第七章詞項邏輯的現(xiàn)代形式

——謂詞邏輯初步第一節(jié)直言命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

——一元謂詞邏輯的基本知識一、個體詞與謂詞個體詞：是指稱個體的詞項，亦即表達單獨概念的語詞。如：上海，華東師范大學(xué)通常用小寫英文字母x,y,a,b,c……表示個體詞。謂詞：是指稱個體的性質(zhì)或個體間關(guān)系的詞項。如：人，科學(xué)；大于，交叉通常用大寫字母F,G,H,R,Q等表示?！纠?】9是自然數(shù)?！?”是個體詞，“是自然數(shù)”是一個謂詞。可記為：F（a）

讀作：個體a具有性質(zhì)F。【例2】小王和小李是朋友?！靶⊥酢焙汀靶±睢笔莻€體詞；“……和……是朋友”是一個謂詞。可記作：R(a,b)讀作：個體a和b有關(guān)系R?！纠?】天津位于北京和濟南之間?！疤旖颉薄氨本薄皾稀笔莻€體詞，“……位于……和……之間”是一個謂詞?？捎涀鳎篞（a,b,c)，讀作：個體a,b,c有關(guān)系Q.指稱個體性質(zhì)的謂詞是一元謂詞，指稱兩個個體之間關(guān)系的謂詞是二元謂詞；一般地，指稱n（n≥2）個個體之間關(guān)系的謂詞就是n元謂詞。二、量詞、約束變元和自由變元量詞：在命題中指稱數(shù)量的詞項就是量詞。量詞只用于限定個體詞的數(shù)量范圍而不涉及謂詞的謂詞邏輯，又叫作一階謂詞邏輯，或狹謂詞邏輯。量詞可分為全稱量詞和存在量詞：全稱量詞：指稱某個體域中的任何個體或所有個體的詞項。語詞形式：一切、所有、凡、任何（一個）、每一個可用符號記作：?存在量詞：指稱某個體域中至少有一個個體存在的量詞。語詞形式：有的、某些、某個、（至少）有一個、（至少）存在（一個）可用符號記作：?

包含一元謂詞的簡單命題（即傳統(tǒng)邏輯學(xué)所說的直言命題）的符號化：①全稱命題的符號化：【例1】任何事物都是發(fā)展變化的。用全稱量詞?表示“任何”用一元謂詞F表示“是發(fā)展變化的”用D表示所有具體事物構(gòu)成的個體域用x表示D中的任意一個事物該命題可符號化為表達式：(?x)F(x)，讀作：對任何一個事物x而言，x具有性質(zhì)F?！纠?】凡商品都有使用價值。用全稱量詞?表示“凡”用一元謂詞F、G分別表示“是商品”和“有使用價值”該命題可符號化為表達式：(?x)(F(x)→G(x))讀作：對任何一個事物x而言，如果x具有性質(zhì)F，那么x具有性質(zhì)G。注意：一般用小寫字母x,y,z……表示個體變元，即某一個體域中任意的非特指個體，用a,b,c……表示特定的個體，它們也被稱為個體常元。②存在命題的符號化：【例1】有的事物是有生命的。用存在量詞?表示“有的”用一元謂詞F表示“是有生命的”個體域D是所有具體事物構(gòu)成的集合用x表示個體變元該命題可符號化為表達式：(?x)F(x)，讀作：至少存在一個事物x，它具有性質(zhì)F?！纠?】有的金屬是液體。用存在量詞?表示“有的”用一元謂詞F、G分別表示“是金屬”和“是液體”該命題可符號化為表達式：(?x)(F(x)∧G(x))讀作：至少存在一個事物x，它具有性質(zhì)F并且具有性質(zhì)G。約束變元和自由變元在謂詞表達式中，受量詞限定或約束的個體變元叫作約束變元，不處于量詞約束范圍之內(nèi)的個體變元稱為自由變元?！纠磕橙耸菙?shù)學(xué)家。其謂詞表達式為：x是數(shù)學(xué)家。其個體變元是自由變元。謂詞含義確定的、含有自由變元的謂詞表達式是無真無假的命題形式。約束變元和自由變元【例】所有人都是數(shù)學(xué)家。有的人是數(shù)學(xué)家。其謂詞表達式分別是：(?x)(x是人→x是數(shù)學(xué)家)(?x)(x是人∧x是數(shù)學(xué)家)其個體變元都是約束變元。無需用具體的個體詞代入就能區(qū)分其真假。因此，謂詞含義確定的、由約束變元組成的謂詞表達式是命題，而不只是命題形式。判斷含有兩次的謂詞表達式中，個體變元是自由的還是約束的：取決于它是否處在它的量詞的約束范圍，即轄域中。F(x)→F(y)(?x)(F(x)→F(y))?x?y(F(x)

→F(y))Fx→(?x)G(x)

x是約束的，y是自由的x，y均是自由的x，y均是約束的前一個x是自由的，后一個x是約束的量詞后有括號時，括號內(nèi)的表達式就是該量詞的轄域；無括號時，量詞后最短的表達式就是其轄域。三、直言命題的謂詞表達式1.全稱肯定命題SAP的謂詞表達式：(?x)(S

(x)→P(x))讀作：對于任何一個x而言，如果x是S，則x是P。2.全稱否定命題SEP的謂詞表達式：

(?x)(S

(x)→~P(x))讀作：對于任何一個x而言，如果x是S，則x不是P。3.特稱肯定命題SIP的為此表達式：

(?x)(S

(x)∧P(x))讀作：至少存在一個x，x是S并且是P。4.特稱否定命題SOP的謂詞表達式：

(?x)(S

(x)∧~P(x))讀作：至少存在一個x，x是S但不是P。第二節(jié)直言命題的推理形式化及其判定

——狹謂詞邏輯的基本知識一、狹謂詞推理及其基本的有效式狹謂詞推理：指其前提和結(jié)論均為狹謂詞表達式（量詞只用于個體變元的表達式）的演繹推理?？梢宰鳛楠M謂詞推理的前提和依據(jù)的基本有效式：1.全稱命題與存在命題的等值推理~SAP?SOP~SEP?SIP~SIP?SEP~SOP?SAP~(?x)(S

(x)→P(x))?(?x)(S(x)∧~P(x))~(?x)(S

(x)→~P(x))?(?x)(S(x)∧P(x))~(?x)(S

(x)∧P(x))?(?x)(S(x)∧~P(x))~(?x)(S

(x)∧~P(x))?(?x)(S(x)∧P(x))2.全稱命題和存在命題的蘊涵推理有效式：(?x)(F

(x)→F(y))有效式：F

(y)→(?x)F(x)有效式(?x)(F

(x)→(?x)F(x)前提結(jié)論二、直言命題推理有效式的判定1.將A、E、I、O四種直言命題符號化：SAP:?(S→P)SEP:?(S→~P)SIP:?(S∧P)SOP:?(S∧~P)2.形式判定規(guī)則規(guī)則1：~?（并非所有）應(yīng)等值地換為?~（有非）；~?（沒有）應(yīng)等值地換為?~（所有不）規(guī)則2：前提中有?命題，結(jié)論為?命題的推理無效。規(guī)則3：如果結(jié)論從兩個前提推出，則至少有一前提為?命題，否則無效?！纠?】試判定矛盾關(guān)系推理SAP→SOP的有效性。

解：首先，將SAP→SOP符號化為：①?（S→P)→~?(S∧~P)其次，利用規(guī)則1，將①換成②，并用歸謬賦值法對其進行判定：②?（S→P)→?~(S∧~P)TTTFFTTTF【例2】試判定差等關(guān)系推理SIP→SAP的有效性。解：將SIP→SAP符號化為：?(S∧P)→?（S→P)根據(jù)規(guī)則2，可判定差等關(guān)系推理SIP→SAP是無效的?！纠?】試判定換質(zhì)法推理SAP→SEP的有效性。

解：將SAP→SEP符號化，并用歸謬賦值法對其進行判定：?（S→P)→?(S→~~P)TTTFTFFTF其中P出現(xiàn)賦值矛盾，故可判定換質(zhì)法推理SAP→SEP是有效的?！纠?】試判定換位法推理SOP→POS的有效性。解：將SOP→POS符號化，并用歸謬賦值法對其進行判定：

?(S∧~P)→?（P∧~S)

TTTFFFFFT賦值無矛盾，故可判定換位法推理SOP→POS是無效的?！纠?】試判定三段論第一個AAA的有效性。

解：將三段論第一格AAA式MAP∧SAM→SAP符號化，并用歸謬賦值法對其進行判定：?（M→P)∧?(S→M)→?(S→P)TTTTTTTFTFF其中P出現(xiàn)賦值矛盾，故可判定三段論第一格AAA是有效的。【例6】試判定三段論第一格AEE式的有效性。解：將三段論第一格AEE式MAP∧SEM→SEP符號化，并用歸謬賦值法對其進行判定：

?(M→P)∧?（S→~M)→?(S→~P)

FTTTTTTFFTFFT賦值無矛盾，故可判定三段論第一格AEE式是無效的。注意：使用本判定方法，某些在傳統(tǒng)邏輯看來有效的直言命題推理也會被判定為無效。

原因在于：全稱命題與特稱命題的謂詞表達式的類型是不一樣的。傳統(tǒng)邏輯允許從全稱命題推出特稱命題，而謂詞邏輯并不預(yù)設(shè)個體詞的存在含義，所以就出現(xiàn)了與傳統(tǒng)邏輯的上述差異。為此需要增加一條判定規(guī)則：規(guī)則4：如果被判定推理的前提是?型蘊涵式，則應(yīng)在前提中增加其前件的合取。

【例7】試判定等差關(guān)系推理SAP→SIP的有效性。

解：將等差關(guān)系推理SAP→SIP符號化為：?（S→P)→?(S∧P)根據(jù)規(guī)則4對上述表達式進行轉(zhuǎn)換，并用歸謬賦值法對其進行判定：?（S→P)∧S→?(S∧P)TTTTTFTFF其中P出現(xiàn)賦值矛盾，故可判定SAP→SIP是有效的。第三節(jié)關(guān)系命題與關(guān)系推理

——多元謂詞邏輯的基本知識一、多元謂詞與關(guān)系命題n元謂詞：需要同n（n≥2）個個體詞結(jié)合才能組成一個簡單命題的謂詞，就是n元謂詞。各種n元謂詞統(tǒng)稱多元謂詞?！纠?】孔子早于墨子?！纠?】上海在南京和杭州之間?！啊缬凇保憾^詞“……在……和……之間”：三元謂詞含有多元謂詞的簡單命題通常叫作關(guān)系命題。關(guān)系命題由個體詞、謂詞和量詞三部分組成：個體詞：指稱承擔(dān)某種關(guān)系的個體或?qū)ο蟮脑~項，傳統(tǒng)邏輯又稱之為關(guān)系者項，二元謂詞聯(lián)結(jié)的兩個關(guān)系者項又有關(guān)系者前項與關(guān)系者后項之分。謂詞：指稱個體或?qū)ο笾g關(guān)系的詞項，傳統(tǒng)邏輯稱其為關(guān)系項。量詞：指稱個體詞的外延或數(shù)量范圍的詞項，有全稱量詞與存在（即特稱）量詞之分?！纠块_學(xué)之初，所有的系領(lǐng)導(dǎo)都去宿舍看望了有些同學(xué)。關(guān)系者前項關(guān)系者后項關(guān)系項全稱量詞存在量詞含有二元謂詞的關(guān)系命題的符號化：aRb或R（a，b)讀作：a與b有關(guān)系R(?x)(?y)R(x,y)讀作：所有x與所有y有關(guān)系R(?x)(?y)R(x,y)讀作：所有x與有的y有關(guān)系R(?x)(?y)R(x,y)讀作：有的x與所有y有關(guān)系R(?x)(?y)R(x,y)讀作：有的x與有的y有關(guān)系R二、關(guān)系的幾種基本邏輯性質(zhì)二元關(guān)系基本的邏輯性質(zhì)有三種：對稱性、傳遞性和自返性。（一）對稱性1.對稱關(guān)系：就是關(guān)系者前項與后項雖經(jīng)互換位置而不改變原關(guān)系命題真值的一種關(guān)系。關(guān)系R是對稱的，當且僅當(?x)(?y)(R(x,y)→R(y,x))例如，概念在外延間的同一關(guān)系、交叉關(guān)系和全異關(guān)系，命題間的矛盾關(guān)系等，都是對稱關(guān)系。2.反對稱關(guān)系：互換關(guān)系者前項與后項的位置會導(dǎo)致原關(guān)系命題被否定的一種關(guān)系。亦可定義為：關(guān)系R是反對稱的，當且僅當(?x)(?y)(R(x,y)→~R(y,x))例如，概念在外延間的真包含關(guān)系、真包含于關(guān)系，數(shù)學(xué)中的大于、小于關(guān)系等，都是反對稱關(guān)系。3.非對稱關(guān)系：既不對稱又不反對稱的關(guān)系。亦可定義為：關(guān)系R是非對稱的，當且僅當(?x)(?y)(R(x,y)→~R(y,x)∨~R（y,x))例如，認識關(guān)系就是一種非對稱關(guān)系。此外批評、喜歡、控告等關(guān)系都是非對稱關(guān)系。（二）傳遞性1.傳遞關(guān)系：若對象x與y有關(guān)系R，y與z也有關(guān)系R，則x與z必有關(guān)系R的一種關(guān)系。亦可定義為：關(guān)系R是傳遞的，當且僅當(?x)(?y)(?z)(R(x,y)∧R(y,z))

→R(x,z))例如：命題間的蘊涵關(guān)系就是一種傳遞關(guān)系。此外，概念在外延間的同一、真包含于、真包含關(guān)系，命題間的等值關(guān)系，數(shù)學(xué)上的大于、小于等，都是傳遞關(guān)系。2.反傳遞關(guān)系：若對象x與y有關(guān)系R，y與z也有關(guān)系R，則x與z必定沒有關(guān)系R的一種關(guān)系。亦可定義為：關(guān)系R是反傳遞的，當且僅當(?x)(?y)(?z)(R(x,y)∧R(y,z))→~R(x,z))例如：概念外延間的矛盾關(guān)系以及命題間的矛盾關(guān)系都是反傳遞關(guān)系。此外，如“……是……的父親”“……比……大3歲”等也是反傳遞關(guān)系。3.非傳遞關(guān)系：就是既不傳遞又不反傳遞的關(guān)系?？啥x為：關(guān)系R是非傳遞的，當且僅當(?x)(?y)(?z)(R(x,y)∧R(y,z)→R（x,z)∨~R(x,z))例如：命題間的蘊涵關(guān)系就是一種傳遞關(guān)系。此外概念在外延間的交叉、反對關(guān)系，鄰居、朋友等關(guān)系也是非傳遞關(guān)系。三、基本的關(guān)系推理（一）純關(guān)系推理即通常所說的關(guān)系推理，就是以關(guān)系命題為前提和結(jié)論的演繹推理。1.直接的關(guān)系推理：從一個關(guān)系命題推出另一個關(guān)系命題的關(guān)系推理。常見有效式：①對稱關(guān)系推理：根據(jù)對稱關(guān)系的邏輯性質(zhì)進行推演的關(guān)系推理?！纠坎懿俸椭T葛亮是同時代人，所以諸葛亮和曹操也是同時代人。公式：R(a,b)

→

R(b,a)

②反對稱關(guān)系推理：根據(jù)反對稱關(guān)系的邏輯性質(zhì)進行推演的關(guān)系推理【例】事實勝于雄辯，所以雄辯不能勝于事實。公式：R(a,b)→

~R(b,a)

2.間接的關(guān)系推理：從兩個或兩個以上的關(guān)系命題推出另一個關(guān)系命題的關(guān)系推理。常見有效式：①傳遞關(guān)系推理：根據(jù)傳遞關(guān)系的邏輯性質(zhì)進行推演的關(guān)系推理?！纠可虾Ｔ诤系臇|邊，湖南在四川的東邊，所以上海在四川的東邊。公式：R(a,b)∧R(b,c)→R