第十三章軸對(duì)稱(chēng)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題情境導(dǎo)入13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題1.如圖，連接

A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短.2.

如圖，點(diǎn)

P是直線

l外一點(diǎn)，點(diǎn)

P與該直線

l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短.3.三角形的三邊關(guān)系是？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊.復(fù)習(xí)回顧單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容情境導(dǎo)入新課探究課堂小結(jié)如圖，一位將軍從

A地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l飲馬，然后到

B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？抽象成ABl數(shù)學(xué)問(wèn)題作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題ABlC生活中的數(shù)學(xué)新課探究13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)

A，B分別是直線

l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在

l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)

A、點(diǎn)

B的距離的和最短？AlBC根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)

C

即為所求.連接

AB，與直線

l相交于點(diǎn)

C.任務(wù)一將軍飲馬問(wèn)題探究新課探究13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題任務(wù)一將軍飲馬問(wèn)題探究如果點(diǎn)

A，B分別是直線

l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？能夠借助異側(cè)兩點(diǎn)的思路來(lái)解決同側(cè)問(wèn)題？如果將點(diǎn)B“移”到

l

的另一側(cè)

B′處，滿足直線

l上的任意一點(diǎn)

C，都保持

CB與

CB′的長(zhǎng)度相等，就可以了！Al利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)

B關(guān)于直線

l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

B′.BB′單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)(1)作點(diǎn)

B

關(guān)于直線

l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

B′；(2)連接

AB′，與直線

l

相交于點(diǎn)

C．則點(diǎn)

C即為所求．ABlB′C如何證明？總結(jié)歸納單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)證明：如圖，在直線

l上任取一點(diǎn)

C′(與點(diǎn)

C

不重合)，連接

AC′，BC′，B′C′.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′，

即

AC+BC

最短．證明ABlB′CC′單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)思考：“將軍飲馬”問(wèn)題解決過(guò)程中為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的

C′的作用是什么？若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最小．思考：你還有其他的方法嗎？(1)作點(diǎn)

A

關(guān)于直線

l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

A′；(2)連接

A′B，與直線

l

相交于點(diǎn)

C．則點(diǎn)

C即為所求．ABlA′C單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)如圖，點(diǎn)A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC+BC的長(zhǎng)度最短.作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；②連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn).在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有用到的知識(shí)或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點(diǎn)之間，線段最短D.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角??ABlCB′D練一練單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)例如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD典例精析單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)

如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng).∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.B此類(lèi)求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解.練一練歸納單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)如圖，A和

B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN.橋造在何處可使從

A到

B的路徑

AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？ABNMBA任務(wù)二造橋選址問(wèn)題單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)思考：如何把“造橋選址”問(wèn)題抽象成我們熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題？如圖所示：將河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)N在什么位置的時(shí)候，AM+MN+NB的值最??？ABab??MN單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)BA●●

?NMNMNM如圖，假定任選位置造橋

MN，連接

AM和

BN，從

A到

B的路徑是

AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？橋的寬度是不變的...探究單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)ABab??MN我們只需要將橋的長(zhǎng)度減出來(lái)，再進(jìn)行計(jì)算就可以了.假設(shè)橋的位置可以改變，比如將橋平移到A或者B.單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)由平移的性質(zhì)知

AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.如圖，平移

A到

A1，使AA1等于河寬，連接

A1B交河岸于N，作橋

MN，此時(shí)路徑

AM+MN+BN最短.BAA1MN理由：另任作橋

M1N1，連接

AM1，BN1，A1N1.N1M1AM＋MN＋BN轉(zhuǎn)化為

AA1＋A1B，而

AM1＋M1N1＋BN1

轉(zhuǎn)化為

AA1＋A1N1＋BN1.在△A1N1B中，∵A1N1＋BN1＞A1B，∴AM1＋M1N1＋BN1＞AM＋MN＋BN.同理，我們也能平移

A到

A1，使AA1等于河寬，解決問(wèn)題單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)

在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.方法歸納單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)1.如圖，在∠AOB

內(nèi)部有一點(diǎn)

P，是否在

OA、OB

上分別存在點(diǎn)

E、F，使得

E、F、P

三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出

E、F

兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由.POABP'P''EF作法：過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于直線OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，P''，連接P'P''分別交直線OA,OB于點(diǎn)E,F，則點(diǎn)E,F即為所求.練習(xí)單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A．10B．15C．20D．30A練習(xí)單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)3.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）．點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)P．xyOBAB'P練習(xí)單擊此處添加標(biāo)題文本內(nèi)容新課探究情境導(dǎo)入課堂小結(jié)4.如圖，在∠AOB

內(nèi)部有兩點(diǎn)

M、N，是否在

OA、OB

上分別存在點(diǎn)

E、F，使得

E、F、M、N

四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出

E、F

兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由．M'N'EFNOABM作法：過(guò)點(diǎn)M,N分別作關(guān)于直線OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M',N'，連接M'N'分別交直線OA,OB