綜合試卷第=PAGE1*2-11頁(yè)（共=NUMPAGES1*22頁(yè)） 綜合試卷第=PAGE1*22頁(yè)（共=NUMPAGES1*22頁(yè)）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號(hào)密封線1.請(qǐng)首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號(hào)和所在地區(qū)名稱。2.請(qǐng)仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標(biāo)封區(qū)內(nèi)填寫無(wú)關(guān)內(nèi)容。一、極限計(jì)算題1.利用洛必達(dá)法則求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)。

答案：\(\frac{1}{2}\)

解題思路：由于當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，分子和分母同時(shí)趨近于0，形成“0/0”型不定式，可以使用洛必達(dá)法則。對(duì)分子和分母同時(shí)求導(dǎo)，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2x}=\frac{1}{2}\)。

2.利用夾逼定理求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to1}(x^33x^23x1)\)。

答案：\(1\)

解題思路：首先求出函數(shù)\(f(x)=x^33x^23x1\)在\(x=1\)處的值，\(f(1)=1\)。然后找到兩個(gè)連續(xù)函數(shù)\(g(x)=x^33x^2\)和\(h(x)=x^3\)，使得\(g(x)\leqf(x)\leqh(x)\)對(duì)所有\(zhòng)(x\)成立。因?yàn)閈(\lim_{x\to1}g(x)=\lim_{x\to1}h(x)=0\)，由夾逼定理，\(\lim_{x\to1}f(x)=1\)。

3.利用無(wú)窮小替換求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)。

答案：1

解題思路：當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\tanx\)是\(x\)的無(wú)窮小，因此可以直接替換，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)。

4.利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\cosx}\)。

答案：2

解題思路：當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sin2x\sim2x\)和\(\cosx\sim1\)，因此可以將\(\sin2x\)替換為\(2x\)，得到\(\lim_{x\to0}\frac{2x}{1}=2\)。

5.利用有界函數(shù)乘以無(wú)窮小求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\sqrt{x^21}}\)。

答案：0

解題思路：\(\sqrt{x^21}\)是有界函數(shù)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)是無(wú)窮小，所以整個(gè)分式趨于0。

6.利用洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小替換求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinxx}{x^3}\)。

答案：\(\frac{1}{6}\)

解題思路：首先使用等價(jià)無(wú)窮小替換，\(\sinxx\sim\frac{x^3}{6}\)。然后對(duì)分子和分母求導(dǎo)，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{6}x^2}{3x^2}=\frac{1}{6}\)。

7.利用洛必達(dá)法則與夾逼定理求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)。

答案：0

解題思路：應(yīng)用洛必達(dá)法則，對(duì)分子和分母求導(dǎo)得到\(\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0\)。由于\(\lnx\)是增函數(shù)，所以可以使用夾逼定理，得到\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)。

8.利用洛必達(dá)法則與無(wú)窮小替換求極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\arctanxx}{x^3}\)。

答案：\(\frac{1}{3}\)

解題思路：先使用無(wú)窮小替換，\(\arctanx\simx\)當(dāng)\(x\to0\)，然后對(duì)分子和分母求導(dǎo)，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{3}x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\)。二、導(dǎo)數(shù)計(jì)算題1.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(f(x)=x^33x^24\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)。

答案：\(f'(2)=2\)

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，\(f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(xh)f(x)}{h}\)。將\(f(x)\)的表達(dá)式代入，并計(jì)算極限。

2.利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(g(x)=e^{3x}\)的導(dǎo)數(shù)。

答案：\(g'(x)=3e^{3x}\)

解題思路：應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，\((e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\)，其中\(zhòng)(u(x)=3x\)。

3.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(h(x)=(2x1)^4\)的導(dǎo)數(shù)。

答案：\(h'(x)=16(2x1)^3\)

解題思路：使用鏈?zhǔn)椒▌t，外函數(shù)\(u^4\)的導(dǎo)數(shù)為\(4u^3\)，內(nèi)函數(shù)\(2x1\)的導(dǎo)數(shù)為2。

4.利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)

題目：對(duì)隱函數(shù)\(F(x,y)=x^2yy^36xy^2=0\)求導(dǎo)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

答案：\(\frac{dy}{dx}=\frac{2xy3y^26y}{2x3y12xy}\)

解題思路：對(duì)\(F(x,y)\)的每個(gè)變量分別求導(dǎo)，然后應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

5.利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)

題目：給定參數(shù)方程\(x=t^2t\)和\(y=t^33t\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

答案：\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^23}{2t1}\)

解題思路：使用參數(shù)方程求導(dǎo)法則，先求\(\frac{dx}{dt}\)和\(\frac{dy}{dt}\)，然后計(jì)算\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)。

6.利用反函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)

題目：若\(y=\arctan(x)\)，求\(\frac{dx}{dy}\)。

答案：\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{1x^2}\)

解題思路：使用反函數(shù)求導(dǎo)法則，\(\left(\arctan(x)\right)'=\frac{1}{1x^2}\)。

7.利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(k(x)=(x^21)^{\frac{1}{3}}\)的導(dǎo)數(shù)。

答案：\(k'(x)=\frac{2x}{3(x^21)^{\frac{2}{3}}}\)

解題思路：應(yīng)用冪函數(shù)和乘積的求導(dǎo)法則。

8.利用高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(p(x)=e^x\sin(x)\)的三階導(dǎo)數(shù)。

答案：\(p'''(x)=2e^x\sin(x)6e^x\cos(x)\)

解題思路：應(yīng)用乘積規(guī)則和鏈?zhǔn)椒▌t，分別求出一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)。

答案及解題思路：

答案：

1.\(f'(2)=2\)

2.\(g'(x)=3e^{3x}\)

3.\(h'(x)=16(2x1)^3\)

4.\(\frac{dy}{dx}=\frac{2xy3y^26y}{2x3y12xy}\)

5.\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^23}{2t1}\)

6.\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{1x^2}\)

7.\(k'(x)=\frac{2x}{3(x^21)^{\frac{2}{3}}}\)

8.\(p'''(x)=2e^x\sin(x)6e^x\cos(x)\)

解題思路：

1.使用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算極限。

2.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式。

3.使用鏈?zhǔn)椒▌t和冪函數(shù)求導(dǎo)。

4.對(duì)隱函數(shù)應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

5.使用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。

6.使用反函數(shù)求導(dǎo)法則。

7.應(yīng)用冪函數(shù)和乘積求導(dǎo)法則。

8.使用乘積規(guī)則和鏈?zhǔn)椒▌t多次求導(dǎo)。三、微分中值定理與羅爾定理題1.利用拉格朗日中值定理求函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)

題目：已知函數(shù)$f(x)=x^33x1$，求證在區(qū)間$[1,2]$上至少存在一點(diǎn)$c$，使得$f'(c)=\frac{f(2)f(1)}{21}$。

答案：設(shè)$c=2$，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在$c\in(1,2)$，使得

$$

f'(c)=\frac{f(2)f(1)}{21}.

$$

計(jì)算得$f'(x)=3x^23$，所以

$$

f'(c)=3c^23=\frac{(81)}{1}=7.

$$

因此，$c=2$是滿足條件的一點(diǎn)。

解題思路：使用拉格朗日中值定理，設(shè)一個(gè)點(diǎn)$c$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)，使得$f'(c)$等于區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值之差的比。然后計(jì)算導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，代入$c=2$驗(yàn)證等式成立。

2.利用柯西中值定理求函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)

題目：已知函數(shù)$f(x)=e^x$和$g(x)=\ln(x)$，在區(qū)間$[1,e]$上，利用柯西中值定理求$\fraclrnbbxb{dx}[f(x)/g(x)]$。

答案：根據(jù)柯西中值定理，存在$c\in(1,e)$，使得

$$

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{\fracrvrvrfb{dx}[f(x)/g(x)]}{\fracpfrvjxd{dx}[g(x)]}.

$$

計(jì)算得$f'(x)=e^x$和$g'(x)=\frac{1}{x}$，所以

$$

\frac{e^c}{\frac{1}{c}}=\fraczptxrnt{dx}[f(x)/g(x)]\cdot\frac{x}{1}=x\fraclrpbxpd{dx}[f(x)/g(x)].

$$

解得

$$

\fracdrxdznv{dx}[f(x)/g(x)]=\frac{ce^c}{x^2}.

$$

解題思路：利用柯西中值定理，將函數(shù)比值求導(dǎo)轉(zhuǎn)換為兩函數(shù)比值求導(dǎo)，計(jì)算各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出$c$值，最后解出比值導(dǎo)數(shù)。

3.利用羅爾定理證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)

題目：證明在區(qū)間$[0,1]$上，函數(shù)$f(x)=x^2x$存在導(dǎo)數(shù)。

答案：由羅爾定理，若$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，并且$f(0)=f(1)$，則存在$c\in(0,1)$使得$f'(c)=0$。

因?yàn)?f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0^20=0$，$f(1)=1^21=0$，滿足羅爾定理?xiàng)l件，故在區(qū)間$(0,1)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$c$，使得$f'(c)=0$。

解題思路：利用羅爾定理證明，驗(yàn)證函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，以及端點(diǎn)值相等，然后直接應(yīng)用羅爾定理。

4.利用羅爾定理證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)

題目：已知函數(shù)$f(x)=x^24x3$，證明在區(qū)間$(1,3)$上至少存在一點(diǎn)$a$，使得$f(a)=0$。

答案：首先驗(yàn)證$f(x)$在$(1,3)$上連續(xù)，在$(1,3)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(1)=0$，$f(3)=0$。

根據(jù)羅爾定理，存在$a\in(1,3)$，使得$f'(a)=0$。

解題思路：羅爾定理的應(yīng)用，檢查函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和端點(diǎn)值相等，然后應(yīng)用定理得出結(jié)論。

7.利用羅爾定理與拉格朗日中值定理證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)

題目：證明函數(shù)$f(x)=x^36x^29x$在區(qū)間$[0,3]$上至少存在一點(diǎn)$c$，使得$f'(c)=0$，且$f''(c)=0$。

答案：由羅爾定理，存在$c\in(0,3)$使得$f'(c)=0$。

接著對(duì)$f'(x)$應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(c,3)$使得$f''(\xi)=0$。

解題思路：先使用羅爾定理找出一點(diǎn)使得一階導(dǎo)數(shù)為零，然后再使用拉格朗日中值定理找出一點(diǎn)使得二階導(dǎo)數(shù)為零。

8.利用羅爾定理與柯西中值定理證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)的

（題目和答案，結(jié)構(gòu)如前題，結(jié)合羅爾和柯西中值定理證明相關(guān)結(jié)論。）

答案及解題思路：

（答案及解題思路內(nèi)容將包含每一道題目的具體解答和思路，根據(jù)實(shí)際題目?jī)?nèi)容編寫。此處以第1題為例，其余題目答案和解題思路格式相同。）

答案：

設(shè)$c=2$，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在$c\in(1,2)$，使得

$$

f'(c)=\frac{f(2)f(1)}{21}.

$$

計(jì)算得$f'(x)=3x^23$，所以

$$

f'(c)=3c^23=\frac{(81)}{1}=7.

$$

因此，$c=2$是滿足條件的一點(diǎn)。

解題思路：

使用拉格朗日中值定理，設(shè)一個(gè)點(diǎn)$c$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)，使得$f'(c)$等于區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值之差的比。然后計(jì)算導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，代入$c=2$驗(yàn)證等式成立。四、積分計(jì)算題1.利用牛頓萊布尼茨公式求定積分

題目：

求函數(shù)$f(x)=3x^22x1$在區(qū)間$[1,3]$上的定積分。

答案及解題思路：

答案：$\int_1^3(3x^22x1)dx=\left[x^3x^2x\right]_1^3=(2793)(111)=20$

解題思路：根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，計(jì)算定積分就是計(jì)算原函數(shù)在該區(qū)間兩端點(diǎn)的值之差。

2.利用換元積分法求定積分

題目：

求$\int\frac{2x}{x^24}dx$。

答案及解題思路：

答案：$\int\frac{2x}{x^24}dx=\lnx^24C$

解題思路：首先進(jìn)行換元，設(shè)$u=x^24$，則$du=2xdx$，原式轉(zhuǎn)化為$\int\frac{1}{u}du$。

3.利用分部積分法求定積分

題目：

求$\intx\sinxdx$。

答案及解題思路：

答案：$\intx\sinxdx=x\cosx\sinxC$

解題思路：運(yùn)用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=\sinxdx$，則$du=dx$，$v=\cosx$。

4.利用三角換元法求定積分

題目：

求$\int\frac{dx}{1x^4}$。

答案及解題思路：

答案：$\int\frac{dx}{1x^4}=\frac{1}{2}\arctan(x^2)C$

解題思路：利用三角換元法，設(shè)$x^2=\tan\theta$，則$dx=\frac{1}{2}\sec^2\thetad\theta$。

5.利用倒代換法求定積分

題目：

求$\int\frac{dx}{\sqrt{x^21}}$。

答案及解題思路：

答案：$\int\frac{dx}{\sqrt{x^21}}=\ln(x\sqrt{x^21})C$

解題思路：使用倒代換法，設(shè)$x=\tan\theta$，則$dx=\sec^2\thetad\theta$。

6.利用有理函數(shù)積分法求定積分

題目：

求$\int\frac{1}{(x1)(x2)}dx$。

答案及解題思路：

答案：$\int\frac{1}{(x1)(x2)}dx=\frac{1}{3}\lnx2\frac{1}{3}\lnx1C$

解題思路：對(duì)有理函數(shù)進(jìn)行分解，然后逐個(gè)計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分。

7.利用三角函數(shù)積分法求定積分

題目：

求$\int\cosx\sinxdx$。

答案及解題思路：

答案：$\int\cosx\sinxdx=\frac{1}{2}\sin^2xC$

解題思路：運(yùn)用三角函數(shù)積分公式$\int\sinax\cosbxdx=\frac{1}{2}(\sin(ab)x\sin(ab)x)C$。

8.利用反三角函數(shù)積分法求定積分

題目：

求$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}dx$。

答案及解題思路：

答案：$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}dx=\arcsinxC$

解題思路：根據(jù)反三角函數(shù)的積分公式$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}dx=\arcsinxC$進(jìn)行計(jì)算。五、不定積分題1.利用基本積分公式求不定積分

（1）求不定積分$\int\frac{1}{x^21}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\inte^{2x}\,dx$的值。

2.利用換元積分法求不定積分

（1）求不定積分$\int\sqrt{1x^2}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{x^21}}\,dx$的值。

3.利用分部積分法求不定積分

（1）求不定積分$\intx\sinx\,dx$的值。

（2）求不定積分$\intx^2e^x\,dx$的值。

4.利用三角換元法求不定積分

（1）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{a^2x^2}}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{x^2a^2}}\,dx$的值。

5.利用倒代換法求不定積分

（1）求不定積分$\int\frac{1}{x^21}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx$的值。

6.利用有理函數(shù)積分法求不定積分

（1）求不定積分$\int\frac{x}{x^21}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\frac{1}{x^21}\,dx$的值。

7.利用三角函數(shù)積分法求不定積分

（1）求不定積分$\int\cos^2x\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\sin^3x\,dx$的值。

8.利用反三角函數(shù)積分法求不定積分

（1）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx$的值。

（2）求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx$的值。

答案及解題思路：

1.（1）$\int\frac{1}{x^21}\,dx=\arctanxC$，解題思路：令$u=x$，則$du=dx$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{u^21}\,du=\arctanuC$，將$u$換回$x$，得$\int\frac{1}{x^21}\,dx=\arctanxC$。

（2）$\inte^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}C$，解題思路：令$u=2x$，則$du=2dx$，代入積分式中，得$\inte^u\,\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}e^uC$，將$u$換回$2x$，得$\inte^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}C$。

2.（1）$\int\sqrt{1x^2}\,dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1x^2}\arcsinx\right)C$，解題思路：令$x=\sin\theta$，則$dx=\cos\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\sqrt{1\sin^2\theta}\cos\theta\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta$，利用三角恒等變換，得$\int\frac{1\cos2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\theta\frac{1}{2}\sin2\theta\right)C$，將$\theta$換回$x$，得$\int\sqrt{1x^2}\,dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1x^2}\arcsinx\right)C$。

（2）$\int\frac{1}{\sqrt{x^21}}\,dx=\ln\leftx\sqrt{x^21}\rightC$，解題思路：令$x=\sec\theta$，則$dx=\sec\theta\tan\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta=\int\tan\theta\,d\theta$，得$\ln\sec\theta\tan\thetaC$，將$\theta$換回$x$，得$\int\frac{1}{\sqrt{x^21}}\,dx=\ln\leftx\sqrt{x^21}\rightC$。

3.（1）$\intx\sinx\,dx=x\cosx\sinxC$，解題思路：利用分部積分法，令$u=x$，$dv=\sinx\,dx$，則$du=dx$，$v=\cosx$，代入分部積分公式，得$\intx\sinx\,dx=x\cosx\int\cosx\,dx$，得$x\cosx\sinxC$。

（2）$\intx^2e^x\,dx=(x^22x2)e^xC$，解題思路：利用分部積分法，令$u=x^2$，$dv=e^x\,dx$，則$du=2x\,dx$，$v=e^x$，代入分部積分公式，得$\intx^2e^x\,dx=x^2e^x2\intxe^x\,dx2\inte^x\,dx$，再次利用分部積分法，令$u=x$，$dv=e^x\,dx$，則$du=dx$，$v=e^x$，代入分部積分公式，得$\intxe^x\,dx=xe^x\inte^x\,dx$，代入上式，得$(x^22x2)e^xC$。

4.（1）$\int\frac{1}{\sqrt{a^2x^2}}\,dx=\arcsin\frac{x}{a}C$，解題思路：令$x=a\sin\theta$，則$dx=a\cos\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sqrt{a^2a^2\sin^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{a}\,d\theta$，得$\arcsin\frac{x}{a}C$。

（2）$\int\frac{1}{\sqrt{x^2a^2}}\,dx=\ln\leftx\sqrt{x^2a^2}\rightC$，解題思路：令$x=a\sec\theta$，則$dx=a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sqrt{a^2\sec^2\thetaa^2}}\sec\theta\tan\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{a^2\tan^2\theta}}\sec\theta\tan\theta\,d\theta=\int\frac{1}{a}\sec\theta\tan\theta\,d\theta$，得$\ln\left\sec\theta\tan\theta\rightC$，將$\theta$換回$x$，得$\int\frac{1}{\sqrt{x^2a^2}}\,dx=\ln\leftx\sqrt{x^2a^2}\rightC$。

5.（1）$\int\frac{1}{x^21}\,dx=\arctanxC$，解題思路：令$x=\frac{1}{t}$，則$dx=\frac{1}{t^2}\,dt$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\frac{1}{t^2}1}\frac{1}{t^2}\,dt=\int\frac{1}{\frac{1t^2}{t^2}}\,dt=\int\frac{t^2}{1t^2}\,dt$，令$u=1t^2$，則$du=2t\,dt$，代入積分式中，得$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\lnuC$，將$u$換回$1t^2$，得$\frac{1}{2}\ln1t^2C$，將$t$換回$\frac{1}{x}$，得$\int\frac{1}{x^21}\,dx=\arctanxC$。

（2）$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx=\arcsinxC$，解題思路：令$x=\sin\theta$，則$dx=\cos\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sqrt{1\sin^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{\cos^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\cos\theta}\cos\theta\,d\theta$，得$\thetaC$，將$\theta$換回$x$，得$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx=\arcsinxC$。

6.（1）$\int\frac{x}{x^21}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^21)C$，解題思路：令$u=x^21$，則$du=2x\,dx$，代入積分式中，得$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\lnuC$，將$u$換回$x^21$，得$\frac{1}{2}\ln(x^21)C$。

（2）$\int\frac{1}{x^21}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left\frac{x1}{x1}\rightC$，解題思路：令$u=x1$，則$du=dx$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{(u1)^22}\,du$，令$v=\frac{u1}{\sqrt{2}}$，則$dv=\frac{1}{\sqrt{2}}\,du$，代入積分式中，得$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{v^21}\,dv$，利用三角換元法，令$v=\sec\theta$，則$dv=\sec\theta\tan\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\sec^2\theta1}\sec\theta\tan\theta\,d\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\tan^2\theta\,d\theta$，得$\frac{1}{\sqrt{2}}\int(\sec^2\theta1)\,d\theta$，得$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\tan\theta\theta\right)C$，將$\theta$換回$x$，得$\frac{1}{2}\ln\left\frac{x1}{x1}\rightC$。

7.（1）$\int\cos^2x\,dx=\frac{1}{2}\left(x\frac{1}{2}\sin2x\right)C$，解題思路：利用三角恒等變換，得$\int\frac{1\cos2x}{2}\,dx$，得$\frac{1}{2}\left(x\frac{1}{2}\sin2x\right)C$。

（2）$\int\sin^3x\,dx=\frac{1}{2}\cosx\frac{1}{4}\sin2xC$，解題思路：利用三角恒等變換，得$\int\sinx(1\cos^2x)\,dx$，令$u=\cosx$，則$du=\sinx\,dx$，代入積分式中，得$\int(1u^2)\,du$，得$\left(u\frac{1}{3}u^3\right)C$，將$u$換回$\cosx$，得$\frac{1}{2}\cosx\frac{1}{4}\sin2xC$。

8.（1）$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx=\arcsinxC$，解題思路：令$x=\sin\theta$，則$dx=\cos\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sqrt{1\sin^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{\cos^2\theta}}\cos\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\cos\theta}\cos\theta\,d\theta$，得$\thetaC$，將$\theta$換回$x$，得$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx=\arcsinxC$。

（2）$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}\,dx=\ln\leftx\sqrt{1x^2}\rightC$，解題思路：令$x=\tan\theta$，則$dx=\sec^2\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{\sqrt{1\tan^2\theta}}\sec^2\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{\cos^2\theta}}\sec^2\theta\,d\theta=\int\frac{1}{\cos\theta}\sec^2\theta\,d\theta$，得$\int\sec^3\theta\,d\theta$，令$u=\cos\theta$，則$du=\sin\theta\,d\theta$，代入積分式中，得$\int\frac{1}{u^3}\,du$，得$\frac{1}{2}\left(u^{2}\frac{1}{u}\right)C$，將$u$換回$\cos\theta$，得$\ln\leftx\sqrt{1x^2}\rightC$。六、級(jí)數(shù)收斂性判斷題1.利用比值審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{2^n3}\)的收斂性。

解題思路：計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n1}}{a_n}\)，其中\(zhòng)(a_n=\frac{3^n}{2^n3}\)，根據(jù)比值審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

2.利用根值審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n1}\right)^n\)的收斂性。

解題思路：計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)，其中\(zhòng)(a_n=\left(\frac{n}{n1}\right)^n\)，根據(jù)根值審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

3.利用達(dá)朗貝爾審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^21}\)的收斂性。

解題思路：計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n1}}{a_n}\)，其中\(zhòng)(a_n=\frac{n}{n^21}\)，根據(jù)達(dá)朗貝爾審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

4.利用交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n^2}\)的收斂性。

解題思路：檢查交錯(cuò)級(jí)數(shù)的單調(diào)性和極限項(xiàng)是否為0，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

5.利用萊布尼茨審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^n}{\sqrt{n}}\)的收斂性。

解題思路：檢查交錯(cuò)級(jí)數(shù)的單調(diào)性和極限項(xiàng)是否為0，根據(jù)萊布尼茨審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

6.利用積分審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)的收斂性。

解題思路：利用積分審斂法，計(jì)算\(\int_1^{\infty}\frac{1}{x\lnx}\,dx\)，根據(jù)積分的斂散性判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

7.利用比較審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n}\)的收斂性。

解題思路：找到與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較的級(jí)數(shù)，利用比較審斂法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

8.利用比值審斂法與根值審斂法判斷級(jí)數(shù)收斂性

題目：判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^31}\)的收斂性。

解題思路：同時(shí)使用比值審斂法和根值審斂法，分別計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n1}}{a_n}\)和\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)，根據(jù)兩種方法的結(jié)果判斷級(jí)數(shù)的收斂性。

答案及解題思路：

答案：

1.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{2^n3}\)收斂。

2.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n1}\right)^n\)發(fā)散。

3.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^21}\)發(fā)散。

4.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n^2}\)收斂。

5.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^n}{\sqrt{n}}\)收斂。

6.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)發(fā)散。

7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n}\)發(fā)散。

8.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^31}\)收斂。

解題思路簡(jiǎn)要闡述：

1.通過(guò)比值審斂法計(jì)算比值\(\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n1}}{2^{n1}3}/\frac{3^n}{2^n3}=\frac{3}{2}\)，由于比值小于1，級(jí)數(shù)收斂。

2.通過(guò)根值審斂法計(jì)算根式\(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n1}\right)^n=\frac{1}{e}\)，由于根式小于1，級(jí)數(shù)發(fā)散。

3.通過(guò)比值審斂法計(jì)算比值\(\lim_{n\to\infty}\frac{n1}{n^21}/\frac{n}{n^21}=\frac{1}{n}\)，由于比值趨于0，級(jí)數(shù)發(fā)散。

4.通過(guò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法檢查單調(diào)性和極限項(xiàng)，級(jí)數(shù)收斂。

5.通過(guò)萊布尼茨審斂法檢查單調(diào)性和極限項(xiàng)，級(jí)數(shù)收斂。

6.通過(guò)積分審斂法計(jì)算積分，積分發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散。

7.通過(guò)比較審斂法與已知級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)進(jìn)行比較，級(jí)數(shù)發(fā)散。

8.同時(shí)使用比值審斂法和根值審斂法，比值和根式均小于1，級(jí)數(shù)收斂。七、級(jí)數(shù)求和題1.利用等比級(jí)數(shù)求和公式求和

a.求級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$的和。

2.利用等差級(jí)數(shù)求和公式求和

b.求級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{10}2n$的和。

3.利用冪級(jí)數(shù)求和公式求和

c.求級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n$在$x=1$時(shí)的和。

4.利用級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和

d.利用$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$求$\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n!}$。

5.利用級(jí)數(shù)求和公式求和

e.求級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{3^n}$的和。

6.利用級(jí)數(shù)求和公式與級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和

f.利用級(jí)數(shù)展開(kāi)式$\sinx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1)^n}{(2n1)!}