第二章方程（組）與不等式（組）

第08講：一元一次不等式（組）的解法及其應(yīng)用（3~6分）

題型01列一元一次不等式

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

題型02用一元一次不等式解決實際問題

02知識導(dǎo)圖?思維引航題型03用一元一次不等式解決幾何問題

03考點突破?考法探究命題點四一元一次不等式組

考點一不等式及不等式的基本性質(zhì)題型01解不等式組

考點二一元一次不等式

題型02求不等式組整數(shù)解

考點三一元一次不等式組

考點四不等式（組）的實際應(yīng)用題型03由一元一次不等式組的解集求參數(shù)

題型04由不等式組的解集求參數(shù)

04題型精研?考向洞悉

命題點五不等式組的實際應(yīng)用

命題點一不等式及其性質(zhì)

題型01利用一元一次不等式組

題型01不等式的概念及意義

題型02不等式組的經(jīng)濟(jì)問題

題型02不等式的性質(zhì)

題型03不等式組的方案問題

命題點二一元一次不等式

題型01求一元一次不等式解集05分層訓(xùn)練鞏固提升

題型02一元一次不等式整數(shù)解問題基礎(chǔ)鞏固

題型03利用數(shù)軸表示一元一次不等式解

能力提升

題型04含絕對值的一元一次不等式

命題點三一元一次不等式的應(yīng)用

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求新課標(biāo)要求考直頻次命題預(yù)測

中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式

不等式及不等>結(jié)合具體問題，了解不等式的

10年8考（組）的解法及應(yīng)用題時有考

式的基本性質(zhì)意義，探索不等式的基本性質(zhì)

察.其中不等式性質(zhì)、解一元

一次不等式（組），通常是以選

一元一次不等

>能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難

式近10年連續(xù)考直

式，并能在數(shù)軸上表示出解集度不大.而不等式（組）相關(guān)的

應(yīng)用題常會和其它考點（如二

元一次方程組、二次函數(shù)等）

一元一次不等>會用數(shù)軸確定兩個一元一次不結(jié)合考察，常以解答題形式出

10年7考

式組等式組成的不等式組的解集.現(xiàn)，此時難度上升，需要小心

應(yīng)對.對于一元一次不等式

（組）中含參數(shù)問題，難度偏

>能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)

不等式（組）大，但是考察幾率并不大，為

系，列出一元一次不等式，解10年8考

的實際應(yīng)用避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過程

決簡單的問題.

中扎實掌握.

知識導(dǎo)圖?思維引航

___________________________________陋0］不等式的H瑜及意義

命題點一不等式及其性質(zhì)卜（二題型02不等式的性質(zhì)

型01求毋一次不^3^1

命題點二一元一次不等式型03利滕t軸表示一元一次不喻解

雌04含絕對值的一元一次不嗝;

題型01列一兀一次不

題型02用一元一次不衡泌決金際問題

一元一次不等式（組）命題點三一元一次不等式的應(yīng)用

題型03用一元-次不竇解夬幾何問題

題型01解不臉陶

還02求不儂短徵解

命題點四一元一次不等式組題型03由一■元一次不等I陶的麻隼米參數(shù)

題型04由不漏t組的解隼求參數(shù)

迪01利用一元一次不喻5汨

型02不等式組的經(jīng)濟(jì)問題

命題點五不等式組的實際應(yīng)用

皿03不等式組的方室問題

考點突破?考法探究

考點一不等式及不等式的基本性質(zhì)

.夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

一、不等式的相關(guān)概念

不等式的定義：用不等號“>"、2"、“<”、W”或“尹'表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.

不等式?示>aX

散“衰示

解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

二、不等式的性質(zhì)

基本性質(zhì)1若a>b,貝Ua±c>b±c

若a<b,貝Ia±c<b±c

基本性質(zhì)2若a>b,c>0,貝！Jac>bc(或2二上)

基本性質(zhì)3若a>b,c<0,則ac<bc(或！v』)

易易錯

1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.

2.常見的不等號有：W,>,》，〈，W五種.

3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.

4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系:

1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值.

2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值.

3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.

5.在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同時要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號.另外，對一些實際問題的分析還要注意結(jié)合實際.

6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項:

1)不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算.

2)不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子.

3)等式兩邊不能同時除以0,即0不能作除數(shù)或分母.

4)運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時,要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個

數(shù)時,必須先弄清楚這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號要改變方向.羊的不等

式叫一元一次不等式.

一元一次不等式的一般形式：ax+fc<0或ax+b>O（a*O）<

步驟具體做法依據(jù)注意事項

去分母在不等式兩邊都乘以各分母的不等式性1）不要漏乘不含分母的項；

最小公倍數(shù)質(zhì)2、32）當(dāng)分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分

母.

3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.

去括號先去小括號，再去中括號，最后分配律1）去括號時，括號前的數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；

去大括號去括號法2）括號前面是負(fù)數(shù)時，去掉括號后，括號內(nèi)各項都要變

則號；

3）括號前面是正數(shù)時，去掉括號后，括號內(nèi)各項都不變

號.

移項把含有未知數(shù)的項移到不等式不等式性1）移項時不要漏項；

左邊，其它項都移到不等式右邊質(zhì)12）將不等式中的項從一邊移到另一邊要變號.而在不

等式同一邊改變項的位置時不變號.

合并同把不等式變?yōu)椋║<力或合并同類1）不要漏項；

類項ox>b（a*0）的形式項法則2）系數(shù)的符號處理要得當(dāng).

系數(shù)化將不等式兩邊都除以未知數(shù)系不等式性1）不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)；

為1數(shù)a,得到不等式的解質(zhì)2、32）當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號的方向發(fā)生改變.

易易錯

1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最

高次數(shù)是1.

2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時，要根據(jù)不等號兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否

改變不等號的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論.

3.在解一元一次不等式時,上述的五個步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的順序,要根

據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.

考點三一元一次不等式組

—夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

一元一次不等式組的概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組.

一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.

不等式組解集的確定有兩種方法：

1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.

2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了.

解一元一次不等式組的一般步驟：

1）求出不等式組中各不等式的解集.

2）將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來.

3）在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.

易混易錯

1.在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數(shù)軸來表示不等式組的解集的.

2.利用數(shù)軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.

考點四不等式（組）的實際應(yīng)用

f夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

一元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語句：

1）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系，因此，建立不等

式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

2）對一些實際問題的分析還要注意結(jié)合實際.有些不等關(guān)系隱含于生活常識中，如小王用50元去買單價為6元的筆

記本.設(shè)買x本，求x的取值范圍時，其問題中就隱含著所花錢數(shù)不能超過50元.由此可得出不等式6x<50.

用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：

審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系；

設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程；

解：求解方程；

驗：考慮求出的解是否具有實際意義；

答：實際問題的答案.

題型精研?考向洞悉

命題點一不等式及其性質(zhì)

A題型01不等式的概念及意義

1、以下表達(dá)式：①4X+3V40；②a>3；③W+④/+萬⑤]#5.其中不等式有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【提示】根據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：。+氏a>3,x/5是不等式，1,+1\和。：+卜「'不是不等式，

即不等式有3個，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵.

2、（2020?河北.統(tǒng)考模擬預(yù)測）下面列出的不等式中，正確的是（）

A.“m不是負(fù)數(shù)”表示為Wi>0B."m不大于5”表示為wt<5

c.“h與4的差是正數(shù)”表示為n-4>0D."n不等于4"表示為n>4

【答案】C

【提示】根據(jù)題意列出不等式即可判斷.

【詳解】A、不是負(fù)數(shù)，

.".m>0,A選項錯誤；

B、:!!!不大于5,

.\m<5,B選項錯誤；

C、?；!!與4的差是正數(shù)，

.,.n-4>0,C選項正確；

D、：n不等于4,

；.n<4或n>4,D選項錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個選項的正誤是解題的關(guān)鍵.

3、（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（）

A.a>0B.ia|20c.D.aNO

【答案】D

【提示】非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和零，即大于等于零的數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可.

【詳解】是非負(fù)數(shù)，

a>0,

故選：D.

【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵，易錯點是忽略零而導(dǎo)致錯誤.

4、（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）在一0,-2」,一3四個數(shù)中，滿足不等式xv-2的有（）

A.-2B.-3C.D.1

【答案】B

【提示】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷.

【詳解】在一&.-2.L-3四個數(shù)中，I-V2>-2.-2=-2.1>-2.-3<-2,

故滿足不等式—2的有-3,

故選：B

【點睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵.

A題型02不等式的性質(zhì)

4、（2023?湖南長沙?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如果V<-3,那么下列不等式成立的

是（）

A.x;>-3xB.V22-3xc.x2<-3rD.v2<-3x

【答案】A

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解:因為

所以3l（不等式的兩邊同時乘同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變）.

故選：A.

【點睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個式子，不等號的

方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或

除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

5、（2023?湖南常德?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>b,則下列不等式變形不正確的是（）

A.a-2>b-2B.-2a>-2bc.a+2>b+2D.

【答案】B

【提示】①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式

的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，

不等號的方向改變.根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行提示即可.

【詳解】解：A、a>b,不等式的性質(zhì)1,0-2>b-2,故A正確，不符合題意；

B、a>b,不等式的性質(zhì)3,-2a<-2b,故B錯誤，符合題意；

C、不等式的性質(zhì)1,n+2，D+2,故c正確，不符合題意；

D、la>6,不等式的性質(zhì)2,故D正確，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方

向改變.

6、（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）已知ab.cd是實數(shù)，且a-b>c-d,下列說法一定正確的是（）

A.若b=d,貝I]a>cB.若a=c,貝!|b>d

c.若b>d,貝！|a>cD.若口〉c,貝Ub>d

【答案】A

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項提示判斷即可求解.

【詳解】解：A.若b=d,b-b>c-d,貝|Jac,故該選項正確，符合題意；

B.若a3a-b—貝U6<d,故該選項不正確，不符合題意；

C.若lb>d,則la>c不一定成立，例如b=2一c=L2>1：b=2.d=Lb>d,貝!Jla-b=c-d,故該選項

不正確，不符合題意；

D.同C選項，可得，若nc,則Ad不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.不等式的性質(zhì)：不等式的基

本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等

式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除

以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

7、（2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┰O(shè)X,\v,C為實數(shù)，則（）

A.若X>v,則x+3c>V-2cB.若X>>,貝I]XC>VC

C.若X>y,則XC2>VC2D.若則X>v

【答案】D

【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算辨別即可.

【詳解】解：若1V,i+5cT不一定成立，即i+3r"不一定成立，

故選項A不符合題意；

若卜r=0時，iic=vc,

故選項B不符合題意；

若.1v,C=0時，則U.Y通

故選項C不符合題意；

若7>則>0,故1Iv,

故選項D符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對應(yīng)的性質(zhì).

8、（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、3對應(yīng)的實數(shù)分

別是。、b,下列結(jié)論一定成立的是（）

-*-----1------------*---->

a0b

A.a+b<QB.b-a<0c.2a>2bD.a+2<b+2

【答案】D

【提示】依據(jù)點在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對每個選項進(jìn)行逐一判

斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得：a<0<b,且lal<bl,

/.h+b>0,;.A選項的結(jié)論不成立；

3-a:：>0,AB選項的結(jié)論不成立；

2a<：2A；.C選項的結(jié)論不成立；

n+2<b+2,，D選項的結(jié)論成立.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點在數(shù)軸上的位置確定出。，。的取值范圍

是解題的關(guān)鍵.

命題點二一元一次不等式

A題型01求一元一次不等式解集

尤+5

9.（2024?安徽?三模）解不等式：-—>x-l

2

【答案】x<7

【分析】本題考查的知識點是解一元一次不等式，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的相關(guān)運(yùn)算.

根據(jù)解一元一次不等式的相關(guān)運(yùn)算方法即可求解.

【詳解】解：手>尤T，

x+5>2x-2,

x<l.

10.（2024?浙江?模擬預(yù)測）1—受上.

54

37

【答案】x>—

23

【分析】此題考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化1的步驟解不等式即可.

【詳解】解：1-乎

54

去分母，得：20-4（2x-3）<5（3x-l）,

去括號，得：20-8^+12<15^-5,

移項，得：-8x-15x<-5-20-12,

合并同類項，得：-23%<-37,

系數(shù)化為1,得：x>3|7|.

H.（2024?北京?模擬預(yù)測）解下列不等式：當(dāng)i-二<1,并求出滿足不等式的非負(fù)整數(shù)解.

36

【答案】X<1,0.

【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的方法求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等

式的求解方法.

【詳解】解:2（2x+l）-（x-l）<6

4x+2—x+l<6

3x<3

x<\,

.??不等式的非負(fù)整數(shù)解為x=0.

12.（2024.陜西西安.模擬預(yù)測）解不等式當(dāng)二〉x-2,并將該不等式的解集在如圖所示的數(shù)軸上表示出來.

-4-3-2-10123

【答案】x>-2,數(shù)軸見解析

【分析】本題考查了解一元一次不等式和在數(shù)軸上表示不等式的解集，注意在數(shù)軸上表示解集時，大于等于或小于

等于用實心點，大于或小于用空心點.首先解不等式，求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可.

【詳解】解：去分母，得：5x-2>3x-6,

解得x>-2,

把解集在數(shù)軸上表示出來，如圖所示：

-4-3-2-10123

A題型02一元一次不等式整數(shù)解問題

13.（2024?四川自貢?模擬預(yù)測）不等式三-x>l的自然數(shù)解有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根據(jù)自然數(shù)的定義得出自然數(shù)解即可得

出結(jié)果.

【詳解】解：晝一》>1，

去分母得：x+5-2x>2,

移項合并同類項：-x>-3,

所以x<3,

不等式專一x>l的自然數(shù)解有0,1,2共3個，

故選：C.

14.（2024.山東濟(jì)南.模擬預(yù)測）已知不等式2x+a<x+4的正整數(shù)解有2個，則。的取值范圍是（）

A.l<a<2B.l<a<2C.l<a<2D.l<a<2

【答案】D

【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，按照解一元一次不等式的步驟，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：2x+a<x+4,

2x—x<4—a,

x<4—a,

???不等式的正整數(shù)解有2個，

**?2V4—aK3,

/.l<a<2,

故選：D.

15.（2024?浙江溫州?一模）已知關(guān)于x的不等式％-m20的負(fù)整數(shù)解只有T-2,則根的取值范圍是（）.

A.—3<機(jī)<—2B.—3<機(jī)4—2C.—3（機(jī)4—2D.—3?機(jī)<—2

【答案】B

【分析】先求得不等式的解集，再利用數(shù)軸求解即可.本題考查了不等式的解集，根據(jù)解集求參數(shù)，熟練掌握不等

式解集是解題的關(guān)鍵.

【詳解】Vx-m>0,

x>m,

..?不等式x-機(jī)20的負(fù)整數(shù)解只有-1,-2,

符合題意的機(jī)取值范圍如圖所示，

-6-4—*----1------1-----?-?

節(jié)立-1011

故選B.

16.（2023?福建漳州?一模）關(guān)于龍的不等式x-620恰有兩個負(fù)整數(shù)解，則6的取值范圍是（）

A.-3<b<-2B.-3<b<-2C.-3<b<-2D.-3<b<-2

【答案】B

【分析】首先解不等式，然后根據(jù)條件即可確定匕的值.

【詳解】解：-：x-b>0,

\x?b,

?.?不等式恰有兩個負(fù)整數(shù)解，

\-3<b?2.

故選：B.

【點睛】本題考查不等式的整數(shù)解問題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸分析，其次解題時必須理解題意，屬于基礎(chǔ)題，中

考?？碱}型.

A題型03利用數(shù)軸表示一元一次不等式解

17（2024.湖南.模擬預(yù)測）不等式3x+l>4的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A―1——*-i——1―>B-1----1——i——1—>

--1012--1012

1

C-1---1------------>D-1----1-----1---?

-1012-1012

【答案】A

【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式

兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變.依次移項、合并同類項即可得出答案，也考查了在數(shù)軸上表示不

等式的解集.

【詳解】解：???3尤+1>4,

3x>3,

??x>1,

在數(shù)軸上表示為：

故選：A.

18.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知實數(shù)。，6滿足卜+4|+^/^工=。+4,則a+/的取值范圍可在數(shù)軸表示為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)和在數(shù)軸上表示不等式的解集.得出

加=i=0是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意得出Jb—2=0且。+420,求解即可；

【詳解】解：：實數(shù)。，6滿足|a+4|+V^=a+4,y/b^2>0,

二Jb-2=0且。+420,

b=2,a>-^,

??Q+Z?=Q+2之-2,

在數(shù)軸表示為&_*]6i3",

故選：A.

19.（2024.廣東惠州.模擬預(yù)測）一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則這個不等式組

的解集是（）

'll1）iI,5-

A.x>-lB.x<\

C.x<—1或xNlD.-1<X<1

【答案】D

【分析】本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

根據(jù)題目中的數(shù)軸，可以寫出該不等式組的解集.

【詳解】解：由圖可得，

該不等式組的解集為

故選：D.

20.（2024.遼寧?模擬預(yù)測）若點尸（x-4,2x+6）在平面直角坐標(biāo)系的第三象限內(nèi)，則x的取值范圍在數(shù)軸上可表示

【答案】C

x-4<0①

【分析】本題考查點的坐標(biāo)特征、解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示解集，根據(jù)點尸在第三象限可得

2x+6<0②

再解不等式組，并在數(shù)軸上表示即可.

【詳解】解：：點尸5-4,2x+6）在平面直角坐標(biāo)系的第三象限內(nèi),

.]尤-4<0①

"[2x+6<0@，

解①得：x<4；

解②得：x<-3,

的取值范圍在數(shù)軸上可表示如圖：

—^―?

-304

故選：c.

A題型04含絕對值的一元一次不等式

21.(2020?四川自貢.中考真題)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決

數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式,-2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為

k+1|=k-所以卜+1|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與-1所對應(yīng)的點之間的距離.

(1).發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式|x+[+|x-2|的最小值是多少？

(2).探究問題：如圖，點A民尸分別表示的是T,2,x,AB=3.

APB

1IILI.I_1II>

-4-3-2-1Ox]234

|x+l|+歸-2|的幾何意義是線段zu與網(wǎng)的長度之和

當(dāng)點P在線段A3上時，24+尸3=3;當(dāng)點點尸在點A的左側(cè)或點8的右側(cè)時PA+PB>3

.?.|x+l|+|x—2]的最小值是3.

⑶.解決問題：

①/x-4|+|x+2]的最小值是_；

②.利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x-l|>4

]_______I______________I_______I____________I____________I_________I___________I___________[>

-4-3-2-101234

③.當(dāng)。為何值時，代數(shù)式|x+a|+|x-3|的最小值是2.

【答案】①6；②x<-3或x>l；③。=-1或。=-5

【分析】(3)①根據(jù)絕對值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點到-2的距離和到4的距離之和的最小值；

②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；

③根據(jù)原式的最小值為2,得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點即可.

【詳解】解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4,B表示的數(shù)為-2,P表示的數(shù)為x,

|x-4|表示數(shù)軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，

I尤+2|=|x-(-2)|表示數(shù)軸上的點P至八2的距離，用線段PB表示，

.?.|x-4|+|x+2|的幾何意義表示為PA+PB,當(dāng)P在線段AB上時取得最小值為AB,

且線段AB的長度為6,

工4|+|%+2|的最小值為6.

故答案為：6.

②設(shè)A表示-3,B表示1,P表示x,

線段AB的長度為4,貝

|尤+3|+|x-l|的幾何意義表示為PA+PB,

不等式的幾何意義是PA+PB>AB,

；.P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，

即不等式的解集為x<-3或x>l.

故答案為：x<-3或x>l.

③設(shè)A表示-a,B表示3,P表示x,

則線段AB的長度為卜“-3|,

|x+a|+|x-3|的幾何意義表示為PA+PB,當(dāng)P在線段AB上時PA+PB取得最小值，

|—<7-3|=2

tz+3-2a+3=—29

即Q=-1或〃=-5;

故答案為：〃=—1或a=—5.

【點睛】此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對值，以及數(shù)學(xué)常識，掌握絕對值的幾何意義，學(xué)會分類討論是

解決本題的關(guān)鍵.

22.(23-24安徽滁州)數(shù)學(xué)探究小組在學(xué)習(xí)了不等式知識后開展對絕對值不等式的解集的探究,首先對W<2和慟>2

進(jìn)行探究：

根據(jù)絕對值的意義，將不等式國<2的解集表示在數(shù)軸上(如圖1),可得忖<2的解集是：-2<x<2；將不等式W>2

的解集表示在數(shù)軸上(如圖2),可得同>2的解集是：x<-2或x>2.

4321。Ii34-4321。I234-

圖1圉2

根據(jù)以上探究，解答下列問題：

⑴填空：不等式上|<。(a>0)的解集為,不等式慟>。(a>0)的解集為；

⑵解不等式>4；

⑶求不等式卜-1|+,+2|<5的解集.

［答案］⑴-〃<%<〃，x<-a^x>a

(2)x<-3或%>5

(3)-3<x<2

【分析】此題是一個閱讀題目，首先通過閱讀把握題目中解題規(guī)律和方法，然后利用這些方法解決所給出的題目，

所以解題關(guān)鍵是正確理解閱讀材料的解題方法，才能比較好的解決問題.此題是一個絕對值的問題，有點難以理解,

要反復(fù)閱讀，充分理解題意.

(1)由于國<2的解集是一2cx<2,國>2的解集是x<-2或x>2,根據(jù)它們即可確定1尤l<a(a>0)和|x|>a(a>0)

的解集；

(2)把尤-1當(dāng)做一個整體，首先利用(1)的結(jié)論可以求出x-l的取值范圍，然后就可以求出x的取值范圍；

(3)先在數(shù)軸上找出lx-l|+|x+2|=5的解，即可得出不等式|x-l|+|x+2|<5的解集.

【詳解】⑴根據(jù)題干規(guī)律可得，不等式上|<。(。>0)的解集為-a<x<a；

不等式|無|>。(<7>0)的解集為或x>a；

(2)由(1)得：由于區(qū)一[>4,

所以％-1<7?或％-1>4,

所以x<-3或x>5,

所以|x-l]>4的解集為％<一3或x>5；

(3)由絕對值的意義得方程|x-l|+|x+2|=5的解就是求在數(shù)軸上到1和-2對應(yīng)點的距離之和等于5的點對應(yīng)的x

的值，

因為數(shù)軸上1和-2對應(yīng)點的距離為3,

所以滿足方程|彳-1|+卜+2|=5的x對應(yīng)的點在1的右邊或-2的左邊.

若x對應(yīng)的點在1的右邊，可得尤=2；

若x對應(yīng)的點在-2的左邊，可得x=-3；

所以方程|x—l|+|尤+2|=5的解為x=2或x=—3,

所以不等式|x-1|+|1+2|<5的解集為-3<x<2.

23.(22-23福建廈門)閱讀理解：

例1.解方程兇=2,因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程岡=2的解為*=±2.

例2.解不等式忖-1|>2,在數(shù)軸上找出1=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)

的數(shù)為一1或3,所以方程歸―1|=2的解為％=-1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集為x<—l或x>3.

-2-10I234

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴方程心2卜3的解為

⑵解不等式：|x-2|<l.

⑶解不等式：卜―4|+|X+2]>8.

【答案】⑴x=-l或x=5

(2)l<x<3

⑶x>5或x<-3

【分析】(1)利用在數(shù)軸上到-2對應(yīng)的點的距離等于5的點對應(yīng)的數(shù)為5或-1,求解即可;

(2)先求出|x-2|=l的解，再求卜-2|<1的解集即可；

(3)先在數(shù)軸上找出|彳-4|+,+2|=8的解，即可得出不等式卜-4|+,+2]>8的解集.

【詳解】(1)解：???在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于3的點對應(yīng)的數(shù)為-1或5,

方程,一2|=3的解為：x=—l或x=5,

故答案為：x=T或x=5.

(2)解：在數(shù)軸上找出次-2|=1的解，如圖:

------1------1------i.i.------>

-3-2-1023

:在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于1的點對應(yīng)的數(shù)為1或3,

方程|x-2|=l的解為無=1或x=3,

不等式忖-2區(qū)1的解集為1W.

(3)解：在數(shù)軸上找出歸-4|+忖+2|=8的解，

由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到4和-2對應(yīng)的點的距離之和等于8的點對應(yīng)的x的值，

:在數(shù)軸上4和-2對應(yīng)的點的距離為6,

滿足方程的x對應(yīng)的點在4的右邊或-2的左邊，

若x對應(yīng)的點在4的右邊，可得x=5；

若x對應(yīng)的點在-2的左邊，可得x=-3,

方程,_4|+|x+2|=8的解是x=5或彳=一3,

不等式H+k+2|>8的解集為x>5或x<-3.

【點睛】本題主要考查了絕對值，不等式，數(shù)軸上兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是理解歸-司表示在數(shù)軸上數(shù)天

與數(shù)尤2對應(yīng)的點之間的距離.

24.(22-23上海)閱讀理解：|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩

點之間的距離.

例1.解方程上|=2,因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程|x|=2的解為x=±2；

例2.解不等式忖-[>2,在數(shù)軸上找出|x-l|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)

的數(shù)為—1或3,所以方程打一1|=2的解為x=-L或％=3,因此不等式卜一1|>2的解集為x<-l或x>3.

------------------/A?|?4A?|------------

—1—?—i—J—1—?—111A

-4-3-2-101234

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴上一3|=2的解為；

⑵找出所有符合條件的整數(shù)x,使得卜+3|+卜-2|=5,這樣的整數(shù)是；

(3)不等式卜+3|+卜-2|>7的解集為.

【答案】⑴x=5或x=l

(2)-3,-2,-1,0,1,2

(3)x<-4或x>3

【分析】(1)根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到3的距離為2的點即為無表示的數(shù)，從而求解；

(2)根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到2的距離與到-3的距離之和為5點即為x表示的數(shù)，由此結(jié)合數(shù)軸求解即可;

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，求出數(shù)軸上到2的距離與到-3的距離之和大于7的龍的范圍即可.

【詳解】(1)解：|x-3|=2,

x—3=2x—3——2,

??%—5x—1,

故答案為：%=5或％=1；

（2）解：要使得|x+3|+|x—2|=5,

即：數(shù)軸上x到2的距離與到-3的距離之和為5,

..?數(shù)軸上一3和2之間的距離恰好為5,

-3<x<2,

為整數(shù)，

；.x=-3,-2,-1,0,1,2,

故答案為：-3,-2,-1,0,1,2；

（3）解：要使得|x+3|+|x—2|>7,

即：數(shù)軸上x到2的距離與到-3的距離之和大于7,

首先在數(shù)軸上找出|x+3|+|x-2|=7的解（如圖），

■1—1—?—?—?-?—?~!??

-4-3-2-101234

由（2）可知數(shù)軸上-3和2之間的距離恰好為5,

要使得x到2的距離與到-3的距離之和等于7,則x=T或x=3,

.,Jx+3]+〔x—2]>7的解集為：x<—4或x>3,

故答案為：了<-4或x>3.

【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，以及利用絕對值的幾何意義解方程和不等式，熟練利用絕對值的幾何意義和

數(shù)軸分析是解題關(guān)鍵.

命題點三一元一次不等式的應(yīng)用

A題型01列一元一次不等式

25.（2024?廣東陽江?二模）x與6的和不大于0,用不等式表示為（）

A.x+6>0B.x+6<0C.x+6>0D.x+6<0

【答案】D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式.根據(jù)“x與6的和不大于0”，即可列出關(guān)于x的一元一次

不等式，此題得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：x+6<0.

故選：D.

26.（2022?廣東河源?二模）如圖，x和5分別是天平上兩邊的祛碼的質(zhì)量，則x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）

AIi>->g-1——1——1——1——1---------1——1——1——1——1------------i—-1——1——1——1——1--4—

0123456,012345610123456,0123456

【答案】D

【分析】托盤天平是支點在中間的等臂杠桿，天平平衡時祛碼的質(zhì)量等于被測物體的質(zhì)量，根據(jù)圖示知被測物體的

質(zhì)量無小于祛碼的質(zhì)量，再在數(shù)軸上表示不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)圖示知被測物體的質(zhì)量尤小于祛碼的質(zhì)量，即x<5；

所以在數(shù)軸上表示如下：

0123456

故選D.

【點睛】本題考查了不等式的相關(guān)知識，在數(shù)軸上表示不等式的解集，利用“天平”的不平衡來得出不等關(guān)系，體現(xiàn)

了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

27.（2020?廣東廣州?二模）小麗計劃節(jié)省部分零花錢購買一臺學(xué)生平板電腦，她已存有750元，并計劃從本月起每

月存錢30元，直到她至少存有1080元，設(shè)x個月后小麗至少有1080元，則可列出不等式為（）

A.30x+750>1080B.30x-750>1080C.30^-750<1080D.30^+750^1080

【答案】D

【分析】首先根據(jù)小麗每月存30元且存x個月可知這段時間小麗共存30元元，由此根據(jù)題意進(jìn)一步表示出x個月后

小麗所具有的零花錢，最后結(jié)合題意即可得出不等式.

【詳解】,?小麗每月存30元，且存尤個月，

這段時間小麗共存30x元，

:小麗至少要存有1080元，

.?.可列不等式為：30.X+750^1080,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了不等式的實際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

28.（2022.吉林?中考真題）V與2的差不大于0,用不等式表示為（）

A.y-2>0B.y-2<0C.y-2>0D.y-2<0

【答案】D

【分析】根據(jù)差運(yùn)算、不大于的定義列出不等式即可.

【詳解】解：由題意，用不等式表示為>-2V0,

故選：D.

【點睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“