)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

AB-(DC-BC)+DA^

1.化簡(jiǎn)：'>()

A.2ADB-ADC.0D.2DA

2.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a=2,c=3,cosB=\,貝防=()

A.不B.V10C.4D.

3.已知sin。=1,則cos2a=()

3

7c51

A.1B.一C.一D.

9

4.在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與元軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)

j,貝！!sin2a=()

122486

A.B.——C.-D.

~25255

5.已知向量Q=(1,2),b—(A,—1),c—(//,—1),若(a+Z?)〃c,則」+〃=()

A.-2B.-1C.OD.1

HacosR

6.在VABC中，右廠-----,則VA4C的形狀為()

cosA

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

7.設(shè)向量。與匕滿足時(shí)=2,人在a方向上的投影向量為-ga,若存在實(shí)數(shù)2,使得。與.―彳/,垂直,

則4=()

A.2B.—2C.乖)D.

8.已知在VA3C所在平面內(nèi)，BD=2AB，E、尸分別為線段AC、A￡)的中點(diǎn)，直線EE與5c相交于點(diǎn)

G,若DG上BC,貝U()

A.當(dāng)卜4=4,用時(shí)，cosN&lC取得最小值|

B.當(dāng)卜。|=4,@時(shí)，cosN54c的最小值為:

C.當(dāng)國(guó)|=3同時(shí)，cosNB4c的最小值為,

D.當(dāng)國(guó)|=3網(wǎng)時(shí)，cosN84c取得最小值|

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列命題中，正確的命題有（）

A.向量AB與向量5A的長(zhǎng)度相等

B.忖+網(wǎng)=卜—4是a，匕共線充要條件

C.若aw。，aHb，則0與方的方向相同或者相反

D.若4，e2兩個(gè)單位向量，且11一02卜1,則11+62卜0

222

10.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a+c=b-ac，S,ABC=^-,豆b=0,貝U（）

A.cosB=--B.sinB=—

22

C.ac=lD.a+c—V3

11.如圖所示，線段AB是C。弦，其中AB=8,AC=5,點(diǎn)。為iC上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確

B.ABAD最大值是78

C.當(dāng)ABCD=0時(shí)，sinZDAB=

5

D.ACAB=32

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12已知向量〃二（—1,2）,b=（3,x）,若a_L（a+b）,則%=

13.在AA6C中，A=60°,A=l,SMRC=y/3,則的值為

sinC

14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是5C的中點(diǎn)，尸是線段AE上的點(diǎn)，則E4?C廠的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(—2,0),B(0,2V3),C(2cos^,sin^),其中0,1-.

(1)若A8〃OC,求tan。的值；

(2)設(shè)點(diǎn)。(1,0),求ACBD的取值范圍.

16.已知平面向量〃=(l,x),/?=(2%+3,-%),c=(3,5),xeR.

(1)若qJ_。,求％的值；

rr

(2)若〃〃"，求2a+b的值.

(3)若。與c的夾角是銳角，求x的取值范圍.

7

17.VABC的角A,B,。所對(duì)的邊分別是。，b,c,若COSA=G，c-a=2,b=3.

8

(1)求〃和sinB；

(2)求cos12A+^^的值.

i

18.已知函數(shù)〃元)u5-sinZx-gCOsZi+l

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

2(71571\

(2)若/(a)=y,ctGIy,—I,求cos2a的值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量〃=(番,弘)，b=(%2，%)，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為

d"=2""；-)：2，容易知道a，b平行的充要條件為d(。力)=0.

(1)已知a=(2,1),b=(—4,2),求d(a/)；

(2)①已知〃，人的夾角為4和°,d的夾角為。2,證明：d(〃,b)=d[,d)的充分必要條件是

sinq=sin%；

②在VABC中，AB=2,AC=4,DC=28。且AD=：，若PA+PB+PC=O，求

莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)3月份月考試卷(教師版)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

AB~(DC-BC)+DA=

1.化簡(jiǎn)：''()

A.2ADB.ADC.QD.2DA

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡(jiǎn)即可得答案.

【詳解】AB-(DC-BC)+DA=AB+BC-(DC-DA^=AC-AC=O.

故選：C

2.在VABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別是〃，b,c,且〃=2,c=3,cosB=—,則Z?=()

4

A.幣B.710C.4D.V19

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理〃=4+02一2accos3即可得出答案.

【詳解】由余弦定理可得/=片+02-2accosB=4+9—2x2x3x；=10,則方=廂.

故選：B.

3.已知sina=—,則cos21=()

3

751

A.1B.—C.—D.—

993

【答案】B

【解析】

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算即可.

1,17

【詳解】因?yàn)閟ina=—,則cos2tz=l-2sirro=l—2x—=—.

399

故選：B.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，角￡的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與尤軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)

則sin2tz=()

122486

A.---B.---C.-D.——

252555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得sina,cosdz,代入二倍角公式即可求得sin2。的值.

43

【詳解】由定義知sina=1,cos?=--,

24

所以sin2。=2sinacosa=---,

25

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式,

熟練記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目..

5.已知向量G=(L2),b=(2,-1),。=(〃,一1),若(a+瓦)〃c,則彳+〃=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.

【詳解】因?yàn)閍=(L2),入=(4—1),

所以a+Z?=(l+2,l)，

因(a+力〃c,

所以一(1+丸)-M=0,解得4+〃=—1,

故選：B

/7cosR

6.在VABC中，若一=---,則VABC的形狀為()

bcosA

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式，以及角的關(guān)系，即可判斷.

/7cowRqin/AcowR

【詳解】因?yàn)橐欢?----，由正弦定理可得——二------，即sinAcosA=sin5cos5,

bcosAsinBcosA

所以sin2A=sin25,可得2A=25或2A+25=兀，

jr

所以A=5或A+B=—,所以VA3C的形狀為等腰或直角三角形.

2

故選：D.

7.設(shè)向量。與b滿足|。|=2,人在。方向上的投影向量為-若存在實(shí)數(shù)彳，使得。與。―4b垂直，

112

則；I=()

A.2B.-2C.73D.一6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合已知求得a?，再由a與。―26垂直，得a-(。-丸8)=0,結(jié)合數(shù)量積

得運(yùn)算律即可得解.

【詳解】解：因?yàn)閎在a方向上的投影向量為-工。，

2

a-ba1

所以同同二一”

所以。?b=—2，

因?yàn)?。與a—丸人垂直，

所以〃.(〃-4?)=0,

即a_ka?Z?=4+22=0，解得X——2.

故選：B.

8.已知在VA5C所在平面內(nèi)，BD=2AB，石、尸分別為線段AC、A。的中點(diǎn)，直線石廠與8C相交于點(diǎn)

G,若。GL5C,則()

A.當(dāng)卜4=4卜,時(shí)，cosZB4c取得最小值1

B.當(dāng)卜。|=41@時(shí)，cosNB4c的最小值為,

C.當(dāng)國(guó)b3網(wǎng)時(shí)，cosN54c的最小值為:

D.當(dāng)國(guó)卜3網(wǎng)時(shí)，cosNR4c取得最小值1

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)已知條件得出向量之間的線性關(guān)系，再利用向量共線定理確定相關(guān)系數(shù)，接著根據(jù)向量垂

直的性質(zhì)得到關(guān)于向量模長(zhǎng)和夾角余弦值的等式，最后運(yùn)用基本不等式求出夾角余弦值的最小值.

設(shè)，。卜》，AB與AC的夾角為=

因?yàn)?￡>=243，所以A￡>=AB+8￡)=A3+2AB=3AB，

113

由于￡、尸分別為線段AC,AD中點(diǎn)，則AE=—AC,AF=-AD=-AB,

222

因?yàn)镋,G,尸共線，所以存在實(shí)數(shù)2,使得AG=2AE+(1—2)AP=gAC+y?

又因?yàn)锽,G,C共線，所以4+3(1一2)=1,解得/=工，則AG=LAC+』A3,

22244

(13A19

那么。G=AG—AD=匕AC+^AB—3A3=aAC—zA5,BC=AC-AB

由于。GLBC,所以DG-3C=1：AC—：AB；(AC—A3)

I.2]QQ^21QS

=-AC——AC-AB——ABAC+-AB^=-b2+-c2——bccosa=0,

4444442

1，292_________

由此可得cosa=^Al=^±^,而立二2戶三RS,

_^c1%100c10。。100c5

2

當(dāng)且僅當(dāng)廿=%2,即〃=3c(b>0,c>0)時(shí)，等號(hào)成立,

3

此時(shí)|相=3網(wǎng),cosABAC取得最小值—.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列命題中，正確的命題有（）

A.向量AB與向量5A的長(zhǎng)度相等

B.忖+網(wǎng)=卜—H是°,臺(tái)共線的充要條件

C.若aw。，泊力，aHb，則°與b的方向相同或者相反

D.若4，是兩個(gè)單位向量，且（1-02卜1,則（i+e2|=J5

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的定義及其性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,向量A8與向量癡是方向相反的向量，但它們的長(zhǎng)度是相等的，

因?yàn)橄蛄块L(zhǎng)度只與向量的大小有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,若°,同向共線時(shí)，口=2,網(wǎng)=1,則忖+忖=3,卜-力|=1不相等，

所以口+什=卜—4不是a，6共線的充要條件，故B不正確；

對(duì)于C,a#o，泊力，a//b>則a與b共線，故a與〃的方向相同或者相反，C正確；

對(duì)于D,若是兩個(gè)單位向量，且上1—02卜1,

貝”q—e?卜Jq+e2—2gj-e2=1=>2^-e2=1>

則\ex+e2|=^Jel+e2+2ex-e2=A/3，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

222

10.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a+c=b-ac，S,ABC=^-,且沙=、歷，則（）

A.cosB=--B.sinB=—

22

C.ac=\D.a+c—^3

【答案】ACD

【解析】

【分析】通過已知條件，利用余弦定理求出角B,再根據(jù)三角形面積公式求出ac的值，最后結(jié)合已知條件

和完全平方公式求出a+c的值.

【詳解】在VAfiC中，因?yàn)?+02=32—a。，即/+°2一/=_4。,

由余弦定理cos3="一+廠―”

lac2ac2

又5G（0,兀），所以3=g,sin3=#，故B錯(cuò)誤，A正確;

因?yàn)?Ase=3，則SAM=Lqcsin3=，所以ac=l,故C正確;

c4ABC2224

因?yàn)閍?+c?=Z?2—ac，b=yfl,ac=l，貝1Ja2+c?=

所以(a+c)=+c2+2ac=1+2=3,因?yàn)閍+c>0,所以a+c=J§\故D正確.

故選：ACD.

11.如圖所示，線段A3是：C的弦，其中AB=8,AC=5,點(diǎn)。為;C上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確

B.AB?AD的最大值是78

當(dāng)AB-CD=0時(shí)，sinZDAB=^-

C.

5

D.ACAB=32

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)圖形特征判斷A,再應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算判斷B,D,再根據(jù)向量垂直得出角的正弦值判斷

C.

【詳解】點(diǎn)。為I。上一動(dòng)點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)A,C,。三點(diǎn)共線的時(shí)候，?的值最大是2AC=10,故選A；

-IABI12

AC-AB=|AC|-|AB|COSZCAB=|Ac|-|Afi|x11AB|=32,故選D；

當(dāng)AB?CD=0時(shí)，即A3,CD，此時(shí)，點(diǎn)。在「。上有兩個(gè)位置，如圖所示，故sin/ZMB不止一個(gè)答

案，所以，排除C選項(xiàng).

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)。坐標(biāo)設(shè)為（5cosO,5sin。），A點(diǎn)坐標(biāo)是,

2點(diǎn)坐標(biāo)是（4,-3）,

圖1

則AB=（8,0）,A￡>=（5cose+4,5sind+3）,AB-AD=40cos0+321

所以，當(dāng)cos6=l,即。=0時(shí)，AB-AD取得最大值72,因此B不正確;

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=（—1,2）,b=（3,x）,若a_L（a+》），則％=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出°+〃的坐標(biāo)，再利用向量垂直的性質(zhì)列出方程，最后求解方程得到x的值.

【詳解】因?yàn)閍=(—1,2),b=[3,x),所以a+Z>=(2,尤+2),

因?yàn)?所以一lx2+2x+4=0,解得x=—1.

故答案為：-1

13.在AA5C中，A=60°,b=l,SMrjC=yf3,則的值為

sinC

【答案Y

【解析】

【分析】

由5=」沙。5也4可求出c,再根據(jù)余弦定理求出a,即可由正弦定理求出.

2

【詳解】由5=工慶^^4可得，V3=-xlxcxsin60，解得c=4.

22

a1=b2+c2-2Z?ccosA=l+16-2xlx4x—=13,即“=5/1^.

2

AA

由正弦定理可得，」一c_/13_2/39

sinAsinCsin603

故答案為：2叵.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是5c的中點(diǎn)，尸是線段AE上的點(diǎn)，則FACF的最大值為

【答案】|9

【解析】

【分析】先建系得出坐標(biāo)，再應(yīng)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)值域計(jì)算求解.

如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則4（0,0）,C（2,2）,E（2,l）,/.AE=（2,1）.

設(shè)而=4荏（0WXW1）,則AF=（2/U）,?！?（2%為一（2,2）=（2/1-2,/1-2）,

/.AF-CF=22-（22-2）+2-（/l-2）=5/l2-62,

7^-CF=-22.（22-2）+（-2）-（Z-2）=-522+62

39

.,.當(dāng)4=一時(shí)，E4.CF有最大值，最大值為一

9

答案

故

5-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(—2,0),8(0,2通)，C(2cosasin8),其中6c

(1)若A月〃0cs求tan。的值；

(2)設(shè)點(diǎn)。(1,0)，求ACBD的取值范圍.

【答案】(1)2月；

⑵[2-273,4]

【解析】

【分析】(1)利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解.

(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合輔助角公式及余弦函數(shù)性質(zhì)求出最大值.

【小問1詳解】

依題意，48=(2,2月)，OC=(2cos6(,sin6>),

由AB〃OC，得25111。=26?2(:05。，所以tanO=2百.

【小問2詳解】

依題意，網(wǎng)0,2網(wǎng)，點(diǎn)。(1,0),

則3Z)=(1,-2g),AC=(2cos6(+2,sin6)),

因止匕AC-5D=2cos，+2—26sin，=2+4cos]，+|J,

,八?7Ct八兀兀57t

當(dāng)°，7"時(shí)，則,

_2J3|_36_

因此當(dāng)。+方=5，即0=0時(shí)，cos[e+；]取得最大值

此時(shí)403。=2+4義工=4

2

當(dāng)。+工=型，即。=巴時(shí)，cos[e+巴]取得最小值—走，

362I3)2

此時(shí)AC.3D=2+4x[—#]=2—2g

所以AC?的取值范圍是[2-273,4].

16.已知平面向量。=（1,尤），Z?=（2x+3,-x）,c=（3,5）,xeR.

（1）若aJ_匕，求x的值；

rr

（2）若?！ㄘ?，求2a+b的值.

（3）若°與c的夾角是銳角，求x的取值范圍.

【答案】（1）—1或3；

（2）占或5；

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0列方程求解.

（2）根據(jù)兩平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系列方程求解出無(wú)，代入得到2a+6的坐標(biāo)，再代入向量模的公式進(jìn)行

求解.

（3）°與c的夾角是銳角，則a.c>0且兩向量不共線.

【小問1詳解】

若/7I/?,則=x）■（2x+3,—x）=2x+3+x（—x）=0,

整理得工2—2%—3=0,解得x=—1或x=3.

所以x的值為-1或3.

【小問2詳解】

（2）若。〃則有1x（—X）—x（2x+3）=0，即龍（2x+4）=0,解得x=0或x=—2，

當(dāng)％=0時(shí)，〃0）,人二（3,0）,則2。+6=（5,0）,得|2。+囚=5；

當(dāng)光=—2時(shí)，=（1,-2）,5=（—1,2）,則2a+b=（l,—2）,得|2。+囚=百.

rr

所以，2a+b的值為有或5.

【小問3詳解】

-.3

（3）因°與c的夾角是銳角，則a-c〉0，即3+5x>0,得x>—

又當(dāng)°與c共線時(shí)，有3x=5,得x=g，不合題意，則xwg

35

綜上，X的取值范圍為

5'3QI

7

17.VA5C的角A,B,。所對(duì)的邊分別是〃，b,c,若COSA=7，c-a=2,b=3.

8

(1)求。和sinB；

(2)求cos12A+^^J的值.

【答案】(1)a=2,sin3=^^

16

(2)176-7亞

一64

【解析】

【分析】(1)先應(yīng)用余弦定理計(jì)算得出a=2,再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用正弦定理求解;

(2)先根據(jù)二倍角正弦及余弦公式計(jì)算求值，最后應(yīng)用兩角和余弦公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

7

由余弦定理可得cosA="+'J"一，由6=3,則9+c—一

2bc6c8

由c—a=2,即c=2+a,代入上式整理可得72+8(0+2)2-8/=42(a+2),解得a=2

由sinA=V1-COS2A=@5，根據(jù)正弦定理，可得sin3=2sinA=3><m5=M5

8a2816

【小問2詳解】

8s2A=溫一五人竺-"金

646464

?c/c.44cA714A/15

sm2A=2sinAcosA=2x-----x—=--------

8864

(“兀目兀.c..兀34G14A/15117布-7層

cos2A+—=coszAcossin2Asm—=——x--------------x—=----------------

66664264264

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵若/(a)="|，

，求cos2a的值.

jrjr

【答案】（1）最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為—q++?（keZ）

力3-473

I乙）

10

【解析】

【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/（尤）的解析式，利用正弦型周期函數(shù)可求出函數(shù)/（九）的最小正周

期，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）由已知條件得出sin12c—巳-1,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出cos12a-器）的值，再

利用兩角和的余弦公式可求出cos2a的值.

【小問1詳解】

2冗

所以，函數(shù)/（九）的最小正周期為T=彳=兀.

所以，函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為—弓+而,/+而（左eZ）.

【小問2詳解】

由⑴知/（x）=sin[2x—：）+l,

4

5

所以,

3-473

10

19.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于非零向量。=（石,％）,/?=（%,%），定義這兩個(gè)向量“相離度”為

（。㈤=/2"“；一）：2，容易知道a，b平行的充要條件為d（。力）=0.

（1）已知a=（2,1）,b=（-4,2）,求d（a力）；

⑵①已知a，b的夾角為4和c，d的夾角為。2,證明：d（a力）=d（Gd）的充分必要條件是

sina=sin%；

②在VABC中，AB=2,AC=4,DC=28。且AD=g，若PA+PB+PC=0，求

4

【答案】（1）j

（2）①證明見解析；②昱

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“相離度”的定義代入相應(yīng)值進(jìn)行計(jì)算.

（2）首先證明①cos2a1+d2（a,。）=l,可得d@,B）=$也<