專題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：隔項(xiàng)等差數(shù)列 2題型二：隔項(xiàng)等比數(shù)列 5三、專題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）專項(xiàng)訓(xùn)練 8一、必備秘籍1、隔項(xiàng)等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；2、隔項(xiàng)等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；二、典型題型題型一：隔項(xiàng)等差數(shù)列1．（23-24高三上·湖南益陽·期末）已知是等差數(shù)列，滿足：對，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+【答案】C【分析】由得，兩式相減得，可得d的值，可得答案.【詳解】解：由得，兩式相減得，故.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由已知得出是解題的關(guān)鍵.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為，的值為.【答案】20231【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系式可得{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解即可得到答案.【詳解】將n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.②－①，得an＋2－an＝2，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是以2為公差的等差數(shù)列，則a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.故答案為：20；231【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．（2024·廣西·二模）在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；【答案】(1)；【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差，再求得首項(xiàng)后可得通項(xiàng)公式；【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【答案】an＝【詳解】解：由an＋an＋1＝2n①，得n≥2時，an－1＋an＝2(n－1)②.由①－②得an＋1－an－1＝2，所以該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為2的等差數(shù)列，由a1＋a2＝2，得a2＝1，∴an＝5．（四川省眉山市2024屆高中第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）試題）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數(shù)列前n項(xiàng)和，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項(xiàng)等差數(shù)列即可；若選②，利用類比作差和階差法可以求解；若選③，利用公式作差后因式分解，找出與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求出.（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可.【詳解】（1）若選①：因?yàn)樗?，兩式相減得，所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列，且，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.若選②：，所以，兩式相減得，，所以，所以.若選③：因?yàn)棰?，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以的通項(xiàng)公式.6．（2023屆山東省濰坊市三縣高三最后一次模擬考試?yán)頂?shù)）已知數(shù)列滿足．（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得．兩式相減，得,分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，分別利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；【詳解】（I）由，得，兩式相減，得．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列．由，，得．所以①當(dāng)為奇數(shù)時，，．②當(dāng)為偶數(shù)時，．所以題型二：隔項(xiàng)等比數(shù)列1．(多選）（廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列 C． D．【答案】ABD【分析】先由分析出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：數(shù)列中，，，所以，即因?yàn)?，所以所以所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，均為以為公比的等比數(shù)列所以對A，，故A正確；對B，由分析知，是等比數(shù)列，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過對已知數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形整理，得到新的遞推公式，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列.2．（北京市大興區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列中，，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】D【分析】AB項(xiàng)，分別令，，求出的值驗(yàn)證；CD項(xiàng)，由可得，得，繼而得到及均為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)求解.【詳解】當(dāng)時，，故A正確.當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故B正確.C項(xiàng)，，，所以得，所以，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C正確.D項(xiàng)，由C項(xiàng)得，又，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，故D錯誤.故選：D3．（四川省德陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題）已知正項(xiàng)等比數(shù)列對任意的均滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)，得當(dāng)時，，兩式相除可求得公比，再求出首項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列得通項(xiàng)即可得解；【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得當(dāng)時，，兩式相除得，所以，又，則，所以（舍去），所以；4．（江蘇省蘇州市第十中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月階段檢測數(shù)學(xué)試題）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【答案】(1)；【分析】（1）選①根據(jù)遞推關(guān)系可得，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即得，選②根據(jù)條件可得，然后利用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)即得，選③根據(jù)項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系即得，進(jìn)而即得；【詳解】（1）若選①，，，則，，∴，又，，∴，，所以；若選②，，則，又，所以，即，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；若選③，，則，所以，即，又，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；三、專題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】(1)由得,分奇偶項(xiàng)分別求通項(xiàng)，最后寫出通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由，得以上兩式相比，得,由，得,所以，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比4為的等比數(shù)列，,數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為4的等比數(shù)列，,綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.2．（湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系式可得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)可分別對的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得；【詳解】（1）由①，當(dāng)時，②，得，當(dāng)時，，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.得.綜上可得；3．（河北省唐山市玉田縣2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，（）（1）求，并證明：當(dāng)時，．【答案】（1）；見證明；【分析】（1）取代入即可求出，要證明，只需要把換成之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）當(dāng)，由及，得．當(dāng)時，由，得．因?yàn)?，所以?/p>