第八章平面解析幾何第11節(jié)圓錐曲線中的軌跡問題INNOVATIVEDESIGN

1.曲線C與方程F(x,y)=0滿足兩個條件:(1)曲線C上點的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.知識拓展2.求曲線方程的基本方法主要有: (1)定義法:若動點運動的限制條件與某一類圓錐曲線的定義吻合,可直接根據(jù)定義建立動點的軌跡方程,于是就確定了曲線的類型與方程的具體結(jié)構(gòu)式,再用待定系數(shù)法求解的方法稱為定義法. (2)直接法:如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,這些條件簡單明確,不需要特殊的技巧,直接將條件翻譯成等式,整理化簡后即得到動點的軌跡方程. (3)相切點法(代入法):如果動點滿足的限制條件不容易直接列出等式,但是動點隨著另一相關(guān)點的運動而運動,這時可用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程求得動點的軌跡方程的方法稱為相關(guān)點法.(4)參數(shù)法:如果動點本身所滿足的條件式中含有一個參數(shù),或在運動過程中受到某個變量的制約,那么以此變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,再設(shè)法消去參數(shù),即可得到軌跡的方程,這種方法稱為參數(shù)法.(5)變軌法:如果動點是兩條曲線的交點,則其坐標(biāo)同時滿足兩條曲線方程,那么消去輔助量即可求得動點的軌跡,這種方法稱為交軌法.目

錄CONTENTS課時對點精練題型一

定義法例1

若動圓與兩定圓(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=49都外切,則動圓圓心的軌跡方程是

.

思維建模利用定義法求軌跡方程時,要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制.

D題型二

直接法D

思維建模直接法求軌跡方程時,最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程,再建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明.最后的證明這一步驟可以省略,求出軌跡的方程后還需注意檢驗方程的“純粹性”和“完備性”.

B題型三

相關(guān)點法(代入法)1.教材母題

(人教A選修一P108例2)在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足,當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么?為什么?2.教材母題

(蘇教選修一P84例3)將圓x2+y2=4上各點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?求所得曲線的方程,并說明它是什么曲線.

A

思維建模

B題型四

參數(shù)法

如圖,B(1,0),C(0,2),

思維建模1.參數(shù)法求動點軌跡方程的一般步驟(1)選擇坐標(biāo)系,設(shè)動點坐標(biāo)P(x,y);(2)分析軌跡的已知條件,選定參數(shù)(選擇參數(shù)時要考慮既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù));(3)建立參數(shù)方程;(4)消去參數(shù)得到普通方程;(5)討論并判斷軌跡.2.常用的消參方法有:代入消參,加減消參,整體代換法,三角消參法(sin2θ+cos2θ=1)等,要特別注意:消參前后變量x,y的取值范圍不能改變.

題型五

交軌法

思維建模1.求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法.2.運用交軌法探求軌跡方程問題,主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù),寫出兩條動曲線方程;如果動點(x0,y0)影響動點P(x,y)的軌跡,那么就選取動點(x0,y0)為參數(shù).如果動直線的斜率k影響動點P(x,y)的軌跡,那么就選取動直線的斜率k為參數(shù).如果動直線在y軸上的截矩b影響動點P(x,y)的軌跡,那么就選取動直線在y軸上的截距b為參數(shù).如果動直線的傾斜角α影響動點P(x,y)軌跡,那么就選取動直線的傾斜角α為參數(shù).

課時對點精練KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.(2025·開封模擬)已知△ABC的周長為12,且|BC|=4,則△ABC的頂點A的軌跡為(

) A.橢圓 B.直線

C.圓

D.線段

解析

由題意可得|BA|+|AC|=12-4=8>|BC|=4,

故A的軌跡滿足橢圓的定義, A在以B,C為焦點,以2a=8,

去掉與B,C共線的兩個點的橢圓上.A

A3.動圓M經(jīng)過定點P(4,-1),且與y軸相切,則圓心M的軌跡為(

) A.圓

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線

解析

由于動圓M經(jīng)過定點P(4,-1),且與y軸相切,

所以M到定點P(4,-1)的距離,等于M到y(tǒng)軸的距離,

根據(jù)拋物線的定義可知,M的軌跡為拋物線.D

C

C

C

B8.(2025·長沙調(diào)研)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,Q為上底面A1B1C1D1所在平面內(nèi)的動點,當(dāng)直線DQ與DA1的所成角為45°時,點Q的軌跡為(

) A.圓

B.直線

C.拋物線

D.橢圓C

二、多選題9.(2025·濟寧模擬)已知圓O的半徑為定長r,A是圓O所在平面內(nèi)一個定點,P是圓上任意一點,線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當(dāng)點P在圓上運動時,下列說法正確的是(

) A.當(dāng)點A在圓O內(nèi)(不與圓心重合)時,點Q的軌跡是橢圓 B.點Q的軌跡可能是一個定點 C.當(dāng)點A在圓O外時,點Q的軌跡是雙曲線的一支 D.點Q的軌跡可能是拋物線AB解析

對于A,連接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因為點A在圓內(nèi),所以|OA|<|OP|,根據(jù)橢圓的定義,得點Q的軌跡是以O(shè),A為焦點,r為長軸長的橢圓,A正確.對于B,當(dāng)點A在圓上時,點Q與圓心O重合,點Q的軌跡為定點,故B正確.對于C,連接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以||QO|-|QA||=||QO|-|QP||=|OP|=r.又因為點A在圓外,所以|OA|>|OP|,根據(jù)雙曲線的定義,點Q的軌跡是以O(shè),A為焦點,r為實軸長的雙曲線,C錯誤.對于D,由于當(dāng)點A與圓心O重合時,點Q的軌跡為圓,所以點Q的軌跡不可能為拋物線,D錯誤.

BD

BCD

14.(2025·廣州模擬)已知曲線C是平面內(nèi)到定點F(0,-2)與到定直線l:y