試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉行，參加自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽的六位選手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（

）A．134.75 B．144.75 C．154.75 D．159.504．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，則（

）A．－3 B．－1 C．0 D．15．在正項(xiàng)數(shù)列中，設(shè)甲：，乙：是等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．是的極大值點(diǎn)C．是的極小值點(diǎn) D．是的極大值點(diǎn)8．已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B．C．的最小值為 D．到的距離的最大值為11．定義：一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在中，邊上的高等于，以的各邊為直徑向外分別作三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)?，其“直徑”為，則（）A． B．面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)， D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若隨機(jī)變量，則．13．已知函數(shù)滿足，且，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為．14．某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6．一個(gè)半徑為1的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知某校有甲，乙兩支志愿服務(wù)隊(duì)，甲隊(duì)由3名男生和3名女生組成，乙隊(duì)由4名男生和1名女生組成．(1)先從兩隊(duì)中選取一隊(duì)，選取甲隊(duì)的概率為，選取乙隊(duì)的概率為，再從該隊(duì)中隨機(jī)選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；(2)在某次活動(dòng)中，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì)，記為乙隊(duì)中男生與女生人數(shù)之差，求的分布列與期望．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項(xiàng)和；②證明：．17．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在上，．(1)證明：平面；(2)若，二面角的大小為．①求與平面所成角的正弦值；②點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且三棱錐的體積為，求的軌跡的長度．18．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與的焦點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)在上在第一象限），點(diǎn)在上，．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)直線的方程為，求直線的斜率；(3)若直線與的斜率之積為，求四邊形面積的最小值．19．記．已知函數(shù)和的定義域都為，若存在，使得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則稱和在上“次纏繞”.(1)判斷和在上“幾次纏繞”，并說明理由；(2)設(shè)，若和在上“3次纏繞”，求的取值范圍；(3)記所有定義在區(qū)間上的函數(shù)組成集合，證明：給定，對(duì)任意，都存在，使得，且和在上“次纏繞”.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：C2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算出復(fù)數(shù)z即可判斷在第幾象限.【詳解】因?yàn)?，故，故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A3．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】六位選手得分由小到大排列如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)154.75.故選：C4．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線平行即可得解.【詳解】因?yàn)?，且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，解得，故選：D5．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可判斷.【詳解】令，則，令，則，以此類推，得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不成立.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A6．D【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到，，最后由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，，所以，.故選：D7．C【分析】A選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是的極大值點(diǎn)；BD選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是的極小值點(diǎn).【詳解】A選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；BD選項(xiàng)，取，則是的極大值點(diǎn)，，故不是的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；，其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不是的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極小值點(diǎn)，C正確.故選：C8．B【分析】設(shè)，由離心率得到，再由垂直關(guān)系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解.【詳解】設(shè)，，因?yàn)闄E圓的離心率，則，由，則，即，解得，則，，又，則，即，解得，所以.故選：B9．ABD【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷符號(hào)可判斷A。利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可判斷B，根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D正確.故選：ABD10．AC【分析】由題意求出雙曲線的漸近線方程即可判斷A；根據(jù)雙曲線的定義即可判斷B；設(shè)，則，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，即可判斷C；利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線交于點(diǎn)，需，故A正確；B：由雙曲線的定義知，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，有，所以，故B錯(cuò)誤；C：設(shè)，則（或），得，又，所以，則，即的最小值為-3，故C正確.D：，易知當(dāng)時(shí)，，則到直線的距離為0；當(dāng)時(shí)，到直線即的距離為，又且，所以，則，即到直線的距離小于，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．ABD【分析】由三角形等面積法及余弦定理可判斷A，再由基本不等式得出范圍即可得出面積最大值判斷B，再由題目條件得出三角形為等腰直角三角形，即可求出最大值判斷C，由C中結(jié)論及基本不等式判斷D.【詳解】設(shè)角所對(duì)的邊長為由三角形的面積公式可得，所以，由余弦定理，可得，所以，故A正確；由，又，所以，所以，所以，且僅當(dāng)時(shí)取等，B正確；設(shè)邊上的中點(diǎn)分別為，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間線段最短可得，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等，所以，又，所以，解得，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由前可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故D正確.故選：ABD12．【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，，得；所以，所以，又，所以，解得.故答案為：13．【分析】首先可得的周期為，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由函數(shù)滿足，則，所以的周期為，由，則，可得的圖象如圖，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且當(dāng)時(shí)，由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故答案為：14．【分析】分別計(jì)算側(cè)面與底面上小球可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積，即可得解．【詳解】由軸截面為等邊三角形的高為6，易得圓錐的母線長與底面圓的直徑均為．小球的半徑為1，在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個(gè)扇環(huán)，可知扇環(huán)的半徑為，，扇環(huán)所在扇形的圓心角為，所以扇環(huán)其面積為；在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為其面積為．綜上，圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的區(qū)域面積為．故答案為：15．(1)(2)分布列見解析，期望為3【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可計(jì)算結(jié)果.（2）由題意可知的取值為1，3，5，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出期望．【詳解】（1）設(shè)事件A為“選甲隊(duì)”，事件B為“選乙隊(duì)”，事件C為“選中男生”則（2），從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì),X的可能取值為1、3、5，則,,故的分布列為：X135P數(shù)學(xué)期望為16．(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可得，對(duì)于取，即可求出、，從而求出通項(xiàng)公式；（2）①首先求出，即可得到，從而求出其前20項(xiàng)和；②由，分及兩種情況討論，當(dāng)時(shí)利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，取，得，即，解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，因?yàn)?，所以，所以；②證明：因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得.17．(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可得證；（2）以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，①中求出平面的法向量，利用向量夾角得出直棱柱的高，再由線面角的向量求法求解；②中根據(jù)三棱錐體積求出點(diǎn)到平面的距離，再由向量法求距離，化簡(jiǎn)可得軌跡方程，利用軌跡方程確定軌跡為線段，即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC,因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，所以平面?）①在直三棱柱中，平面，，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),設(shè)平面的法向量，由，取，得，所以平面的一個(gè)法向量，又平面的法向量，所以，解得所以，所以設(shè)與平面所成角為，則②因?yàn)?，所以因?yàn)槿忮F的體積為，所以到平面的距離為因?yàn)樵趥?cè)面上，可設(shè),到平面的距離為，即軌跡方程為，而,所以在側(cè)面上的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，所以的軌跡長度為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）求出的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)，從而求出拋物線方程；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，的坐標(biāo)，再由向量的關(guān)系求出的坐標(biāo)，即可得解；（3）推導(dǎo)出，同理，即可得到，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出過定點(diǎn)坐標(biāo)，再求出的最小值.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由為線段的中點(diǎn)，可得，所以曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立，消去x整理得，解得，，則，，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?，則，所以，所以，，即，直線的斜率為；（3）因?yàn)?，，，，所以，，因?yàn)?，所以因?yàn)?，，，，所以，①由代入①得，由得，因?yàn)?，，所以，所以，同理，所以且，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，即，設(shè)，聯(lián)立消去x，得，所以，所以，則，所以過定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以四邊形面積的最小值為19．(1)＂2次纏繞＂。理由見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）找到和時(shí)，，則得到其為“2次纏繞”；（2）轉(zhuǎn)化為存在互異的三個(gè)正數(shù)，使得，求導(dǎo)得，再對(duì)合理分類討論即可；（3）方法一：取，令，則，且，即可證明存在，則證明了結(jié)論；方法二：記，取，設(shè)，再對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)討論即可.【詳解】（1）函數(shù)和＂2次纏繞＂，理由如下：，當(dāng)和時(shí)，，則對(duì)任意，當(dāng)且僅當(dāng)和時(shí)，等號(hào)成立，所以由＂次纏繞＂定義可知和在上＂2次纏繞＂．（2）設(shè)，因?yàn)楹驮谏希?次纏繞＂，所以存在互異的三個(gè)正數(shù)，使得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以是的三個(gè)零點(diǎn)．注意到，所以1是的一個(gè)零點(diǎn)．，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，1是的唯一零點(diǎn)，不合題意．②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，1是的唯一零點(diǎn)，不合題意．③當(dāng)時(shí)，令，