高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省惠州市惠城區(qū)五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)平面向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由有.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】由有.故選：A.3.已知在中，角的對邊分別為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由正弦定理可得，故.故選：C.4.已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，因?yàn)椋耘c共線，不能作為基底；對于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底；對于C，設(shè)，則，即：，此時(shí)無解，所以與不共線，可以作為基底；對于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底.故選：C.5.在中，若，則此三角形（）A.無解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以滿足的有兩個(gè)，所以此三角形有兩解.故選：B.6.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，所?..①，...②，由①+②得：，即.故選：B.7.已知，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)為向量，的夾角，因?yàn)椋韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?故選：B.8.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】由托勒密定理，得．因?yàn)椋裕O(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，則，故．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為（）A.兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B.向量與向量的長度相等C.對任意向量，是一個(gè)單位向量D.零向量沒有方向【答案】ACD【解析】對于A：由單位向量的定義可知，單位向量是模為1，方向任意，故A錯(cuò)誤；對于B：由相反向量的定義可知向量與向量的長度相等，故B正確；對于C：當(dāng)向量時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D：零向量是定義大小為0，方向任意，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，若向量，滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，則，故C正確；對于D：，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在中，，則（）A. B.的面積為8C. D.內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【解析】由，所以，由余弦定理有：，所以，故A正確；由，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____________．【答案】【解析】由，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，即.13.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】解法1：因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.解法2：因?yàn)椋O(shè)，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，所以，解得：，所?14.“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成．如圖，記榴花塔高為，測量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量點(diǎn)和，現(xiàn)測得m，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為_____________m．【答案】【解析】依題意，中，，，即，解得.在中，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量的夾角為120°，求．解：（1）由，設(shè)，∴，∵，∴，解得或，所以或．（2）∵，，，∴，∴，∴．16.在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）若，，求的值：（2）若，判斷的形狀．解：（1）由正弦定理，故，再由余弦定理得，，從而.（2）因?yàn)?，所以由余弦定理得，結(jié)合得，進(jìn)而，所以是等邊三角形．17.已知，，，是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，其中，，且向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，．（1）若，求，；（2）若，對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限，求．解：（1）由題意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，可得，，，可得．18.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因?yàn)樵诹庑沃校?故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑?，且，，故?所以.故①式.故.19.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且.（1）求∠PAQ的大?。唬?）求面積的最小值；（3）某同學(xué)在探求過程中發(fā)現(xiàn)PQ的長也有最小值，結(jié)合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對嗎?請說明理由．解：（1）記，，則．（1）解法一：∵，∴，，∴，∴，∵正方形ABCD的邊長為1，∴，，在中，，，由，則，∴，．∵，∴．解法二：．設(shè)，，則．在中，，即，．∵，∴．（2），．∴，∵，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，面積的最小值為．（3）設(shè)中PQ邊上的高為h，由，得，．又∵，∴，且，∴，∴，即為定值，該同學(xué)猜想正確.廣東省惠州市惠城區(qū)五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)平面向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由有.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】由有.故選：A.3.已知在中，角的對邊分別為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由正弦定理可得，故.故選：C.4.已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，因?yàn)?，所以與共線，不能作為基底；對于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底；對于C，設(shè)，則，即：，此時(shí)無解，所以與不共線，可以作為基底；對于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底.故選：C.5.在中，若，則此三角形（）A.無解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以滿足的有兩個(gè)，所以此三角形有兩解.故選：B.6.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，所?..①，...②，由①+②得：，即.故選：B.7.已知，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)為向量，的夾角，因?yàn)椋韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?故選：B.8.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】由托勒密定理，得．因?yàn)椋裕O(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，則，故．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為（）A.兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B.向量與向量的長度相等C.對任意向量，是一個(gè)單位向量D.零向量沒有方向【答案】ACD【解析】對于A：由單位向量的定義可知，單位向量是模為1，方向任意，故A錯(cuò)誤；對于B：由相反向量的定義可知向量與向量的長度相等，故B正確；對于C：當(dāng)向量時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D：零向量是定義大小為0，方向任意，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，若向量，滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，則，故C正確；對于D：，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在中，，則（）A. B.的面積為8C. D.內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【解析】由，所以，由余弦定理有：，所以，故A正確；由，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____________．【答案】【解析】由，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，即.13.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】解法1：因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.解法2：因?yàn)?，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所以，解得：，所?14.“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成．如圖，記榴花塔高為，測量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量點(diǎn)和，現(xiàn)測得m，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為_____________m．【答案】【解析】依題意，中，，，即，解得.在中，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量的夾角為120°，求．解：（1）由，設(shè)，∴，∵，∴，解得或，所以或．（2）∵，，，∴，∴，∴．16.在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）若，，求的值：（2）若，判斷的形狀．解：（1）由正弦定理，故，再由余弦定理得，，從而.（2）因?yàn)?，所以由余弦定理得，結(jié)合得，進(jìn)而，所以是等邊三角形．17.已知，，，是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，其中，，且向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，．（1）若，求，；（2）若，對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限，求．解：（1）由題意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，可得，，，可得．18.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因?yàn)樵诹庑沃校?故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑危?，，故?所以.故①式.故.19.如圖，正方形