專題13隱圓問題3種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點為圓心,

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

壓軸題預測

類型1：定點定長

1.（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,O/=O3=OC,請利用圓規(guī)畫出過/、B.C三點的圓.若乙4。2=70。，則乙4c8=.

如圖，RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點尸為/C邊的中點，將NC沿A4方向平移2個單位長度，點/、P、C的對應點分

別為點E、F,求四邊形ADPC的面積和N8EN的大小.

（3）如圖3,將/C邊沿2c方向平移。個單位至。尸，是否存在這樣的°,使得直線。尸上有一點。，滿

足N8Q/=45。且此時四邊形A4D廠的面積最大？若存在，求出四邊形B/D廠面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

2.（2024?蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，''希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在ZU8C中，AB=AC,ZBAC=90°,點。為平面內一點（點/,B,。三點不共線），4E為

NABD的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學發(fā)現(xiàn)：延長/E至點使得ME=4E,連接。始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

?DM=AC；②N〃D4+N。48=180。；

【類比探究】（2）如圖2,將/。繞點N順時針旋轉90。得到/尸，連接中.小斌同學沿著小林同學的思考

進一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=-CF,請你幫他證明；

2

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點/為圓心，4D為半

徑的圓上運動（4D>/2）,直線ZE與直線C尸相交于點G,連接8G,在點。的運動過程中3G存在最大

值.若N3=4,請直接寫出BG的最大值.

圖1圖2圖3

3

3.（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線夕=辦2+云-5僅>0）與x軸交于點4,3兩點，OA<OB,48=4.其

頂點。的橫坐標為-1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，DEL4c垂足為E,//y軸交直線/C于點尸，當ADE尸面

積等于4時，求點Z）的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，M點從點3運動到達點C,FMLFN交直線BD于點、N,

延長"F與線段DE的延長線交于點〃，點尸為N,F,〃三點構成的三角形的外心，求點尸經(jīng)過的路線

長.

4.（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在A4BC中，AB=AC,ZBAC=S0°,。是AA8C外一點，KAD=AC,求/8DC的度數(shù).若

以點/為圓心，48為半徑作輔助圓O/,則點C、。必在ON上，/A4c是。/的圓心角，而/ADC是圓

周角，從而可容易得到Z8OC=.

（2）問題解決：

如圖，在四邊形/BCD中，ABAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NA4C的度數(shù).

（3）問題拓展：

拋物線y=-L（x-l）2+3與y軸交于點/,頂點為8,對稱軸3c與x軸交于點C,點尸在拋物線上，直線

4'

PQ//2C交x軸于點。，連接8Q.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在3。上，另一頂點￡在

PQ上，求。的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在8。上，另一個頂點E在上，點。與點

8,點0不重合，求點P的坐標.

類型2：定弦定角

1.(2022?雁塔區(qū)校級三模)問題提出

(1)如圖①，已知ZU8C為邊長為2的等邊三角形，則A48C的面積為；

問題探究

(2)如圖②，在A48c中，已知N8/C=120。，5C=673,求A43C的最大面積;

問題解決

(3)如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形/BC。，其寬/2=20米，長3C=24米，為了能夠監(jiān)控到

禮堂內部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點“出發(fā)的觀測角乙4"3=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面8區(qū)域上是否存在點“滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

2.（2023?浦橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AA8C為等腰三角形，ZC=120°,AC=BC=8,D

是上一點，且CD平分A4BC的面積，則線段的長度為

圖③

問題探究：（2）如圖②，AA8C中，ZC=120°,48=10,試分析和判斷A48c的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規(guī)劃一個四邊形花圃/BCD,滿足8c=600米，8=300米，ZC=60°,=60。，主辦方打算過2C

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道"E（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形48C。邊上一

點，通道ME把四邊形N8C。分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點/距出口的距離/E的長；若不存在,

請說明理由.

3.(2023?柯城區(qū)校級一模)如圖，點/與點8的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是該直角坐標系內的一個

動點.

(1)使NAPB=30°的點P有個；

(2)若點尸在y軸上，且乙4尸2=30。，求滿足條件的點尸的坐標；

(3)當點尸在y軸上移動時，N/P2是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時NAP3最大的理由;

若沒有，也請說“明理由.

5-

4-

3-

2-

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知AA8C內接于OO,點P在。。上（不與點N,B,。重合），過點P分別作

AB,BC,4C的垂線，垂足分別為點。，E,F.求證：點D,E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接尸B,PC,DE,EF,取PC的中點°,連接QE.QF,

貝l|E0=尸。=；PC=PQ=CQ,（依據(jù)1）

；點、E,F,P,C四點共圓，

ZFCP+ZFEP=180°.（依據(jù)2）

又：ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP.

同上可得點3，D,P,E四點共圓，

任務：

（1）填空：

①依據(jù)1指的是中點的定義及—；

②依據(jù)2指的是—.

（2）請將證明過程補充完整.

（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當點尸是數(shù)的中點時，BD=CF,請你利用圖（2）證明該結論的正確性.

。上。

P三P

圖⑴圖⑵

2.（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在A48c中，AB=AC,ABAC=90°,。是AA8C外一點，KAD=AC,求N3OC的度數(shù).若

以點/為圓心，48為半徑作輔助。力,則點C、。必在上，N8/C是的圓心角，而N3DC是圓周

角，從而可容易得到ZBOC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求Z8/C的度數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,b是正方形/2C。的邊ND