荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期二月月考

數(shù)學(xué)試題

（全卷滿分150分考試用時120分鐘）

一、單選題

2兀

1.已知一個扇形的圓心角為3,且面積為3兀，則該扇形的弧長為（）

A.兀B.e兀C.2兀D.6兀

【答案】C

【解析】

【分析】由扇形的弧長和面積公式可直接求解.

【詳解】設(shè)扇形的弧長為/,圓心角為a,面積為S,

[I27r

a=—=——

3

由題意得彳r，解得/=2兀，

S=-rl=3n

[2

故選：C.

2.下列說法正確的是（）

A.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等

B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.若,bile>MalIe

D.向量方與向量瓦1的長度相等

【答案】D

【解析】

【分析】本題可根據(jù)單位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，對每個選項逐一進行分析判斷.

【詳解】單位向量是指模等于1的向量.若兩個單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.當方向相反時，

這兩個單位向量并不相等.所以A選項錯誤.

兩個有共同起點且長度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時，終

點也不同.比如，以原點為起點，長度都為1的向量，一個沿x軸正方向，一個沿了軸正方向，它們的終點顯

然不同.所以B選項錯誤.

1/17

當B=0時，對于任意向量1和八都有方//B且B//。但@與e不一定平行.因為零向量與任意向量都平

行.所以c選項錯誤.

向量加與向量切是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，因為向量的長度只與向量的大小有關(guān)，與

方向無關(guān).所以D選項正確.

故選：D.

,、sin（K-）+cos\--3\

3.已知角。的終邊上有一點（1,2）,則'）〔2兀（）

cos（-6）_cos（兀+，）

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式可得答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義，有tan6?=2.

sin（兀-6）+cos（71—]

7

由誘導(dǎo)公式，'^2）sin，+sin，2sin6.?n.

COS（—，）一COS（7T+6）cosd—（-COS，）2cos。

故選：B.

4.若關(guān)于x的方程必-依+4=0有兩相異實根匹,》2,且0＜西＜/＜4,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-00,-4）u（4,+oo）B,（0,5）C.（4,5）D.（4,8）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩相異實根毛,》2滿足0＜苞＜/＜4得到關(guān)于。的不等式組，再解不等式組可得答案.

【詳解】因為方程f—ax+4=0有兩相異實根項,》2，且0＜西＜/＜4,

16〉0

貝!]<0<%+%=。<8,解得4<a<5.

42-4o+4>0

故選：C.

5.設(shè)a=-cos6°--sin6°,b=-------—)

221+tan213°

A.a>b>cB.a<b<c

2/17

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡可得。=$由24。，6=sin26°,c=sin25°.根據(jù)角的范圍和正弦函數(shù)的

單調(diào)性即可比較大小.

1八

【詳解】?.,Q=—COS60------sin60=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°，

22

2tanl3°2tanl3°

=2sinl3°cosl3°=sin26°

1+tan213°l+tan213°

l-(l-2sin225°)

—----------------L=sin250,

2

-/0°<24°<25°<26°<90°,/.sin26°>sin25°>sin24°,

即有：a<c<b.

故選：D

6.存在函數(shù)/(x)滿足：對任意xeR都有()

A.f(^x~^=xB./(sinx)=xC./(eA+e-x)=xD./(ex-e-T)=x

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的定義逐項判斷得解.

【詳解】對于A,取x=l得/(1)=1,取x=—1得/(1)=—1,矛盾，即不存在函數(shù)/(x)滿足，A不是;

對于B,取x=0得/(0)=0,取*=兀得/(0)=兀，矛盾，即不存在函數(shù)/(x)滿足，B不是；

對于C,取x=l得/(e+eT)=l,取x=—1得/(6+1)=一1,矛盾，即不存在函數(shù)〃x)滿足，c不是;

對于D,/=e'-為R上的增函數(shù)，對任意飛?R都有唯一的％=e"-e』滿足，則存在函數(shù)/(x)滿

足，D是.

故選：D

7.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當

水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點《)開始計時，則下列說法錯誤的是()

3/17

p

A.點尸第一次到達最高點需要20秒

B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點尸距離水面1米

C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點尸在水面下方，距離水面2米

D.點P距離水面的高度〃（米）與時間/（秒）之間的函數(shù)解析式為力=4sin［玄+2

【答案】B

【解析】

（7171}

【分析】根據(jù)題意求出點P距離水面的高度力（米）與時間秒）之間的函數(shù)解析式為h=4sm—r--+2,

結(jié)合選項依次判斷即可.

【詳解】設(shè)點尸距離水面的高度為,（米）與時間/（秒）之間的函數(shù)解析式為//=/sin（a+e）+B,

Z〉0,0〉0,[同<]

A+B=6A=4

由題意,力max解得，

-A+B=-2B=2

---T=—=60,:.a>=—=—,貝U力=4sinf—t+(p\+2.

a>T30130)

當，=0時，A=0,.\4sin^+2=0,貝心^^二一萬，

又則9=

26

綜上，h-4sinI——Z——j+2,故D正確;

令〃=4sin——t——+2=6,則sin——t——=1,

〔306)l306)

TTTTTT

若一/——=-,得/=20秒，故A正確;

3062

4/17

(兀71|

當/=155秒時，〃=4sin[.xl55-[J+2=4sin5兀+2=2米,故B不正確;

JTTT]3兀

[—x50-—l+2=4sin—+2=-2^,故C正確.

故選：B.

8.已知關(guān)于x的不等式辦2+法+4〉0的解集為(-8,加)。,其中加＜0,則g+：的最小值為

()

A.-4B.4C.5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式辦2+法+4〉0的解集求出。的值和b的取值范圍，在代入2+：中利用對勾函數(shù)的單

調(diào)性求出它的最小值.

【詳解】因為ax1+bx+4＞0的解集為(-*冽)d1—,+°0]，

4

可知。＞0,且加，一是方程0?+&+4=0的兩根，

m

[4b

m-\——=—

由根與系數(shù)的關(guān)系知47;，

44

mx——=—

、ma

可得a=l,6=(—加)+[—,當且僅當加=—2時等號成立，

/4,4

故—I—=b-\—,

abb

設(shè)/6)=b+d,034),可知函數(shù)/(b)在bl口,+￥)上單調(diào)遞增，

b

則/6).=/0)=4+3=5,所以2+9的最小值為5.

故選：c

二、多選題

9.已知sin8°=加，下列式子中正確的有()

A.cos(-8°)=y/l-m2B.cos98°=-m

5/17

C.sinl72°=-mD.tan548°=-^=

1-m2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐項計算后可得正確的選項.

【詳解】對于A,cos（-8°）=cos8°,\ll-m2=Vl-sin28°=cos8°，故cos（-8。）=Jl一加？，

故A成立；

對于B,cos98°=cos（90°+8°）=-sin8°=-m,故B成立；

對于C,sinl72°=sin(180°-8°)=sin80=m,而加wO,

故sinl72°H-加，故C不成立；

sin8°_m

對于Dtan548=tan8=故D成立,

°°iSVl-sin28071-m2

故選：ABD.

10.若正實數(shù)滿足a+b=l,則下列說法正確的是（）

A.ab有最小值:B.G+JF有最大值J5

1141

C.------1------有最小值一D.°2+人2有最小值丁

a+2b2a+b32

【答案】BCD

【解析】

【分析】由已知結(jié)合基本不等式及其變形形式分別檢驗各選項即可判斷.

【詳解】由正實數(shù)滿足。+6=1,則=-，當且僅當a=b='時，等號成立，所以仍

I2J42

的最大值為故A選項錯誤；

由（JZ+JF）=a+b+2\[ab<2（a+Z））=2,則+當且僅當a=b=；時，等號成立，所

以后+JF有最大值血，故B選項正確；

111八11

由------1------——(3d+3b)-------1-------

a+2b2a+b3\a+2b2a+b

6/17

=:[伍+2b)+(2a+，)]f、[J

3\a+2b2a+bJ

1f.2a+ba+2b

31a+2b2a+b

ifla+2b2a+by41114

2—2+2J-------------當---且---僅-當o=6=—時，等號成立，所以----------------1----------------有最小值一,

31'2a+ba+2b,32a+2b2a+b3

故C選項正確;

由=(a+b)2—2ab2(a+b)2—=(°吊了=g,當且僅當。=b=1?時，等號成立，

所以/+〃有最小值故D選項正確.

故選：BCD.

11.把函數(shù)/(x)=Gsin5+cos5(0<o<?)的圖象向左平移仁個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)

于了軸對稱，則()

A.的最小正周期為兀

B./(x)關(guān)于點|正>-2)對稱

n7i

C./(x)在是上單調(diào)遞增

12,6

D.若/(x)在區(qū)間-a上存在最大值，則實數(shù)。的取值范圍為+8

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先化簡函數(shù)/(x),再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求。，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.

【詳解】因為/(切二近sinox+cosox=2sin[0x+￡J(0<°<兀

所以把/(x)的圖象向左平移2個單位長度得到函數(shù)

6

g(x)=2sin+=2sin(3+的圖象,

因為g(x)關(guān)于y軸對稱，所以一coH——kitH—,k€Z=>①=6k+2,左￡Z,

662

7/17

又因為0</<兀，所以G=2,/(x)=2sin12x+：

對A,所以7="二兀，故A正確；

2

,(5兀、。.(c5兀兀、。.八

對B,fr——2sin2x----1——2sin7i—0,

112JI126

所以/(x)的圖象關(guān)于點五,0對稱，故B錯誤;

兀兀兀兀兀

對C,由2左兀V2xH—?—F2左兀,左￡Z=>kuVxV—Fkn,左￡Z,

26236

當左=0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一，［一方之一g'E，

所以/(x)在-A，己上單調(diào)遞增，故C正確;

對D,若函數(shù)/(x)在-上存在最大值，由選項C可知，/(x)在上單調(diào)遞增,

且/(m］=2sin(2xg+B］=2sing=2,即/(%)在》=巴時取得最大值，所以?！蛋?，

16J166J266

即實數(shù)。的取值范圍為］?，+e］，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

/X1/、1tancr

12.已知sm(a+〃)=—,sm(a-〃)=—,則----=

、73、72tan/?---------

【答案】-5

【解析】

【分析】利用兩角和差的正弦公式聯(lián)立方程組求得sinacos￡=\,cosasin，=-A,然后化切為弦代入

運算即可.

【詳解】根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：

sin(a+/)=sinacos,+cosasin/?=g,sin(a-j8)=sinacos'-cosasin'=—,

聯(lián)立方程組，可得sinacos。=2,cosasin。=----,

8/17

5

仁…tanasinacos，19

所以n=；~~7~

tanpcosasm"_

"12

故答案為：-5

兀1

、.小tan----1-----------

13.計算：12.兀

tan———

12

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)弦切互化,結(jié)合二倍角公式即可求解.

.兀71

sm—cos—

711—>^

【詳解】tan—++12

兀兀.兀.71711.

tan—cos——sm——sm——cos———sm

121212122

故答案為：4

JTJTJTJT

14.已知函數(shù)/(x)=sin(s+—),①>0的最小正周期T>—,若函數(shù)/(x)在(一,一)上單調(diào)，且關(guān)于直

3263

線x=型對稱，則符合要求的①的所有值的和是

3

21

【答案】9##5.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)最小正周期求法及7〉四得0<。<4,結(jié)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及對稱軸有。值為:和工和”,

2444

再驗證是否符合題設(shè)，即可得答案.

TT2.7171

【詳解】函數(shù)/(x)=sin(ox+—)的最小正周期T=—>—且口〉0,得0</<4,

3co2

由于/(x)在(巴，巴)上單調(diào)，該區(qū)間長度小于等于半個周期，即凸44=巴，得。W6,

6362G

綜上，0<@<4,

27r2JIJTjr1

又/(x)關(guān)于直線x對稱，所以。X——+—=E+—,解得。=二+—,kwz,

333224

1713

在0<。<4的范圍內(nèi)，滿足條件的。值為:和一和,，

444

驗證可知，這三個值均滿足函數(shù)在(巴，巴)上單調(diào)，

63

因此，符合要求的/所有值的和為一1+'7+—13=—21.

4444

9/17

故答案為：—.

4

四、解答題

15.計算下列各式的值：

2

(1)〃+3(—8)5+log39G+lg2—1g。；

(2)(l+tanl8°)(l+tan27°).

【答案】(1)—

2

(2)2

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算法則、對數(shù)的運算法則以及三角函數(shù)的相關(guān)公式來分別計算兩個式子的值.

【小問1詳解】

2

計算8§+

,,22。2

根據(jù)指數(shù)幕運算法則，可得=⑵戶=2§=22=4-

根據(jù)根式運算法則，可得3(—8)5=—8.

工s

再根據(jù)對數(shù)運算法則，可得log39百=log332=1.

根據(jù)對數(shù)運算法則，可得1g2—1g：=lg(2-1)=lglO=l.

將以上結(jié)果代入原式可得：

2

83+N(-8)5+log39V3+1g2—1g—=4—8+—+1=——

【小問2詳解】

tan18°+tan27°

因為tan45°=tan(l8+27)==1，

l-tanl8°tan27°

所以tanl8°+tan27°=1-tanl8°tan27°.

將(1+tan18°)(1+tan27°)展開可得：

(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+(1-tan18°tan27°)+tan18°tan27°

10/17

=1+1-tan18°tan27°+tan18°tan27°=2.

“口"(2V7.(a\\7i八A兀

16.已知cosa-----=------------,sin------p=—,一<。<兀，0<B<一.

[2)7UJ222

(1)求cos空2的值；

2

(2)求tan(a+用的值.

【答案】（1）

IT

⑵當

【解析】

a+/3a\

【分析】（1）禾U用cos------=cos5-A,求出相關(guān)的三角函數(shù)值即可求解;

2

2tan------

（2）求出相關(guān)角的范圍，利用tan（a+0=-----------2―r,求解即可.

l-tan2^￡_

2

【小問1詳解】

L兀ef，

cos,且aeI一,兀，匹嗚,

*12

2

cos>1-sin21一，

—

V3VH1而

---------1-----------X—=-------------

27214

【小問2詳解】

OqJ.a+/3兀3兀a+(371371

ae€€G

B25T24?T

a+尸J21..a+/3

,/cos--------??sin

2142214

11/17

a+夕

2tan......-

a+B_______2

tan———tan（a+夕）=

21-t+an2.&...+..夕-

2

V2cosx-a的最大值為3.

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

246

(3)英國數(shù)學(xué)家泰勒(AT。"。川685—1731)發(fā)現(xiàn)了如下公式：cosx=l-右+密+…，其中

〃!=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x3x2x1,該公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示

值的準確性.運用上述思想，計算/1］的值：(結(jié)果精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：0.04167,

—?0.00139)

【答案】(1)a=-l

7C—,5兀_,

(2)—卜2kit,----卜2kli,kE.ZJ

_44_

(3)2.081

【解析】

【分析】(1)先利用兩角差的正弦余弦公式，結(jié)合輔助公式化簡解析式，再根據(jù)函數(shù)最大值為3列方程可求

a的值；

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式可求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)先求出/1=2cosl+l,再利用泰勒公式求出cosl的近似值，從而可得答案.

【小問1詳解】

rr\.71.71兀..兀]

A/2sinxcos——cosxsin—+cosxcos—+sinxsin—+cosx\-a

I3366）

12/17

=V2(sinx+cosx)-a=2sinx+—-a

I4

所以/GOmax=2—Q=3,即Q=—1；

【小問2詳解】

f(x)=2sinXH---+1,

4J

jrjr

令一+2kji<x+—<----F2kli，ksZ

242

7T5兀

即一+2kji<x<----F2左兀，keZ,

44

兀C73兀C71

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間—F2?TI,----卜2/CK,keZ.

44

【小問3詳解】

因為/(x)=2sin+1,

所以/-1J=2sin[；—l+；J+l=2sin[]—1J+1=2cosl+l,

由泰勒公式得：

cosl=l-—+—+……”1-0.5+0,04167-0.00139=0.54028

2!4!6!

所以—1]=2cosl+b2x0.54028+b2.081.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:解答本題（3）的關(guān)鍵是對泰勒公式的理解與應(yīng)用，遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分

析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問

題得以解決.

18.如圖，一個直角走廊的寬分別為a,b,一鐵棒與廊壁成。角，該鐵棒欲通過該直角走廊，求：

（1）鐵棒長度工（用含e的表達式表示）；

（2）當。=6=2m時，能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

13/17

丁ba招e（吟

【答案】（1）L=--+---

sin0cos0

⑵4V2m

【解析】

【分析】（1）根據(jù)示意圖及三角函數(shù)定義，即可得長度上的表達式;

（2）根據(jù)（1）表達式，化簡可得工=4、一］—+—1—,令/=根據(jù)e范圍，可得/的范圍,

\sin220sin26sin26

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得L的最小值，即可得答案.

【小問1詳解】

作出示意圖，鐵棒=ZACD=ZCBE=0,AD=b,BE=a

.,ADb

在△ZCD中，AC=----

sin。sin。

RFa

在△BCE中，BC=-----

cos。cos3

所以ZB=￡=ZC+8C=-^-+^—,6e(0,X

sin，cos0{2

【小問2詳解】

當a=b=2m時,

丁ba2+2_2(sine+cose)_2](sine+cos6)2

L=------+-------。?！?20

sin0cos0sincossin?cos8)vsin0cos

Jl+sin224/1?1

\sin220Vsin220+sin2^

令".1八,因為29e(O/),

sin2^\2J'

所以sin28￡(0,l],t>\,

14/17

所以L==4#77=4jfr+-T--,r>b且在［1,+8)上單調(diào)遞增，

Vsin220sin202)4

兀一L~

所以當/=1時，即。=］時，工的最小值為4、反，

所以能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值為40m.

19.我們將滿足下列條件的函數(shù)/(x)稱為“工伴隨函數(shù)”：存在一個正常數(shù)Z,對于任意的》都有

/(2￡+x)=/(-x)且/(3￡+x)=-/(x).

(1)是否存在正常數(shù)工，使得/(x)=cosx是“乙伴隨函數(shù)”？若存在，請求出一個工的值；若不是，請說

明理由；

(2)已知/(x)是伴隨函數(shù)”，且當xe:，兀時，/(x)=-2sin^2x-.

jrjr\

(i)求當-5'］)時，/(X)的解析式；

(ii)若Xi，/，…,Z￡N)為方程/(x)=a(-2VaV2)在一彳,二一上的根，求>3?的值.