4．1數(shù)列的概念4．1.1數(shù)列的概念(1)一、單項(xiàng)選擇題1下列說法中，正確的是()A.數(shù)列2，4，6，8可表示為集合{2，4，6，8}B.數(shù)列1，3，5，7，…，2n－1和數(shù)列1，3，5，7，…是相同的數(shù)列C.數(shù)列{n2＋n}的第k項(xiàng)為k2＋kD.數(shù)列0，1，2，3，4，…可記為{n}2數(shù)列1，3，7，15…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A.an＝2nB.an＝2n＋1C.an＝2n+1D.an＝2n－13(2024保定開學(xué)考試)已知數(shù)列eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(3,7)，eq\f(4,9)，eq\f(5,11)，…，按照這個(gè)規(guī)律，這個(gè)數(shù)列的第211項(xiàng)為()A.eq\f(211,424)B.eq\f(211,423)C.eq\f(211,421)D.eq\f(211,420)4(2024滄州期末)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋2，則123是該數(shù)列的()A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)5已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)依次為2，6，12，20，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能是()A.an＝4n－2B.an＝2n＋2(n－1)C.an＝n2＋nD.an＝3n-1＋2n－16已知數(shù)列：eq\f(1,k)，eq\f(2,k－1)，…，eq\f(k,1)(k∈N*)，按照k從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{an}：1，eq\f(1,2)，eq\f(2,1)，eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)，…，則eq\f(8,9)首次出現(xiàn)時(shí)為數(shù)列{an}的()A.第44項(xiàng)B.第76項(xiàng)C.第128項(xiàng)D.第144項(xiàng)二、多項(xiàng)選擇題7已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為－1，1，－1，1，－1，則{an}的通項(xiàng)公式可能為()A.an＝(－1)nB.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝2k－1，,1，n＝2k))(k∈N*)C.an＝cosnπD.an＝sineq\f(nπ,2)8(2024婁底期末)下列有關(guān)數(shù)列的說法中，正確的是()A.數(shù)列－2023，0，4與數(shù)列4，0，－2023是同一個(gè)數(shù)列B.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋1)，則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C.在數(shù)列1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，…中，第8個(gè)數(shù)是2eq\r(2)D.數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1三、填空題9數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝________．10323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項(xiàng)．11(2024武漢月考)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，下列點(diǎn)數(shù)所構(gòu)成數(shù)列的第5項(xiàng)是________．四、解答題12(2024全國課時(shí)練習(xí))根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,12)，eq\f(1,20)，…；(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32＋1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52＋1,5)，….13(2024江蘇月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f((－1)n(n＋1),(2n－1)(2n＋1))，n∈N*.(1)寫出它的第10項(xiàng)；(2)求an＋1及a2n.

4．1.2數(shù)列的概念(2)一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2＋2n，則a2021的值為()A.4043B.4042C.4041D.20212(2024邢臺(tái)期末)在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，且an＋1＝eq\f(an,2an－1)，則a4的值為()A.eq\f(2,3)B.1C.eq\f(4,3)D.23(2024湖北省直轄縣級(jí)單位期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)，則數(shù)列{an}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()A.2B.3C.2或3D.44在數(shù)列{an}中，a1＝4，a2＝5，且有an－2an＝an－1(n≥3)，則a2019的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(5,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(4,5)5(2024紹興期末)斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，則a1＋a3＋a5＋…＋a2023等于()A.a2025B.a2024C.a2025－1D.a2024－16(2024南陽開學(xué)考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,3)＋…＋eq\f(an,n)＝1－eq\f(1,2n)，則an等于()A.1－eq\f(1,2n)B.eq\f(1,2n-3)C.eq\f(1,2n)D.eq\f(n,2n)二、多項(xiàng)選擇題7(2024山西期末)下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是()A.an＝n＋n2，n∈N*B.an＝3－n，n∈N*C.an＝eq\f(1,3n)，n∈N*D.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋1，n≤2，,2n-1，n>2，))n∈N*8(2024西安月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(56,n)，若an≥ak對(duì)n∈N*恒成立，則滿足條件的正整數(shù)k可以為()A.6B.7C.8D.9三、填空題9已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，則a4＝________；猜想其通項(xiàng)公式是an＝________．10已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)an＋n，n為奇數(shù)，,an－3n，n為偶數(shù)，))則a3＝________．11(2024廣西期末)如圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵，則第n個(gè)結(jié)構(gòu)簡圖的化學(xué)鍵和原子的個(gè)數(shù)之和為________．(用含n的代數(shù)式表示)四、解答題12(2023全國課時(shí)練習(xí))在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an.(1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)畫出數(shù)列{an}的圖象．13(2024梅州期末)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1.(1)求a1，a2和an；(2)證明：數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．

4．1數(shù)列的概念4.1.1數(shù)列的概念(1)1.C對(duì)于A，由數(shù)列的定義易知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，前者是有窮數(shù)列，后者是無窮數(shù)列，所以兩個(gè)數(shù)列不一樣，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列{n2＋n}的第k項(xiàng)為k2＋k，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?∈N，所以n∈N，這與數(shù)列的定義不相符，故D錯(cuò)誤．2.D經(jīng)過觀察，1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，故推測該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1.3.B由題意，得該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,2n＋1)，則a211＝eq\f(211,423).4.C由an＝n2＋2＝123，解得n＝11或n＝－11(舍去)，故123是該數(shù)列的第11項(xiàng)．5.C對(duì)于A，a3＝10≠12，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a4＝16＋6＝22≠20，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，a1＝12＋1＝2，a2＝22＋2＝6，a3＝32＋3＝12，a4＝42＋4＝20，故C正確；對(duì)于D，a3＝9＋5＝14≠12，故D錯(cuò)誤．6.C觀察分子分母的和出現(xiàn)的規(guī)律：2，3，4，5，…，將數(shù)列重新分組：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,1)))，(eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，\f(2,k－1)，…，\f(k,1)))，可看出eq\f(8,9)第一次出現(xiàn)在第16組．因?yàn)?＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15組一共有120項(xiàng)，第16組的項(xiàng)為(eq\f(1,16)，eq\f(2,15)，…，eq\f(7,10)，eq\f(8,9)，…)，所以eq\f(8,9)是這一組中的第8項(xiàng)，故eq\f(8,9)第一次出現(xiàn)在數(shù)列的第128項(xiàng)．7.ABC觀察數(shù)列{an}的前5項(xiàng)可知，{an}的通項(xiàng)公式可能為an＝(－1)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝2k－1，,1，n＝2k))(k∈N*)，故A，B正確；因?yàn)閏osnπ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)，))所以an＝cosnπ，故C正確；若an＝sineq\f(nπ,2)，則a1＝sineq\f(π,2)＝1，不符合題意，故D錯(cuò)誤．故選ABC.8.BCD數(shù)列－2023，0，4的首項(xiàng)是－2023，而數(shù)列4，0，－2023的首項(xiàng)是4，所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；由an＝n(n＋1)＝110，解得n＝10或n＝－11(舍去)，即110是該數(shù)列的第10項(xiàng)，故B正確；因?yàn)閿?shù)列1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，…可寫為數(shù)列1，eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5)，…，所以第8個(gè)數(shù)是eq\r(8)＝2eq\r(2)，故C正確；因?yàn)閍1＝21＋1＝3，a2＝22＋1＝5，a3＝23＋1＝9，a4＝24＋1＝17，a5＝25＋1＝33，所以an＝2n＋1是該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，故D正確．故選BCD.9.eq\f(n,n＋1)數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…，觀察該數(shù)列各項(xiàng)的特征是由分?jǐn)?shù)組成，且分?jǐn)?shù)的分子與項(xiàng)數(shù)相同，分子與分母相差1，由此得出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1).10.17由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17或n＝－19(舍去)，所以323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項(xiàng)．11.35設(shè)點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，由題圖可得a1＝1,a2＝5,a3＝12,a4＝22，則a2－a1＝4，a3－a2＝7,a4－a3＝10.根據(jù)規(guī)律可得a5－a4＝13，所以a5＝13＋22＝35.12.(1)根據(jù)所給數(shù)列，可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n(n＋1)).(2)根據(jù)所給數(shù)列，可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f((n＋1)2＋(－1)n,n＋1).13.(1)a10＝eq\f((－1)10(10＋1),(2×10－1)(2×10＋1))＝eq\f(11,19×21)＝eq\f(11,399).(2)an＋1＝eq\f((－1)n+1(n＋1＋1),[2(n＋1)－1][2(n＋1)＋1])＝eq\f((－1)n+1(n＋2),(2n＋1)(2n＋3))；a2n＝eq\f((－1)2n(2n＋1),(2×2n－1)(2×2n＋1))＝eq\f(2n＋1,(4n－1)(4n＋1)).

4．1.2數(shù)列的概念(2)1.Aa2021＝S2021－S2020＝20212＋2×2021－20202－2×2020＝4043.2.A在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，且an＋1＝eq\f(an,2an－1)，則a2＝eq\f(a1,2a1－1)＝eq\f(2,2×2－1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(a2,2a2－1)＝eq\f(\f(2,3),2×\f(2,3)－1)＝2，a4＝eq\f(a3,2a3－1)＝eq\f(2,2×2－1)＝eq\f(2,3).3.C由題意可得a1＝1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，a2＝2×eq\f(4,9)＝eq\f(8,9)，a3＝3×eq\f(8,27)＝eq\f(8,9)＝a2，a4＝4×eq\f(16,81)＝eq\f(64,81)<a3.當(dāng)n≥4時(shí)，an＋1－an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n＋1)－n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＝eq\f(－n＋2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)<0，所以an＋1<an，所以數(shù)列{an}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2或3.4.B由an－2an＝an－1(n≥3)，可得an＝eq\f(an－1,an－2)(n≥3).又a1＝4，a2＝5，所以a3＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(1,4)，同理可得a5＝eq\f(1,5)，a6＝eq\f(4,5)，a7＝4，a8＝5，于是可得數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期是6.因?yàn)?019＝6×336＋3，所以a2019＝a3＝eq\f(5,4).5.B根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推公式，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a1＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2024－a2022)＝a2024－a2＋a1＝a2024.6.D由題意，a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,3)＋…＋eq\f(an,n)＝1－eq\f(1,2n)，當(dāng)n≥2，a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,3)＋…＋eq\f(an－1,n－1)＝1－eq\f(1,2n-1)，兩式作差，得eq\f(an,n)＝1－eq\f(1,2n)－1＋eq\f(1,2n-1)＝eq\f(1,2n)，則an＝eq\f(n,2n)(n≥2)，當(dāng)n＝1，a1＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，也符合an＝eq\f(n,2n).綜上可得an＝eq\f(n,2n).7.AD對(duì)于A，an＝n＋n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，n∈N*，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，an＝3－n，n∈N*，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得該數(shù)列是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，an＝eq\f(1,3n)，n∈N*，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得該數(shù)列是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(n＋1，,n≤2，,2n-1，,n>2，)))n∈N*，當(dāng)n≤2時(shí)，該數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)n>2時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列，又a3＝4>3＝a2，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故D正確．故選AD.8.BCan＝n＋eq\f(56,n)≥2eq\r(n×\f(56,n))＝4eq\r(14)，當(dāng)且僅當(dāng)n2＝56，即n＝2eq\r(14)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝7時(shí)，a7＝7＋eq\f(56,7)＝15；當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝8＋eq\f(56,8)＝15，所以an＝n＋eq\f(56,n)的最小值為a7和a8.因?yàn)閍n≥ak對(duì)n∈N*恒成立，所以k＝7或k＝8.故選BC.9.eq\f(1,4)eq\f(1,n)因?yàn)閿?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，所以a2＝eq\f(a1,1＋a1)＝eq\f(1,2)，同理可得a3＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(1,4).猜想其通項(xiàng)公式是an＝eq\f(1,n).10.－eq\f(14,3)由題意，得當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝eq\f(1,3)a1＋1＝eq\f(4,3)；當(dāng)n＝2時(shí)，a3＝a2－3×2＝eq\f(4,3)－6＝－eq\f(14,3).