試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)綜合題（線段問題）專題練1．綜合與實(shí)踐如圖，正方形和正方形有公共頂點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角，其中，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)請(qǐng)你畫出除圖1外，滿足的其它圖形，并寫出的度數(shù)；(3)旋轉(zhuǎn)過程中，________時(shí)，最大，________時(shí)，最小；(4)旋轉(zhuǎn)過程中，判斷與的大小關(guān)系，并寫出對(duì)應(yīng)的的范圍．2．如圖，等腰三角形中，，．作于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，連接．求證：．

3．已知等腰直角三角形中，，點(diǎn)D在射線上移動(dòng)（不與B、C重合），連接，線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，①直接寫出的度數(shù)（可用表示）；②請(qǐng)用等式表示的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出符合條件的圖形，則（1）中，的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出正確的數(shù)量關(guān)系．4．課本再現(xiàn)（1）如圖1，，都是等邊三角形．與有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？

探究應(yīng)用（2）如圖2，繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．①下列說法正確的是__________；（填序號(hào)）A．，的形狀都是等腰直角三角形B．，C．D．的面積與的面積相等②如圖3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，判斷與之間的關(guān)系，并證明．（3）在（1）中，若，DC與BE交于點(diǎn)H，過點(diǎn)C向上作線段于點(diǎn)C，，連接．請(qǐng)直接寫出的最小值．5．問題探究【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊中，點(diǎn)B，C在直線上，E為邊上的一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，線段與直線所夾銳角的度數(shù)是；【類比探究】如圖②，在正方形中，點(diǎn)B，C在直線上，E為直線上的任意一點(diǎn)，連接，并把線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系及線段與直線所夾銳角的度數(shù)，并說明理由．

6．已知，在中，，，是邊上一點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．若，，求的面積；(2)如圖2，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，取的中點(diǎn)，連接.試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，連接，為上一點(diǎn)，在的上方以為邊作等邊，剛好點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折得到（與在同一平面內(nèi)），連接，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．7．已知，在矩形中，，，為矩形的中心，在中，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，(1)如圖1，當(dāng)直角邊，分別在，邊上時(shí)，連接，，求的面積；

(2)設(shè)斜邊與矩形的交點(diǎn)為，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線時(shí)，求的值；(3)如圖2，連接，取中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

8．綜合與實(shí)踐動(dòng)手實(shí)踐：數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容就是研究變化過程中的不變量．?dāng)?shù)學(xué)課上張老師拿了兩塊相似比為1：2的三角板，按圖1放置，使角的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在邊上，．將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

(1)當(dāng)時(shí)，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，______．嘗試探究：(3)猜想：當(dāng)時(shí)，的值是否有變化？請(qǐng)選擇圖3或圖4其中一種情況加以證明．拓展延伸：(4)如圖5，在中，，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至E、B、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段的長(zhǎng)______．9．綜合與實(shí)踐如圖1，在直角三角形紙片中，，，．【數(shù)學(xué)活動(dòng)】將三角形紙片進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，然后展開鋪平，得到折痕；第二步：將沿折痕展開，然后將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，，直線與邊所在直線交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），與邊所在直線交于點(diǎn)．

【數(shù)學(xué)思考】(1)折痕的長(zhǎng)為______；(2)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖1的位置時(shí)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【數(shù)學(xué)探究】(3)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3所示位置時(shí)，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為______；②如圖3，當(dāng)直線時(shí)，的長(zhǎng)為______；【問題延伸】(4)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，連接，則的取值范圍是______．10．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則線段與的數(shù)量關(guān)系為_______；

（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，，線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問題解決】當(dāng)，且（2）中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，三點(diǎn)共線時(shí)，求出線段的長(zhǎng)．

11．將下列三幅圖中的的邊繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，求證：≌；(2)如圖，連接，點(diǎn)在上，且滿足，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，求證：．(3)如圖，連接，若，是等邊三角形，，兩點(diǎn)分別在，上，且滿足，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．12．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于點(diǎn)D．于點(diǎn)E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)，求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到與線段相交（交點(diǎn)不是中點(diǎn)）時(shí)，畫出相應(yīng)的圖形，探求線段，與之間的等量關(guān)系，并寫出其關(guān)系式．13．在中，，．(1)如圖1，點(diǎn)E在上（不與點(diǎn)A，B重合），連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．①求證：；②若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若點(diǎn)E在外，且，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于點(diǎn)G，射線與射線相交于點(diǎn)H．求證：．14．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且連接、．(1)觀察猜想線段與______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．(2)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．(3)拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出與的積的最大值．15．在和中，．(1)連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接，①如圖1，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，與數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是________．②如圖2，當(dāng)?shù)妊@點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說明理由．(2)如圖3，當(dāng)?shù)妊@點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接，若，則的最大值是__________．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)綜合題（線段問題）專題練》參考答案1．(1)見解析(2)畫圖見解析，(3)，(4)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【分析】（1）連接，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，重合，重合，由正方形的性質(zhì)可得，則重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得垂直平分，即可得到；（2）由（1）知，當(dāng)點(diǎn)F在垂直平分線上時(shí)，則，可得除圖1外，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，滿足，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，正方形對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖形可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，由最大值，同理可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值；由此即可解答；（4）由（1）（2）知，或時(shí)，；畫出示意圖，結(jié)合圖形根據(jù)三角形大角對(duì)大邊，即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當(dāng)時(shí)，則重合，重合，∵四邊形與四邊形都是正方形，∴，∴重合，∵垂直平分，∴；（2）解：由（1）知，當(dāng)點(diǎn)F在垂直平分線上時(shí)，則，∴當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，滿足，如圖：則，即三點(diǎn)共線，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，∴；（3）解：根據(jù)題意可得點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，正方形對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，由最大值，此時(shí)，；同理，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，；（4）解：如圖，由（1）（2）知，或時(shí)，，，連接，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，即時(shí)，∴，∴，如圖：在中，，∴，∴，同理得：；當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，即時(shí)，同理得：，∴，綜上：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)．2．見解析．【分析】將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，可得，然后證明與全等，可得，所以【詳解】證明：∵將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，∴∵∴∵，∴在與中，∴．∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形全等的證明，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)①，②(2)不成立，，詳見解析【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理得出，則可得出答案；②過點(diǎn)E作于F，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于F，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②過點(diǎn)E作于F，

∵，∴，∵，∴，∴，∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，∴，∴，又∵，

∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：（2）如圖，

不成立，，理由如下：過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于F，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（1），理由見詳解（2）①A，B，D②，且，理由見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)，都是等邊三角形，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到即可；（2）①由繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得，再由全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)判斷各項(xiàng)即可；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交于I證明即可，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得；（3）點(diǎn)可以看作是在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O、H、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小．【詳解】解：（1），理由如下：，都是等邊三角形，，，，，即，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，；（2）①繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，的形狀都是等腰直角三角形，故選項(xiàng)A正確；如圖設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，即，故選項(xiàng)B正確；，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如圖過D作于Y，過B作于X，

，繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，的面積與的面積相等，故選項(xiàng)D正確，故答案為：A，B，D．②，且理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交于I

點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，，，，，，，，,,，，，，；繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，,，，，綜上所述：與之間的關(guān)系是：，且；（3）由（2）中結(jié)論知：，，點(diǎn)可以看作是在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，，，可求出，．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是本題的關(guān)鍵．5．操作發(fā)現(xiàn)∶，夾角為；類比探究∶，夾角為【分析】操作發(fā)現(xiàn)∶連接，可證()，即可求解；類比探究：在上取，可求，再證()，即可求證．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)，夾角為，理由如下：如圖，連接，

是等邊三角形，，，線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，，在和中，()，，．．故答案：，．類比探究，夾角為；理由如下：如圖，在上取，

四邊形是正方形，，，，，，，，，線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，在和中，()，，，，．，夾角為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，根據(jù)題意添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)2(2)(3)【分析】（1）證明，可得，由三角形的面積公式可求解；（2）作輔助線如解析圖，證明，可得，進(jìn)一步可得，證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）作輔助線如解析圖，可得當(dāng)點(diǎn)，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，由折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，可得當(dāng)點(diǎn)K落在上時(shí)，有最小值，然后由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)F作直線于H，

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴的面積；（2）如圖2，過點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，交于Q，

∵，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴平分垂直平分，∵是等邊三角形，∴，∴，∵點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴為等邊三角形，∵，∴當(dāng)點(diǎn)，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)K落在上時(shí)，有最小值，∵為等邊三角形，，∴垂直平分，如圖，設(shè)，則，

∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)或(3)【分析】（1）連接，利用三角形面積關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)點(diǎn)位置分兩種情況進(jìn)行求解，畫出兩種情況的圖，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果即可；（3）延長(zhǎng)至，使，連接，，作于，求出，，的長(zhǎng)度，利用點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，表示出的最大值和最小值，根據(jù)表示出的取值范圍即可．【詳解】（1）解：如圖1，連接，

為矩形的中心，到的距離為，到的距離為的距離為，，，，，，的面積為；（2）如圖，連接、，

在中，，，，，，，，在和中，，，，；如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于中時(shí)，

同理可證，，綜上所述的值為或；（3）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，作于，

，，，，在中，由勾股定理得，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，的最大值，的最小值，是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．8．(1)2(2)2(3)不變，證明見解析(4)或【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）結(jié)合圖形計(jì)算即可；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（4）分點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)在線段上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）在中，，，，，與的相似比為，，，，，，故答案為：2；（2）如圖2，，，，故答案為：2；（3）的值不變，證明如下：如圖3，，，，，即，，，的值不變；（4）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，

在中，，，，則，點(diǎn)、點(diǎn)分別是邊、的中點(diǎn)，，，，，，，，即，，，，，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，

，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，靈活運(yùn)用分類討論的思想思考問題．9．(1)3(2)，證明見解析(3)①；②3(4)【分析】（1）由折疊可知，，再證是的中位線，即可得出結(jié)論；（2）連接，由旋轉(zhuǎn)知，，，再證，即可得出結(jié)論；（3）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得，則，設(shè)，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解決問題；②過作于，交于．則四邊形是矩形，得，再由三角形面積求出，然后證，得，即可得出結(jié)論；（4）連接，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，，此時(shí)最小，由直角三角形的性質(zhì)得，即可求得最小值為2；當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)最大，即可求得最大值為8；即可解決問題．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，是的中位線，（2）解：，證明如下：如圖1，連接，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，在和中，，∴，；（3）解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，設(shè)，在中，，即，解得：，；②如圖3，過作于，交于．

則四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，即，解得：；（4）解：如圖4，連接，

則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，，此時(shí)的值最小，最小，，，，，的最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)，最大，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及最小值等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．10．（1）；（2）無變化，證明見解析；（3）線段的長(zhǎng)為或【分析】（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)推出，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)正方形和等腰直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系證得，從而利用相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)論不變即可；（3）分別考慮，，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)在線段上或者其延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況，然后結(jié)合已知信息以及相似三角形的判定與性質(zhì)等分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，，∴，，∴，故答案為：；（2）無變化，理由如下：證：如圖2，∵，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖2，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，∵，，∴，由（1）得，∴，∵，∴，∴，∵，∴；如圖3，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)見解析(3)，見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證出，根據(jù)可證明≌；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，則，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，，則可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：邊繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，在和中，，≌；（2）證明：延長(zhǎng)到，使，連接，則，

，，由旋轉(zhuǎn)可知，在和中，，≌，，，，∴，，，，，；（3）解：．證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

是等邊三角形，，∴是等邊三角形，，四邊形是菱形，，，，，又，，，，，，，，，，≌，，，，，即，，∽，，（∵，∴，∴），，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)題意得，，根據(jù)得，利用AAS證明，得，，即可得；（2）分情況討論，①由（1）得，，可得，，即可得，②由（1）得，得，，即可得．【詳解】（1）證明：如圖1所示，∵于點(diǎn)D．于點(diǎn)E，∴，，∵，∴，在△ACD和△CBE中，，∴（AAS），∴，，∴；（2）解：①如圖2所示，由（1）得，，∴，，∴，②如圖3所示，由（1）得，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，分情況討論．13．(1)①見解析；②(2)見解析．【分析】（1）①由可得，易證；②由①可知，，可求得，，在中，運(yùn)用勾股定理可求解；（2）如圖，連接，同①可證，結(jié)合已知，，，，可求得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得證．【詳解】（1）①證明：，，即，在與中，；②，，，，，，，，，，在中，；（2）（2）如圖，連接，，，即，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的證明和性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理求邊長(zhǎng)，還考查了等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用和證明；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)是(2)是，答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)以及，，可得，由中位線性質(zhì)可得，，再由結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證，故線段與是“等垂線段”．（2）先證，可得，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，，即；由中位線性質(zhì)可得，，再由結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證，故線段與是“等垂線段”．（3）由（2）可知，，，故，當(dāng)取最大值時(shí)，與的積有最大值．當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，取最大值