萊蕪一中64級(jí)（高二）下學(xué)期第一次階段性測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

2025.3

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知函數(shù)/（x）=d-3x,則/（%）在區(qū)間上的最大值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

2.曲線(xiàn)y=xe，-x在點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率為—1，則P的坐標(biāo)為（）

A.（-1,-1）B.1-I」）C.（1,e—1）

D.(l,2e-l)

3.若函數(shù)y=d—2ax在（0,、/§）內(nèi)無(wú)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

99

B.(-oo,0]C.(-00,0]IJ[-,+<?)D.(-oo,0]U(-,+°o)

4.已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）的圖象如圖所示，那么函數(shù)/（x）的圖象最有可能的是（）

5.已知函數(shù)/（x）=2025cos卜x+,則/［；）=（）

A.0B.-2025C.2025D.4050

V*

6.已知函數(shù)/（力二也^^一+以在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

2-x

A.(一s,-2)B.(-00,-2]C.(-2,+00)D.[一2,+00)

7.己知函數(shù)/(x)=a—lnx,g(x)=x2e1若對(duì)任意的％e[l,e],都存在唯一的馬e[-1,1],使得

/(xj=g(%)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,e]B.,1+eC.—,eD.—,e+l]

8.若函數(shù)/(x)=alnx-x,且/'(ar)<e*-at,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,e)B.C,(0,e]D,(0,1)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的待0分.

9.(多選)已知函數(shù)〃尤)的導(dǎo)數(shù)為了'(%),若存在/,使得/(%)=/'(七)，則稱(chēng)與是〃力的一個(gè)

“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)''的是()

A./(X)=X2B./(%)=-

C/(x)=lnxD./(x)=e-x

10.已知函數(shù)〃%)=e*,g(x)=%+l,則下列判斷正確的是()

A.方程=6有兩個(gè)根

g(x)

B.函數(shù)八％)=/(%)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)XW0時(shí)，函數(shù)/(光)的圖象總在函數(shù)g(x)圖象的上方

s(x\

D.函數(shù)G(x)=]六的最大值為1

J\x)

11.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)用的門(mén)把手，其造型可以看作圖中的曲線(xiàn)C:/=必—2x+2的一部分，貝。()

O\x

A.點(diǎn)(1,1)在C上

B.將C在無(wú)軸上方的部分看作函數(shù)/(x)的圖象，則1是〃龍)的極小值點(diǎn)

C.C在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)

D.x<0時(shí)，曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。距離均大于J5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)函數(shù)/(%)在尤=2處的導(dǎo)數(shù)存在，且/'(2)=2,則lim"2-閔-〃2)=

Ax->02Ax

13.已知函數(shù)〃x)=(x—l)(x—2)(x—4),貝了'⑴=.

61nx,%>0,

14.已知函數(shù)/(%)=2,八若關(guān)于。的方程/(〃)=/(—〃)恰有四個(gè)不同的解，則正數(shù)機(jī)的取

mx+6%,%<0.

值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

15.已知函數(shù)=4ax+9hux=3處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(九)在區(qū)間上的最小值.

16.已知函數(shù)y(x)=(x—a)e*+a.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+e*Nx+lnx+2.

17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力推廣“毛線(xiàn)玩具”加工產(chǎn)業(yè).某生產(chǎn)合作社組建加工毛線(xiàn)玩具的分廠(chǎng),

需要每年投入固定成本10萬(wàn)元，每加工x萬(wàn)件玩具，需要流動(dòng)成本C(x)萬(wàn)元.當(dāng)年加工量不足15萬(wàn)件時(shí),

0?久

C(x)=12x-121n(x+l)；當(dāng)年加工量不低于15萬(wàn)件時(shí)，C(x)=21x+-----200.通過(guò)市場(chǎng)分析，加工

x—2

后的玩具以每件20元的價(jià)格，全部由總廠(chǎng)收購(gòu).

(1)求年利潤(rùn)/(可關(guān)于年加工量x解析式；(年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-流動(dòng)成本-年固定成本)

(2)當(dāng)年加工量為多少萬(wàn)件時(shí)，該合作社的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？(參考數(shù)據(jù):In270.69).

18已知函數(shù)/(x)=lnx-〃zx+L

⑴若m=0,求函數(shù)“X)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程；

(2)若/(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍；

(3)求證：VMGN",]1+[1[1+曰"[1+曰<,.

19.已知函數(shù)/(%)=xln(x+a).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(%)的極小值；

(2)若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%,%(為<七)?

(i)求。的取值范圍；

4

(ii)證明：一一-</(%!)<0.

e

萊蕪一中64級(jí)(高二)下學(xué)期第一次階段性測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

2025.3

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知函數(shù)/(x)=x'—3x,則/(幻在區(qū)間［—2,2］上的最大值為()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(%)在區(qū)間［-2,2］上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)/(%)的最大值.

【詳解】因?yàn)?(x)=x3—3x,

所以函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x)=3f—3=3(x+l)(x—1),

令/'(x)=。，可得％=-1或x=l,

當(dāng)—2Wx<—1時(shí)，/'(%)>。，函數(shù)/(X)在［—2,—1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)—1<X<1時(shí)，/。)<。。函數(shù)/(x)在(—1,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)l<x42時(shí)，r(x)>0,函數(shù)/(x)在(1,2］上單調(diào)遞增，

又〃_1)=_1+3=2,/(2)=8-6=2,

所以/(%)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為2.

故選：B.

2.曲線(xiàn)y=xe，-x在點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率為—1，則P的坐標(biāo)為()

A.(―1,—1)B.1—1,1—1C.(1,e—1)D.—

【答案】B

【解析】

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.

【詳解】y=(x+l)eT-l,令(x+l)e、—1=—1,則(》+1覆=0,故％=—l,

當(dāng)x=—1時(shí)，y=—e-1—(—1)=1——,即尸的坐標(biāo)為(一1」—J.

故選：B.

3.若函數(shù)y=d-2ax在(0,百)內(nèi)無(wú)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,—)B.(—co,0]C.(—so,0]U[—,+°°)D.(—00,0]U,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)在(0,0)內(nèi)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定最小值和最大值的范圍

即可求解.

【詳解】由函數(shù)y=2以在(0,百)內(nèi)無(wú)極值，得y=3f-2”在(0,0)內(nèi)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

而函數(shù)y=3/-2a在(0,6)上單調(diào)遞增，則—2。20或9—2aW0,解得aWO或。之|,

9

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0]U[-,+s).

故選：C

4.已知函數(shù)/(幻的導(dǎo)函數(shù)/'(無(wú))的圖象如圖所示，那么函數(shù)/(%)的圖象最有可能的是()

【答案】A

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)圖像，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可判斷;

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，/(%)在(-8,-2),(0,+O))上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增,

結(jié)合選項(xiàng)，只有A符合；

故選：A

5.已知函數(shù)/(%)=20258512》+3],則()

A.0B.-2025C.2025D.4050

【答案】B

【解析】

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再代入結(jié)合應(yīng)用誘導(dǎo)公式及特殊角的函數(shù)值求解.

【詳解】0^/(x)=2025cosl2x+^j,

則/'(%)=-4050sin2x+^-j,

故/'圖=-4050sin生升-4050cosy=-2025.

故選:B.

6.己知函數(shù)/(x)=ln4+以在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-2]C.(—2,+s)D.[-2,+“)

【答案】D

【解析】

【分析】先求得函數(shù)〃尤)的定義域，然后由/'(X)?0恒成立來(lái)求得。的取值范圍.

V-jr

【詳解】由^>0,—<0,x(x—2)<0,解得0<x<2,

2-xx-2、'

所以/(%)的定義域是(0,2),

依題意可知/(^)=In%-In(2-%)+ax,/'(%)=—H——-——Fa20在區(qū)間(0,2)上恒成立，

x2—x

112—x+x2

即一+$二+a=、+a=在區(qū)間(0,2)上恒成立,

X乙XXI乙JCIXI乙XI

即產(chǎn)在區(qū)間(°'2)上恒成立，

由于一1<X—1<1,0<(無(wú)一1<(X—1)2—1<0,

22

所以7―??；的最大值為-=-2,

(X-1)-1-1

所以aN—2.

故選：D.

7.已知函數(shù)/(%)=〃—1口犬送(%)=31.若對(duì)任意的再￡[l,e],都存在唯一的々￡[—11]，使得

/(xj=g(%)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,e]B.,1+eC.—,eD.—,e+l]

【答案】C

【解析】

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)的單調(diào)性及在[T,1]上的取值情況，再根據(jù)題意可得/(%)ed,e]或

e

/(%)=。，由此建立關(guān)于。的不等式組，解出即可.

[詳解]gr(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,

當(dāng)工￡(-1,0)時(shí)，g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(。」)時(shí)，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

且g(T)=L8⑴=e,g(0)=0,

e

又對(duì)任意的王￡[1,可，都存在唯一的馬￡[T，”,使得/(%)=(?(%)成立，

/(再)w(±e]或/axo,

e

又再e[l,e],故a-l轟y(xja,

',1

ci—1〉—1

「.<e,解得—F1<4Z,,e.

e

故選：C

8.若函數(shù)/(x)=alnx-x,且/'(ar)We"-ar,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,e)B.C,(0,e]D,(0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式/(分)<e”—方可利用同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)g(x)=%ex,xe(O,+s)判斷函數(shù)單調(diào)性,

即求Ina<x—Inx即可，再利用導(dǎo)數(shù)求得A(九)*=1可求出ae(0，e].

【詳解】易知/(x)=a山x—%的定義域?yàn)?0,+8),

由/(<xx)<e'—axni^alnax-ax<ex-ax<即alnaxWe";

因?yàn)閤e(0,+8),所以QdntaWxe"，即泌內(nèi)InaxWxe"，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xeX,xe(O,+oo),則g,(x)=(x+l)eT>0,

可知函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，因此In◎W%,

即lna+ln尤4%,所以lna〈x-Inx,

1jr—1

令/z(x)=%-lnx,xe(0,+co),貝=1——=---,

xx

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，h'(x)<0,此時(shí)&(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，//(x)>0,此時(shí)/z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

因此在X=1處取得極小值，也是最小值，/7(x)ti.n=/7(l)=l；

即可得Ina《可力疝。=1，解得ae(0,e].

所以正實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,e].

故選：C

XInx

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將不等式恒成立利用指對(duì)同構(gòu)xe'xlnx,等，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)

e%

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值、最值問(wèn)題.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的待0分.

9.(多選)已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)為/'(尤)，若存在尤。,使得/(%)=/'(/)，則稱(chēng)「是“力的一個(gè)

“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)''的是()

A./(x)=x2B./(%)=-

X

C./(x)=lnxD.f(x)=ex

【答案】ABC

【解析】

【分析】結(jié)合“巧值點(diǎn)”的定義，逐個(gè)求解/(%)=/'(%)是否有解即可.

【詳解】對(duì)于A：/,(x)=2x,令三=2%，得尤=0或無(wú)=2,有“巧值點(diǎn)”，A滿(mǎn)足;

對(duì)于B:f'(x\=-\,令工=—-得x=—1,有“巧值點(diǎn)”，B滿(mǎn)足；

XXX

對(duì)于C:f'(x)=-,令liu=L,結(jié)合y=lnx,y=」的圖象，知方程1度=!有解，有“巧值點(diǎn)”，C滿(mǎn)

xxxx

足;

對(duì)于D:/'(%)=-e：令—得b=0，與尸＞0矛盾，沒(méi)有“巧值點(diǎn)”，D不滿(mǎn)足.

故答案為：ABC.

10.己知函數(shù)/(x)=eX,g(x)=x+l,則下列判斷正確的是()

〃x)

A.方程=6有兩個(gè)根

g(力

B.函數(shù)—￡)=/(%)8(%)有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)xwO時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象總在函數(shù)g(x)圖象的上方

(\

D.函數(shù)G(x)=］R六x的最大值為1

【答案】ACD

【解析】

f(%)e)

【分析】A選項(xiàng)，構(gòu)造Mx)=一六=-求定義域，求導(dǎo)，得到單調(diào)性，并畫(huà)出及y=e的圖

象，數(shù)形結(jié)合得到兩函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故-T=e有兩個(gè)根，A正確；B選項(xiàng)，令/(1)=0求出

g(x)

x=-l,只有1個(gè)零點(diǎn)；C選項(xiàng)，令《x)=/(x)—g(x)=e*—x—1,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到

z(x)>r(o)=o,從而得到C正確；D選項(xiàng)，對(duì)G(x)求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，確定G(x)在x=0處取得最

大值，最大值為G(O)=1,D正確.

f(x]e”

【詳解】A選項(xiàng)，/z(x)=—六=-定義域?yàn)?―8,—1)。(—1，+8)，

X+L

令——=/?(x)，則〃(x)=-~~r,

x+1v7(x+l)

令>0得x>0,令<0得x<-l或-l<x<0,

故〃(可在(O,+“)上單調(diào)遞增，在(-8,T),(-1,0)上單調(diào)遞減,

其中網(wǎng)0)=1,當(dāng)％<—1時(shí)，〃(％)<0恒成立，

畫(huà)出/?(%)及y=e的圖象如下：

/(X)

可以看出兩函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故X=e有兩個(gè)根，A正確;

B選項(xiàng)，F(xiàn)(x)=/(x)g(x)=eA-(x+l),定義域?yàn)镽,

令/(￡)=0得x=—1,只有1個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng),令［x)=/(x)_g(x)=e',

則/'(x)=eA—1,

令/'(X)>0得%>0,令「(九)<0得尤<0,

故1(力在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以《尤)在X=O處取得極小值,也是最小值，r(x)>r(o)=o,

故當(dāng)xwO時(shí)，/(x)>g(x),函數(shù)/(%)的圖象總在函數(shù)g(x)圖象上方，C正確;

D選項(xiàng),定義域?yàn)镽,

-X

ex

令G'(x)>0得x<0,令G'(x)<0得%>0,

故G@)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故G(x)在x=0處取得極大值，也是最大值，最大值為G(o)=l,D正確

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題：將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代數(shù)

問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見(jiàn)的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，

募函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱(chēng)和翻折等.

11.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)用的門(mén)把手，其造型可以看作圖中的曲線(xiàn)C:/=/一2x+2的一部分，貝U()

A.點(diǎn)(1,1)在C上

B.將C在x軸上方的部分看作函數(shù)/(%)的圖象，則1是/(x)的極小值點(diǎn)

C.C在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)

D.尤<0時(shí)，曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離均大于J5

【答案】ACD

【解析】

【分析】代入即可求解A,求導(dǎo)，根據(jù)/'(1)=；WO即可求解B,求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線(xiàn)方程，聯(lián)立

與曲線(xiàn)方程求解交點(diǎn)即可判斷C,根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為需+裔-2%〉0,根據(jù)無(wú)。>-2即可求

解D.

【詳解】解：將。,1)代入C的方程，等式成立，故A正確；

對(duì)于C在x軸上方的部分，可知函數(shù)/(%)=Jd—2x+2，

1_11

則廣(司，卜3-2%+2/(3必—2),因?yàn)閺V⑴=萬(wàn)工0,故B錯(cuò)誤；

22

過(guò)點(diǎn)(1,1)作C的切線(xiàn)，由B選項(xiàng)知其斜率為故其方程為y=gx+g,將其與C的方程聯(lián)立

y=X+得(x—1尸x+”=0,故切線(xiàn)與C的交點(diǎn)的坐標(biāo)—：,一：，

<22x+2I口I48J

橫，縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，故C正確；

設(shè)(七,％)，1<°，則其到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離為J片+=收+尤;—2%o+2，

要使該距離大于只需要需+焉-2%>0,

整理得(x；+/-2)=%。(玉)+2)?(x0—1),

易知當(dāng)天=-2時(shí)，%不存在，可知%>一2=>5+2>0,

又因?yàn)?(%-1)>°，故/(%+2)(%0-1)>0,

故需+x：-2%〉0成立，故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)函數(shù)〃尤)在尤=2處的導(dǎo)數(shù)存在，且/'(2)=2,則lim"2-Ax)-〃2)=

Arf02Ax

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算直接得出結(jié)果.

4阡腫,a2Ax2-。(2-Ax)-22,

故答案為：-1

13.已知函數(shù)〃x)=(x—l)(x—2)(x—4),則尸⑴=.

【答案】3

【解析】

【分析】求得函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可求得了'(1).

【詳解】因?yàn)椤▁)=(x—l)(x—2)(x—4),

所以尸(x)=(x-2)(x-4)+

所以尸(1)=(1—2)(1—4)+(1—l)](x—2)(x—4)]'=3.

故答案為：3.

6Inx,x>Q,

14.已知函數(shù)/(x)=2，八若關(guān)于“的方程/(a)=/(—“)恰有四個(gè)不同的解，則正數(shù)根的取

mx+6x,x<0.

值范圍為.

【答案】(0,6)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)與方程關(guān)系，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合零

點(diǎn)存在性定理，建立不等式，可得答案.

【詳解】由方程/(〃)=/(—〃)，則當(dāng)〃>0時(shí)，可得61na=痛2—6〃；當(dāng)〃<0時(shí)，可得

6In(一〃)=ma1+6a,

則可得關(guān)于x的方程61nx=/nF-6%有兩個(gè)不等的正根,關(guān)于X的方程61n(-%)=mx2+6x有兩個(gè)不等

的負(fù)根，

即函數(shù)"(%)=6In%-加/+6%恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)8(%)=6111(一￡)一府2_6%恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，

由g(x)=/z(—x),則只需研究函數(shù)//(%)=6In%-如2+6%恰好有兩個(gè)零點(diǎn)即可，

.a-rzH、6小/2mx2-6x-6

求r導(dǎo)可得/7z(%)=—2mx+6--------------

XX

3

令g(%)=2"/一6九一6(犬>0),因?yàn)?加>。，且g(0)=—6<0,%=——>0,

2m

所以g(x)在(0,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn)，記為4.

當(dāng)力￡(0,%0)時(shí),g(x)<o,〃(無(wú))>0；當(dāng)%￡(%0，+8)時(shí)，g(x)>0,h\x)<0.

所以〃(%)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(％,+。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xf0或xf+°°時(shí)，/z(x)<0,則gp61nx0-mxg+6x0>0.

因?yàn)間(%))=2心片一6區(qū)0—6=0,所以機(jī)工；=3%o+3,則21n/+%-l>0.

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=21nx+%-1在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且%(1)=0,

所以％o〉l,則由2租入；-6%-6=0,

(1丫3(11Y31

得m=3—+—=3—+-又。<一<1,

Ux0?2；4尤。

所以0<機(jī)<6.

故答案為：(0,6).

【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于求導(dǎo)存在隱零點(diǎn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，設(shè)出零

點(diǎn)，可寫(xiě)出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在求解不等式時(shí)，可用由零點(diǎn)定義所得的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換，即可

解題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

15.已知函數(shù)/(月=5——4ax+9hu在X=3處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(九)在區(qū)間［e,e?］上的最小值.

45

【答案】⑴3(2)/(3)=91n3-y

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)/''(x)=3x—4。+2,根據(jù)函數(shù)/(九)在％=3處取得極值，求出。的值；再

根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)的極值；

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得“X)的定義域(0,+8),S.f'(x)=3x-4a+-

X

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)在x=3處取值得極值，所以/'(3)=9—4a+3=0

解得a=3

此時(shí)，尸(力=312+2=3卜—,

XX

令廣(%)>0得0<x<l或x>3,令/''(尤)<0得1<%<3,

故函數(shù)/(%)在(0,1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)在x=l處取極大值，在x=3處取極小值，符合題意

所以。=3.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得一i2x+91nx,/=____11,xe［e,e2］

令/(無(wú))>0,得3<x<e2,所以函數(shù)/(%)在［31］單調(diào)遞增，

令/'(x)<0,得e<x<3,所以函數(shù)/(%)在［e,3］單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)在x=3處取極小值，

所以當(dāng)％e［e,e?］時(shí)，f(x)的最小值為/(3)=91n3-y

16已知函數(shù)/'(x)=(x-a)eX+a.

(1)求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+e*Nx+lnx+2.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,4—1),單調(diào)遞增區(qū)間為(。―1,+8).

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)解不等式/'(x)<0和/(x)〉0即可；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe*-x-lnx-1,利用導(dǎo)函數(shù)求其最小值即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=(x-a)e*+a,所以/'(x)=(x-a+l)e',

當(dāng)X<。一1時(shí)，/(%)<0,當(dāng)x>a-l時(shí)，/(%)>0,

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,4—1),單調(diào)遞增區(qū)間為(。―1,+8).

【小問(wèn)2詳解】

要證明/(x)+e*Nx+lnx+2,x〉0,只需證明xe，-x-lnx-l20，

設(shè)g(無(wú))K'-x-lnx-1,則g'(x)=(x+l)e*-l--=(x+l)fex—I,

Xx)

因1+1>0且丁=1一2在(0,+8)上單調(diào)遞增，且五—2)<0,g'(l)=2(0—1)〉0,

x<2；2

所以存在唯一的/,使得g(%)=0,即e*=J,%0=-lnx0,

當(dāng)0<%<不時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)X〉/時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(％,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

ln1=x

所以g(x)2g(毛)=/e*-xo-^o-o--xo+xo-l=O,

xo

故原命題成立.

17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力推廣“毛線(xiàn)玩具”加工產(chǎn)業(yè).某生產(chǎn)合作社組建加工毛線(xiàn)玩具的分廠(chǎng),

需要每年投入固定成本10萬(wàn)元，每加工x萬(wàn)件玩具，需要流動(dòng)成本。(幻萬(wàn)元.當(dāng)年加工量不足15萬(wàn)件時(shí),

C(x)=12x-121n(x+l)；當(dāng)年加工量不低于15萬(wàn)件時(shí)，C(x)=2卜+2迎—200通過(guò)市場(chǎng)分析，加工

x—2

后的玩具以每件20元的價(jià)格，全部由總廠(chǎng)收購(gòu).

(1)求年利潤(rùn)/(可關(guān)于年加工量x的解析式；(年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-流動(dòng)成本-年固定成本)

(2)當(dāng)年加工量為多少萬(wàn)件時(shí)，該合作社的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？(參考數(shù)據(jù):In2。0.69).

8x+12ln(x+1)-10,0<x<15

【答案】(1)/(%)=

190-x--—,x>15

、x-2

(2)當(dāng)年加工量為18萬(wàn)件時(shí)，該合作社獲得的年利潤(rùn)最大，且最大年利潤(rùn)為156萬(wàn)元.

【解析】

【分析】(1)依題意，由年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-流動(dòng)成本-年固定成本，直接寫(xiě)出解析式，化簡(jiǎn)即可；

(2)由(1)中求得的解析式，分別利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式的性質(zhì)，分別求得兩個(gè)式子的最大值，然后作比

較，再取較大的值即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)0<x<15時(shí)，/(%)=20x-10-[12x-121n(x+l)]=8x+121n(x+l)-10,

當(dāng)x215時(shí)，/(x)=20x-10-|21x+^--200|=190-x-^-,

Ix-2)x-2

8x+12ln(x+1)-10,0<x<15

所以年利潤(rùn)/(九)關(guān)于年加工量X的解析式為：/(%)=<

190-x-^-,x>15

x-2

【小問(wèn)2詳解】

12

當(dāng)0<x<15時(shí)，，(x)=8+[石>0恒成立，所以/(%)在區(qū)間(0,15)上單調(diào)遞增,

所以/(x)</(15)=8xl5+121nl6-10=110+481112al43.12,

OVAIOSA

當(dāng)x215時(shí)，/(x)=188-(%-2)+——<188-2J(x-2)x——二156,

_x-2]Vx-2

當(dāng)且僅當(dāng)X—2=也，即x=18時(shí)取得等號(hào).

x-2

因?yàn)?56>143.12,

所以當(dāng)年加工量為18萬(wàn)件時(shí)，該合作社獲得的年利潤(rùn)最大，且最大年利潤(rùn)為156萬(wàn)元.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-如+1.

⑴若相=0,求函數(shù)“力在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程;

(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(3)求證：V〃cN*,

【答案】(1)—%—y+l=0

e

(2)[l,+oo)

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

⑵對(duì)定義域內(nèi)Mx?0,+"),都有/(x)WO恒成立，即加2［上出］,令g(x)=8坦，利用導(dǎo)

數(shù)求g(x)的最大值即可；

(3)利用(2)中結(jié)論可得InxWx—1恒成立，將InxWx—1中的x替換為1+二，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

2

和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式證明即可.

【小問(wèn)1詳解】

若m=0,則/(x)=lnx+l,f'(x)=-,/(e)=2,

所以切線(xiàn)斜率左=r(e)=L

e

所以切線(xiàn)方程為y—2=—(%—e),即一%―y+l=0.

ee

【小問(wèn)2詳解】

若對(duì)定義域內(nèi)VX￡(0,+8),都有了(“<。恒成立，

1+lnx、(1+lnxA

即桃2-----恒成立，只需加2------即可，

%1％/max

設(shè)g(x)=*，(X〉。)，則g,(x)=^^=_"，

XXX

令g'(x)=0,解得％=1,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)XG(L+OO)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以8(*心=86=1，

故加的取值范圍為［1,+8).

【小問(wèn)3詳解】

由⑵得當(dāng)加=1時(shí)，〃力>0恒成立￡即InxWx—1,

將InxWx—1中的x替換為1+二，顯然1+1工1,

22

,(11,1,1

則In1+——<1+---1=——,

T)2〃2〃

故lng+l"]+…+

\2)I22JV2nJ222T1」2"

19.已知函數(shù)/(%)=%ln(%+a).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(%)的極小值；