江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知向量，滿足，則（

）A． B．1 C． D．22．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．如圖，空間四邊形OABC中，，，，且，，則等于（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B．C． D．7．有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有（

）A．72種 B．144種 C．108種 D．288種8．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，P是空間中任意一點(diǎn)，則（

）A．若與關(guān)于平面對(duì)稱，則B．若，則A，B，C，D共面C．若，則A，B，C，D共面D．若三點(diǎn)共線，則10．在件產(chǎn)品中，有件合格品，件不合格品，從這件產(chǎn)品中任意抽出件，則（

）A．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有種B．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有種C．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有種D．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有種11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增三、填空題12．若，則的值為．13．函數(shù)的極值是.14．在平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則．四、解答題15．已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．16．用五個(gè)數(shù)字，問：(1)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位密碼？(2)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？17．如圖，長方體中，，.是棱上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．如圖，在空間幾何體ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，點(diǎn)F在線段AP上，(1)求二面角的正弦值;(2)為線段上一點(diǎn)，若直線BQ與平面BCP所成角的正弦值為，求線段的長.19．已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．題號(hào)12345678910答案DCCADABCBDACD題號(hào)11答案ACD1．D根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?故選：D.2．C求出，可得出的值，利用導(dǎo)數(shù)的概念可求得所求極限的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：C.3．C利用空間向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】，.故選：C4．A對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?，可得，顯然，令，可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A5．D建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用線線角的向量法，即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故選：D.6．A構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，得到最大，再變形，利用的單調(diào)性比較的大小即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以在時(shí)取到最大值，所以，即.因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A7．B利用插空法求解即可.【詳解】先排男生共有種方法，再排女生共有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的排法數(shù)為，故選：B.8．C當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)結(jié)合已知得其單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)一步得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為.故選：C.9．BD【詳解】對(duì)于A，A與B關(guān)于平面對(duì)稱，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由共面向量定理易知得B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)锳，B，C共線，所以共線，所以，所以，故D正確．故選：BD．10．ACD【詳解】對(duì)于A、B，抽出的件中恰好有件是不合格品，則包括一件不合格品和兩件合格品，共有種抽取方法，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，抽出的件中至少有件是不合格品，可以分為“有件是不合格品”和“有2件是不合格品”兩種情況，“有件是不合格品”有種抽取方法，“有2件是不合格品”有種抽取方法，所以共有種抽取方法.故C正確.另外，“至少有件是不合格品”的對(duì)立事件是“3件都是合格品”，其抽取方法有種，所以，抽出的件中至少有件是不合格品的抽取方法有種.故D正確.故選：ACD.11．ACD根據(jù)因式分解可得函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像去研究函數(shù)的極大值、對(duì)稱中心與單調(diào)性.【詳解】已知，所以,當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)根，所以正確，當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，所以在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，所以在處取極小值，所以錯(cuò)誤,當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于中心對(duì)稱，所以正確，當(dāng)時(shí)，的解集為，而,所以在上單調(diào)遞增，所以正確.故選：12．或由組合數(shù)的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得或，解得或，又，解得，且，所以的值為或.故答案為：或13．利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.【詳解】由的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；故在取得極小值為，無極大值；故答案為：.14．取定空間的一個(gè)基底，表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得答案.【詳解】在平行六面體中，，，則，而，則，而，則，所以.故答案為：15．(1)；(2).（1）求導(dǎo)即可代入求解，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率，即可由點(diǎn)斜式求解.【詳解】（1）由，得，又，所以，解得.（2）由（1）知，，∴，即切點(diǎn)為，又，，∴切線的斜率為，故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即.16．(1)120(2)96(3)32（1）直接全排列即可得答案；（2）注意首位不能為0，從不為0的四個(gè)數(shù)選一個(gè)放在首位，再從剩下的四個(gè)數(shù)選三個(gè)數(shù)全排列即可得答案；（3）分0在個(gè)位、在個(gè)位、4在個(gè)位三種情況進(jìn)行討論，再由分類加法計(jì)數(shù)原理求解可得答案.【詳解】（1）從5個(gè)數(shù)字任取4個(gè)進(jìn)行全排列，故有個(gè)；（2）首位不能為0，則有個(gè)；（3）由題意，是偶數(shù)個(gè)位數(shù)必須是.分3種情況討論：①0在個(gè)位，十位必須比0大，千位數(shù)字不能是0且不能與個(gè)位和十位數(shù)字重復(fù)，百位數(shù)字在剩下的數(shù)字選一個(gè)，所以共有；②在個(gè)位，十位數(shù)字必須比2大，千位數(shù)不能是0且不能與個(gè)位和十位數(shù)字重復(fù)，百位剩下2個(gè)里面選一個(gè).有種選法；③4在個(gè)位，里面沒有比4大的數(shù)字，不存在這種可能.則共有種情況.17．(1)證明見解析(2)（1）分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，求出法向量，利用向量法求解解．【詳解】（1）如圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)樵谏?，故可設(shè)，又，所以，解得，所以，，，即，平面．所以平面．（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，，令，得，所以得，，所以所求的距離為；18．(1)答案見解析(2)（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值；（2）根據(jù)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，，利用空間向量法求直線和平面所成角的正弦值列式即可求解.【詳解】（1）由四邊形PDCE為正方形得，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PDCE，，所以平面ABCD，又DA，DC在平面ABCD內(nèi)，所以，，由得，以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則即取，則，設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則即取，則，所以，所以二面角的正弦值為.（2）設(shè)，，則，因?yàn)锽Q與平面BCP所成角的正弦值為，所以，解得或，因?yàn)?，所以，?9．(1)(2)(3)證明見解析（1）求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)最小值；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，求得的最小值，即可得到答案.令，解得，（3）由函數(shù)，求得，令，求得在上恒成立，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)是的極值點(diǎn)，得到，結(jié)合，即可證得.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定