高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省安慶市部分示范高中2024-2025學年高一下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因為，所以，即．故選：A．2.瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的歐拉公式：，其中為虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)．公式非常巧妙地將三角函數(shù)與復指數(shù)函數(shù)關聯(lián)了起來．根據(jù)歐拉公式，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】，因為，所以當時，的最大值為2.故選：D.3.如圖，在中，，，，則（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，即，因為，所以.故選：C.4.已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】由幾何意義知，對應向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B.5.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.7.已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由，故，即，如圖，設，則是等邊三角形，向量滿足與的夾角為，，因為點在外且為定值，所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，因此：當是所在圓的直徑時，取得最大值，在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.故選：D.8.如圖，在中，，，與交于點，過點作直線，分別交，于點，，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因三點共線，則存在，使，因，則點為的中點，故，又點在上，故，解得，故①，因三點共線，則存在，使得②，由①，②可得，消去，即得，即，于是，當且僅當時，的最小值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知都是復數(shù)，下列選項中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】對于選項A，取，，則，，滿足，但，則A不正確；對于選項B，設，，因為，所以不同時為0，，則B正確；對于選項C，取，，滿足，則C不正確；對于選項D，因為，所以，所以或，則，則D正確．故選：BD．10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關于直線對稱B.與的圖象關于點對稱C.當時，D.當時，與的圖象恰有4個交點【答案】ACD【解析】由題得，，A：與的圖象關于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當時，，，所以與的圖象不關于點對稱，故B錯誤；C：，當時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點，故D正確.故選：ACD.11.在，角的對邊分別為，且的面積滿足，為的外心．若，下列結論中正確的有（）A B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，由，得，由余弦定理得，即，得，又，故，∴，即，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于D，如圖，分別取的中點，連接，，所以，，，所以D錯誤；對于C，，由，可知，得，解得：，，故，所以C錯誤．故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則__________.【答案】【解析】因為是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，所以是關于的實系數(shù)方程的另一個復數(shù)根，因此.13.已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.【答案】【解析】由題意可知，為的外心，設半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為，因為，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則得②，①②聯(lián)立解得，，所以.14.如圖，在中，點在線段上，且，，則的面積的最大值為______.【答案】【解析】因為，，又，，所以，又，所以，又，的面積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知復數(shù)．（1）若，求；（2）在復平面內，復數(shù)對應的向量分別是，其中是原點，求的大?。猓海?），.（2）依題意向量，于是有，，為與的夾角，，，.16.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解：（1）[方法一]：余弦定理由，得，即.結合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結合正弦定理可得：，為銳角三角形，故.（2）[方法一]：余弦定理基本不等式因為，并利用余弦定理整理得，即.結合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質結合（1）的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.17.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角大??；（2）若的角平分線交于D，且，求面積的最小值．解：（1）由余弦定理，得，即，整理得，所以，又，所以．（2）因為，所以．因為，即，當且僅當時等號成立，所以．故面積的最小值為．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的大?。唬?）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理可得，，，則，，又，.（2）在中，由正弦定理，，，又為銳角三角形，，，，，，，故周長的取值范圍為．19.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，記，（1）請用來表示平行四邊形的面積；（2）若.①求平行四邊形面積的最大值，以及面積最大時角的值；②記（其中），求的取值范圍.解：（1）過點作的垂線，垂足為，在中，，在中，，則，所以，所以（2）①若，由題意可得，由（1）知：，故平行四邊形的面積，由于，故，故當時，即時，取得最大值為.②根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標系，則，即，又，則，因，即，則，，解得：，，，由點是弧上一動點，則，則，所以，即.則的取值范圍為.安徽省安慶市部分示范高中2024-2025學年高一下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因為，所以，即．故選：A．2.瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的歐拉公式：，其中為虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)．公式非常巧妙地將三角函數(shù)與復指數(shù)函數(shù)關聯(lián)了起來．根據(jù)歐拉公式，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】，因為，所以當時，的最大值為2.故選：D.3.如圖，在中，，，，則（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，即，因為，所以.故選：C.4.已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】由幾何意義知，對應向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B.5.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.7.已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由，故，即，如圖，設，則是等邊三角形，向量滿足與的夾角為，，因為點在外且為定值，所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，因此：當是所在圓的直徑時，取得最大值，在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.故選：D.8.如圖，在中，，，與交于點，過點作直線，分別交，于點，，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因三點共線，則存在，使，因，則點為的中點，故，又點在上，故，解得，故①，因三點共線，則存在，使得②，由①，②可得，消去，即得，即，于是，當且僅當時，的最小值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知都是復數(shù)，下列選項中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】對于選項A，取，，則，，滿足，但，則A不正確；對于選項B，設，，因為，所以不同時為0，，則B正確；對于選項C，取，，滿足，則C不正確；對于選項D，因為，所以，所以或，則，則D正確．故選：BD．10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關于直線對稱B.與的圖象關于點對稱C.當時，D.當時，與的圖象恰有4個交點【答案】ACD【解析】由題得，，A：與的圖象關于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當時，，，所以與的圖象不關于點對稱，故B錯誤；C：，當時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點，故D正確.故選：ACD.11.在，角的對邊分別為，且的面積滿足，為的外心．若，下列結論中正確的有（）A B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，由，得，由余弦定理得，即，得，又，故，∴，即，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于D，如圖，分別取的中點，連接，，所以，，，所以D錯誤；對于C，，由，可知，得，解得：，，故，所以C錯誤．故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則__________.【答案】【解析】因為是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，所以是關于的實系數(shù)方程的另一個復數(shù)根，因此.13.已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.【答案】【解析】由題意可知，為的外心，設半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為，因為，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則得②，①②聯(lián)立解得，，所以.14.如圖，在中，點在線段上，且，，則的面積的最大值為______.【答案】【解析】因為，，又，，所以，又，所以，又，的面積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知復數(shù)．（1）若，求；（2）在復平面內，復數(shù)對應的向量分別是，其中是原點，求的大小．解：（1），.（2）依題意向量，于是有，，為與的夾角，，，.16.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解：（1）[方法一]：余弦定理由，得，即.結合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結合正弦定理可得：，為銳角三角形，故.（2）[方法一]：余弦定理基本不等式因為，并利用余弦定理整理得，即.結合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質結合（1）的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.17.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角大??；（2）若的角平分線交于D，且，求面積的最小值．解：（1）由余弦定理，得，即，整理得，所以，又，所以．（2）因為，所以．因為，即，當且僅當時等號成立，所以．故面積的最小值為．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的大?。唬?）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理可得，，，則，，又