高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省鄭州市金水區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.向量，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】由題可知，∴.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A.3.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.4.在中，點(diǎn)，分別為，邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，而，所以.故選：D.5.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于方程一個(gè)根，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于方程的一個(gè)根，所以，整理得，所以，解得.故選：D.6.在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D.7.如圖，在坡度一定山坡處測(cè)得山頂上一建筑物的頂端對(duì)于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)到達(dá)處，在處測(cè)得對(duì)于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，又，解得，在中，由正弦定理得，解得，即，所?故選：.8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點(diǎn)，滿足，，則歐拉線一定過(guò)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，即為的外心；，則為的重心；，即有，即，同理，即為垂心；由解析題中向量式中有兩共起點(diǎn)的向量，于是，，令，則是以為起點(diǎn)，向量與所在線段為鄰邊菱形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，共線，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，由歐拉線定理知，歐拉線一定過(guò).故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是兩個(gè)不共線的單位向量，則下列各組向量中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，故B正確；對(duì)于C，，，由于不共線，故，所以向量不平行，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，，故，此時(shí)，故D正確.故選：ABD．10.已知非零復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，且，，A正確；，B正確；，，所以與不一定相等，C錯(cuò)誤；令，則，D錯(cuò)誤．故選：AB.11.在中，是的內(nèi)切圓圓心，內(nèi)切圓的半徑為，則（）A.B.C.的外接圓半徑為D.【答案】BCD【解析】因?yàn)閮?nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以在中，，故A錯(cuò)誤；由余弦定理可得，因?yàn)榈拿娣e，所以，故B正確；設(shè)的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對(duì)于D：方法一：因?yàn)樵诘钠椒志€上，所以可設(shè)，則，同理可設(shè)，則，得，又、不共線，根據(jù)平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)論，有，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，，，則__________.【答案】【解析】由正弦定理有，即，解得，而，所以，所以，所以.13.已知.若的夾角為鈍角，則的范圍為__________.【答案】且【解析】若，的夾角為鈍角，則，且與不平行，即，且，求得且.14.復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)，連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______．【答案】8【解析】令，，且，由，則，即，故①，由兩點(diǎn)，連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，即②，聯(lián)立①②，可得，且，即，，由，即，故為直角三角形，又，，故的面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)求：（1）的模；（2）；（3）在上的投影向量.解：（1）已知點(diǎn)，所以，因此的模為.（2）由已知可得，所以.（3）根據(jù)投影向量的定義可得，在上的投影向量為.16.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋瑒t，所以為純虛數(shù)，所以，解得.所以，因此.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，解得.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）若，，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，則（或，舍去），即.（2）因?yàn)?，，所以?.由，可得，.故的周長(zhǎng)為.18.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.解：（1）因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)椋謩e為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因?yàn)橄蛄?，的“完美坐?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則，因?yàn)椋?，即，令，因?yàn)榈膱D象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)?19.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形（凸四邊形是指沒(méi)有角度大于180°的四邊形）進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大.根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題，如圖，在凸四邊形中，（1）若，，，（圖1），求線段長(zhǎng)度的最大值；（2）若，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時(shí)角的大小，并求出四邊形面積的最大值；（3）在滿足（2）條件下，若點(diǎn)是外接圓上異于的點(diǎn)，求的最大值.解：（1）由，，，，可得，由題意可得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為.（2）如圖2，連接，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大，，，，所以，即，，在中，，①在中，由余弦定理可得，②由①②可得，解得，而，可得，所以，此時(shí)．所以時(shí)，四邊形面積取得最大值，且最大值為．（3）由題意可知所以，即，在中，由余弦定理可得，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為.河南省鄭州市金水區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.向量，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】由題可知，∴.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A.3.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.4.在中，點(diǎn)，分別為，邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，而，所以.故選：D.5.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于方程一個(gè)根，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于方程的一個(gè)根，所以，整理得，所以，解得.故選：D.6.在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D.7.如圖，在坡度一定山坡處測(cè)得山頂上一建筑物的頂端對(duì)于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)到達(dá)處，在處測(cè)得對(duì)于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，又，解得，在中，由正弦定理得，解得，即，所?故選：.8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點(diǎn)，滿足，，則歐拉線一定過(guò)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，即為的外心；，則為的重心；，即有，即，同理，即為垂心；由解析題中向量式中有兩共起點(diǎn)的向量，于是，，令，則是以為起點(diǎn)，向量與所在線段為鄰邊菱形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，共線，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，由歐拉線定理知，歐拉線一定過(guò).故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是兩個(gè)不共線的單位向量，則下列各組向量中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，故，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，故B正確；對(duì)于C，，，由于不共線，故，所以向量不平行，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，，故，此時(shí)，故D正確.故選：ABD．10.已知非零復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，且，，A正確；，B正確；，，所以與不一定相等，C錯(cuò)誤；令，則，D錯(cuò)誤．故選：AB.11.在中，是的內(nèi)切圓圓心，內(nèi)切圓的半徑為，則（）A.B.C.的外接圓半徑為D.【答案】BCD【解析】因?yàn)閮?nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以在中，，故A錯(cuò)誤；由余弦定理可得，因?yàn)榈拿娣e，所以，故B正確；設(shè)的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對(duì)于D：方法一：因?yàn)樵诘钠椒志€上，所以可設(shè)，則，同理可設(shè)，則，得，又、不共線，根據(jù)平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)論，有，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，，，則__________.【答案】【解析】由正弦定理有，即，解得，而，所以，所以，所以.13.已知.若的夾角為鈍角，則的范圍為__________.【答案】且【解析】若，的夾角為鈍角，則，且與不平行，即，且，求得且.14.復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)，連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______．【答案】8【解析】令，，且，由，則，即，故①，由兩點(diǎn)，連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，即②，聯(lián)立①②，可得，且，即，，由，即，故為直角三角形，又，，故的面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)求：（1）的模；（2）；（3）在上的投影向量.解：（1）已知點(diǎn)，所以，因此的模為.（2）由已知可得，所以.（3）根據(jù)投影向量的定義可得，在上的投影向量為.16.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，則，所以為純虛數(shù)，所以，解得.所以，因此.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，解得.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）若，，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，則（或，舍去），即.（2）因?yàn)?，，所以?.由，可得，.故的周長(zhǎng)為.18.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.解：（1）因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)椋謩e為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因?yàn)橄蛄?，的“完美坐?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則，因?yàn)椋?，即，令，因?yàn)榈膱D象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)?19.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形（凸四邊形是指沒(méi)有角度大于180°的四邊形）進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大.根據(jù)上述材料，解決以