湖北省武漢市江岸區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試試卷

姓名:班級(jí):考號(hào):

題號(hào)——總分

評(píng)分

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.若二次根式由不有意義，貝h的取值范圍是（)

A.%>5B.%>5C.%<5D.%<5

2.下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V16B.1C.V8D.Vio

3.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是)

A.1,2,3B.2,3,4C.5,12,13D.4,5,6

4.下列計(jì)算正確的是（)

A.4+3V2=7A/2B.V3xV7=V21c.5V5—V5=5D.V8+V2=V10

5.矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線互相平分且相等D.對(duì)角線平分一組對(duì)角

6.如圖，在AABC中，ZACB=90。，BC=2,AC=1,BC在數(shù)軸上，點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)為1,以點(diǎn)3為圓心,

4B的長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)。表示的數(shù)是（）

Ai

,B*

-3-2-10123

A.1-V5B.2-V5C.1—V3D.V5-1

7.如圖，等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)K是底邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)K分別作ZB、AC的

平行線KH、KQ,交4C、AB于點(diǎn)H、Q,則下列數(shù)量關(guān)系一定正確的是（)

A.AQ+QK=2BQB.KH+KQ=BCC.KH+KQ=ACD.AC-AQ=BK

8.如圖，平行四邊形ABCQ中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，若添力口①BE||DF；@AF=CE-,③BE=

1

DF；④BE平分乙4BC,DF平分乙4DC中任意一個(gè)條件能夠使△力BE三△CDF,則共有幾種添法（）

9.有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中三個(gè)正方形圍

成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長(zhǎng)”后，形成的圖形如圖1所示.如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得

“枝繁葉茂”，若“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形如圖2所示，則圖2中所有的正方形的面積和是（）

D.22024-1

10.如圖，回ABCD中，對(duì)角線ZC、BD相交于。點(diǎn)，/-BAC=30°,^CAD=15°,AC=2^3+2,貝帖。的長(zhǎng)

為（）

A.V6+V2B.2V2C.2V3D.

二'填空題（共6小題，每題3分，共18分）

11.若最簡(jiǎn)二次根式72^3與V5是同類二次根式，則a的值為.

12.化簡(jiǎn)：得.

13.如圖，菱形ZBCD中，4C交于。，CElAB^E,連接OE,若乙4BC=80。，貝此OEC的度數(shù)

為'

14.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖，當(dāng)張角為NBAF時(shí)，頂部邊緣B處

離桌面的高度BC為7cm,此時(shí)底部邊緣力處與C處間的距離AC為24cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究,

2

當(dāng)張角ND”=120。時(shí)（。是B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則線段CE的長(zhǎng)為cm.

15.如圖，矩形4BCD中，4。=18,ZB=24,點(diǎn)E為邊QC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△4TE與△ZDE關(guān)于直線AE對(duì)

稱.當(dāng)ACD'E為直角三角形時(shí)，QE的長(zhǎng)為

16.四邊形ABCD中，對(duì)角線力C=10,BD=14,點(diǎn)M、N、G分別是4。、BC、AB的中點(diǎn)，連接MN,取MN

中點(diǎn)P,連接GP,貝lj4Gp2+MN2的值為

三、解答題（共8小題，共72分）

17.計(jì)算

（1）2V3-5V12+V48(2)(l+V5)(V5-2)

18.先化間，再求值.(a+V5)(a——ci(ci—4),其中a=

19.如圖所示，在團(tuán)ABCD中，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別是40,BC的中點(diǎn)，連接BE,DF.

3

AED

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形;

(2)若BE平分乙4BC,AB=3,求平行四邊形ABC。的周長(zhǎng).

20.下面是小東設(shè)計(jì)的“作矩形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：RtAABC,ZABC=90°,求作：矩形A8CD

作法：如圖，①作線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O；

②連接BO并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取OD=OB；

③連接AD,CD.

所以四邊形ABC。即為所求作的矩形.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡，下結(jié)論)

(2)為什么這樣作出的四邊形是矩形？請(qǐng)寫出證明過程.

21.如圖1,在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)力、B、C均在格點(diǎn)上.僅用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中完

成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示.

AA

圖1圖2

(1)畫出以力B為邊的菱形ABCD；

(2)直接寫出點(diǎn)。到ZB的距離

(3)在CD上畫點(diǎn)E,使NABE=45°；

(4)如圖2,點(diǎn)F為ZB與格線交點(diǎn)，取ZF中點(diǎn)G,連ZC,在47上畫點(diǎn)H,使GH=GF.

22.如圖，平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在4c上，點(diǎn)尸在BE延長(zhǎng)線上，連接DF,且

EF=BE,EF與CD交于點(diǎn)G.

(1)求證：DF||AC；

(2)若AB=BE=2,KF=45°,G恰好是CD的中點(diǎn)，求DF的長(zhǎng).

23.已知菱形力BCD,Z.ABC=a.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,a=60。，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)/在邊CD上，Z.EAF=60°,求證：BE=CF；

(2)如圖2,a=90。，點(diǎn)尸在邊BC上，點(diǎn)E在邊4B上，^EDF=45°,過點(diǎn)產(chǎn)作FN1OF交OE的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)N,連接4V,過點(diǎn)N作NH14V交直線BC于點(diǎn)求證：點(diǎn)尸為HC的中點(diǎn)；

(3)如圖3,a=60。，點(diǎn)E為邊ZB的中點(diǎn)，點(diǎn)b在邊BC上，4EDF=30°,直接寫出翳的值_________

24.如圖：矩形。ABC的頂點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b).

(2)已知：E0、瓦4分別平分“04、乙BA0,連CE并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)尸，若點(diǎn)F為邊ZB中點(diǎn)，求號(hào)的值;

(3)點(diǎn)M、。分別在邊AB、y軸上，CM、BD相交于N,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,b),BM=1,若ZBNM=45。，

求CD的長(zhǎng).

6

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：要使二次根式有意義，只需X-5K),解得X25.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)不為零”，列出不等式求解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：???VI石=4,.?.畫不是最簡(jiǎn)二次根式，故A不符合；

?.?[=李.?.電不是最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合；

:弼=2四，.?.倔不是最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合；

VIU是最簡(jiǎn)二次根式，故D符合.

故答案為：D.

【分析】被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，且被開方數(shù)不含分母的二次根式就是最簡(jiǎn)二次根式，據(jù)此

逐一判斷得出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：：1+2=3,.'I,2,3三條線段不能構(gòu)成三角形，1,2,3三條線段不能構(gòu)成直角三角

形，故A不符合；

?.?22+32=4+9=13力16,；.22+32#42,2,3,4三條線段不能構(gòu)成直角三角形,故B不符合；

V52+122=25+144=169=132,5,12,13三條線段可以構(gòu)成直角三角形,故C符合；

?.?42+52=16+25=4厚36,.\42+52#62-/.4,5,6三條線段不能構(gòu)成直角三角形,故D不符合.

故答案為：C.

【分析】首先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷所給線段能否構(gòu)成三角形，對(duì)能構(gòu)成三角形的三條線段，將各組中的

兩較短線段的平方與第三條線段的平方比較，相等的就是能構(gòu)成直角三角形，否組就不能，據(jù)此逐一判斷得

出答案.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：4+3V2,沒有同類項(xiàng)二次根式，不能合并，故A錯(cuò)誤；

V3XV7=V35T7=vn,故B正確；

5V5—V5=(5—1)V5=4^5,故C錯(cuò)誤；

V8+y/2=2V2+y[2=3V2,故D錯(cuò)誤.

答案為：B.

【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘法則求解.

5.【答案】A

7

【解析】【解答】解：?.?矩形的對(duì)角線相等且互相平分；菱形的對(duì)角線垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，

???矩形、菱形都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分.

故答案為：A.

【分析】分別得出菱形與矩形的關(guān)于對(duì)角線方面的性質(zhì)，即可判斷得出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：:?在AABC中，AACB=90°,BC=2,AC=1,

.\AB=722+I2=炳,

.\BD=V5,

?.?點(diǎn)B表示的數(shù)是1,

點(diǎn)D表示的數(shù)是1-V5.

故答案為：A.

【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB,再根據(jù)作法知BD=AB,結(jié)合點(diǎn)B表示的數(shù)為1求解.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：VAB=AC,

,ZB=ZC,

VKQ/7AC,

.\ZBKQ=ZC=ZB,

；.KQ=BQ,

：KH〃AB,KQ〃AC,

四邊形AQKH是平行四邊形，

；.KH=AQ,

KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC.

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)證明NBKQ=NB,再根據(jù)“在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等

邊”可得KQ=BQ,然后證明四邊形AQKH是平行四邊形得KH=AQ,進(jìn)而根據(jù)線段的和差、等量代換就可得

KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AB〃CD,ZABC=ZADC,

ZBAE=ZDCF,

添力口①BE〃DF,

NBEF=NDFE,

8

；.NAEB=/CFD,

.4.AABE^ACDF(AAS),故①符合題意；

添力口②AF=CE,

；.AE=CF,

.,.△ABE^ACDF(SAS),故②符合題意；

添加③BE=DF不能證明^ABE^ACDF,故③不符合題意；

添加④BE平分NABC,DF平分NADC,

11

Z-ABE—/-ABCfZ-FDC=Z-ADCr

乙乙

AZABE=ZCDF,

ABE^ACDF(ASA),故④符合題意，

綜上符合題意的有①②④三個(gè).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，

正方形B的面積+正方形C的面積=1,

“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，再根

據(jù)規(guī)律求解.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE14。于E,過點(diǎn)C作CP的延長(zhǎng)線于P,貝此==

9

乙CPA=90°,

P

?

?XX

?z、、

ZX

AED

V^BAC=30°,

:.CP=jXC=V3+1,

'-AP=y/AC2-CP2=J(2V3+2)2-(g+1)2=遮+3，

,."BAC=30。，^CAD=15°,

：.Z.BAD=30°+15°=45°,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BC||AD,BC=AD,

:.乙PBC=乙BAD=45°,

...△BPC為等腰直角三角形，

:.BPCP=43+1,

■'-AB=4P-BP=遮+3-(g+1)=2，BC=>JBP2+CP2=〔2(遮+l)2=V6+V2>

-,-AD=V6+V2,

,//.BAD=45°,

...△ABE為等腰直角三角形，

：.AE=BE,

,：AE2+BE2=AB2,

：.2AE2=22,

'-AE=BE=正，

'-'AD=V6+V2,

:.DE=AD—AE=4^+也一近=遍,

:?BD=yjBE2+DE2=J(V2)2+(V6)2=2VI，

故答案為：B.

【分析】如圖，過點(diǎn)B作BE14。于E,過點(diǎn)C作CP148的延長(zhǎng)線于P,根據(jù)含30。角直角三角形的性質(zhì)求出

PC,利用勾股定理求出AP,可說明ABPC為等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC,就可求出AD,從而可

說明AABE為等腰直角三角形，進(jìn)一步求出AD,再根據(jù)DE=AD-AE求出DE,最后利用勾股定理求得BD即

10

可.

1L【答案】4

【解析】【解答】???最簡(jiǎn)二次根式72^3與V5是同類二次根式，

；.2a—3=5,

解得：a=4.

故答案為：4.

【分析】幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)完全相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二

次根式，根據(jù)定義即可列出方程，求解即可。

12.【答案】孚

【解析】【解答】解：糜=華

故答案為：孚

【分析】在根號(hào)內(nèi)，分子、分母同乘以分母，可化去分母中的根號(hào).

13.【答案】40

【解析】【解答】解：.??四邊形ABCD是菱形，ZABC=80°,AB=BC,

1

."CAB=Z.ACB=11180。-80°；=50°,AO=CO,

VCE±AB,

AOE=OA=OC,ZAEC=90°,

ZOEA=ZOAE=50°,

.?.ZOEC=90o-50o=40°,

故答案為：40.

【分析】先利用菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出/CAB,并得出AO=CO,再根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)說明

OE=OA=OC,由等邊對(duì)等角可求出/OEA,最后利用兩角之差求/OEC的度數(shù).

14.【答案】11.5

【解析】【解答】解：VAC=24cm,BC=7cm,ZDEA=90°,

-,-AB=yjAC2+BC2=V242+72=25(cm),

/.AD=AB=25cm,

VZDAF=120°,

.,.ZDAE=180°-120°=60°,

???ZADE=90°-60°=30°,

：.AE=^AD=/x25=12.5(cm),

11

.\CE=AC-AE=24-12.5=11,5(cm),

故答案為：115

【分析】先根據(jù)勾股定理，結(jié)合已知求得AB,就可求得AD,再根據(jù)NDAF的角度，求得其鄰補(bǔ)角，進(jìn)而可

利用直角三角形角的內(nèi)角和定理求得/ADE,再根據(jù)含有30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AE,最后利用線

段之差求得CE.

15.【答案】9或18

【解析】【解答】解：當(dāng)NCED'=90。時(shí)，如圖，

?.?/CED=90。，

1

.?.乙4EO=^AED'=5x90。=45°,

,.,ZD=90°,

...△ADE是等腰直角三角形，

；.DE=AD=18；

當(dāng)NEDA=90。時(shí)，如圖，

.?.ZAD'E=ZD=90°,AD'=AD,DE=D'E,

,/△CD'E為直角三角形，

ZCD'E=90°,

.?.ZAD'E+ZCD'E=180°,

；.A、D\C在同一直線上，

-,-AC=VXD2+CD2=V182+242=30,

.,.CD'=30-18=12,

設(shè)DE=D'E=x,貝！jEC=CD-DE=24-x,

在RtAD'EC中，D'E2+D'C2=EC2,

Ax2+144=(24-x)2,

12

解得x=9,

即DE=9；

綜上所述：DE的長(zhǎng)為9或18；

故答案為：9或18.

【分析】分"/CED=90。"、"NEDA=90?！眱煞N情況，分別求得DE的長(zhǎng).

16.【答案】148

【解析】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)GP至E,使GP=EP,連接GH,GM、NE、ME,過點(diǎn)G作GH1NE于H,過

點(diǎn)M作MF1NE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則ZGHN=ZGHE=ZMFE=90。，GE=2GP,

:點(diǎn)M、N、G分另U是AD、BC、的中點(diǎn)，

11

：.GM=^BD=7,GN=^AC=5,

???點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，

：.MP=NP,

又?：GP=EP,

：.四邊形GNEM是平行四邊形，

：.GN||ME,GN=ME=5,GM=NE=7,

:?乙GNH=乙MEF,

又?:乙GHN=乙MFE=90°,

A△GHN=LMFE{AAS},

：.GH=MF,NH=EF,

設(shè)GH=MF=%,NH=EF=y,則HE=7—y,NF=7+y,

在班"“片中，GH2+HE2=GE2,

???％2+(7—y)2=(2GP)2,

/.4GP2=x2+49-14y+y2,

在RtAMNF中,MF2+NF2=MN2,

???％2+(7+y)2=M/v2,

13

.,.MN2=/+49+14y+y2,

；.4Gp2+MN2=x2+49-14y+y2+x2+49+14y+y2=2x2+2y2+98,

在RtAGHN中，GH2+NH2=GN2,

**-x2+y2=52=25>

22

：.4GP+MN=2久2+2y2+98=2(/+y2)+98=2x25+98=148,

故答案為：148.

【分析】延長(zhǎng)GP至E,使GP=EP,連接GH、GM,NE、ME,過點(diǎn)G作GHINE于H,過點(diǎn)M作MF1NE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F,先說明四邊形GNEM是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)說明AGHN三AMFE,利用全等三角

形的性質(zhì)可說明GH=MF,NH=EF,設(shè)GH=MF=x,NH=EF=y,然后用x,y表示出相關(guān)線段，利用

勾股定理用x,y表示出4Gp2與MN?,再結(jié)合勾股定理求出x、y的平方和，就可求得4Gp2+“N?的值.

17.【答案】(1)解：2A/3-5V12+V48

=2V3-5XV4X3+716X3

=2V3-5X2V3+4V3

=6V3-10V3

=-4V3;

(2)解：(1+通)(b一2)

=V5-2+5-2V5

=3-V5?

【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性質(zhì)將各項(xiàng)化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式；

(2)先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開式子，再合并同類二次根式及進(jìn)行有理數(shù)的加減法運(yùn)算即可.

18.【答案】解：(a+W)(a—W)—a(a—4)

=a?-3—a?+4a

=4a—3,

當(dāng)。=當(dāng)時(shí)，原式=4x亨一3=2遙—3?

【解析】【分析】先利用平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將括號(hào)展開，再合并同類項(xiàng)將式子化簡(jiǎn)，最后代入

a的值計(jì)算求值.

19.【答案】(1)證明：??,四邊形力BCD是平行四邊形，

AD||BC,AD=BC,

,?,點(diǎn)E,點(diǎn)F分別是4D,的中點(diǎn),

11

??.AE=DE=BF=CF=朋C,

???DE=BF,

14

XvDE||BF,

???四邊形BEDF是平行四邊形;

（2）解：：BE平分NABC,

???Z-ABE=乙EBC,

XvAD||BC,

???Z-AEB=Z-EBC,

乙ABE=乙AEB,

???AE=AB=3,

???AD-2AE—6,

???平行四邊形ZBCD的周長(zhǎng)=2x（3+6）=18.

【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)可得DE=BF,DE/7BF,進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且

相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論；

（2）由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證/ABE=/AEB,由等角對(duì)等邊得AB=AE=3,幾何中點(diǎn)定義可求

出AD=6,進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等即可求解.

20.【答案】（1）解：如圖即為補(bǔ)全的圖形；

六

（2）證明：由作圖知：OA=OC,OD=OB,

四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

VZABC=90°,

平行四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）.

【解析】【分析】（1）根據(jù)作圖過程補(bǔ)全圖形即可；

（2）根據(jù)作圖過程，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形說明四邊形ABCD是平行四邊形，再由有一個(gè)

角為直角的平行四邊形是矩形，可證明四邊形為矩形.

21.【答案】（1）解：如圖，四邊形ABCD即為所求作的菱形4BCD；

BC

15

(2)4

(3)解：如圖，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn);

(4)解：如圖，點(diǎn)G、H即為所求作的點(diǎn).

R"二二

BC

圖2

【解析】【解答］解：(2)點(diǎn)D到AB的矩形是菱形的高4,

故答案為：4；

【分析】(1)根據(jù)菱形的定義畫出圖形；

(2)利用菱形的高的性質(zhì)解決問題；

(3)取格點(diǎn)J,構(gòu)造等腰直角AABJ,BJ交CD一點(diǎn)E,NABE即為所求；

(4)取AC的中點(diǎn)E,連接BE,利用平行線的分線段成比例定理，在AE上取一點(diǎn)H,使得AH=2HE.作線

段GH即可，這里利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明GH=GF=GA.

22.【答案】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

OB=0D,

■■■EF=BE,

..0E是ABOF的中位線，

0E||DF,

：.DF||AC；

(2)解：連接如圖：

16

???（DFG=乙CEG,乙GDF=乙GCE,

???G是CD的中點(diǎn)，

，DG=CG,

在和△CEG中，

2DFG=MEG

乙GDF=乙GCE,

、DG=CG

.-.ADFG三△CEG（力力S）,

??.DF=CE,

???四邊形。EC尸是平行四邊形，

???四邊形4BCD是平行四邊形，

AB=CD=2

???2AB=BF=4,

???2CD=BF=4,

又???EF=BE=2,

???CD=EF=2,

??.平行四邊形DECF是矩形，

/.EDF=90°,

???乙F=45°,

二在Rt△DEF中：DF=DE,

EF=<DF2+DE2=2,

■.DF=V2.

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)說明OB=OD,結(jié)合EF=BE,說明OE是中位線，可說明

DE//AC；

（2）先利用AAS證明△DFGCEG,再利用全等三角形的性質(zhì)說明DF=CE,就可說明四邊形DECF是平行

四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)，得到AB=CD,再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形得四邊形DECF是

矩形，利用矩形的性質(zhì)，求得ZEDF=9O。，結(jié)合勾股定理求出EF,進(jìn)而可得DF的長(zhǎng).

23.【答案】（1）證明：如圖所示，連接AC,

17

AD

圖1

???四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC,AB||CD,

■:乙ABC=a=60°,

???△力8。是等邊三角形，

：.￡.BAC=60°,AC=AB,

9CAB||CD,

，乙ACF=^BAC==60°,

9：^EAF=60°,

工乙BAE+Z.CAE=^.CAF+LCAE=60°,

A^BAE=^CAF,

：.△BAE=△CAF(ASA),

：.BE=CF；

(2)證明：如圖所示，過點(diǎn)D作DM1DN交NF延長(zhǎng)線于M,連接CM,

:四邊形力BCD是正方形,

???AD=CD,^ADC=90%

A^ADC=乙MDN,

：.^LADC-乙CDN=4MDN一(CDN,

：.Z.ADN=乙CDM；

?：FN工DF,Z.EDF=45°,

."DNF=45°,

18

???△MDN是等腰直角三角形，

:?DN=DM,NF=MF,Z-DMN=45°,

A△ADN=△COM(SAS),

：2CMD=乙AND,

■:ANLNH,

:?(ANH=90°,

:?乙AND+乙FNH=45°,

：.^CMD+乙FNH=45°=乙CMD+乙CMF,

?"FNH=Z.CMF,

又,：乙HFN=乙CFM,

：.△HFNCFM{ASA),

：.HF=CF,即點(diǎn)F為HC的中點(diǎn);

(3)3

【解析】【解答］解：(3)??,四邊形43CD是菱形，

???力3=BC,/LADC=/.ABC=60%AB||CD,

???乙4=乙BCD=120°,

如圖所示，將△力。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△CDG,連接EF,GF,

：?DE=DG,CG=AE,乙CDG=^ADE,4DCG=44=120。，

V/-EDF=30°,

：.^ADE+^CDF=30°f

工人CDF+乙CDG=30°,

?"EDF=Z.GDF=30°,

XVOF=DF,

：.△EDF=△GDF(SAS),

：.EF=GF；

如圖所示，延長(zhǎng)CB到P,使得3P=CF,連接尸E,

■:乙FCG=360°-乙BCD-乙DCG=120°,"BE=180°-^ABC=120°,

:?乙PBE=(FCG；

YE為ZB的中點(diǎn)，

：.AE=BE=CG,

：.△PBE工△RCG(S力S),

19

：.PE=FG,

：.PE=EF；

設(shè)CF=BP=2,BF=2%,

>>AB—BC=2%+2,PF—2%+2,

BE=x+1,

如圖所示，過點(diǎn)E作尸于H,

APH=1PF=%+1,

■:乙EBH=60°,

：?乙BEH=30°,

:?BH%+l

r

Y-l-1

:.PH=PB+BH=2+號(hào)，

.?.2+亨=久+1,

.*.%=3,

：.BF=2%=6,

.BF_

??汴一3Q,

故答案為：3.

【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知說明AZBC是等邊三角形，再證明ABAE三△&!凡利用全等三角形

的性質(zhì)可說明BE=CF-,

（2）利用正方形的性質(zhì)，說明△MDN是等腰直角三角形，再分別證△ADN/4CDM,△HFN之△CFM,可

說明HF=CF,即點(diǎn)F為4c的中點(diǎn).

（3）借助菱形的性質(zhì)，結(jié)合已知可求出乙4,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再用SAS可以證明AEDF三△GDF,從而可

用全等三角形的性質(zhì)說明EF=GF,再利用SAS證明△PBE-△FCG,然后利用全等三角形的性質(zhì)可說明

PE=FG,從而可得PE=EF,設(shè)CF=BP=2,BF=2x,用x表示出AB與PF,進(jìn)而可用x表示出BE,

20

再利用含有30度角的直角三角形的性質(zhì)可用x表示出BH,進(jìn)而可得到關(guān)于x的方程求解，求出x,就可求得

BF,CF,就可以求得空的值.

CF

24.【答案】(1)(8,6)

(2)解：如圖，過點(diǎn)E作EG1AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH_L于點(diǎn)H,

?..四邊形04BC是矩形，EO、瓦4分別平分404、4BA0,連CE并延長(zhǎng)交邊2B于點(diǎn)F,若點(diǎn)F為邊4B中點(diǎn),

^COA=NBA。=^ABC=90°,

111

A.E0A=乙EOC=LEAO=乙EAB=^COA=^ABAO=宏x90。=45°,

：.E0=EA,

,：EGLAB,EH10A,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),

Z.EHA=Z-EGA-90°,0A=a,AB=b,BF=AF=

AAEH=/.EAO=45°,

.'.EG||BC,EH||CO,四邊形4HEG是矩形，EH=AH=OH=%,今，

四邊形AHEG是正方形，

YEH是梯形ZOCF的中位線，即點(diǎn)E為CF的中點(diǎn)，

：.AG=EH,￡^是4BCF的中位線，

:?BG=FG=3BF=§，

L4

?,AG=AF+FG=1+4=46，

?ci31

??2=/，

.a313

?,6=4：2=2；

(3)解：情況一，如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段C。上時(shí)，過點(diǎn)3作于點(diǎn)P,過點(diǎn)C作CQ180于點(diǎn)Q,

21

:四邊形。力BC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,b）,BM=1,

：.BC=。4=3,乙CBM=乙BCD=90°,

/.CM=VBC2+BM2=V32+l2=V10，BCXB