2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）.1．古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗戶圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標是（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣3，1） D．（3，1）3．如圖，點A、B、C在⊙O上，△OAB為等邊三角形，則∠ACB的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝545．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為4，則正方形ABCD的邊長為（）A．4 B．8 C． D．6．生活垃圾無害化處理可以降低垃圾及其衍生物對環(huán)境的影響．據(jù)統(tǒng)計，2017年全國生活垃圾無害化處理能力約為2.5億噸，隨著設(shè)施的增加和技術(shù)的發(fā)展，2019年提升到約3.2億噸．如果設(shè)這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為x，那么根據(jù)題意可以列方程為（）A．2.5（1+x）＝3.2 B．2.5（1+2x）＝3.2 C．2.5（1+x）2＝3.2 D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列說法中，正確的是（）A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件 B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就一定會中獎 D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得8．拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個結(jié)論：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此拋物線經(jīng)過點C（t，n），則t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個根．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．③④ D．①④二、填空題（共16分，每題2分）9．在平面直角坐標系xOy中，點（4，﹣7）關(guān)于原點的對稱點坐標為．10．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一個根為1，則m的值為．11．如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個圓心角為160°的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料800πmm，則此圓弧所在圓的半徑為mm．12．寫出一個開口向下，且對稱軸在y軸左側(cè)的拋物線的表達式：．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是拋物線y＝x2+2經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由拋物線y＝x2+2得到拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2的過程：．15．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊BC上，則∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC內(nèi)的一個動點，滿足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，則BD長的最小值為．三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20題5分，第21題6分，第22-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．問題：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O內(nèi)，請僅用無刻度的直尺，作出△ABC中AB邊上的高．小蕓解決這個問題時，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識，設(shè)計了如下作圖過程．作法：如圖，①延長AC交⊙O于點D，延長BC交⊙O于點E；②分別連接AE，BD并延長相交于點F；③連接FC并延長交AB于點H．所以線段CH即為△ABC中AB邊上的高．（1）根據(jù)小蕓的作法，補全圖形；（2）完成下面的證明．證明：∵AB是⊙O的直徑，點D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依據(jù)）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的兩條高線．∵AE，BD所在直線交于點F，∴直線FC也是△ABC的高所在直線．∴CH是△ABC中AB邊上的高．19．已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．20．如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點E，將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長線交于點F，BF＝DE，連接FE．（1）求證：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接寫出△AEF的面積．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于﹣1，求k的取值范圍．22．有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣2，2；乙口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣5，m，5．小明和小剛進行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為a；再從乙口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為b．若a＜b，小明勝；若a＝b，為平局；若a＞b，小剛勝．（1）若m＝﹣2，用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率；（2）當m為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)m的值．23．如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B，C，連接CO并延長交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點E，EF⊥AC于點F．（1）求證：四邊形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的長．24．某籃球隊員的一次投籃命中，籃球從出手到命中行進的軌跡可以近似看作拋物線的一部分，表示籃球距地面的高度y（單位：m）與行進的水平距離x（單位：m）之間關(guān)系的圖象如圖所示．已知籃球出手位置A與籃筐的水平距離為4.5m，籃筐距地面的高度為3.05m；當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大為3.3m．（1）圖中點B表示籃筐，其坐標為，籃球行進的最高點C的坐標為；（2）求籃球出手時距地面的高度．25．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．26．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2﹣8a的頂點為A，0＜h＜．（1）若a＝1，①點A到x軸的距離為；②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；（2）已知點A到x軸的距離為4，此拋物線與直線y＝﹣2x+1的兩個交點分別為B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若點D（xD，yD）在此拋物線上，當x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范圍．27．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D，E分別在邊CA，CB上，CD＝CE，連接DE，AE，BD．點F在線段BD上，連接CF交AE于點H．（1）①比較∠CAE與∠CBD的大小，并證明；②若CF⊥AE，求證：AE＝2CF；（2）將圖1中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2．若F是BD的中點，判斷AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．28．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點A在⊙O上，點P在⊙O內(nèi)，給出如下定義：連接AP并延長交⊙O于點B，若AP＝kAB，則稱點P是點A關(guān)于⊙O的k倍特征點．（1）如圖，點A的坐標為（1，0）．①若點P的坐標為（﹣，0），則點P是點A關(guān)于⊙O的倍特征點；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）這三個點中，點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點；③直線l經(jīng)過點A，與y軸交于點D，∠DAO＝60°．點E在直線l上，且點E是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，求點E的坐標；（2）若當k取某個值時，對于函數(shù)y＝﹣x+1（0＜x＜1）的圖象上任意一點M，在⊙O上都存在點N，使得點M是點N關(guān)于⊙O的k倍特征點，直接寫出k的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗戶圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．解：選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故選：C．2．二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標是（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣3，1） D．（3，1）【分析】二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點坐標是（h，k）．解：根據(jù)二次函數(shù)的頂點式方程y＝2（x﹣3）2+1知，該函數(shù)的頂點坐標是：（3，1）．故選：D．3．如圖，點A、B、C在⊙O上，△OAB為等邊三角形，則∠ACB的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOB＝60°，然后根據(jù)圓周角定理求∠ACB的度數(shù)．解：∵△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故選：D．4．將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故選：A．5．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為4，則正方形ABCD的邊長為（）A．4 B．8 C． D．【分析】連接BD．由題意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出結(jié)論．解：如圖，連接BD．由題意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故選：D．6．生活垃圾無害化處理可以降低垃圾及其衍生物對環(huán)境的影響．據(jù)統(tǒng)計，2017年全國生活垃圾無害化處理能力約為2.5億噸，隨著設(shè)施的增加和技術(shù)的發(fā)展，2019年提升到約3.2億噸．如果設(shè)這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為x，那么根據(jù)題意可以列方程為（）A．2.5（1+x）＝3.2 B．2.5（1+2x）＝3.2 C．2.5（1+x）2＝3.2 D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全國生活垃圾無害化處理能力＝2017年全國生活垃圾無害化處理能力×（1+年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．解：依題意得：2.5（1+x）2＝3.2．故選：C．7．下列說法中，正確的是（）A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件 B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就一定會中獎 D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件，不可能事件的特點，以及列表法與樹狀圖法逐一判斷即可．解：A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件，故A不符合題意；B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合題意；C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就可能會中獎，故C不符合題意；D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率不可以用列舉法求得，故D不符合題意；故選：B．8．拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個結(jié)論：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此拋物線經(jīng)過點C（t，n），則t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個根．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．③④ D．①④【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點（5，0）可判斷②，由拋物線對稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷③，點C對稱點橫坐標為4﹣t可判斷④．解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正確．∵拋物線頂點為A（2，m），∴拋物線對稱軸為直線x＝2，∵拋物線過點（5，0），∴由對稱性可得拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②錯誤，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）為拋物線頂點，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正確，∵點C（t，n）在拋物線上，∴點C關(guān)于對稱軸對稱點（4﹣t，n）在拋物線上，∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個根，④錯誤．故選：B．二、填空題（共16分，每題2分）9．在平面直角坐標系xOy中，點（4，﹣7）關(guān)于原點的對稱點坐標為（﹣4，7）．【分析】利用關(guān)于原點對稱點的坐標特點可得答案．解：在平面直角坐標系xOy中，點（4，﹣7）關(guān)于原點的對稱點坐標為（﹣4，7），故答案為：（﹣4，7）．10．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一個根為1，則m的值為﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解關(guān)于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案為：﹣5．11．如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個圓心角為160°的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料800πmm，則此圓弧所在圓的半徑為900mm．【分析】利用弧長的計算公式即可求解．解：設(shè)此圓弧所在圓的半徑為Rmm，由弧長公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圓弧所在圓的半徑為900mm，故答案為：900．12．寫出一個開口向下，且對稱軸在y軸左側(cè)的拋物線的表達式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】滿足開口向下且對稱軸在y軸左側(cè)可以判斷a、b的正負，從而可以得到所求得拋物線的表達式．解：∵開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴﹣＜0，∴b＜0，故拋物線的解析式可以為y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案為：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為（2，1）．【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點的坐標是（2，1），故答案為：（2，1）．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是拋物線y＝x2+2經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由拋物線y＝x2+2得到拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2的過程：將拋物線y＝x2+2繞頂點（0，2）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，再向右平移4個單位長度得到拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根據(jù)拋物線的頂點坐標和開口方向的變化進行解答．解：拋物線y＝x2+2的頂點為（0，2），拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2的頂點為（4，2），∴將拋物線y＝x2+2繞頂點（0，2）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，再向右平移4個單位長度得到拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案為：將拋物線y＝x2+2繞頂點（0，2）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，再向右平移4個單位長度得到拋物線y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊BC上，則∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案為：90°﹣．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC內(nèi)的一個動點，滿足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，則BD長的最小值為2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取點H為AC的中點，可知DH和BH都是定值，從而解決問題．解：取AC的中點H，連接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵點H為AC的中點，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值為5﹣3＝2，故答案為：2．三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20題5分，第21題6分，第22-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本題中，把常數(shù)項2移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方．解：移項，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，開方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．問題：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O內(nèi)，請僅用無刻度的直尺，作出△ABC中AB邊上的高．小蕓解決這個問題時，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識，設(shè)計了如下作圖過程．作法：如圖，①延長AC交⊙O于點D，延長BC交⊙O于點E；②分別連接AE，BD并延長相交于點F；③連接FC并延長交AB于點H．所以線段CH即為△ABC中AB邊上的高．（1）根據(jù)小蕓的作法，補全圖形；（2）完成下面的證明．證明：∵AB是⊙O的直徑，點D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的兩條高線．∵AE，BD所在直線交于點F，∴直線FC也是△ABC的高所在直線．∴CH是△ABC中AB邊上的高．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用三角形的三條高交于一點解決問題即可．解：（1）如圖，線段CH即為所求．（2）∵AB是⊙O的直徑，點D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直徑所對的圓周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的兩條高線．∵AE，BD所在直線交于點F，∴直線FC也是△ABC的高所在直線．∴CH是△ABC中AB邊上的高．故答案為：90，直徑所對的圓周角是直角，BD．19．已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）將解析式化為頂點式即可；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）由題意可得2＜|m+2|，求出m的取值范圍即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴對稱軸為直線x＝﹣2，頂點（﹣2，﹣1）；（2）如圖：（3）∵點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點E，將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長線交于點F，BF＝DE，連接FE．（1）求證：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接寫出△AEF的面積．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE＝2DE＝4，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF與△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面積＝×4×4＝8．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于﹣1，求k的取值范圍．【分析】（1）計算根的判別式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，則k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一個根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范圍為k＜﹣4．22．有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣2，2；乙口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣5，m，5．小明和小剛進行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為a；再從乙口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為b．若a＜b，小明勝；若a＝b，為平局；若a＞b，小剛勝．（1）若m＝﹣2，用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率；（2）當m為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)m的值．【分析】（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有2種，a＞b的結(jié)果有3種，再由概率公式分別求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有3種，a＞b的結(jié)果有3種，再由概率公式得小明獲勝的概率＝小剛獲勝的概率即可．解：（1）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有2種，a＞b的結(jié)果有3種，∴小明獲勝的概率為＝，小剛獲勝的概率為＝；（2）m為0時，小明和小剛獲勝的概率相同，理由如下：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有3種，a＞b的結(jié)果有3種，∴小明獲勝的概率＝小剛獲勝的概率＝＝．23．如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B，C，連接CO并延長交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點E，EF⊥AC于點F．（1）求證：四邊形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的長．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根據(jù)平行線的判定定理得到EF∥CD，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AC、DE是⊙O的切線，CD是⊙的直徑，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四邊形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切線，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四邊形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的長為5．24．某籃球隊員的一次投籃命中，籃球從出手到命中行進的軌跡可以近似看作拋物線的一部分，表示籃球距地面的高度y（單位：m）與行進的水平距離x（單位：m）之間關(guān)系的圖象如圖所示．已知籃球出手位置A與籃筐的水平距離為4.5m，籃筐距地面的高度為3.05m；當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大為3.3m．（1）圖中點B表示籃筐，其坐標為（4.5，3.05），籃球行進的最高點C的坐標為（3，3.3）；（2）求籃球出手時距地面的高度．【分析】（1）根據(jù)已知籃球出手位置A與籃筐的水平距離為4.5m，籃筐距地面的高度為3.05m；當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大為3.3m．即可得到答案；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+3.3，當x＝0時，解方程即可得到結(jié)論．解：（1）∵籃球出手位置A與籃筐的水平距離為4.5m，籃筐距地面的高度為3.05m；當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大為3.3m，∴點B表示籃筐，其坐標為（4.5，3.05），籃球行進的最高點C的坐標為（3，3.3）；故答案為：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+3.3，當x＝0時，y＝2.3，答：籃球出手時距地面的高度為2.3米．25．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．【分析】（1）要證明DE是⊙O的切線，所以連接OD，求出∠ODE＝90°即可，根據(jù)已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要證明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到過點D作DF⊥AB，垂足為F，進而證明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易證△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后進行計算即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中點，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：過點D作DF⊥AB，垂足為F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，設(shè)AF＝EC＝x，則BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF?BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2﹣8a的頂點為A，0＜h＜．（1）若a＝1，①點A到x軸的距離為8；②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；（2）已知點A到x軸的距離為4，此拋物線與直線y＝﹣2x+1的兩個交點分別為B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若點D（xD，yD）在此拋物線上，當x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范圍．【分析】（1）①把a＝1代入函數(shù)解析式求出頂點坐標，進而求解．②令y＝0，求出x1與x2，進而求解．（2）由當x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1可得當x1＜x＜x2時，y隨x增大而減小，從而可得點A與點C重合或點A在點C右側(cè)，進而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴拋物線頂點坐標為（h，﹣8），∴點A到x軸的距離為|﹣8|＝8，故答案為：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴點A坐標為（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵當x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1，∴當x1＜x＜x2時，y隨x增大而減小，如圖，當拋物線開口向上，點A與點C重合或點A在點C右側(cè)時滿足題意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴點A坐標為（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，當﹣2h+1≤﹣4時，記得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D，E分別在邊CA，CB上，CD＝CE，連接DE，AE，BD．點F在線段BD上，連接CF交AE于點H．（1）①比較∠CAE與∠CBD的大小，并證明；②若CF⊥AE，求證：AE＝2CF；（2）將圖1中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2．若F是BD的中點，判斷AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．【分析】（1）①通過證明△ACE≌△BCD，利用全等三角形對應(yīng)角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出結(jié)論；（2）延長CF至點G，使FG＝FC，連接BG，則得：△DCF≌△BGF，再利用題意證明△ACE≌△CBG，結(jié)論可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中點，AE＝2CF仍然成立．理由：延長CF至點G，使FG＝FC，連接BG，如圖，∴F是BD的中點，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵將圖1中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠B