高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則.故選：B.2.已知平面向量，則“”是“，共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若則，共線，故充分性成立；若，共線，不一定得到，如，，顯然滿足，共線，但是不存在實(shí)數(shù)使得，故必要性不成立；所以“”是“，共線”的充分不必要條件.故選：A.3.設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為（）A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[1，2]【答案】C【解析】因?yàn)槭侨齻€(gè)單位向量，因此，當(dāng)三個(gè)向量同向時(shí)，取得最大值為；當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛沙山菚r(shí)，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C.4.已知平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，.故選：C.5.已知向量，，，若點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，若點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即，解得：，所以的值為.故選：B.6.如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)稱性可得，連接，與的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故，，，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，則向量在向量上的投影向量為，所以，如圖過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，所以，，觀察圖象可得，其中與同向，與反向，所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最大值，最大值為，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最小值，最小值為，所以的取值范圍是.故選：B.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為380N，則該學(xué)生的體重（單位kg）約為（）(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為10m/s2，)A. B. C. D.【答案】B【解析】由物理定理可得，該學(xué)生的重力與兩只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反兩只胳膊的拉力的合力大小為則該學(xué)生的體重約為（kg）.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中的真命題是（）A.若為非零向量，則與同向B.若，則與的夾角為鈍角C.若，則D.的充要條件是且【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭莻€(gè)正數(shù)，所以與是同方向的單位向量，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與的夾角為時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，的長(zhǎng)度相等且方向相同；由，得，的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以，的長(zhǎng)度相等且方向相同，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且方向相反時(shí)，不成立，所以且不是的充要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心B.若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)為的重心C.若為的垂心，，則D.若為銳角的外心，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，如圖，則，，所以P點(diǎn)軌跡經(jīng)過(guò)三角形的重心，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，可得，即，所以點(diǎn)為的重心，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，又因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榍遥?，整理得：，即，設(shè)為中點(diǎn)，則，所以三點(diǎn)共線，如圖，又因?yàn)?，所以垂直平分，故，正確.故選：BCD.11.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若，，，則有兩解B.若，則是等腰三角形C.若在線段上，且，，，，則的面積為8D.若，，，動(dòng)點(diǎn)在所在平面內(nèi)且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由，，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以有兩解，即有兩解，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；對(duì)于C中，由在線段上，且，，，，則，設(shè)，中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，在中，由余弦定理可得，所以，所以的面積為，所以C正確；對(duì)于D中，在中，因?yàn)椋?，則點(diǎn)在以為弦的一個(gè)圓上，由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，如圖所示，因?yàn)?，可得，所以，所以的長(zhǎng)度為，同理，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，可得對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)也是，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且，則__________．【答案】【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖．則，則．（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，如圖．則，即．綜上，．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)______.【答案】【解析】在方向上的投影向量為.14.已知平面向量，，滿足與的夾角為銳角，，，，且的最小值為，向量的取值范圍是________．【答案】【解析】由題，因?yàn)?，，所以，因最小值為，且由二次函?shù)分析可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得，又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，故；因?yàn)?，又有，將模長(zhǎng)代入，設(shè)，即原式，因?yàn)椋?四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟15.已知向量．（1）求向量與的夾角的大??；（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量滿足，求的值．解：（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.（3）依題意，即，于是，解得，所以.16.在中，分別為角所對(duì)的邊，且，角A的平分線交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的長(zhǎng)．解：（1）由和正弦定理，可得，因，則，即，因?yàn)椋瑒t得，因，則．（2）如圖，因是的平分線，則，解得，又，則，即，解得.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以.（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，，因?yàn)椋瑒t，，所以，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，則，，故.18.如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點(diǎn).（1）若，當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直？（2）若G為的重心，直線l過(guò)點(diǎn)G交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，且，求最小值.（3）若的最小值為1，求的值.解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理得，即，所?若與垂直，則，所以，所以，解得，即時(shí)，與垂直.（2）因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又因?yàn)?，所以，由于三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以化簡(jiǎn)為，所以，所以.顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最值.則的最小值為2.（3）設(shè)與的夾角為，在中，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，即取最小值1時(shí)，．19.給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對(duì)于D上任意的點(diǎn)P，為與P無(wú)關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).（1）已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；（2）若圖形D是邊長(zhǎng)為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.解：（1）點(diǎn)不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，理由如下：當(dāng)與重合時(shí)，有，當(dāng)與重合時(shí)，有，故不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).（2）因?yàn)?，所以，故由正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)得：當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值0.所以的取值范圍為.（3）設(shè)單位圓的圓心為，則，所以，因?yàn)槎噙呅问钦?024邊形，所以由偶數(shù)邊的正多邊形圖形結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故，又，所以，故是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，且.河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t.故選：B.2.已知平面向量，則“”是“，共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若則，共線，故充分性成立；若，共線，不一定得到，如，，顯然滿足，共線，但是不存在實(shí)數(shù)使得，故必要性不成立；所以“”是“，共線”的充分不必要條件.故選：A.3.設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為（）A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[1，2]【答案】C【解析】因?yàn)槭侨齻€(gè)單位向量，因此，當(dāng)三個(gè)向量同向時(shí)，取得最大值為；當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛沙山菚r(shí)，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C.4.已知平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，.故選：C.5.已知向量，，，若點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，若點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即，解得：，所以的值為.故選：B.6.如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)稱性可得，連接，與的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故，，，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，則向量在向量上的投影向量為，所以，如圖過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，所以，，觀察圖象可得，其中與同向，與反向，所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最大值，最大值為，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的位置時(shí)，取最小值，最小值為，所以的取值范圍是.故選：B.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為380N，則該學(xué)生的體重（單位kg）約為（）(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為10m/s2，)A. B. C. D.【答案】B【解析】由物理定理可得，該學(xué)生的重力與兩只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反兩只胳膊的拉力的合力大小為則該學(xué)生的體重約為（kg）.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中的真命題是（）A.若為非零向量，則與同向B.若，則與的夾角為鈍角C.若，則D.的充要條件是且【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭莻€(gè)正數(shù)，所以與是同方向的單位向量，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與的夾角為時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，的長(zhǎng)度相等且方向相同；由，得，的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以，的長(zhǎng)度相等且方向相同，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且方向相反時(shí)，不成立，所以且不是的充要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心B.若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)為的重心C.若為的垂心，，則D.若為銳角的外心，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，如圖，則，，所以P點(diǎn)軌跡經(jīng)過(guò)三角形的重心，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，可得，即，所以點(diǎn)為的重心，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，又因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榍遥?，整理得：，即，設(shè)為中點(diǎn)，則，所以三點(diǎn)共線，如圖，又因?yàn)椋源怪逼椒?，故，正確.故選：BCD.11.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若，，，則有兩解B.若，則是等腰三角形C.若在線段上，且，，，，則的面積為8D.若，，，動(dòng)點(diǎn)在所在平面內(nèi)且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由，，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以有兩解，即有兩解，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；對(duì)于C中，由在線段上，且，，，，則，設(shè)，中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，在中，由余弦定理可得，所以，所以的面積為，所以C正確；對(duì)于D中，在中，因?yàn)?，，則點(diǎn)在以為弦的一個(gè)圓上，由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，如圖所示，因?yàn)椋傻?，所以，所以的長(zhǎng)度為，同理，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，可得對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)也是，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且，則__________．【答案】【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖．則，則．（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，如圖．則，即．綜上，．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)______.【答案】【解析】在方向上的投影向量為.14.已知平面向量，，滿足與的夾角為銳角，，，，且的最小值為，向量的取值范圍是________．【答案】【解析】由題，因?yàn)?，，所以，因最小值為，且由二次函?shù)分析可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得，又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，故；因?yàn)?，又有，將模長(zhǎng)代入，設(shè)，即原式，因?yàn)椋?四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟15.已知向量．（1）求向量與的夾角的大?。唬?）若向量，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量滿足，求的值．解：（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.（3）依題意，即，于是，解得，所以.16.在中，分別為角所對(duì)的邊，且，角A的平分線交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的長(zhǎng)．解：（1）由和正弦定理，可得，因，則，即，因?yàn)?，則得，因，則．（2）如圖，因是的平分線，則，解得，又，則，即，解得.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以