熱點(diǎn)15直線與圓年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷直線與圓的位置關(guān)系14直線與圓的位置關(guān)系6——新高考Ⅱ卷直線與圓的位置關(guān)系15直線與圓的位置關(guān)系15——【考向一】圓的方程及應(yīng)用【典例1】(2022·全國乙卷)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為(x2)2+(y3)2=13或(x2)2+(y1)2=5或(x43)2+(y73)2=659或(x85)2+(y1)2【審題思維】①不共線的三點(diǎn)確定一個圓②設(shè)出圓的一般式方程,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解【題后反思】1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2+(yb)2=r2(r>0)圓心C(a,b)半徑為r一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)圓心(D2,E半徑為1【提醒】方程(xa)2+(yb)2=m不一定表示圓.①當(dāng)m>0時,表示圓心為C(a,b),半徑為m的圓;②當(dāng)m=0時,表示一個點(diǎn)C(a,b);③當(dāng)m<0時,不表示任何圖形.2.求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;③解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.【典例2】(2024·北京高考)圓x2+y22x+6y=0的圓心到xy+2=0的距離為(C)A.23 B.2 C.32 D.6【審題思維】①求圓的圓心坐標(biāo)②利用點(diǎn)到直線的距離公式求解【題后反思】1.三種距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2||P1P2|=(點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離dd=|線線距兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離dd=|2.幾種特殊位置的圓的方程項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)x2+y2=r2x2+y2r2=0過原點(diǎn)(xa)2+(yb)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圓心在x軸上(xa)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圓心在y軸上x2+(yb)2=r2x2+y2+Ey+F=0與x軸相切(xa)2+(yb)2=b2x2+y2+Dx+Ey+14D2與y軸相切(xa)2+(yb)2=a2x2+y2+Dx+Ey+14E23.圓的直徑式方程以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0.【考向二】直線和圓的位置關(guān)系【典例1】(2024·全國甲卷)已知a,b,c成等差數(shù)列,直線ax+by+c=0與圓C:x2+(y+2)2=5交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(C)A.2 B.3 C.4 D.6【審題思維】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可知直線ax+by+c=0過定點(diǎn)P(1,2)→數(shù)形結(jié)合可知PC⊥AB時|AB|最小→由兩點(diǎn)間距離公式求|PC|→構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求弦長|AB|.【題后反思】1.確定方程含參數(shù)的直線所過定點(diǎn)的方法(1)將直線方程寫成點(diǎn)斜式y(tǒng)y1=f(λ)(xx0),從而確定定點(diǎn)(x0,y0).(2)將直線方程整理成參數(shù)方程,由方程中各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)為0確定定點(diǎn).(3)先給參數(shù)取兩個不同的值,再解直線方程構(gòu)成的方程組,從而確定定點(diǎn)坐標(biāo).2.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑的大小關(guān)系:d<r?相交;d=r?相切;d>r?相離.(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線l與圓C的方程,消去y(或x),得一元二次方程,計算判別式Δ=b24ac,Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相離.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線xmy+1=0與圓C:(x1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值為2(2,2,12,12中任意一個皆可以【審題思維】①根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,求出弦長|AB|②求出點(diǎn)C到直線AB的距離,結(jié)合面積公式即可解出【題后反思】1.計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何法:如圖1,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有(|AB|2)2+d2=r2,則|AB(2)代數(shù)法:如圖2,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k22.過一點(diǎn)的圓的切線方程的求法(切線斜率存在)(1)點(diǎn)在圓上時求過圓上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為1k,由點(diǎn)斜式可得切線方程.如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=x0(2)點(diǎn)在圓外時①幾何法:設(shè)切線方程為yy0=k(xx0).由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,也就可得切線方程.②代數(shù)法:設(shè)切線方程為yy0=k(xx0),與圓的方程聯(lián)立,消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切線方程.【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2023·全國乙卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y24x2y4=0,則xy的最大值是(C)A.1+322 B.4 C.1+32 D2.★★☆☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)過點(diǎn)(0,2)與圓x2+y24x1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=(B)A.1 B.154 C.104 D3.★★☆☆☆(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為(x1)2+(y+1)2=5.

4.★★★☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍是

13,【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·煙臺模擬)圓心在y軸上,半徑為2,且過點(diǎn)(2,4)的圓的方程為(D)A.x2+(y1)2=1 B.(x2)2+y2=4C.(x2)2+(y4)2=4 D.x2+(y4)2=42.★★☆☆☆(2024·西安三模)若過點(diǎn)P(0,1)可作圓x2+y22x4y+a=0的兩條切線,則a的取值范圍是(C)A.(3,+∞) B.(1,3) C.(3,5) D.(5,+∞)3.★★★☆☆(2024·南京模擬)已知點(diǎn)A,B在直線l:x2y2=0上運(yùn)動,且|AB|=25,點(diǎn)C在圓(x+1)2+y2=5上,則△ABC的面積的最大值為(A)A.8 B.5 C.2 D.14.★★★☆☆(2024·菏澤模擬)過點(diǎn)E(a,1)向圓M:(x1)2+(y1)2=2作兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若∠AEB=π3,則(DA.a=2或a=1 B.a=2或a=1C.a=3或a=1 D.a=3或a=15.★★★☆☆(2024·重慶三模)已知從點(diǎn)P(1,1)發(fā)出的光線經(jīng)y軸反射,反射光線與圓C:x2+y26x6y+745=0相切,其反射光線的斜率為(CA.12 B.2 C.12或2 D.16.★★★☆☆(2024·北京三模)已知圓C:(x3)2+(y1)2=1和兩點(diǎn)A(t,0),B(t,0)(t>0),若圓C上存在點(diǎn)P,使得·=0,則t的取值范圍為(B)A.(0,1] B.[1,3] C.[2,3] D.[3,4]7.★★★☆☆(2024·邵陽三模)已知直線l:xy2=0與圓O:x2+y2=1,過直線l上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則∠APB的最大值為(C)A.3π4 B.2π3 C.π2 8.★★★★☆(多選題)(2024·合肥模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y24y+3=0,則(BCD)A.當(dāng)x≠0時,yx的最小值是B.xy的最大值是C.yx的最小值是22D.x2+y2的最小值是19.★★★★☆(多選題)(2024·晉中模擬)已知圓M:(x1)2+(y+2)2=2,直線l:x3y+3=0,P是直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A,則當(dāng)切線長|PA|取最小值時,下列結(jié)論正確的是(BCD)A.|PA|=8B.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)C.PA的方程可以是y=x+1D.PA的方程可以是y=7x+110.★★★★☆(2024·泰州模擬)已知圓O:x2+y2=2,過直線l:2x+y=4在第一象限內(nèi)一動點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B,直線AB與兩坐標(biāo)軸分別交于M,N兩點(diǎn),則△OMN面積的最小值為1.

【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·杭州模擬)已知P,Q∈{(x,y)|x2+y2≤2|x|},則|PQ|的最大值是(C)A.2 B.22 C.4 D.422.★★★☆☆(2024·南京一模)萊莫恩(Lemoine)定理指出:過△ABC