專題06解三角形重難點題型專訓(xùn)（U大題型+15道提優(yōu)訓(xùn)練）

B題型預(yù)覽

題型一正弦定理及辨析

題型二余弦定理及辨析

題型三正弦定理解三角形

題型四余弦定理解三角形

題型五正弦定理判定三角形解的個數(shù)

題型六正弦定理求外接圓半徑

題型七射影公式

題型八正弦定理邊角互化的應(yīng)用

題型九三角形面積公式及其應(yīng)用

題型十余弦定理邊角互化的應(yīng)用

題型十一三角形幾何的綜合應(yīng)用

展知識梳理

知識點01正弦定理

知識點02余弦定理

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積。若三邊

為a,b,c,三角為A,B,C,則余弦定理表述為：

?c2—a2+b1-2abcosC

?b2—a2c2—2accosB

?a2=b2+c2-2bccosA

其中c?=a2+b?是c角的對邊，而a和b是c角的鄰邊。

知識點03三角形的面積公式

已知三角形的兩邊及其夾角，可以通過公式S-sinc來計算三角形的面積，其中a、b是兩邊的

長度，c是它們的夾角.

若已知三角形的三邊長度a、b、c,則可以使用海倫公式來求面積，先計算半周長'--')/2,

然后面積S-’P")(…)").

知識點04射影公式

在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在

斜邊上的射影和斜邊的比例中項；

設(shè)Rtz^ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,D為垂足，射影定理如下：

AD2=BDDC

AB2=BDBC1

AC2=CDBC

必經(jīng)典例題

凰【經(jīng)典例題一正弦定理及辨析】

【例1】(2024高一下.上海虹口?課后作業(yè))在VABC中，角48,C的對邊分別為mb,c,已知A:3:C=l:2:3,

則Q：/?：C=()

A.1:2:3B.1:2:73C.1:6:2D.2:

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

【詳解】因為在VABC中，A+B+C=7if且A:8:C=1:2:3,

所以A=g,B=1,C=q,

632

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=—::1=1:A/3:2.

22

故選：C.

X變式訓(xùn)練

1.(2324高一下?上海寶山?階段練習(xí))已知sina+sin/?=2sin[9+，]cos[?-，)，在三角形ABC中，三

AC

cos—cos—

7

個內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,已知2+2，且b=7,貝Ij〃+c=()

.A.CB

sin—sin—tan—

222

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

AC

【分析】切化弦，化簡整理可得8sin=cos—cos——,然后由正弦定理和和差化積公式可得.

2222

AC.CAC.A7c/

cos—cos—sin一cos——I-cos-sin一

7

【詳解】因為2+2所以22222

.A.CBsinAsinC.B

sm—sin—tan—sin—

222222

ACB7cosS

sm—+—7c"cos—

化簡得222，所以22

sin*.BsinAsinC.B

sin—sin—

222222

因為COS^WO,所以7sin[sin[=sin'=cos4+CAC.A.C

=cos—cos—-sm—sm—,

222222222

即8s吟畤=。吟吟,由正弦定理急焉,所以

—A+CA-C

7sin+sin

7sinA+VsinC_7(sinA+sinC)2222

〃+c=

sinBsinBsinBsinB

AC\1r(AC7cosW+sin&i.

14sin-H——COS?—7cos（------63sin-sin-

2<22222222

22=9

2sin2.BAC.A.C

sin—cos—cos-----sin—sin—7sin-sin-

222222222

故選：C

2.（2324高一下?上海靜安?期中）銳角VABC的三內(nèi)角A,氏C的對邊分別為瓦G。在c上的射影長等于

NABC的外接圓半徑R,則sinAcosB的值是.

【答案】1/0.5

【分析】由題可得2R=2acosB='）,化簡即可得到答案

sinA

【詳解】因為VABC是銳角三角形，。在c上的射影長等于VABC的外接圓半徑R,所以acos3=R,

由正弦定理可得：27?=—,所以2R=2acosB=，一,因此sinAcosB=」.

sinAsinA2

故答案為：g

3.（2425高一下?上海奉賢?課前預(yù)習(xí)）在中，-=占=，；；，在銳角三角形或鈍角三角形中,

sinAsinBsinC

上述關(guān)系是否成立？如何證明呢？

【答案】成立，證明見解析

【分析】略

【詳解】成立，理由如下:

若VABC是銳角三角形，如圖，設(shè)為A3邊上的高，易知CD=bsinA=asinB.

b

同理可證n—故’7

sinAsinZACBsinAsin5sinZACB

方法二，由于VA2C的面積不變,

故有SBC=—AB-CD=—Z?csinA=—acsinB.

222

ab

因此bsinA=asin3，即

sinAsinB

a_b

同理可證=^二---即

sinAsmZACBsinAsinBsinZACB

若VABC為鈍角三角形，若C為鈍角,

設(shè)CD為A3邊上的高,

做3C邊上的高AE交8C的延長線于E點,

所以AE=ABsinZABC=csinZABC,

做AC邊上的高斯交AC的延長線于尸點，

所以8尸=ABsinZBAC=csinABAC,

所以SAABC=1A￡BC=1<7CsinNABC=；AC.BE=；6csinABAC,

r，目ab

可得---------=---------,

sinABACsinZABC

且AE=ACsin（7i-ZACB）=bsinZACB=csin5,

所以---=--—,

sinZ.ABCsinZ.ACB

I1II_____________________________________________________________

sinZBAC~sinZABC-sinZACB.

q【經(jīng)典例題二余弦定理及辨析】

【例2】（2024高一下.上海.專題練習(xí)）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,〃eN*且〃22,

若優(yōu)+Z/=c",則角C不可能（）

A.為直角B.為銳角C.為鈍角D.在60。?90。之間

【答案】C

【分析】選項A,當〃=2時，角C為直角，從而判斷出選項A的正誤；選項B和C,當”>2,根據(jù)條件

可得/+加>02,再利用余弦定理可得C為銳角，從而可判斷出選項B和C的正誤；選項D,根據(jù)條件可

得c>。，Ob,再利用三角形的性質(zhì)，可得60。<。<90。，從而得出選項D的正誤.

【詳解】當〃=2時，由4+廿=C2,得到角C為直角，故選A錯誤；

當〃>2時，由a"+2=c”,且c>0,得至！］（>）”+（鳥”=1,所以工”（0,1）,

CCCC

故1=（4"+自,<（3+（分，得到儲+k>°2,所以8$。=叱+'一02>0,

cccc2ab

即C為銳角，不可能為鈍角，故選項B錯誤，選項C正確，

又由32e（0」），得c>a,c>b,故C>60。，即60。<。<90。，故選項D錯誤，

CC

故選：C.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2324高一下.上海徐匯.階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家，他在著作《數(shù)書九章》中提

出，己知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，其公式為:

[a2+b2-c2\加—^…戶了［?若"=2,…I，

a>b>c,則利用“三斜求積術(shù)”求VABC的面積為（）

5334

A.—B.—C.—D.一

4455

【答案】D

17

【分析】由余弦定理得/+C?-從=］,又歐=2,代入面積公式計算即可.

【詳解】因為COSB=「+L-”=3,aC=2,

2ac5

所以。2+。2一〃=4xg=￡,

故選：D.

2.（2324高一下.上海嘉定.階段練習(xí)）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若〃=

19

且cosA=1,Z?c=-,則Z?+c的值為.

【答案】3

【分析】首先分析題意，運用余弦定理求解即可.

,、￥右八人b2+c2-a1（b+c^-2bc-a2

【詳角軍】cosA=--------------=-------』---------，

2bc2bc

9Q

（b+c）'-2x--3]

即--------L—=-,解得Hc=3.

2x-3

4

故答案為：3

3.（2324高一下?上海虹口?期末）已知a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，且廿=3/一3/.

（1）證明:b-3c-cosA；

（2）若AABC的面積S=2,b=屈,求角C.

【答案】（1）證明見解析

（2）45°

【分析】（1）利用余弦定理化簡己知條件，由此證得8=3ocosA

（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到tanA=2tanC,利用三角形的面積公式列方程，由此求得tanA,

進而求得tanC的值，從而求得角C.

【詳解】（1）由已知得，-/=-；〃，

12

由余弦定理得2Z?ccosA=Z?2+，一/=從—/=_從,b=3c,cosA.

33

（2）由（1）及正弦定理得sin3=3sinCeosA,即sin（A+C）=3sinCcosA,

sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosA,sinAcosC=2sinCeosA,

tanA=2tanC.

S=2=—bcsinA=—b---------sinA=—Z72tanA.

223cosA6

???tanA=2,tanC=l,C=45°.

◎【經(jīng)典例題三正弦定理解三角形】

TT

【例3】（2425高一下?上海閔行?階段練習(xí)）在VABC中，M為邊AB的中點，若則/ABC的

4

最大值為（）

71C萬一兀一兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】B

【分析】設(shè)9=2,取AM中點為N,過N做A2垂線N。，使NO=1,以。為圓心，0A為半徑做圓可得

C點所在部分軌跡，后由平面幾何知識結(jié)合正弦定理可得答案.

【詳解】設(shè)AB=2,如圖AM中點為M過N做48垂線NO,使NO=；,以。為圓心，

冗TC

0A為半徑做圓。.由題可得ZAOM=3,則ZACM=/,即C點部分軌跡為優(yōu)弧的

（還有部分軌跡為優(yōu)弧而關(guān)于AM的對稱優(yōu)?。?如圖，設(shè)CB與圓。交于連接AD,

由外角定理，/ADB2ZACB,當且僅當C與。重合，即CB與圓。相切時取等號.

由圓幕定理，當CB與圓。相切時可知3c2=衣4.8河=2n8C=0,

由弦切角定理可知"4B=/BCM,^XCAB=ZBCM=0.

BCA3

在VABC中，由正弦定理可得

sin/CABsinXACB

IT

又注意到ZACB=ZACM+/BCM=6+—,

4

i-sin\0—jI-I-

V2_2I4j_V2V21

nil（=垃，

sin。（兀）sin。22tan。

s.in『n+J

jrjr

解得由"1,結(jié)合圖形可得”“則此時"BC—人NAC2）.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2425高一下?上海長寧?階段練習(xí)）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標志性建筑之一.某同學(xué)為測量鐘樓

的高度MN,在鐘樓的正西方向找到一座建筑物AB,高為。米，在地面上點C處三點共線）測得

建筑物頂部A,鐘樓頂部M的仰角分別為a和夕，在A處測得鐘樓頂部加的仰角為/,則鐘樓的高度為（）

米.

asin(a+￡)sin/asin(a+0sin4

sincrsin(/?-/)sincrsin(y0-7)

Qsin(a+/)sin/?asin(a+/)siny

C.D，sin/sin(,一y)

sincrsin(y0-7)

【答案】C

【分析】利用Rt^ACB求出AC,在△M4C中利用正弦定理求出MC,最后借助于RtZXMCN中三角函數(shù)的

定義即可求得鐘樓的高度MN.

在△M4C中，NM4C=a+7,NMC4=7i—(a+￡),

貝I]ZCMA=兀一[兀一(a+/?)+a+力=/?_/,

由正弦定理,=故得吹=小7+：)=asin(：j)

smZCMAsmZMACsin(/7-7)smasin(力一7)

一…7”廠.0〃sin(a+7)sin夕

在RtzXMOV中，MN=MCsmj3=------7―-

sinasin(p-7)

故選：C.

2.（2425高一下?上海?階段練習(xí)）設(shè)7是滿足以下條件的VABC的集合：對任意一個單位圓。，點A,B,

C至少有一個在圓。外，已知VX1Z是直角三角形，且不是7中的元素，則VXYZ周長的取值范圍是.

【答案】（0,2+2應(yīng)］

【分析】可以根據(jù)題目條件VXYZ的三個頂點必然同在一個半徑為1的圓內(nèi)部或圓周上，進而求出三角形的

周長的取值范圍.

【詳解】由已知，直角VXEZ的三個頂點必然同在一個半徑為1的圓內(nèi)部或圓周上，

不妨設(shè)VXJZ的兩條直角邊為。，6斜邊為C.

根據(jù)正弦定理可得cV2,a2+b2=c2<4；a+6442。,

故周長的范圍為0<q+6+cV2+2&.

故答案為：（0,2+2夜］.

3.（2324高一下.上海崇明.階段練習(xí)）在VABC中，ZABC=90°,且AB=2括，BC=2,尸為VABC內(nèi)一

點，NBPC=90。.

（1）若BP=6，求"的長；

⑵若ZBPA=120°,求tanZABP.

【答案】（1）3

（2）且

2

【分析】（1）根據(jù)勾股定理，可先確定點P的位置，再求AP的長.

（2）在西4中，利用正弦定理列式求值.

【詳解】（1）如圖：

因為在VABC中，ZABC=90°,AB=25BC=2,所以AC=4,ZACB=60°.

在ABPC中，NBPC=90。,BC=2,BP=B所以CP=1,ZPCB=60°.

所以點P在線段AC上，所以AP=AC—CP=4—1=3.

(2)如圖：

設(shè)ZABP=e,

在直角ABPC中，BP=BCcos（90°-a）=2sina.

在AS7%中，由正弦定理可得：

ABBp2石2sina

?1”。=?snnV3-sin（60°-a）sintz=2sin（60°-a）2sin6Z=A/3

sin120sinZPABJ'）

2

所以：tana=—.

2

后【經(jīng)典例題四余弦定理解三角形】

【例4】（2025?上海青浦?一模）如圖，已知/G4B=45。，ZACB=15°,AC=屈,=不，貝lj5D=（

C.3或1D.3

【答案】D

ACBC

【分析】由正弦定理得,從而求出8C,再由余弦定理得

sinZABCsinZCAB

CD2=BC2+BD2-2-BC-BD-cos600,由此能求出BD.

【詳解】?.?NC4B=45。，ZACB=15°,AC=s/6,所以/ABC=120。.

ACBC

,sinZABC-sinZCAB'

[70

sin120°73

:.CD12=BC2+BD2-2BCBDCOS60°,

:.T=4+BD2-2BD,

解得9=3或BD=—1（舍）

故選：D

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2425高一下?上海楊浦?階段練習(xí)）在三角形內(nèi)到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利

數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當VABC的三個內(nèi)角均小于120。時，使得/4O3=/BOC=NCQ4=120。的點O即為

費馬點；當VABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點即為費馬點，在VA3C中，若3c=4,

且sinA:sin3:sinC=20:2:1，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（）

A.40B.3/

C.4+0D.4+2忘

【答案】B

【分析】根據(jù)“費馬點”的定義以及正余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)VABC的內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c,

因為sinA:sinB:sinC=2>/2:2:1>

所以由正弦定所得a:6:c=20:2:1，

又a=4,所以6=2-\/2,c=A/2,

Z,22_28+2-1631

由余弦定理得=—<——

2x26x642

所以A>120%所以頂點A為費馬點，

故點A到各頂點的距離之和為。+c=30，

故選：B.

2.（2025高一下?全國?專題練習(xí)）在VABC中，。是邊AC的中點，若AB=3,AC=6,3C=8,則3￡）=

VH0^7110

22

【分析】作輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用余弦定理可求8。的長.

【詳解】

如圖，過點A作BC的平行線，過點C作的平行線，兩平行線交于點E,

則四邊形ABCE為平行四邊形，AB=CE,BC=AE,ZABC+ABCE=180°,

cos?ABC-cos?BCE,

BD=LBE=LVBC*2+CE2-2BC-CE-cosZBCE

22

=-VBC2+AB2+2BCAB-COSZABC

2

A32+3C2-AC2

-^BC2+AB2+2BC-AB-

2ABBC

=1^2{AB2+BC2)-AC2=142(3?+82)-6?=.

故答案為：回.

2

3.(2425高一下?上海長寧?階段練習(xí))在VABC中，已知acos3+Z?cosA=2ccos3,

⑴求B；

(2)VABC的周長為9,再從以下條件中選擇一個，使三角形存在且唯一確定，并求VABC的面積.

?cosA=；?sinC=^~；③6=3.

22

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案M嗚

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求解即可;

(2)選擇條件①：利用特殊角的三角函數(shù)值求解判斷即可；

選擇條件②：利用特殊角的三角函數(shù)值求出則C=],A=p可得VABC為等邊三角形，進而求解;

選擇條件③：由余弦定理結(jié)合周長求出a=c=3,可得VABC為等邊三角形，進而求解.

【詳解】(1)由acos5+bcosA=2ccos5,

根據(jù)正弦定理得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,

則sin(A+B)=sinC=2sinCcosB,

又?！辏?,兀），所以sinC>0,貝iJl=2cosB,即cos3=；,

又3?0,兀），所以8=].

（2）選擇條件①：

由c°sA=-#,Ac]。,?],無解，不符合題意；

選擇條件②：

由sinC=*,Ce（0,2,則C=g,A=|,

所以VABC為等邊三角形，

因為VA6C的周長為9,貝!Ja+Z?+c=3a=9,即a=Z?=c=3,

所以VA5c的面積為』x3x3xsin4=lx3x3x^^二、二；

23224

選擇條件③：

TT

由題意，B=—,b=3,

因為VABC的周長為9,貝！J〃+Z?+c=9,即〃+c=6,

由余弦定理得，cosB='+c、"

2ac2

則5+域一2巾一9」,即^竺=!，即"=9,

lac22QC2

貝ij〃=c=3,此時VA5C為等邊三角形，

則VABC—x3x3xsin—=—x3x3x^-=^^-.

23224

◎【經(jīng)典例題五正弦定理判定三角形解的個數(shù)】

【例5】（2324高一下?上海嘉定?開學(xué)考試）在VABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,根據(jù)

下列條件解三角形，其中有兩個解的是（）

A.。=8,Z?=10,A=45°B.a=60,b=81,5=60°

C.〃=7,b=5,A=80°D.a=14,b=20,A=45°

【答案】A

【分析】由條件利用正弦定理以及大邊對大角，逐項判斷VA5c解的個數(shù)即可得解.

【詳解】對于A,若。=8,>=10,4=45。，由正弦定理可得，一=上，得一"=￡

sinAsinBsin45sin3

得sin2=%?>^=sinA,再根據(jù)6>a,可得8>A,得B可能是銳角也可能是鈍角，

82

即角B有2個值，故VABC有兩解；

ab6081

對于B,若a=60,b=81,5=60。，由正弦定理可得，得

sinAsinBsinAsin60"

得sinA==sinB，再根據(jù)b>a,可得5>A,A只能是銳角，故VABC有一個解;

272

對于C,若。=7,b=5,A=80°,

ab75,得smB二，

由正弦定理可得，得<1,

sinAsinBsin80°sinB

再根據(jù)bv。，則8只能是銳角，故VABC有一解;

對于D,若a=14,〃=20,A=45°,

則由正弦定理可得上7=占，得蕓，求得sinB=%E>l,故8無解，得VABC不存在.

sinAsmBsin45smB7

故選：A.

x變式訓(xùn)練

4

1.（2024?上海長寧?模擬預(yù)測）命題P：“若VABC與QEF滿足：AB=DE=羽B(yǎng)C=EF=2,cosA=cos。=-,

則八45。三尸”.已知命題P是真命題，則無的值不可以是（）

107

A.1B.2C.—D.一

33

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可知三角形有唯一解，根據(jù)已知結(jié)合正弦定理，以及工與2的大小關(guān)系、正弦函數(shù)的取值

范圍，求解即可得出答案.

【詳解】

A

________3

在VABC中，由已知可得，sinA=VI-cos2A=~

4

又COSA=M>0,所以A為銳角.

由正弦定理可得，箋=’與，

smAsinC

3

所以，.「ABsinA5X3

smC=-=——=—x

BC210

要使命題P是真命題，則C有唯一滿足條件的解.

3

若0<x<2,貝UsinC<(,顯然C有唯一滿足條件的解;

若x=2,則。=4,滿足;

3

若x>2,且sinC<l,即歷％<1,

即2<x</,此時。有兩解滿足條件，此時命題P是假命題;

當x=半時，此時有sinC=l,C=g有唯一解，滿足；

32

當x>?時，此時有sinC>l,顯然C無解，不滿足.

綜上所述，當0<xW2或尤=g時，命題P是真命題.

故選：D.

7T

2.(2024高一下?上海寶山?專題練習(xí))AABC中，已知NABC=g,AC=3,BC=m(m>。).

(1)若AASC恰有一解，則實數(shù)機的取值范圍是_；(2)若VABC有兩解，則實數(shù)機的取值范圍是_；

(3)若VABC無解，則實數(shù)"?的取值范圍是；

【答案】(0,3］川2石｝m>2拒

【分析】利用正弦定理可求得sinNA4c=」也，再由三角函數(shù)值域即可得出對應(yīng)結(jié)果.

6

TT

【詳解】由已知/A2C=§,AC=3,BC=m(m>0)

根據(jù)正弦定理得sinABAC=—sinZABC=—x^=1,

AC326

2兀

又OvZBACvy,

若華=1,即機=￡=2后時，為直角，只有一解；

若也<?<1,即3<機<2行時，4c有兩種情況，三角形就有兩解；

26

若即0<加《3時，NBAC只有一種情形，

62

若如>1,即%>2有，AABC無解

6

故答案為：（0,3]D{2A^}；3<m<2\/3；m>2^3.

3.(2425高一下?全國?課堂例題)下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知sin750=C+、

4

(l)a=7,6=8,ZA=105°；

(2)b=10,c=5-\/6,Z.C=60°；

(3)a=2/:，b=6,ZA=30°.

【答案】⑴無解

(2)一解，答案見解析

(3)兩解，答案見解析

【分析】(1)由已知，可得NA<N3,又NA=105。，所以三角形無解；

(2)由已知，可得又/。=60。<90。，所以三角形只有一解，由正弦定理可求得/3=45。，進

而求得/A=75。，再由正弦定理可求得

(3)由己知，可得。>8sinA,所以三角形有兩解，由正弦定理，可得/3=60?；騔B=120。，再利用三角形

內(nèi)角和為180。和正弦定理，分情況求出NC和c即可.

【詳解】(1)由。=7,6=8,可得a<b,所以NA<N3,

又由NA=105。>90。，所以這樣的三角形無解.

(2)由b=10,C=5A/6,可得b<c,所以/B<NC,

又由/C=60。<90。，所以這樣的三角形只有一解,

工十口+…丁河―rz.?bsinC10sin60°V2

由正弦定理，可得BsinB=--------=-------

c5V62

所以/3=45。，所以NA=180?！?N3+NC)=75。，

IOX近業(yè)5

bsinA10xsin75°4

所以a==5石+5.

sinBsin45°

2

(3)由q=2A/3，b=6,可得avb,

又由NA=3(F<90°,且bsinA=6sin3(T=3,所以a>bsinA,

所以這樣的三角形有兩解；

由正弦定理，可得$吊8=變里46xsin30°_73

a2732

所以ZB=60°或ZB=120。,

asinC2sin90

當ZB=60。時，ZC=180°-(ZA+ZB)=90°,c==^°=4J3,

sinAsin300'、'

當4=12。。時，NC=180°—(NA+NB)=30°,C="sinC=2百sin3°°=,

sinAsin30°

所以/3=60。，ZC=90°,c=46或N8=120。，NC=30。，c=243-

值【經(jīng)典例題六正弦定理求外接圓半徑】

【例6】（2024?上海寶山?三模）在VABC中，若|珂=|礪|=|元|=|西，|%|=|照|=2,A=120°,則麗.布

的取值范圍為（）

A.[—2,8]B.[—2,6]C.[—4,6]D.[T，8]

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為網(wǎng)=|/=|網(wǎng)=|西，

所以。為VABC的外心，且尸為VABC外接圓上一動點，

|Uimiiuuuii

X|AB|=|AC|=2,A=120°,

i

所以VABC外接圓的半徑r=—黑義；=2.

sin12002

如圖，作PDLAB,垂足為O,貝"I??荏而MSZRA￡>|=|通||碼=2|網(wǎng).

所以，當尸。與圓相切時，通.通取最值，即P在《處取最大值6,

在巴處取最小值-2,

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是由網(wǎng)=1的=1因=1研確定點尸的軌跡.

X變式訓(xùn)練

1.（2324高一下?上海閔行?期中）如圖，四邊形ABC。四點共圓，其中80為直徑，AB=4,BC=3,

NABC=60。，則AD的長度為（）

A5由RR5A/3n2屈

3363

【答案】B

ITIT7T

【分析】利用令NCBD=8￡（0,—）可得/。。呂二大-6,ZADB=-+Of在△區(qū)C。、AABO應(yīng)用正弦定理,

326

結(jié)合三角恒等變換可得cos。=輩，進而求外接圓直徑，最后應(yīng)用勾股定理求AD.

2V13

7T7T7T7T

【詳解】令43。=?！?0,—),則Z43O=——6,故=ZADB=-+Of

3326

八…』3cBD……ABBD

△BCD中--------=---------，Z\ABD中---------=---------，

sinZCDBsinZBCDsinZADBsinZBAD

BCAB

71------=-----------3--=----4---

又/BCD=/BAD、,故sin/C￡>3sinZADB.產(chǎn)力./兀，小，

2sin(——0)sin(一+0)

26

所以3sin(—+6)=4cos0n-sin^=—cos6ntan6=—^=,即cos0--^-^=，

6223>/32A/13

所以ABCD外接圓直徑BD=———=-^―=2膽，則AD=dBD2-AB?==冥1.

sinAJDBcos3百V33

故選：B

2.（2425高一下?上海松江?階段練習(xí)）布羅卡爾點（Brocard'spoint）是三角形幾何中的一個特殊點.羅卡爾

點的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1816年.由德國數(shù)學(xué)家克雷爾（A.L.Crelle）首次發(fā)現(xiàn)，但當時并未受到廣泛關(guān)注.直

到1875年，法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)了這個點，并用自己的名字命名，從而引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.

它的定義是：若VABC內(nèi)一點P滿足/7MB=/P3C=NPC4,則稱P為VABC的布羅卡爾點.若設(shè)

ZPAB=ZPBC=ZPCA=3,則稱6為布羅卡爾角.已知VABC中，a=#>,A=~,若P為VABC的布羅卡

爾點，并記△Q4B、△PBC、△R4C的外接圓面積分別為，、52.S3,則HS2s3=

40

【分析】利用正弦定理可得VABC的外接圓半徑R=百，根據(jù)題意分析可知巳

2sinZA5C

BCAC

G=---------------，G=----------------,進而可得勺弓巧=3力，即可得結(jié)果.

22sinZACB32sinZBAC

【詳解】由題意可知：VA5C的外接圓半徑&==

2sin—

6

設(shè)AR4B、APBC、△上4c的外接圓半徑分別為可、馬、今,

在ABW中，則NPB4=NABC—NP3C=NABC-。,

可得sinZAPB=sin(ZPAB+ZPBA)=sin(。+ZABC-6?)=sinZABC,

ABAB

則4=

2sinNAPB_2sinZABC'

BCAC

同理可得4=，々=，

2sinZACB32sinZBAC

A5BCAC

可得勺勺4=

2sinZABC2sinZACB2sinZBAC

ACABBC=爐=36

2sinZABC2sinZACB2sin"AC

所以S1S2s3=叼2.兀］.巧2=713a.馬.q)2=兀3(3=277.

故答案為：27TC3.

3.(2324高一下?上海徐匯?期中)在VA3C中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為名瓦。，已知c=2君,

b..

2sinAcosB+—sin2A+csin

ay-4°-

(1)求VABC的外接圓面積;

(2)若。為VABC的內(nèi)心，求△OAB周長的最大值.

【答案】⑴4兀；

⑵4+2代.

【分析】（1）利用正弦定理以及siMA+^bsinC化簡已知條件，可得C=g,從而求得VA5c的外接圓半

徑，即可得到外接圓面積；

（2）根據(jù)題意可得設(shè)加。=，，在AABO中，利用正弦定理化簡可得：

OB=4sin^-（^,OA=4sin0,結(jié)合三角恒等變換公式化簡AABO的周長，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）由條件可得2sinAcosB+包電.2sinAcosA