Page23山西省長治市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月期末考試注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（），且，則（）A. B. C. D.2已知集合，，則（）A. B. C. D.3.展開式中的系數(shù)為（）A B.36 C. D.284.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.5.已知直線被圓心為圓截得的弦長為，則該圓的方程為（）A B.C. D.6.已知函數(shù)，則（）A1 B. C.lg11 D.7.如圖，在多面體中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，E到平面ABCD的距離為3，，.若A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若與共線，則C.若，則 D.“”是“”的充要條件10.已知數(shù)列，滿足，且，則（）A. B.當(dāng)時，是等比數(shù)列C.當(dāng)時，是等差數(shù)列 D.當(dāng)時，是遞增數(shù)列11.已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為,，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率等于（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.烽火臺是我國古代用于防御與通訊的軍事建筑.如圖為一類正四棱臺狀的烽火臺，已知該烽火臺底部邊長為10米，頂部邊長為8米，高為12米，忽略烽火臺凹陷部分，則該烽火臺的體積為________立方米.13.已知，則________.附：若，則，.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上可相互重合的點(diǎn)，且，則的取值范圍是________，的最小值是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，證明：是等邊三角形；（2）若，求.16.如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.17.甲、乙兩個袋子各裝有大小相同的3個紅球和2個白球，第一次從甲袋子隨機(jī)取出一個球放入乙袋子.求：（1）第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個球是紅球的概率；（2）在第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個球是紅球的條件下，第一次從甲袋子取出的是白球的概率；（3）第二次從乙袋子隨機(jī)取出兩個球，其中白球個數(shù)的分布列與期望.18.已知雙曲線的右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與直線交于點(diǎn)，證明：以線段的中點(diǎn)為圓心且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓還過其他定點(diǎn).19.給定正整數(shù)，已知對，有，，函數(shù).（1）若，求；（2）若，記為的所有零點(diǎn)組成的集合，為的子集，它們各有個元素，且.設(shè)，，，且，，證明：（?。唬áⅲ?數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（），且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出，再使用共軛復(fù)數(shù)的定義即可.【詳解】由于，故，而，故.所以.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逐個驗(yàn)證的三個元素是否在中，即可得到.【詳解】直接計算知，，.故中的三個元素中，在集合內(nèi)的是和，所以.故選：A.3.展開式中的系數(shù)為（）A. B.36 C. D.28【答案】D【解析】【分析】直接使用二項(xiàng)式定理即可.【詳解】在的展開式中，根據(jù)二項(xiàng)式定理可知二次項(xiàng)為，即.所以展開式中的系數(shù)為.故選：D.4.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式化簡函數(shù)，再求最小正周期即可.【詳解】由二倍角公式得，故設(shè)的最小正周期為，，故A正確.故選：A5.已知直線被圓心為的圓截得的弦長為，則該圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，結(jié)合給定的弦長利用勾股定理建立方程求解半徑即可.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，易得直線方程為，而，由勾股定理得，解得，故圓的方程為，故C正確.故選：C6.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.lg11 D.【答案】B【解析】【分析】分別計算出每個函數(shù)值，再求和即可.【詳解】易知，，，，，，，，，故，故B正確.故選：B7.如圖，在多面體中，四邊形ABCD是邊長為3正方形，，E到平面ABCD的距離為3，，.若A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】為中點(diǎn)，為矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出外接球半徑，可求表面積.【詳解】連接，，相交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為矩形外接圓的圓心.分別取，，的中點(diǎn)M，P，Q，連接，則，且為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，為矩形，，則有，，，，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，平面，平面平面，平面平面，等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，則有，所以平面，則多面體的外接球球心在上，，平面，平面，則平面，E到平面ABCD的距離為3，則，當(dāng)在線段上時，設(shè)，則，在和中，由外接球半徑，有，即，解得，外接球半徑，該球的表面積.當(dāng)在線段的延長線上時，同理可得，此時無解.故選：D.8.已知為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】給出，作為反例，即可否定A；給出，作為反例，即可否定B，C；構(gòu)造函數(shù)并使用反證法，即可證明D正確.【詳解】對于A，當(dāng)，時，有，此時，存在，故A錯誤；對于B，C，當(dāng)，時，有，此時，存在，故B，C錯誤；對于D，設(shè)，，則，，且等號僅在時成立，故和單調(diào)遞增.由于，故.假設(shè)，則或.若，則，矛盾；若，則，矛盾.所以，從而，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于使用導(dǎo)數(shù)工具證明單調(diào)性，進(jìn)而證明選項(xiàng)中的不等式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若與共線，則C.若，則 D.“”是“”充要條件【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)向量模長的坐標(biāo)表示即可驗(yàn)證；對于B，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可驗(yàn)證；對于C，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可驗(yàn)證；對于D，根據(jù)向量加法和向量共線的坐標(biāo)表示即可驗(yàn)證.【詳解】對于A，若，則，故，A錯誤；對于B，若與共線，則，B正確；對于C，若，則，故，C錯誤；對于D，由于，，故的充要條件是.而，故的充要條件是，D正確.故選：BD.10.已知數(shù)列，滿足，且，則（）A. B.當(dāng)時，是等比數(shù)列C.當(dāng)時，是等差數(shù)列 D.當(dāng)時，是遞增數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】對于A，直接由已知得到，即可說明A錯誤；對于B，證明，結(jié)合即可驗(yàn)證；對于C，說明即可；對于D，驗(yàn)證，再利用即可驗(yàn)證.【詳解】對于A，由已知有，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，由于，且，故是等比數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，由，歸納即知.所以，從而，故是等差數(shù)列，故C正確；對于D，當(dāng)時，由于，故.所以，從而是遞增數(shù)列，故D正確.故選：BCD.11.已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為,，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合角的值，化簡得出離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，得出，在中由正弦定理得：,由橢圓定義可得，，橢圓離心率為，.故選：D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.烽火臺是我國古代用于防御與通訊的軍事建筑.如圖為一類正四棱臺狀的烽火臺，已知該烽火臺底部邊長為10米，頂部邊長為8米，高為12米，忽略烽火臺凹陷部分，則該烽火臺的體積為________立方米.【答案】【解析】【分析】先計算該烽火臺的上下底面面積，再利用棱臺的體積公式得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)轭}目中的單位只涉及米、平方米、立方米，故我們可以在計算中忽略單位.由于該烽火臺是正四棱臺，故上下底面都是正方形.從而該烽火臺的上底面面積，下底面面積，高.故其體積.故答案為：.13.已知，則________.附：若，則，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用正態(tài)曲線的對稱性，即可求得答案.【詳解】，.故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上可相互重合的點(diǎn)，且，則的取值范圍是________，的最小值是________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用焦半徑公式表示，進(jìn)而利用拋物線上點(diǎn)的范圍求解第一空，利用焦半徑公式結(jié)合基本不等式求解第二空即可.【詳解】第一空，如圖，設(shè)，，，，故，，，而，故，可得，，即有，由，所以，所以，所以.第二空，，故，而，故，即，又，故，即，，故得的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求解析幾何，解題關(guān)鍵是合理運(yùn)用焦半徑公式結(jié)合基本不等式，然后找到取等條件，得到所要求的最值即可．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，證明：是等邊三角形；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，再由余弦定理得到，化簡得到，得到，進(jìn)而證得為等邊三角形；（2）由正弦定理得，結(jié)合，得到，求得，再利用余弦定理，即可求解.【小問1詳解】證明：由，可得，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，可得，結(jié)合，所以等邊三角形.【小問2詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，平方可?又因?yàn)椋傻?，可得，所以，即，則，由余弦定理，可得.16.如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的空間向量法證明即可；（2）根據(jù)空間向量法求二面角余弦，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【小問1詳解】如圖建系，設(shè)則,,設(shè)平面法向量為,,,可得即得，因?yàn)樗?不在平面內(nèi)，所以平面.【小問2詳解】設(shè)平面法向量為,,可得,即得,設(shè)二面角為，則,因?yàn)樗?7.甲、乙兩個袋子各裝有大小相同的3個紅球和2個白球，第一次從甲袋子隨機(jī)取出一個球放入乙袋子.求：（1）第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個球是紅球的概率；（2）在第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個球是紅球的條件下，第一次從甲袋子取出的是白球的概率；（3）第二次從乙袋子隨機(jī)取出兩個球，其中白球個數(shù)的分布列與期望.【答案】（1）（2）（3）分布列、期望見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.（2）設(shè)事件B為第1次取出的是白球，事件C為第2次取出的是紅球，根據(jù)條件概率公式計算即可；（3）分情況從甲中隨機(jī)取出一紅球或白球?qū)懗霭浊騻€數(shù)的概率及分布列，再求出期望即可.【小問1詳解】設(shè)事件表示從甲中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件表示從甲中隨機(jī)取出一白球放入乙中，設(shè)事件表示：從甲中隨機(jī)取出一球放入乙中，再從乙中隨機(jī)取出一球，則取出的球是紅球，則有：，所以.小問2詳解】設(shè)事件為第一次從甲取出的是白球，事件為第二次從乙隨機(jī)取出一個球是紅球；則，所以．【小問3詳解】第二次從乙隨機(jī)取出兩個球，取出的白球的個數(shù)為，則，，，,的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.18.已知雙曲線的右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與直線交于點(diǎn)，證明：以線段的中點(diǎn)為圓心且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓還過其他定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)已知條件以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；（2）設(shè)，然后證明的中點(diǎn)一定經(jīng)過的垂直平分線，即可證明線段的中點(diǎn)為圓心且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓經(jīng)過.【小問1詳解】由于右頂點(diǎn)，故.而到漸近線的距離均為，故由已知有.所以，解得.故的方程為.【小問2詳解】記，，并設(shè)的中點(diǎn)為.由于的中點(diǎn)為，的斜率，故的垂直平分線為，即.設(shè)，由于，假設(shè)的斜率不存在，那么的方程是，該直線與只有一個公共點(diǎn)，矛盾；所以的斜率存在，故可設(shè)其方程為.將該直線與聯(lián)立，得，即.所以該方程的兩根之和為.但，故此方程已有一根，從而另一根為.設(shè)，則，.此時，由，知直線的方程為，而過且垂直于軸的直線為，故.這就得到的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于.所以點(diǎn)在直線上，即在的垂直平分線上，從而.故關(guān)于對稱，則，故以線段的中點(diǎn)為圓心且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓一定經(jīng)過.19.給定正整數(shù)，已知對，有，，函數(shù).（1）若，求；（2）若，記為的所有零點(diǎn)組成的集合，為的子集，它們各有個元素，且.設(shè)，，，且，，證明：（ⅰ）；（ⅱ）.【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)的定義求和；（2）（?。?gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并利用導(dǎo)數(shù)工具證明的兩根之和小于零；（ⅱ）先說明的取值與的選取無關(guān)，再利用函數(shù)證明相應(yīng)的不等式.【小問1詳解】對，由于，，故是的極小值點(diǎn)，