試題試題2024年11月高二數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）1.過點且與直線垂直的直線方程為()A. B. C. D.2.若直線與平行，則兩直線間的距離為（）A. B. C. D.3.如圖正方體中，異面直線與所成角為（）A. B. C. D.4.已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（）A6 B.3 C.4 D.25.過點的直線被圓所截弦長最短時的直線方程是（）A B.C. D.6.已知橢圓與雙曲線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.7.橢圓的右焦點到直線的距離是（）A. B.1 C. D.8.一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心點的軌跡方程為（）A. B.C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知圓，直線過點，則下列說法正確是（）A.圓的半徑為 B.圓的圓心坐標為C.直線被圓截得的最短弦長為 D.直線被圓截得的最長弦長為410.已知雙曲線焦距長為6，則（）A. B.的離心率為C.的漸近線為 D.直線與相交所得弦長為11.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.13.三棱錐中，平面ABC，，，，，則二面角的大小為__________.14.設為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為__________.四、解答題本題共5小題，共77分.15.（1）已知橢圓的焦距為10，離心率為，求橢圓的標準方程；（2）已知雙曲線的漸近線方程為，虛軸長為4，求雙曲線的標準方程.16已知兩圓和．求：（1）取何值時兩圓外切？（2）當時，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．17.已知圓C經(jīng)過點A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.18.如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.19.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點M在上，且.（1）求的標準方程；（2）若直線與交于A，B兩點，且的面積為求的值.試題試題2024年11月高二數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）1.過點且與直線垂直的直線方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設所求的直線方程為：，把點代入解得即可得出．【詳解】因為所求直線與直線垂直，故設所求的直線方程為：，把點代入可得：，解得，故所求的直線方程為：，故選：B．2.若直線與平行，則兩直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用兩直線平行求得，再利用兩平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，當時，兩直線方程都為，此時兩直線重合，不合題意，當時，與平行，故，故，所以兩直線間的距離為.故選：C.3.如圖正方體中，異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義作出異面直線與所成的角，將該角放在三角形中分析運算即可得解.【詳解】解：如上圖，連接、，∵在正方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴（或其補角）就是異面直線與所成角，設正方體棱長為1，則在正方形中對角線，在正方形中對角線，在正方形中對角線，∴是等邊三角形，∴..故選：C.4.已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓，得，即，設左焦點為，右焦點為，則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.故選:D.5.過點的直線被圓所截弦長最短時的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可得當弦長最短時，該弦所在直線與過點的直徑垂直，先求出過點的直徑的斜率，然后再求出所求直線的斜率，最后由點斜式寫出直線的方程即可.【詳解】當弦長最短時，該弦所在直線與過點的直徑垂直，圓的圓心為，所以過點的直徑的斜率為，故所求直線為，所求直線方程為，即.故選：A.【點睛】方法點睛：本題考查直線與圓位置關系應用，解題關鍵是明確當弦與圓的直徑垂直時，弦長最短，考查邏輯思維能力，屬于常考題.6.已知橢圓與雙曲線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得，進而求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】橢圓對應的，所以對于雙曲線，有，所以雙曲線的離心率為.故選：A7.橢圓的右焦點到直線的距離是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求得右焦點的坐標，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，則，所以橢圓的右焦點為，則右焦點為到直線的距離為.故選：C.8.一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓位置關系分析可得，結(jié)合橢圓的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因為，可知圓與圓內(nèi)切于點，顯然圓心不能與點重合，設圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點M的軌跡是以為焦點的橢圓（點除外），且，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知圓，直線過點，則下列說法正確的是（）A.圓的半徑為 B.圓的圓心坐標為C.直線被圓截得的最短弦長為 D.直線被圓截得的最長弦長為4【答案】ACD【解析】【分析】由圓的標準方程和直線與圓的位置關系判斷．【詳解】由已知圓的標準方程是，圓心為，半徑為2，A正確，B錯誤；記點為，，當時弦長最短，最短弦長為，當直線過圓心時，弦長最長，最長弦長為直徑長4，CD均正確．故選：ACD．10.已知雙曲線焦距長為6，則（）A. B.的離心率為C.的漸近線為 D.直線與相交所得弦長為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)焦距得出判斷A，B選項，根據(jù)漸近線公式計算判斷C選項，聯(lián)立方程求出點的坐標結(jié)合兩點間距離公式計算判斷D選項.【詳解】雙曲線焦距長為6，可得，所以A不正確；可得，所以的離心率為，所以B正確；的漸近線為，所以C正確；聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得兩個交點坐標為，所以弦長為,D選項錯誤故選：BC.11.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】在選項A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進行判斷即可；在選項B中，根據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解判斷即可；在選項C中，根據(jù)異面直線所成角的定義進行求解判斷即可；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解即可.【詳解】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD三、填空題本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先求得兩圓的圓心與半徑，然后根據(jù)兩圓的位置關系列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距為，且兩圓相交，則，解得.故答案為：13.三棱錐中，平面ABC，，，，，則二面角大小為__________.【答案】30°【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二面角的定義，可知為二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解.【詳解】由題可得，即，如圖：平面ABC，平面ABC，，又，，PC，平面PAC，平面PAC，而平面PAC，，即為二面角的平面角，直角三角形PCA中，，可得故答案為：14.設為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為__________.【答案】2【解析】【分析】法一：設，利用雙曲線定義，可得又由勾股定理得，聯(lián)立求得，即得三角形的面積.法二：利用焦點三角形的面積公式快速求解.【詳解】解法一：如圖，由可知，設，由定義，的面積為.解法二：如圖，的面積為.故答案為：2.四、解答題本題共5小題，共77分.15.（1）已知橢圓的焦距為10，離心率為，求橢圓的標準方程；（2）已知雙曲線的漸近線方程為，虛軸長為4，求雙曲線的標準方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.（2）根據(jù)雙曲線焦點所在坐標軸進行分類討論，求得，進而求得雙曲線的標準方程.【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的標準方程是或.（2）依題意，雙曲線的漸近線方程為，，若雙曲線的焦點在軸上，則，解得，所以雙曲線的標準方程為.雙曲線的焦點在軸上，則，解得，所以雙曲線的標準方程為.所以雙曲線的標準方程為或.16.已知兩圓和．求：（1）取何值時兩圓外切？（2）當時，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用配方法，結(jié)合兩圓外切的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)兩圓公共弦的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、圓的垂徑定理進行求解即可.【小問1詳解】由已知化簡兩圓的方程為標準方程分別為：，則圓心分別為，半徑分別為和，當兩圓外切時，滿足；【小問2詳解】當時，有，則，所以兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為：，即，圓心到直線的距離，所以公共弦長．17.已知圓C經(jīng)過點A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圓C的圓心經(jīng)過直線2x+y﹣1＝0上，可設圓心為C（a，1﹣2a）.由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y＝2的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為圓心C在直線2x+y﹣1＝0上，可設圓心為C（a，1﹣2a）.則點C到直線x+y＝2的距離d.據(jù)題意，d＝|AC|，則，解得a＝1.所以圓心為C（1，﹣1），半徑r＝d，則所求圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小問2詳解】k不存在時，x＝0符合題意；k存在時，設直線方程為kx﹣y+1＝0，圓心到直線的距離1，∴k，∴直線方程為3x+4y﹣4＝0.綜上所述，直線方程為x＝0或3x+4y﹣4＝0.18.如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由線線平行可證線面平行；（2）求出平面的法向量，根據(jù)線面角的向量方法即可求解；（3）根據(jù)點到面的距離公式求解即可.小問1詳解】因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由平面，底面為正方形，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：則，，，，，所以，，，設平面的法向量為，所以，即，令，則，，故，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】因