導(dǎo)數(shù)與不等式綜合應(yīng)用拓展(6大題型)

喟思維構(gòu)建

(題型一不等式恒成立求參數(shù)問己卜題型四雙變量不等式的證明)

(題型二不等式能成立求參數(shù)問~住數(shù)與不等式綜合碗)~(題型五數(shù)列求和型不等式證明)

(題型三單變量不等式的證明二題型六三角函數(shù)型不等式證明)

哪如鈍鋅<8

一、不等式證明的常用思路

1、移項構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>0(或

f(x)-g(x)<o),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)%(x)=/(x)-g(x).

2、最值法：若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處/(X)mm〉g(X)max恒成立.從而於)〉g。)，但此處/(X)與g(x)

取到最值的條件不是同一個“X的值”.

3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論.

4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

5、雙變量不等式的處理策略：含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，具體轉(zhuǎn)化方

法主要有二種:整體代換，分離變量，選取主元.

二、不等式成立問題常用的轉(zhuǎn)化規(guī)則

1、單變量不等式成立問題：一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立

(1)VxeD,m<f(x)<4>m</(x)mjn

(2)VxeD,m>f(x)<=>m>f(x)max

(3)HxeZ),m<f(x)f(x)max

(4)HxeZ),m>f(x)<=>m>f(x)min

2、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,b],y=g^x),x&\c,d]

⑴若吃山川，總有/(x)<g(x2)成立,故/(尤)_<g?*；

(2)若％e[a,6],3x2e[c,d],有〃再)<g(9)成立，故/(尤)—<g(%)11rax；

(3)若叫e[a,6],3x2&[c,d],有>(占)<g(%)成立,故血“<

(4)若“?凡可，3x2E[c,d],有〃占)=8伉)，則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

三、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法

1、直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)〉g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(X)-g(x)〉O(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)力(x)=/(x)-g(x)；

2、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

3、構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

四、證明與數(shù)列有關(guān)的不等式

1、證明此類問題時長根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)〃的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量。通過

多次求和達(dá)到證明的目的.此類問題一般至少兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得來.

2、已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)，而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不

等式)，還有注意指、對數(shù)式的互化，如/〉x+l可化為ln(x+l)<x.

小題翌椽￡

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題型一不等式恒成立求參數(shù)問題

【例1】(23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?月考)已知函數(shù)〃x)=e2"-31nx,若-2辦恒成立,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為()

3333

A.(0,—)B.(―?+°°)C.(0,—)D.(一,十。)

2e2eee

24x

【變式1-1](23-24高二下?福建漳州?期中)當(dāng)%>0時,%-e2lux>QX+1恒成立，則實(shí)數(shù)。最大值為

()

4c.4

A.B.4D.8

ee

【變式1-2](23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中)若對任意的正實(shí)數(shù)多，(私+co),當(dāng)國<》2時,

砧竺二^>2恒成立，則加的取值范圍()

玉-x2

A.[e3,+oojB.[e2,+oo)C.[e,+oo)D.[e，e]

【變式1-3]（23-24高二下?湖北?月考）已知函數(shù)〃x）=x-l-alnx（a<0）,對任意外,x2e（O,l],且X產(chǎn)無?，

都有‘（西）一/02）</_成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是（）

X]-x2xxx2

A.（-3,0）B.[-3,0）C.（-oo,-3）D.（-oo,-3]

題型二不等式能成立求參數(shù)問題

【例2】（23-24高二下?廣東廣州?月考）已知函數(shù)〃x）=xlnx,若存在xe（0,也），使得〃司”+7-3

成立，則實(shí)數(shù)用的最小值是（）

A.-2B.-1C.yD.4

【變式2-1]（23-24高二下?江蘇蘇州?月考）若存在xe±e,使得不等式2xlnx+/一加x+3N0成立，則

e_

實(shí)數(shù)m的最大值為（）

13

A.-+3e-2B.e+-+2C.4D.e2-1

ee

【變式2-2]（24-25高二上?湖南長沙?月考）函數(shù)〃x）=（3/-6x+a+3）*若存在x°eR,使得對任意

xwR,都有/（x"/（x。），則。的取值范圍是（）

A.a>0B.a<0C.a>3D.a<3

【變式2-3]（23-24高二上?江蘇南通?月考）函數(shù)/（x）=xlnx,g（x）^x2-2x+a,若對任意的王?|,1

總存在馬式1,2],使得/（xJZg（X2）成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（）

A.IB.\-oo,2--C.2——,+oo\D.I-<^,1--

題型三單變量不等式的證明

【例3】(23-24高二下?陜西西安?月考)已知函數(shù)〃x)=e-ax(。為常數(shù))的圖象與了軸交于點(diǎn)/,曲線

_y=/(x)在點(diǎn)/處的切線斜率為-1.

(1)求。的值并求該切線方程；

(2)當(dāng)x>0時,證明：x2<ex.

X213

【變式3-1](23-24高二下?湖南?月考)已知函數(shù)/(x)=lnx--+—(tzeR^^O).

a6

⑴討論函數(shù)了=/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)。=1時，證明：對任意的x>0,f(x)<ex-x2.

【變式3-2](23-24高二下?廣東佛山?月考)已知函數(shù)/(x)=xlnx+辦+l(aeR).

⑴若/(x)20恒成立，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)x>l時，證明：e%Inx>e(x-1).

x—11

【變式3-3](23-24高二下?河南?月考)已知函數(shù)/四=竺一-liu--.

xx

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，證明：/(x)+hix-i-----x>QX1(1—lux).

題型四雙變量不等式的證明

【例4】(23-24高二下?廣東東莞?月考)己知函數(shù)/(x)=2e'+ax.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若方程/(》)=加有兩個不相等的根花,尤2，且。<X]<七J(x)的導(dǎo)函數(shù)為/,證明：(、品j<

【變式4-1](23-24高二下?黑龍江哈爾濱?月考)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+a(x-l)(x-2),其中。為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)°=1時，證明：/(x)<x2；

5Q

(2)當(dāng)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)看時，證明：/(x1)+/(x2)>-+ln—.

【變式4-2](23-24高二下?浙江湖州?月考)已知〃x)=e2，+4e-ax-5.

⑴當(dāng)。=3時，求“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(X)有兩個極值點(diǎn)X],x2,證明：/(x1)+/(x2)+x1+x2<0.

【變式4-3](23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰?月考)已知函數(shù)/(x)=alnx-x(aeR).

(1)若函數(shù)y=/(久)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

XX.X,C

⑵右°<%<巧，且島}=記=。，證明：豆產(chǎn)一士.

題型五數(shù)列求和型不等式證明

【例5】(23-24高二下?湖北?月考)已知函數(shù)〃x)=xlnx-x+l,其導(dǎo)函數(shù)為/'(x).

⑴求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

⑵若直線〉=如+6是曲線了=/'(x)+ex的切線，求6的最小值；

、…lIn21n3Inw11(…

(3)證明：—+—+-??+—―->------(neN,n>2).

38n2w+lv7

【變式5-1](23-24高二下?黑龍江哈爾濱?月考)已知函數(shù)/(x)=xlnx-x+l,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

⑴求函數(shù)f(x)的最小值;

⑵若直線〉=如+6是曲線了=/'(x)+ex的切線，求6的最小值;

,、、十eIn21n3Inn11/*、

(3)證明：+~-----------------7(〃wN,〃22)

38n-I2n+1

【變式5-2](22-23高二下?廣西南寧?月考)設(shè)函數(shù)=/++

(1)證明：當(dāng)xNO時，/+111(元+1)2》2恒成立；

(2)證明：當(dāng)〃eN*且“22時，ln(n+l)>-+—+...+^1.

v7827n3

【變式5-3](23-24高二下?山東荷澤?期末)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-"(xNO).

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=\,x>0時，證明：2/(x)<—I----------2；

XX+1

⑶證明：ln(〃+l)<ld----F—H-----F—-------——

23n2(n+1)'r

題型六三角函數(shù)型不等式證明

【例6】(2024?全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=ox-羽聯(lián)，xefo,^.