“十字架”模型—2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題復(fù)習(xí)1．如圖，在矩形ABCD中有兩條相交線段EG，F(xiàn)H，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，若EG?HF,ABBC=2．如圖，在ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,，BD是AC邊上的中線，過點A作AE⊥BD交BD于點F，交BC于點E，則BE3．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊AB上一點，將BCE沿CE折疊，使點B落在AD邊上的點F處，連接BF.,則折痕CE的長為.4．如圖，已知.AD=5,AB=3在正方形ABCD的邊AD上任取一點.EAEDE)，連接BE，作(CF⊥BE,交AB于點F，連接EF并延長交CB的延長線于點P.若點E，F(xiàn)恰好分別是AD，AB的黃金分割點，則PB5．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的點，連接CE，過點D作DF⊥CE，分別交BC，CE于點F，G.若AB=3，圖中陰影部分的面積和與正方形ABCD的面積之比為4：9，則△DCG的面積為，CG+DG的長為.6．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D為AC的中點，連接BD，過點C作CE⊥BD交AB于點E，交BD于點F，則CE的長為.7．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，AF，BE交于點O，連接DO并延長交AB于點G，若OD=3,，則OB=8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D，E分別是線段AC，BC上的點，且滿足AD=CE，連接DE，過點C作DE的垂線，垂足為點F，交線段AB于點G.求證：（1）CG=DE；（2）AG=9．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的動點，連接AE，過點B作BH⊥AE，交AE于點G，交CD于點F，過點D作DH⊥BH于點H.（1）如圖①，當(dāng)點E是BC中點時，若AB=6，DH=5（2）如圖②，連接HC，當(dāng)點E在BC邊上運動時，試判斷FH，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

答案解析部分1．如圖，在矩形ABCD中有兩條相交線段EG，F(xiàn)H，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，若EG?HF,ABBC=【答案】8【知識點】矩形的性質(zhì)；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊【解析】【解答】解：過點E作EM⊥CD于點M，交FH于點P，過點F作FN⊥AD于點N，交EM于點Q，

∴AEMD、ABFN是矩形，

∴∠EMG=∠HNF=∠HQF=90°，AB=FN，AD=EM，

∴∠MEF+∠EHF=∠NFH+∠EHF=90°，

∴∠MEF=∠NFH，

∴△EMG∽△FNH，

∴FHEG=ABBC=2．如圖，在ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,，BD是AC邊上的中線，過點A作AE⊥BD交BD于點F，交BC于點E，則BE【答案】2【知識點】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊【解析】【解答】解：過點C作CG⊥AC交AE的延長線于點G，

則∠ACG=∠BAC=∠AFD=90°，

∴∠ABD+∠BAF=∠CAG+∠BAE=90°，AB∥CG，

∴∠ABD=∠CAG，

又∵AB=AC，

∴△ACG≌△BAD(ASA)，

∴CG=AD=12AC=12AB，

∵BA∥CG，

∴△CEG∽△BEA，

∴CGBA=CEBE=123．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊AB上一點，將BCE沿CE折疊，使點B落在AD邊上的點F處，連接BF.,則折痕CE的長為.【答案】5【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=5，CD=AB=3，∠A=∠ABC=90°

由折疊的性質(zhì)可得，CF=BC=5，

∴在Rt△CDF中，DF=CF2-CD2=52-32=4，

∴AF=AD-DF=5-4=1，

∴BF=AF2+AB2=12+3故答案為：5103.

【分析】根據(jù)折疊和勾股定理求出DF長，即可求出BF長，然后得到4．如圖，已知.AD=5,AB=3在正方形ABCD的邊AD上任取一點.EAEDE)，連接BE，作(CF⊥BE,交AB于點F，連接EF并延長交CB的延長線于點P.若點E，F(xiàn)恰好分別是AD，AB的黃金分割點，則PB【答案】a2【知識點】正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

又∵CF⊥BE,

∴∠AEB+∠ABE=∠BFC+∠ABE=90°，∴△ABE≌△BCF，

∴AE=BF，

∵AD∥CP，

∴△AEF∽△BPF，

∴AEBP=AFBF，

∵故答案為：a2.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△ABE≌△BCF，即可得到AE=BF，然后證明△AEF∽△BPF，根據(jù)對應(yīng)邊成比例解題即可.5．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的點，連接CE，過點D作DF⊥CE，分別交BC，CE于點F，G.若AB=3，圖中陰影部分的面積和與正方形ABCD的面積之比為4：9，則△DCG的面積為，CG+DG的長為.【答案】52；【知識點】勾股定理；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型【解析】【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為4：9，AB=3，

∴陰影部分的面積為49×9=4,

∴空白部分的面積為9-4=5，

∵在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCF=∠CBE=90°，DF⊥CE，

∴∠CFD+∠BCE=90°，

∵∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠CFD=∠BEC，

∴△DCF≌△CBE(AAS)，

∴S△DCC=S四邊形BEGF=12×5=52;

設(shè)DG=a(a>0)，CG=b(b>0)，

則12ab=52,

又∵a2+b2=326．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D為AC的中點，連接BD，過點C作CE⊥BD交AB于點E，交BD于點F，則CE的長為.【答案】12【知識點】勾股定理；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊【解析】【解答】解：如解圖，過點A作AC的垂線，過點B作BC的垂線，兩垂線交于點G，延長CE交AG于點H，∵∠ACB=90°，

∴四邊形AGBC為矩形，

∴∠CAH=90°，

∵點D是AC的中點，

∴CD=AD=2，

∵BC=3，

∴BD=BC2+CD2=13,∵CE?BD,∴∠BFC=90°，

∴∠BCF+∠CBD=90°，

∵∠BCF+∠ACH=90°，

∴∠ACH=∠CBD，

∴△CAH∽△BCD∴CHBD=ACCB=AHCD故答案為：121317.7．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，AF，BE交于點O，連接DO并延長交AB于點G，若OD=3,，則OB=【答案】6【知識點】勾股定理；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：在△ABE和△DAF中，AE=DF∴∠ABE=∠DAF，BE=AF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOB=90°，

∴△ABE∽△OBA，

設(shè)AE=a，則DF=a，AB=2a，

在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=5a,

∴AF=5a,∵△ABE~△OBA,∴AEAB=OAOB=a2a將△ODE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O'DF，則△O'DF≌△ODE，

∴∠DFO'=∠DEO，

∵∠AEO=∠DFA，∠AEO+∠DEO=180°，

∴∠DFO'+∠DFA=180°，即點O，F(xiàn)，O'在同一直線上.

∵O'F=OE=55a,∴OO'=OF+

【分析】先得到△ABE≌△DAF，即可得到∠ABE=∠DAF，BE=AF，然后證明△ABE∽△OBA，設(shè)AE=a，求出OF長，將△ODE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O'DF，即可得到點O，F(xiàn)，O'在同一直線上，根據(jù)勾股定理解答即可.8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D，E分別是線段AC，BC上的點，且滿足AD=CE，連接DE，過點C作DE的垂線，垂足為點F，交線段AB于點G.求證：（1）CG=DE；（2）AG=【答案】（1）證明：如解圖，將△ACG沿AC平移到△DMN的位置，點N在BC上，連接ME，GN，∴DN∥AG且DN=AG，MN=CG，∵∠CAB=45°，∴∠CDN=45°，∴CD=CN，∵CG⊥DE，∴∠DCF+∠CDF=90°，∵∠CMN+∠MNC=90°，∴∠MNC=∠EDC，∵∠MCN=∠ECD=9∴△MNC?△EDC,∴MN=DE,∴CG=DE;（2）證明：∵AD=CE,∴CD=BE,∴AG=DN=【知識點】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—邊角關(guān)系；正方形中的十字架模型；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系【解析】【分析】（1）將△ACG沿AC平移到△DMN的位置，點N在BC上，連接ME，GN，證明△MNC?△EDC,得到MN=DE解答即可；

（2）根據(jù)解直角三角形證明即可.9．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的動點，連接AE，過點B作BH⊥AE，交AE于點G，交CD于點F，過點D作DH⊥BH于點H.（1）如圖①，當(dāng)點E是BC中點時，若AB=6，DH=5（2）如圖②，連接HC，當(dāng)點E在BC邊上運動時，試判斷FH，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=6.∵AE⊥BH，∴∠BGE=90°，∴∠GBE+∠GEB=90°.∵∠BAE+∠GEB=90°，∴∠BAE=∠GBE，在△ABE和△BCF中，∠BAE=∠CBF∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴CF=BE=∴DF=CF=3.在Rt△DHF中，F(xiàn)H=（2）解：FH，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系為FH+EG=BG，理由如下：如解圖，連接BD，過點C作CK⊥BH于點K，∵∠DHF=∠BCF=90°，∠DFH=∠BFC，∴△DFH∽△BFC，∴∵∠HFC=∠DFB，∴△HFC∽△DFB，∴∠FHC=∠FDB.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠FHC=∠BDF=45°.由(1)可得△ABE≌△BCF，∴BE=CF.∵CK⊥BF，∴∠KBC+∠KCB=90°.∵∠FCK+∠KCB=90°，∴∠KBC=∠FCK，在△BEG和△CFK中，∠BGE=