試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與相似三角形問題）歸納練2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為和(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接AD，求線段AD的長；(3)點(diǎn)M是拋物線上位于第一象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交BC于點(diǎn)N，連接BM，當(dāng)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的值．2．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=OD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，對稱軸交x軸于點(diǎn)M，連接BE，AB，請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上找一點(diǎn)Q，使，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，過點(diǎn)C作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（-9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)、，直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且位于對稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，，，過點(diǎn)作軸，分別交線段、于點(diǎn)、.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).6．已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)連接，若的中點(diǎn)為點(diǎn)，請你求經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線表達(dá)式；(3)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點(diǎn)，使與相似，若存在，求出所有點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)若（2）中點(diǎn)Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，過其頂點(diǎn)C作直線CP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC．（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；（3）點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請說明理由.9．如圖，直線AB的解析式為，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．求拋物線的解析式；如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；過點(diǎn)A作直線軸，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線AB上，同時(shí)恰好落在坐標(biāo)軸上，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．如圖，直線與軸、軸相交于、兩點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)、，且與軸另一個(gè)交點(diǎn)為，以、為邊作矩形，交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交拋物線（上方部分）于點(diǎn)，請用含的代數(shù)式表示的長；（3）在（2）的條件下，連接，若和相似，求的值．11．已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)連接，若的中點(diǎn)為點(diǎn)，請你求經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線表達(dá)式；(3)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點(diǎn)，使與相似，若存在，求出所有點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx（a≠0）與x軸交于另一點(diǎn)A（，0），在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點(diǎn)B（2，t）．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C，滿足以B，O，C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M在這條拋物線上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B，C，M為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．14．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．15．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動(dòng)．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與相似三角形問題）歸納練2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考》參考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）把A（-1，0），C（0，2）代入，求出a，c的值即可；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，證明Rt△CDE≌Rt△BOC可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出AD即可；（3）過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)得AN=4MN，即AN:AM=4:5，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，），N（n，），證明，得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，2）∴解得，∴拋物線的解析式為：（2）對于，當(dāng)y=0時(shí)，則解得，∴BO=4，B（4，0）∵C（0，2）∴OC=2過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖，∴∵∴∵∴又CD=CB∴△CDE≌△BOC∴CE=BO=4，DE=CO=2∵CE=CO+OE∴OE=2∴D(-2,-2)又A(-1,0)∴（3）設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直線BC的解析式為設(shè)M（m，），N（n，），過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖，則有：AG=1+n，AF=1+m∵∴AN=4MN，即AN:AM=4:5，由MF⊥x軸，NG⊥x軸得NG//MF∴∴∴①②由①得，③把③代入②得，整理得，解得：∵∴∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．2．（1）拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值為；（3）存在點(diǎn)P（1，6）．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)對稱性，可得MC=MD，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線，根據(jù)勾股定理，可得答案；（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．【詳解】解：（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，∴對l上任意一點(diǎn)有MD=MC，聯(lián)立方程組，解得（不符合題意，舍），，∴B（﹣4，1），當(dāng)點(diǎn)B，C，M共線時(shí)，|MB﹣MD|取最大值，即為BC的長，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=，|MB﹣MD|取最大值為；（3）存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，∴∠BCE=45°，在Rt△ACO中，∵AO=CO=3，∴∠ACO=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G點(diǎn)，∠PGA=90°，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+x+3）（x＞0）①當(dāng)∠PAQ=∠BAC時(shí)，△PAQ∽△CAB，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴，即，∴，解得x1=1，x2=0（舍去），∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為×12+×1+3=6，∴P（1，6），②當(dāng)∠PAQ=∠ABC時(shí)，△PAQ∽△CBA，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，∴△PGA∽△ACB，∴，即=3，∴，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P，綜上所述，存在點(diǎn)P（1，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（2）的關(guān)鍵是利用兩邊只差小于第三邊得出M，B，C共線；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，要分類討論，以防遺漏．3．(1)；(2)Q的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；(3)N的坐標(biāo)為（，2）或（，2）或（，﹣2）或（，﹣2）或（1，4）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）首先證明BE⊥AB，分兩種情形求解①作BQ⊥EM交EM于Q，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，滿足條件，此時(shí)Q（1，1）．②當(dāng)點(diǎn)Q在AB的下方時(shí)，設(shè)Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1，），由△Q′BK∽△Q′EB，可得Q′B2=Q′K?Q′E，列出方程即可解決問題；（3）由題意可知當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±2時(shí)，以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)N與E重合，G與M重合時(shí)，四邊形BNFG是平行四邊形，由此即可解決問題；【詳解】（1）解：把A（3，0），D（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1中，∵y=﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∵A（3，0），B（0，1），∴直線BE的解析式為y=3x+1，直線AB的解析式為y=﹣x+1，∵﹣，∴BE⊥AB，作BQ⊥EM交EM于Q，∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，∴∠ABQ=∠BEM，滿足條件，此時(shí)Q（1，1）；當(dāng)點(diǎn)Q在AB的下方時(shí)，設(shè)Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1，）．∵∠QBK=∠BEM，∠BQ′K=∠BQ′E，∴△Q′BK∽△Q′EB，∴Q′B2=Q′K?Q′E，∴12+（m﹣1）2=（﹣m）?（4﹣m），解得m=，∴Q（1，）；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；（3）如圖2中，由題意可知當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±2時(shí)，以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，①當(dāng)y=2時(shí)，﹣x2+2x+3=2，解得x=，可得N1（，2），N4（，2）；②當(dāng)y=﹣2時(shí)，﹣x2+2x+3=﹣2，解得x=，可得N2（，﹣2），N3（，﹣2），③當(dāng)N與E重合，G與M重合時(shí)，四邊形BNFG是平行四邊形，此時(shí)N5（1，4）；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，2）或（，2）或（，﹣2）或（，﹣2）或（1，4）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定等，正確添加輔助線、分類討論是解題的關(guān)鍵.4．(1)拋物線的解析式為y=x2+2x+1，(2)四邊形AECP的面積的最大值是，點(diǎn)P（，﹣）；(3)Q（-4,1）或（3，1）.【分析】(1)把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求b，c；(2)設(shè)P(m，m2?2m＋1)，根據(jù)S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四邊形AECP用含m式子表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；(3)設(shè)Q(t，1)，分別求出點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判斷出∠BAC＝∠PCA＝45°，則要分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求t.【詳解】解：(1)將A(0，1)，B(-9，10)代入函數(shù)解析式得：×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，所以拋物線的解析式y(tǒng)＝x2+2x＋1；(2)∵AC∥x軸，A(0，1)，∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-6，1)，∵點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(-9，10)，∴直線AB的解析式為y＝-x＋1，設(shè)P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，∴PE＝-m＋1?(m2+2m＋1)＝?m2-3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC?EF＋AC?PF＝AC?(EF＋PF)＝AC?EP＝×6(?m2-3m)＝?m2-9m.∵-6<m<0，∴當(dāng)m＝時(shí)，四邊形AECP的面積最大值是，此時(shí)P()；(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2?2，P(-3，?2)，PF＝y(tǒng)F?yp＝3，CF＝xF?xC＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直線AC上存在滿足條件的點(diǎn)Q，設(shè)Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，∵以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4，1)或(3，1).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的坐標(biāo)減較小的坐標(biāo)；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)的出關(guān)于CQ的比例，要分類討論，以防遺漏．5．（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)、，可知頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：，代入直線即可求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解.（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，.根據(jù)平行線的性質(zhì)有，等量代換得到，根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明.（3）證明，得到.設(shè)，作于，則，，，，，，又，則，即可求出的值，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)、，B的橫坐標(biāo)為：，直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，把點(diǎn)A,B，C的坐標(biāo)代入，由題意得：解得：拋物線的表達(dá)式為：（2），，∴.∵，∴，∴.（3），∴.∵，∴，∴.設(shè)，作于，則，，，，，，，∴，，解得.∴.【點(diǎn)睛】屬于二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)等，綜合性比較強(qiáng)，難度中等.6．(1)；(2)(3)存在，或或或或或【分析】（1）直接根據(jù)解析式即可求出B，C的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，再利用待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，可得，，設(shè)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解出方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，令，得，∴，令，得，解得：，，∴；（2）解∶由（1）得，∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即，設(shè)直線的表達(dá)式為，由，得：，解得，∴直線的表達(dá)式為；（3）解：存在點(diǎn)，∵，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，∴，，∵，∴，根據(jù)題意得：，設(shè)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，解得：，，∴或．∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即：，解得：，，，∴或或或．∴存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或或或【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)y＝﹣x2+2x+3(2)存在，（1，5）或（1，﹣5）(3)（3，0）或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱性以及菱形的對稱性求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論找到位似中心，分類討論，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，∴，解得．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）根據(jù)題意為對稱軸上的點(diǎn)，為的垂直平分線上的點(diǎn)，B（3，0）則當(dāng)時(shí)，y＝﹣2+3+3=；設(shè)直線PB的解析式為y＝mx+n，則有，解得．∴直線PB的解析式為y＝x+．∵拋物線的對稱軸為x＝﹣＝1，∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5）根據(jù)對稱性點(diǎn)Q坐標(biāo)還可以為（1，﹣5）．（3）①如圖，由（2）可得△QAB△POB，△QAB與△POB位似，則，又交于點(diǎn),則位似中心為點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．②如圖，若當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣5）時(shí),設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則位似中心為，由（2）可得△QAB△POB，則，又，，解得則當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣5）時(shí)，位似中心坐標(biāo)為（，0）；綜上所述，位似中心坐標(biāo)為（3，0）或（，0）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定，翻折的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，位似圖形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值為.（3）當(dāng)a=時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓.【詳解】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸相交，則y=0，得出A（a，0），B（3，0），與y軸相交，則x=0，得出D（0，3a）.（2）根據(jù)（1）中A、B、D的坐標(biāo)，得出拋物線對稱軸x=，AO=a，OD=3a，代入求得頂點(diǎn)C（，-），從而得PB=3-=，PC=；再分情況討論：①當(dāng)△AOD∽△BPC時(shí)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得，解得：a=3（舍去）；②△AOD∽△CPB，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得，解得：a1=3（舍），a2=；（3）能；連接BD，取BD中點(diǎn)M，根據(jù)已知得D、B、O在以BD為直徑，M（，a）為圓心的圓上，若點(diǎn)C也在此圓上，則MC=MB，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得一個(gè)關(guān)于a的方程，解之即可得出答案.【詳解】（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），∴A（a，0），B（3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，∴D（0，3a）；（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴對稱軸x=，AO=a，OD=3a，當(dāng)x=時(shí)，y=-，∴C（，-），∴PB=3-=，PC=，①當(dāng)△AOD∽△BPC時(shí)，∴，即，解得：a=3（舍去）；②△AOD∽△CPB，∴，即，解得：a1=3（舍），a2=.綜上所述：a的值為；（3）能；連接BD，取BD中點(diǎn)M，∵D、B、O三點(diǎn)共圓，且BD為直徑，圓心為M（，a），若點(diǎn)C也在此圓上，∴MC=MB，∴

，化簡得：a4-14a2+45=0，∴（a2-5）（a2-9）=0，∴a2=5或a2=9，∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），∵0<a<3，∴a=，∴當(dāng)a=時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確進(jìn)行分析，熟練應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.9．（1）拋物線解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值為8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為或；【分析】（1）先利用直線進(jìn)行確定則A（0，4），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）連接OP，設(shè)P（m，-m2+m+4），解方程?x+4=0得B（3，0），根據(jù)三角形面積公式，利用面積的和差得到S△ABP=S△AOP+S△POB-S△AOB=?4?m+?3?（-m2+m+4）-?3?4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，討論：當(dāng)點(diǎn)P′落在x軸上，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′H′=PH=4-（-m2+m+4）=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再證明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′=m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+m2-m=5，解方程求出m即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P′落在y軸上，如圖3，同理可得P′H′=PH=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通過證明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2-m）：3=m：4，然后解關(guān)于m的方程即可得到對應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，把，代入得，解得，拋物線解析式為；連接OP，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得，則，，，當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值為8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；在中，，當(dāng)點(diǎn)落在x軸上，如圖2，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線AB上，同時(shí)恰好落在x軸上，，，，∽，：：OB，即：：3，，，，解得，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)落在y軸上，如圖3，同理可得，，，，∽，：：AO，即：：4，整理得，解得，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會利用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．10．（1），的坐標(biāo)為；（2）；（3）的值為或1．【分析】（1）先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后令即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可得；（3）先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)分別求出AE、ME、CF、PF的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）對于直線當(dāng)時(shí)，，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得則拋物線的解析式為令得，解得或∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)直線的解析式為把，代入得，解得∴直線的解析式為∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在上∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴即；（3）由題意得，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分以下兩種情況：①若，則即∵且∴；②若，則即∵且∴綜上，的值為或1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．11．(1)；(2)(3)存在，或或或或或【分析】（1）直接根據(jù)解析式即可求出B，C的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，再利用待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，可得，，設(shè)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解出方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，令，得，∴，令，得，解得：，，∴；（2）解∶由（1）得，∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即，設(shè)直線的表達(dá)式為，由，得：，解得，∴直線的表達(dá)式為；（3）解：存在點(diǎn)，∵，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，∴，，∵，∴，根據(jù)題意得：，設(shè)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，解得：，，∴或．∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即：，解得：，，，∴或或或．∴存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或或或【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）（，）或（﹣，）．【分析】（1）由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式；（2）過C作CD∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)D，過B作BF⊥CD于點(diǎn)F，可設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用C點(diǎn)坐標(biāo)可表示出CD的長，從而可表示出△BOC的面積，由條件可得到關(guān)于C點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N，則可證得△ABO≌△NBO，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線BN的解析式，聯(lián)立直線BM與拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，過M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，由B、C的坐標(biāo)可求得OB和OC的長，由相似三角形的性質(zhì)可求得的值，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，過P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，由條件可證得△MOG∽△POH，由的值，可求得PH和OH，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí)，同理可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）∵B（2，t）在直線y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）如圖1，過C作CD∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)D，過B作BF⊥CD于點(diǎn)F，∵點(diǎn)C是拋物線上第四象限的點(diǎn)，∴可設(shè)C（t，2t2﹣3t），則E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面積為2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N，如圖2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中，∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=，∴N（0，），∴可設(shè)直線BN解析式為y=kx+，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=2k+，解得k=，∴直線BN的解析式為，聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得：，解得：或，∴M（，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=，OC=，∵△POC∽△MOB，∴，∠POC=∠BOM，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖3，過M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，過P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖3∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴∵M(jìn)（，），∴MG=，OG=，∴PH=MG=，OH=OG=，∴P（，）；當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖4，過M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，過P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，同理可求得PH=MG=，OH=OG=，∴P（﹣，）；綜上可知：存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（，）或（﹣，）．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用C點(diǎn)坐標(biāo)表示出△BOC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)P的位置，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．13．（1）；；（2）或；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，或．【分析】（1）將代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法解得拋物線的一般式解析式，再利用配方法，化為頂點(diǎn)式解析