/2023級高一下學期第二次階段性測試數(shù)學試題時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷（58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知一組數(shù)據(jù)3，4，5，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.52.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”3.在空間中，設是不同的直線，表示不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則4.某學校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為和樣本標準差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.9.8 D.205.已知平面向量，滿足，，，則，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.6.在中，，點P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.7.正四面體中，M是側棱上的中點，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A B. C. D.8.如圖，正方體中，點E、F、G、H分別為棱的中點，點M為棱上的動點，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復平面內(nèi)，設O為坐標原點，復數(shù)對應的點分別為A，B，若，則z可能是（）A. B. C. D.10.某校組織“校園安全”知識測試，隨機調(diào)查600名學生，將他們的測試成績（滿分100分）按照，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.圖中B.估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85C.若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這600名學生成績的平均數(shù)約為79.5D.若按各組人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取30名成績低于80分的學生，則成績在內(nèi)的學生應抽取10人11.如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（）A.B.該四棱臺的側面積為C.若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D.若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行最短路程為第Ⅱ卷（92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在方向上的投影向量為____________．13.在三棱錐中，平面，則三棱錐外接球表面積為____________．14.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點P在以的中點O為圓心、為半徑的半圓上，若，則下列說法正確的是____________．①②的最大值為③最大值為9④四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位（1）如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）如果，是關于的方程的一個復根，求的值.16.如圖，在中，點在邊上，，，.（1）求；（2）若的面積是，求.17.如圖，已知，四邊形ABCD為長方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．（1）證明：BC⊥PD；（2）證明：求點C到平面PDA距離．18.已知四邊形為直角梯形，，為等腰直角三角形，平面平面為的中點，．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．（3）求二面角的正弦值．19.如圖，已知是邊長為2的正三角形，點、、是邊的四等分點.（1）求的值；（2）若為線段上一點，且，求實數(shù)的值；（3）若為線段上的動點，求的最小值，并指出當取最小值時點的位置.2023級高一下學期第二次階段性測試數(shù)學試題時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷（58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知一組數(shù)據(jù)3，4，5，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求解.【詳解】因為有8個數(shù)，且，所以分位數(shù)第三個數(shù)5．故選：D2.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，恰好有一個黑球的事件與恰好有兩個黑球的事件不能同時發(fā)生，可以同時不發(fā)生，因此“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而不對立的兩個事件，A是；對于B，至少有一個黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；對于C，至少有一個黑球的事件與至少有一個紅球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，C不是；對于D，至少有一個黑球的事件與都是黑球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，D不是.故選：A3.在空間中，設是不同的直線，表示不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】由面面平行和線面平行的性質(zhì)可判斷A；由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可判斷B；由面面垂直和線面平行的性質(zhì)可判斷C；由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，若，可得或，故A錯誤；對于B，若，可得或，故B錯誤；對于C，若，則，或，或與相交，故C錯誤；對于D，若，則，正確.故選：D.【點評】本題考查空間線線、線面和面面的位置關系，主要是平行和垂直的關系，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎題.4.某學校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為和樣本標準差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.9.8 D.20【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的方差公式計算即可得.【詳解】總體樣本平均數(shù)，所以.故選：B.5.已知平面向量，滿足，，，則，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對進行平方可得，可算出，最后利用夾角公式即可【詳解】依題意，，解得，故，故，故選：A．6.在中，，點P滿足，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定點的位置，然后根據(jù)向量數(shù)量積運算、圓的軌跡以及圓的幾何性質(zhì)求得的最大值.【詳解】設中點為，由題可知：，所以為的中點，故：，由，知點P的軌跡是以BC為弦，圓周角為的優(yōu)弧（除去兩點），由圓的性質(zhì)可知，當時，最大；此時是等邊三角形，，.故選：B【點睛】在三角形中，如果一個角是固定值，則根據(jù)圓的幾何性質(zhì)“同弧所對的圓周向相等”，可以判斷出這個角對應的定點的軌跡是圓弧.求解向量數(shù)量積，可以通過轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化為容易計算的角度來進行求解.7.正四面體中，M是側棱上的中點，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在正四面體中，作出對應的角，再比較三者間的的大小關系即可解決.【詳解】正四面體中，取中點，連接，，，過作于，連接，，過作的平行線交于，則，由平面平面可得平面，所以，則，由平面可得平面平面，又平面平面平面，則平面，則，因為，因為，所以，設正四面體邊長為，，所以，，，因，所以，又，則，綜上：.故選：C.8.如圖，正方體中，點E、F、G、H分別為棱的中點，點M為棱上的動點，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體幾何性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于①，連接，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面，平面，又，所以與AM是異面直線，正確；對于②，連接EH，則四邊形是平行四邊形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正確；對于③，取的中點T，當M與T重合時，連接，則有四點共面，即平面AEM截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當M點在線段上時，在平面內(nèi)作直線，交的延長線于U，交于V，連接UM，四點共面，平面，，即平面AEM截正方體的圖形是五邊形，如下圖：錯誤；對于④，在正方形ABCD內(nèi)，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正確；故選：C.【點睛】難點點睛：本題的難點在于當M點移動時，平面AEM與正方體的交面需要在平面內(nèi)尋找到與直線EM平行的直線AV，從而確定交面的形狀.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復平面內(nèi)，設O為坐標原點，復數(shù)對應的點分別為A，B，若，則z可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先利用復數(shù)的運算，再轉(zhuǎn)化為向量坐標表示，來計算數(shù)量積為0所滿足的條件即可判斷.【詳解】設則，，由復數(shù)對應的點分別為，則，由，則，即，所以得：或，對比各選項可知：A滿足,C、D滿足，選項B不符合題意.故選：ACD.10.某校組織“校園安全”知識測試，隨機調(diào)查600名學生，將他們的測試成績（滿分100分）按照，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.圖中B.估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85C.若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這600名學生成績的平均數(shù)約為79.5D.若按各組人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取30名成績低于80分的學生，則成績在內(nèi)的學生應抽取10人【答案】BCD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1計算判斷A；利用頻率分布直方圖結合第p百分位數(shù)、平均數(shù)的意義計算判斷BC；利用分層抽樣求出抽取的人數(shù)作答.【詳解】對于A，由圖知，解得，A錯誤；對于B，成績在內(nèi)對應的頻率為，成績在內(nèi)對應的頻率為，因此第60百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，，所以估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85，B正確；對于C，平均數(shù)約為，C正確；對于D，成績低于80分的三組學生的人數(shù)之比為，則應選取成績在內(nèi)的學生人數(shù)為，D正確.故選：BCD11.如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（）A.B.該四棱臺的側面積為C.若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D.若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為【答案】BD【解析】【分析】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計算，即可判斷C，將四棱臺展開，然后代入計算，即可判斷D【詳解】對于A，由題意可得，故A錯誤；對于B，梯形的高為，所以梯形的面積為，梯形的高為，所以梯形的面積為，故該四棱臺的側面積為，故B正確；對于C，若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當球的半徑最大時，球恰好與面、面、面均相切，過三個切點的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺的截面為等腰梯形，較長的底邊上的底角的正切值為，則，由于互補，故，則，所以（負值舍），從而球的半徑為，所以將半徑為的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯誤；對于D，將平面與平面展開至同一平面，如圖（2），則，將平面與平面展開至同一平面，如圖（3），則，所以最短路程為，故D正確．故選：BD【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將幾何體側面展開，將折線長轉(zhuǎn)化為線段長，即可求解.第Ⅱ卷（92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在方向上的投影向量為____________．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的公式進行求解.【詳解】根據(jù)題意可得，在方向上的投影向量為故答案為：.13.在三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積為____________．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解作答.【詳解】在中，，，，則，設外接圓半徑為，則，即，令外接圓圓心為，三棱錐外接球球心為，半徑為，有平面，由平面，得，又，取中點，于是四邊形為矩形，則球心到平面的距離，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：14.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點P在以的中點O為圓心、為半徑的半圓上，若，則下列說法正確的是____________．①②的最大值為③最大值為9④【答案】①③【解析】【分析】①利用三角形法則，進行轉(zhuǎn)化，最終利用，作為基底表示，④邊長為3的等邊三角形，三條邊的夾角，長度都知道，所以以，作為基底表示，進而求出數(shù)量積.②③以點O為原點建立平面直角坐標系,為軸，設，算出，根據(jù)平面向量的坐標表示及數(shù)量積的運算，最終用三角函數(shù)表示出，，進而利用函數(shù)思想求最值.【詳解】對于①，因為，且點P在以的中點O為圓心，為半徑的半圓上，所以，則，對于④，，則，對于③，如圖，以點O為原點建立平面直角坐標系，則，因為點P在以的中點O為圓心，為半徑的半圓上，所以點P的軌跡方程為，且在x軸的下半部分，設，則，所以，因為，所以，所以當時，取得最大值9，故③正確；對于②，因為，所以，即，所以，所以，因為，所以當時，取得最大值，故②錯誤．故答案為：①③【點睛】方法點睛：處理向量最值問題，常用建立直角坐標系，表示坐標，列出函數(shù)關系式，利用函數(shù)思想求最值.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位（1）如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）如果，是關于的方程的一個復根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用復數(shù)的四則運算求得，再利用復數(shù)的分類即可得解；（2）先利用復數(shù)的四則運算化簡，從而得到題設方程的兩個復根，再利用韋達定理即可得解.【小問1詳解】因為，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得（負值舍去），所以.【小問2詳解】因為，所以，則，因為是關于的方程的一個復根，所以與是的兩個復根，故，則，所以.16.如圖，在中，點在邊上，，，.（1）求；（2）若的面積是，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等邊三角形，進而可求；（2）由（1）可求，結合三角形的面積公式可求，在中，利用余弦定理可求.【小問1詳解】解：在中，因為，，由余弦定理得，即，整理得，解得．因為，所以，所以是等邊三角形，所以.【小問2詳解】解：因為，所以．因為的面積是，所以，所以，在中，，所以.17.如圖，已知，四邊形ABCD為長方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．（1）證明：BC⊥PD；（2）證明：求點C到平面PDA的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】(1)利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理得出BC⊥平面PDC，即可證明BC⊥PD；(2)利用等體積法，即可求點C到平面PDA的距離．【小問1詳解】∵四邊形ABCD是長方形，∴BC⊥CD，∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面PDC，∵平面PDC，∴BC⊥PD；【小問2詳解】取CD的中點E，連接AE和PE，∵PD＝PC，∴PE⊥CD，在Rt△PED中，．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，∴PE⊥平面ABCD，由(1)知：BC⊥平面PDC，∵四邊形ABCD是長方形，∴BC∥AD，∴AD⊥平面PDC，∵平面PDC，∴AD⊥PD，設點C到平面PDA的距離為h．連接AC，由