8/8課時(shí)分層訓(xùn)練(六)實(shí)際問題與二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一面積問題1．用總長為am的材料做成如圖(1)所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為xm，窗框的面積為ym2，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖(2)，則a的值是(B)第1題圖A．16 B．12C．8 D．42．(2024·威海檢測)如圖，假設(shè)籬笆(虛線部分)的長度為14m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(B)A．50m2 B．49m2C．46m2 D．48m23．已知直角三角形兩條直角邊的和等于20，兩條直角邊各為多少時(shí)，這個(gè)直角三角形的面積最大？最大值是多少？解：設(shè)直角三角形的一條直角邊長為x，則另一條直角邊長為(20－x)，其面積為y，則y＝12x·(20－x)＝－12x2＋10x＝－12(x－10)2因?yàn)椋?2<0所以當(dāng)x＝10時(shí)，面積y取最大值，y最大＝50．知識(shí)點(diǎn)二利潤問題4．某商店購進(jìn)某種商品的價(jià)格是7.5元/件，當(dāng)銷售單價(jià)定為13.5元時(shí)，銷售量是500件，而銷售單價(jià)每降低1元就可多售出200件．若銷售單價(jià)為x元時(shí)，獲得的利潤為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為(D)A．y＝(6－x)(500＋x)B．y＝(13.5－x)(500＋200x)C．y＝(6－x)(500＋200x)D．y＝(x－7.5)[500＋200(13.5－x)]5．某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大．6．某公司投入研發(fā)費(fèi)用80萬元(80萬元只計(jì)入第一年成本)，成功研發(fā)出一種產(chǎn)品．公司按訂單生產(chǎn)(產(chǎn)量＝銷售量)，第一年該產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為6元/件．此產(chǎn)品年銷售量y(萬件)與售價(jià)x(元/件)之間滿足函數(shù)y＝－x＋26．(1)求這種產(chǎn)品第一年的利潤w1(萬元)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)解析式；(2)如果該產(chǎn)品第一年的利潤為20萬元，那么該產(chǎn)品第一年的售價(jià)是多少？(3)第二年，該公司將第一年的利潤20萬元(20萬元只計(jì)入第二年成本)再次投入研發(fā)，使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件．為保持市場占有率，公司規(guī)定第二年產(chǎn)品售價(jià)不超過第一年的售價(jià)，另外受產(chǎn)能限制，銷售量無法超過12萬件．請計(jì)算該公司第二年的利潤w2至少為多少．解：(1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236．(2)由題意，得20＝－x2＋32x－236，解得x1＝x2＝16．答：該產(chǎn)品第一年的售價(jià)是16元．(3)由題意，可知銷售量無法超過12萬件，即－x＋26≤12，解得x≥14．∴14≤x≤16．w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150，∴拋物線的對稱軸為x＝15.5．又∵14≤x≤16，∴當(dāng)x＝14時(shí)，w2有最小值，最小值為88萬元．答：該公司第二年的利潤w2至少為88萬元．知識(shí)點(diǎn)三拋物線形問題7．(2024·棗莊檢測)如圖，若被擊打的小球飛行高度h(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系h＝24t－4t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為(D)A．3s B．4sC．5s D．6s8．(2024·濟(jì)寧檢測)如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個(gè)水管AB，水管的頂端B處有一個(gè)噴水孔，噴出的拋物線形水柱在與池中心A處的水平距離為1m處達(dá)到最高點(diǎn)C，高度為3m，水柱落地點(diǎn)D距離池中心A處4m，則水管的頂端B距離水面的高度AB為(D)A．2mB．52mC．73mD．9．如圖，某大學(xué)的校門是一個(gè)拋物線形的水泥建筑物，大門的地面寬度為8m，兩側(cè)距地面4m高處各有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)間的水平距離為6m．求校門的高．(結(jié)果精確到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不計(jì))解：以大門地面為x軸、以它的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線過(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三點(diǎn)．∵拋物線關(guān)于y軸對稱，∴設(shè)解析式為y＝ax2＋c．∴16a+c=0解得a=-∴拋物線的解析式為y＝－47x2＋64∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，即校門的高為647m≈9.1m10．已知學(xué)校航模組設(shè)計(jì)制作的火箭升空高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)滿足函數(shù)h＝－t2＋24t＋1，則下列說法中正確的是(C)A．點(diǎn)火后1s和點(diǎn)火后3s的升空高度相同B．點(diǎn)火后24s火箭落于地面C．火箭升空的最大高度為145mD．點(diǎn)火后10s的升空高度為139m11．如圖，某學(xué)校擬建一塊矩形花圃，打算一邊利用學(xué)?，F(xiàn)有的墻(墻足夠長)，其余三邊除門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50m，門寬為2m．這個(gè)矩形花圃的最大面積是(C)A．169m2 B．288m2C．338m2 D．312.5m212．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：m)．有下列結(jié)論：①AB＝24m；②池底所在拋物線的解析式為y＝145x2－5③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的14．其中，正確的是(BA．①② B．②④C．③④ D．①④13．如圖，利用135°的墻角修建一個(gè)梯形的儲(chǔ)料場，并使∠C＝90°．如果新建的墻BCD總長為24m，那么當(dāng)BC＝16m時(shí)，儲(chǔ)料場的面積最大．14．一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)的路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為53m，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)體育考試(女生)評分標(biāo)準(zhǔn)，投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分？請說明理由．解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝a(x－3)2＋3．把0，53代入解析式，得53＝a(0－3)2＋3，解得∴y＝－427(x－3)2＋3(2)該女生在此項(xiàng)考試中得滿分．理由如下：令y＝0，即－427(x－3)2＋3＝0解得x1＝7.5，x2＝－1.5(不合題意，舍去)．∴該女生投擲實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離為7.5m，大于6.70m．∴該女生在此項(xiàng)考試中得滿分．15．(2024·東營檢測)某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長12m)和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ和Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案(除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻)，請根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：(1)方案一：如圖(1)，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG，DG的長；(2)方案二：如圖(2)，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問：BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？(1)(2)第15題圖解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，∴Ⅰ和Ⅱ兩塊矩形的面積和為12×3＝36(m2)．設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a(m2)．∴36－a＝32，解得a＝4．∴DG＝4m．∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，即CG的長為8m，DG的長為4m．(2)設(shè)BC的長為xm，則CD的長為(21－3x)m，總種植面積為(21－3x)?x＝－3(x2－7x)＝－3x-722∵－3＜0，∴當(dāng)x＝72時(shí)，總種植面積有最大值，最大面積為1474m即BC應(yīng)設(shè)計(jì)為72m，此時(shí)總種植面積最大，最大面積為1474m【創(chuàng)新運(yùn)用】16．某公司開發(fā)出一種產(chǎn)品，生產(chǎn)成本為5元/件，規(guī)定售價(jià)不超過15元/件，受產(chǎn)能限制，按訂單生產(chǎn)該產(chǎn)品(銷量＝產(chǎn)量)，年銷量不超過30萬件．年銷量y(萬件)與售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖(1)所示．為提高該產(chǎn)品的競爭力，投入研發(fā)費(fèi)用P萬元(計(jì)入成本)，P與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示，AB是一條線段，BC是拋物線P＝14x2－4x(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)年利潤最大？最大利潤是多少？(1)(2)第16題圖解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx＋b．把(5，30)，(15，10)代入，得5k+b=30，15k+b=10∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝－2x＋40(5≤x≤15)．(2)由題意，得當(dāng)5≤x≤10時(shí)，P＝60．設(shè)年利潤為w，則w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－60＝－2x2＋50x－260．∵－2＜0，5≤x≤10，對稱軸為x＝12.5，∴當(dāng)5≤x≤10時(shí)，w隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝10時(shí)，w最大，最大值為40．當(dāng)10≤