PAGEPAGE17§3.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解對(duì)數(shù)的概念，駕馭對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式．2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用．3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的改變特征.以比較對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的形式考查函數(shù)的單調(diào)性；以復(fù)合函數(shù)的形式考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，題型一般為選擇、填空題，中低檔難度.1．對(duì)數(shù)的概念一般地，假如ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(1)(0，＋∞)值域(2)R性質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0(5)當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．概念方法微思索1．依據(jù)對(duì)數(shù)換底公式：①說(shuō)出logab，logba的關(guān)系？②化簡(jiǎn).提示①logab·logba＝1；②＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象．比較a，b，c，d與1的大小關(guān)系．提示0<c<d<1<a<b.題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(×)(3)函數(shù)y＝log2x及y＝3x都是對(duì)數(shù)函數(shù)．(×)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(×)(5)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(√)(6)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)且過(guò)點(diǎn)(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限．(√)題組二教材改編2．[P74T3]lgeq\f(4\r(2),7)－＋lg7eq\r(5)＝.答案eq\f(1,2)解析原式＝lg4＋eq\f(1,2)lg2－lg7－eq\f(2,3)lg8＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝2lg2＋eq\f(1,2)(lg2＋lg5)－2lg2＝eq\f(1,2).3．[P82A組T6]已知a＝，b＝log2eq\f(1,3)，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為．答案c>a>b解析∵0<a<1，b<0，c＝＝log23>1.∴c>a>b.4．[P74A組T7]函數(shù)y＝的定義域是．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴eq\f(1,2)<x≤1.∴函數(shù)y＝的定義域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).題組三易錯(cuò)自糾5．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，則下列等式肯定成立的是()A．d＝ac B．a(chǎn)＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c答案B6.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1，c>1B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1答案D解析由該函數(shù)的圖象通過(guò)第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù)，∴0<a<1，∵圖象與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間，∴該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移不到1個(gè)單位后得到的，∴0<c<1.7．若函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為．答案eq\f(\r(2),4)解析因?yàn)?＜a＜1，所以f(x)在[a,2a]上是減函數(shù)．所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a＝1＋loga2，由條件得1＝3(1＋loga2)，解得a－2＝8，所以a＝eq\f(\r(2),4).題型一對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．(2024·湖州中學(xué)期中)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a＝4b＝6c，那么()A.eq\f(1,c)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b) B.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(1,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(2,b) D.eq\f(2,c)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)答案B解析設(shè)3a＝4b＝6c＝k，所以a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，變形為eq\f(1,a)＝logk3，eq\f(1,b)＝logk4，eq\f(1,c)＝logk6，所以eq\f(2,c)＝logk36，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝logk36，故eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b).2．(2013·浙江)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案D解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故選D.3．計(jì)算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.答案1解析原式＝eq\f(1－2log63＋log632＋log6\f(6,3)·log66×3,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋9x，則f(log32)＝.答案6解析∵函數(shù)f(x)＝3x＋9x，∴思維升華對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并．(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()答案B解析由題意y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)(3,1)點(diǎn)，可解得a＝3.選項(xiàng)A中，y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，明顯圖象錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象性質(zhì)可知正確；選項(xiàng)C中，y＝(－x)3＝－x3，明顯與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，明顯不符，故選B.(2)當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)答案B解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a>1時(shí)不滿意條件，當(dāng)0<a<1時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖象，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2<logaeq\f(1,2)，則a>eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).引申探究若本例(2)變?yōu)榉匠?x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則函數(shù)y＝4x和函數(shù)y＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點(diǎn)，由圖象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq\f(\r(2),2).思維升華(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·浙江臺(tái)州三區(qū)三校適應(yīng)性考試)若loga2＜logb2＜0，則下列結(jié)論正確的是()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞1答案B解析方法一由loga2＜logb2＜0，得eq\f(1,log2a)＜eq\f(1,log2b)＜0，∴l(xiāng)og2b＜log2a＜0＝log21.又函數(shù)y＝log2x是增函數(shù)，所以0＜b＜a＜1，故選B.方法二由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，0＜a＜1,0＜b＜1，解除C，D.取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，則loga2＝2＝－1，logb2＝2＝－eq\f(1,2)，滿意loga2＜logb2＜0.故b＜a，故選B.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案(1，＋∞)解析如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距．由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)值的大小例2設(shè)a＝log412，b＝log515，c＝log618，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a答案A解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為．答案x＝eq\r(5)解析原方程變形為log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq\r(5)，又x>1，所以x＝eq\r(5).(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析原不等式?①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,2x2＋1>3x>1，))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x2＋1<3x<1，))解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式組②無(wú)解．所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)答案D解析由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則eq\f(a,2)≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,4)，故選D.(2)函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·log(2x)的最小值為．答案－eq\f(1,4)解析依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當(dāng)log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,4).思維升華利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必需弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，全部問(wèn)題都必需在定義域內(nèi)探討；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．另外，解題時(shí)要留意數(shù)形結(jié)合、分類探討、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D解析a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23>log22＝1，所以c最大．由1<log23<log25，得eq\f(1,log23)>eq\f(1,log25)，即a>b，所以c>a>b.(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．答案[1,2)解析令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對(duì)稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．(3)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<eq\f(8,3).當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較大小問(wèn)題是每年高考的必考內(nèi)容之一．(1)比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法．(2)解題時(shí)要依據(jù)實(shí)際狀況來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.例(1)設(shè)a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b(2)設(shè)a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a(3)(2024·浙大附中模擬)若實(shí)數(shù)a，b，c滿意loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中不行能成立的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b

(4)(2024·全國(guó)Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a(chǎn)＋b<ab<0 B．a(chǎn)b<a＋b<0C．a(chǎn)＋b<0<ab D．a(chǎn)b<0<a＋b答案(1)C(2)B(3)A(4)B解析(1)依據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.(2)∵a＝60.4>1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.故選B.(3)由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有四種可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.比照選項(xiàng)可知A中關(guān)系不行能成立．(4)∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∵eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，∴0<eq\f(a＋b,ab)<1，∴ab<a＋b<0.1．log29·log34等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4答案D解析方法一原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.方法二原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.2．(2024·杭州教學(xué)質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝|lnx|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，滿意f(a)＝f(b)(a≠b)，則()A．a(chǎn)b＝ee B．a(chǎn)b＝eC．a(chǎn)b＝eq\f(1,e) D．a(chǎn)b＝1答案D解析∵|lna|＝|lnb|且a≠b，∴l(xiāng)na＝－lnb，∴ab＝1.3．(2024·麗水模擬)下列不等式正確的是()A．log30.2＜0.23＜30.2 B．log30.2＜30.2＜0.23C．0.23＜log30.2＜30.2 D．30.2＜log30.2＜0.23答案A解析因?yàn)閘og30.2＜0,0＜0.23＜1,30.2＞1，所以log30.2＜0.23＜30.2，故選A.4．(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)若a＞b＞1,0＜c＜1，則()A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogac D．logac＜logbc答案C解析因?yàn)閍＞b＞1,0＜c＜1，所以cb＞ca，則blogac＝logacb＞logbcb＞logbca＝alogbc，故選C.5．若m＋2n＝20(m，n＞0)，則lgm·(lgn＋lg2)的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案A解析lgm·(lgn＋lg2)＝lgm·lg2n≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgm＋lg2n,2)))2＝eq\f(lg2m·2n,4)，又因?yàn)閙＋2n＝20≥2eq\r(2mn)，所以mn≤50，從而lgm·(lgn＋lg2)≤1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝10，n＝5時(shí)，等號(hào)成立，故選A.6．(2024·浙江部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝＋x＋4，若對(duì)隨意的x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，f(x)≤6恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A．－1B．1C．－2D．2答案A解析令t＝x，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以t∈(0,2]，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)隨意的t∈(0,2]，t2＋at＋4≤6恒成立，即a≤eq\f(2－t2,t)＝eq\f(2,t)－t對(duì)隨意的t∈(0,2]恒成立．因?yàn)閥＝eq\f(2,t)－t在t∈(0,2]上單調(diào)遞減，所以ymin＝1－2＝－1，所以a≤－1，即實(shí)數(shù)a的最大值為－1.故選A.7．(2024·浙江紹興一中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝，方程f(f(x))＝1的解集為．答案eq\f(1,2){1，ee}解析由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝＝eq\f(1,2).由f(f(x))＝1可得f(x)＝0或f(x)＝e，又當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex∈(0,1]；當(dāng)x＞0時(shí)，由f(x)＝0可得lnx＝0，解得x＝1；由f(x)＝e可得lnx＝e，解得x＝ee，故對(duì)應(yīng)方程的解集為{1，ee}．8．(2024·杭州其次中學(xué)仿真考試)已知m＝，n＝4x，則log4m＝；滿意lognm＞1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．答案－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析由于m＝，則log4m＝eq\f(1,2)log2m＝＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(1,3)；由于＜1，由lognm＞1可得m＜n＜1，則＜22x＜1，則－eq\f(2,3)＜2x＜0，解得－eq\f(1,3)＜x＜0.9．(2024·寧波期末)若實(shí)數(shù)a＞b＞1，且logab＋logba＝eq\f(5,2)，則logab＝；eq\f(a,b2)＝.答案eq\f(1,2)1解析令logab＝t，由于a＞b＞1，則t∈(0,1)，logab＋logba＝eq\f(5,2)即為t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，解得t＝eq\f(1,2)(t＝2舍去)，則logab＝eq\f(1,2)，＝b，a＝b2，eq\f(a,b2)＝1.10．(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，則xy的最大值是．答案eq\f(1,12)解析由題意得lg2x＋lg8y＝lg(2x×23y)＝lg2x＋3y＝lg2(x＞0，y＞0)，所以x＋3y＝1，則xy＝eq\f(1,3)x×3y≤eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))2＝eq\f(1,12)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，所以xy的最大值為eq\f(1,12).11．已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋3x＋a＋1)．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)于x∈[1,2]，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)－3x≥2恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝0時(shí)，y＝(3x＋1)，函數(shù)定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))，值域?yàn)镽，遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))，無(wú)遞增區(qū)間．(2)原命題可化為x∈[1,2]，ax2＋a≥1恒成立，即a≥eq\f(1,x2＋1)在x∈[1,2]上恒成立，即a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2＋1)))max，x∈[1,2]，y＝eq\f(1,x2＋1)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝eq\f(1,2).因此a≥eq\f(1,2).12．(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知奇函數(shù)f(x)＝logaeq\f(b＋ax,1－ax)(a＞0且a≠1)．(1)求b的值，并求出f(x)的定義域；(2)若存在區(qū)間[m，n]，使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f(x)的取值范圍為[loga6m，loga6n]，求a的取值范圍．解(1)由已知f(x)＋f(－x)＝0，得b＝±1，當(dāng)b＝－1時(shí)，f(x)＝logaeq\f(－1＋ax,1－ax)＝loga(－1)，舍去，當(dāng)b＝1時(shí)，f(x)＝logaeq\f(1＋ax,1－ax)，定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a))).故f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a))).(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝logaeq\f(1＋ax,1－ax)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－ax)－1))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a)))上單調(diào)遞減．故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝loga\f(1＋am,1－am)＝loga6n，,fn＝loga\f(1＋an,1－an)＝loga6m，))而y＝eq\f(1＋ax,1－ax)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－ax)－1))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a)))上單調(diào)遞增，所以eq\f(1＋am,1－am)＜eq\f(1＋an,1－an)，又6m＜6n與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋am,1－am)＝6n，,\f(1＋an,1－an)＝6m))沖突，故a＞1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝loga\f(1＋am,1－am)＝loga6m，,fn＝loga\f(1＋an,1－an)＝loga6n.))故方程eq\f(1＋ax,1－ax)＝6x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a)))上有兩個(gè)不等實(shí)根，即6ax2＋(a－6)x＋1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,a)))上有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)g(x)＝6ax2＋(a－6)x＋1(a＞1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a－62－24a＞0，,－\f(1,a)＜－\f(a－6,12a)＜\f(1,a)，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝\f(12,a)＞0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝2＞0，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－36a＋36＞0，,a＜18，))解得a＜18－12eq\r(2)，故1＜a＜18－12eq\r(2).13．(2024·浙江三市聯(lián)考)下列命題正確的是()A．若lna－lnb＝a－3b，則a＜b<0B．若lna－lnb＝a－3b，則0<a<bC．若lna－lnb＝3b－a，則0<b<aD．若lna－lnb＝3b－a，則b<a<0答案C解析明顯有a>0，b>0，可解除A，D；設(shè)eq\f(a,b)＝t，則a＝bt，若lna－lnb＝a－3b，則有l(wèi)nt＝bt－3b，b＝eq