第五單元導(dǎo)數(shù)

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算

1.（2021.新疆烏魯木齊模擬）計(jì)算定積分「（2工-±卜=

)

A.1B-17

D-T

【答案】B

【解析】—9卜=n：+曰：，=22-12+|-1=|,故選B.

2.（2022?山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）己知/*）=?+sin怎+，/'"）為/⑺的導(dǎo)函數(shù),

則/'*）的圖象是（）

【答案】A

【解析】??./（幻=%+即(5萬(wàn)、])I

+K=—x2+cosx,/./r(x)=—x-sinx,

ITJ42

???函數(shù):（工）為奇函數(shù)，排除B、D.XT7=7-i<0,排除C.故選A.

3.（2（）21?重慶南開模擬）若曲線），=二-奴2（々cR）在工=1處的切線與直線2工-），+1=0

x

平行，則。=（）

\_

A.B.D.2

24

【答案】A

【解析】由尸處一加可得）,，=LJ二一2四，乂曲線在x=l處的切線與直線2―），+1=0

xx~

平行，且直線2x-），+l=0的斜率為2,則1-2a=2,解得。號(hào).故選A.

4.（2021.浙江寧波模擬）我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近

似計(jì)算，用正〃邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼''的辦法求出了圓周率尸的精度較高的近似值，這是我國(guó)

最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲''的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖

象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算.設(shè)/（x）=e、\則,（*=,其在

點(diǎn)（0,1）處的切線方程為

【答案】y=i

【解析】???/（力=J,故/"）=（/）'J=2x『，則/'（0）=0.故曲線y=/（x）在點(diǎn)（。1）處

的切線方程為y=i.

5.（2021?黑龍江省哈爾濱模擬）/（x）=lnx在點(diǎn)3/（6））處的切線與該曲線及工軸圍成的封

閉圖形的面積為（）

A.-B.eC.e-1D.--1

22

【答案】D

【解析】/（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為廣⑴」，可得/"）在點(diǎn)（e,l）處的切線的斜率為1,

切線的方程為y-l=」（x-e），即），可得切線與該曲線及X軸圍成的封閉圖形的面積

ee

x1x-+f2--Inxdx=1+{1儲(chǔ)_xln.v+j|；=B-l.故選D.

2eJiyeJ2e\2eJ'2

6.（2021年新高考1卷）若過點(diǎn)（〃力）可以作曲線）'="的兩條切線，則（）

A.Bea<bc.0<a<才□.0<b<ea

【答案】：D

【解析】：函數(shù)）是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，）>°,即取得坐標(biāo)

在x軸上方，如果3與在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.點(diǎn)3"在x軸或下方時(shí),

只有一條切線.如果（〃㈤在曲線上，只有一條切線；（人勿在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知S⑼在圖象的下方，并且在1軸上方時(shí),有兩條切線.可知

7.（2022?內(nèi)蒙古烏海模擬）已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)數(shù)/'（X）,若存在與使得/5）=/'■）,

則稱％是〃力的一個(gè)“巧值點(diǎn)”,給出下列四個(gè)函數(shù):①/（力=爐;②

③/（x）Tnx；?/（x）=taiix,其中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（）

A.①②B.①③C.?@@D.②?

【答案】B

【解析】①/("=工2,f(x)=2x,X2=2x,A=0,X=2,有“巧值點(diǎn)”:

②，'(同二一］,-夕，=二，無(wú)解，無(wú)“巧值點(diǎn)”；

@f(x)=\nxtr(x)=Llnx=-,令g(x)=lnx_Lg(l)=-l<0,^(^)=1-->0.由

xxxe

零點(diǎn)在性定理，所以在(Le)上必有零點(diǎn)，/(X)有“巧值點(diǎn)”；

@/(x)=tanx,f'(jc)=—3—?—=tanx,sinxcosN=l,即sin2jc=2,無(wú)解'所以f(x)

COS入cos

無(wú)“巧值點(diǎn)所以有“巧值點(diǎn)''的是①③，故選B.

10.(2021.內(nèi)蒙古包頭模擬)設(shè)函數(shù)〃力=干;，若八2)=3■，則。二.

【答案】2

【解析】由"x)=F可得，/'3=上等，所以/'(2)=工^=［，解得。=2.

eee-e-

11.(2021?山西太原模擬)若曲線y=ln(3x-8)與曲線y=/-3x在公共點(diǎn)處有相同的切線,

則該切線的方程為.

【答案】y=3x-9

Q4

【解析】設(shè)公共點(diǎn)為(%,%)，由y=h］(3x-8),(x>,，則了=金，

33x—8

3

y=x2-3x,則y'=2x-3,所以「^=2%-8,解得%=3,

所以%=°，)'1『)=總=3,所以切線的方程為尸0=3(工一3),即y=3x—9.

12.(2021?河北高三月考)已知函數(shù)〃力=/、/”⑴則/(1)=()

A.-2e2B.2e2C./D.-/

答案A

解析因?yàn)閒(x)=/+?f⑴爐,則r(x)=2e"+2f⑴凡令工=1,則析(l)=2e2+2,⑴,

所以/“⑴=-2e2.故選A.

13.曲線/(x)=x+*在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為()

A.y=2xB.y=2x+\C.y=3xD.)，=3x+1

答案D

2x

解析：Vf(x)=x+ef???r(x)=l+2/x,.?.r(0)=l+2=3,

又/（o）=l,???曲線/Cr）=x+/在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程為尸3x+I.故選D.

14.（2021?沙坪壩?重慶八中高三開學(xué)考試）直線y=9x+力是曲線y=V+6x+3的一條切線，

則實(shí)數(shù)〃二（）.

A.T或3B.I或5C.-4D.5

答案B

解析因?yàn)閥=V+6x+3,所以y'=3Y+6,令）/=3/+6=9,解得x=±l,故切點(diǎn)為（1,10）

或（一1,-4）,而力=y-9x,所以Z?=10—9=1或Z?=-4+9=5.故選B.

16.（2021?商丘高三月考）不等式［/2-（〃-2）］2+口|1人（4-1）］2*2_/〃對(duì)任意/>>0,〃"恒

成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

答案［-1,2］

解析由題意，設(shè)P（4皿），Q（a-2,a-\）,則歸0f=［。-（〃-2）了+口M-（。-1）于，即

2

\PQ［>m-mf又P,。分別在曲線/（x）=lnx及直線；：y=x+l上，且尸（“二；

Xr

令:=1，解得X=l,且/（1）=0,所以/（X）在點(diǎn)P（l,0）處的切線與直線/平行，

又點(diǎn)P到直線/的距離為4=嗎=正，所以|PQ|最小值為夜，所以病—〃區(qū)2,解得

72

TW〃?W2.故答案為：卜1,2］.

20.（2021?廣東高三月考）過定點(diǎn)P（l,e）作曲線），=的'（。>0）的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍是.

答案（1，位）

解析S/=aex,若切點(diǎn)為（幾,。/），則）/=&=.*>0,

???切線方程為J=ae^（x-x0+1）,又P（l,e）在切線上，

x

/.ae°（2-x0）=ef即〃=［在/工2上有兩個(gè)不同解,

e（，一風(fēng)）

令g（x）=即原問題轉(zhuǎn)化為g（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，而g'（x）=，/;\，

e（2-x）e（2-x）

①當(dāng)x>2時(shí)，g'（當(dāng)>0,g（x）遞增，且則g（x）f0\

②當(dāng)2>X>1時(shí)，g'"）>。，g（X）遞增；當(dāng)不<1時(shí)，g'（X）<0,g（x）遞減；

???g（x）2g（l）=l,又!野1<%<2時(shí)g（x）>（）且！吧且（吁也，

???要使”、在?馬工2上有兩個(gè)不同解,即〃e（l,+oo）.故答案為：（1,-Ko）

e（z一?%）

21.已知函數(shù)/*）=?+法，8。）為〃x）的導(dǎo)函數(shù)，且/（3）=27,g⑶=3

（1）求/（幻的解析式

（2）設(shè)曲線），=8*）在點(diǎn)“送⑺）。工（））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S0）,求

S⑺的最小值.

1

?,[27?+3/?=27a=——

解析（I）因?yàn)?（x）=ax+法，所以8。）=3叱+〃，所以，c解得<3

27a+b=3

b=\2

所以/（%）=一：13+12工

（2）因?yàn)榱一?-/+12,所以y=g（x）在點(diǎn)”,12—尸）處的切線方程為：

y-（12-/2）=-2r（x-r）,令x=（）,得了二尸+即，令y=0,得x=

所以5〃）=5'（廠+12）?可，-S“）=----------------=-\J+24r+—J,不妨設(shè)

r>0（/V0時(shí)，結(jié)果一樣）時(shí)，

則，所以5'。）=；'3『+24岑）=3（'+：,-48）

二3（產(chǎn)一4乂產(chǎn)+12）二3（—2）?+2乂/+12）由s'?）>0,得r>2,由S'（f）VO,得

4/4產(chǎn)

0</<2,

所以S"）在（0,2）上遞減，在（2,+oo）上遞增，所以[=2時(shí)，S。）取得極小值，也是最小

值為5（2）=%嶼=32做選C.

O

22.（2021?江蘇南京?高三月考）函數(shù)y=V在點(diǎn)（小〃2）（〃wN+）處的切線記為/“，直線/”，

/用及x軸圍成的三角形的面積記為S”，則

Hs?S,S”

_.4〃

答案——

〃+1

解析因?yàn)閥'=2x,所以在點(diǎn)（〃,〃2）（〃$N+）處的切線的斜率為女=2〃,

所以切線方程為y-tr=2n（x-n）,即/”的方程為y=2nx-n2,

令)'=0,得x=T，所以/“+i：y=2(〃+1)工一(〃+1)’，

2n+\

E"+1y=2(W(〃+l『得x=-----

令y=（）,得x=----,由2

y=2nx-n2

2y=n2+n

I

直線/〃，//I的交點(diǎn)坐標(biāo)為（七一,川+〃），所以直線/,,/用及X軸圍成的三角形的面積

一9+1n、.11^=4__\_J

為sfR(r+〃)=〃(〃+]),所以三

2)J43〃〃(〃+1)nn+i)

,S2S3Sn\??+17n+\

故答案為：-

〃+1

23.（2021?陜西榆林十二中高二月考（理））已知函數(shù)_/（?的導(dǎo)函數(shù)/'（X）,且滿足關(guān)系式

/(工)=/+3步>'(2)+111%則/'(2)的值等于()

99

A.2B.—2C.-D.——

44

答案D

解析因?yàn)槿斯?=工2+34*'(2)+加工，所以r*)=2x+3/''(2)+,，

x

199

令R=2,則/(2)=4+3/'(2)+5,即2r(2)=-5,解得/'(2)=-7，故選D.

乙乙I

25.(2021?河南高三月考)已知函數(shù)/(x)=J(x>0).

（1）討論/（x）的單調(diào)性:

（2）當(dāng)〃=2時(shí)，求曲線y=/（x）過點(diǎn)（2,0）的切線與曲線y=/（x）的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

解析（1）/，（6=史=等匚=當(dāng)三1，

當(dāng)時(shí)，r（力＞0,則/（力在（。,+。）上單調(diào)遞增：

當(dāng)〃＞0時(shí)，由/'（"＞0可得x＞。；由/'（x）＜o(jì)可得Ovxvc/；

/（尢）在（0,4）上單調(diào)遞減，在（6+0。）上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)〃=2時(shí)，二2（x＞0）,則廣（x）=?（，［2）（x＞（））.

X.1

設(shè)切點(diǎn)為（%,/（%））,則切線方程為），一/（%）=/'（%）（工一與），

即打一=—H—o）

天不）

將代入，得_=二（玉「2）（2―/）,即與2-5XO+4=O,

X。X。

解得：%=1或工0=4.

當(dāng)天=1時(shí)，過點(diǎn)（2,0）的切線方程為＞-e=-e（'-l）,即）,=—ex+2e

_e

>t=x=1/、

由，7，可得■y_e，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（Le），

y=-ex+2e

當(dāng)3=4時(shí),過點(diǎn)（2,0）的切線方程為y噎*（x-4）即y=3暇

e

尸了x=4

由＜「可得《eN,公共點(diǎn)的坐標(biāo)為4三

），上e4y=—

x---16

?3216

綜上所述：曲線y=/（x）過點(diǎn)（2,0）的切線與曲線y=/（x）的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（l,e）和

5.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.（2021?重慶期末）已知函數(shù)段）是R上的增函數(shù),1（0,-1）,8（3,1）是其圖象上的兩

點(diǎn)，則一1勺（幻＜1的解集是（）

A.(—3,0)B.(0,3)

C.(—co,—1]U[3,+oo)D.(—co,0]U[1,+co)

【答案】B

【解析】由已知，得逃0）=-1,犬3）=1,???一1勺（x）vl等價(jià)于10）勺（幻勺（3）.；/（處在R上

單調(diào)遞增，???0＜r＜3.故選B.

2.（2021?云南昆明摸底診斷測(cè)試）已知函數(shù)為0=。'+廣丫，則（）

A.7（一亞）4e）4君）

B.代）（一也）＜fl仆）

C.K逐）＜代）秘一亞）

D.五一亞）5石）＜修）

【答案】D

【解析】因?yàn)榇笠?1）=b*+&'=/5）,所以函數(shù)九v）為偶函數(shù).又當(dāng)Q0時(shí)，加）=口一％0,

所以函數(shù)/U）在（0,+oo）上單調(diào)遞增.因?yàn)榍稹醇樱糴,所以人近）勺（右）勺（。），又艮一叵）

=/（正），所以人一拒）勺（右）勺（e）.故選D.

3.（2021?陜西西安月考）若函數(shù)/"）=鼻工3一/+仆+4在區(qū)間（0,4）上不單調(diào)，則實(shí)

。乙

數(shù)。的取值范圍為（）

【答案】C

3Q1,Q

【解析】可知f\x）=x2-3x+a一一十〃，若函數(shù)/(%)=二V-二Y+at+4

在區(qū)間（0,4）上單調(diào)，則r（?N0或/'（工）。0在（0,4）恒成立,

9Q

二。-720或r（4）=4+a＜0,解得aWT或。2一,

???函數(shù)/（幻二：/-5/+冰+4在區(qū)間（0,4）上不單調(diào)，’.故選C.

4.（2021?陜西寶雞質(zhì)檢）定義域?yàn)镽的函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,滿足

r（x）-/（x）＜3,若/⑴=—2,則不等式〃x）+3＞e、T的解集為（）

(l,+oo)(-8,0)

A.(0,1)cD.(-oo,l)

【答案】D

【解析】令g(x)=〃"+3,求導(dǎo)得=1‘(工A”工卜3,

eAe'

T尸(x)—/(r)<3,.,.g'(x)v。,則g(x)是R上的減函數(shù),

又/(6+3〉el等價(jià)于J⑴+3>L而g⑴=納士2=，，???g(x)>g(l),

ereee

.故選D.

5.(2021?河南洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)fOOusinx—x+cX—e，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

e

若/(/)+/(2a-3)W0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［-3,1］

【解析】f(x)=sinx-x+ex--則/(一工)=-sinx+x-/+==-/(力，故函數(shù)為

奇函數(shù)./(x)=cosx-1+e'+一>cosx-l-h2jex?—=l+cosx>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

e

/(^)+/(2t7-3)<0,故/(/)<—f(2a—3)=/(3—2a),故/蕓―2。，

解得—3WaWl.

6.(2021?祁江中學(xué)月考)已知函數(shù)7U)=x|.i|，則滿足4/口)+火3工一2巨0的X的取值范圍是

.(用區(qū)間表示)

2

［二，+8)

【答案】5

Fx>0,

【解析】V/(x)=4v|=1則凡v)在R上單調(diào)遞增，

又4/U)=4小|=Zv|2x=fi2x)

???由M2r)+/(3x—2)K)得，人右)現(xiàn)2—34)，

2

:.2x>2—3x,解得x與，

2、

fr—,+co)

???x的取值范圍是5

7.(2021?山東日照聯(lián)合考試)已知函數(shù)/(x)=2」+ln(x+l),其中實(shí)數(shù)。工一1.

X+4

(1)若4=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若風(fēng)r)在x=l處取得極值，試討論人幻的單調(diào)性.

/、x-a-(x-\]1a+11

【解析】⑴小戶EF+wr西丁丁T

當(dāng)。=1時(shí)，八°)二而了匯而/(°)=一天

因此曲線y=/(力在點(diǎn)((),〃()))處的切線方程為)」=即

\Z)4

7x-4j-2=0.

(2)。.一1,由(1)知/'(1)=0,即—!—+'=0,解得&=一3.

I1

此時(shí)"力==+如(X+1),其定義域?yàn)?-1,3)+(3,母),

X—3

，/、-21(x-\](x-7]

且八小E+Q=由小)=°得2'

當(dāng)一1<X<1或/>7時(shí)，r(x)>0；當(dāng)1<X<7且XW3時(shí)，/'(x)vO,

綜上，/(X)在區(qū)間(一1』，[7,e)上是增函數(shù)，在區(qū)間[1,3),(3,7]上是減函數(shù).

8.(2021陜西西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=ln(x+1),^(x)=xff(x),其中/'⑴是

/(力的導(dǎo)函數(shù).

(1)求函數(shù)網(wǎng)力=時(shí)(力-8(力(m為常數(shù))的單調(diào)區(qū)間;

(2)若xNO時(shí)，〃力之(aT)g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

f

【解析】⑴V/(x)=ln(x+l),f(x)=—.

X+1

Y

/?F(^)=Anf(A：)-^(x)=mln(A：+1)-----(x>-l),

XI1

.F'(X\=JH______1=g+i)-i

…I]X+l(x+1)2(x+l)2.

當(dāng)〃區(qū)0時(shí)，F(xiàn)(x)<0,b(力在(―1,—)上單調(diào)遞減;

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，由尸'(x)=0,Wx=—>-1,

m

(1\

XG-1,----時(shí)，F(xiàn)r(x)<0.

\mJ

XG^--^,+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0.

尸(x)在T二^上單調(diào)遞減，在—.-H?上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)機(jī)工()時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(―1,田)；

當(dāng)〃?>0時(shí)，尸(力的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,呼)單調(diào)遞增區(qū)間是(廠,+8

(2)當(dāng)xNO時(shí),不等式/(x)N(a—l)g(x)恒成立,

即||1(工+1)-("一；)’20恒成立,

女M（x）=ln（x+1）_1+；（xNO）,

則”(?二」7-1）_x+2-a

go），

人1（x+l『（Ki）?

當(dāng)a?2時(shí),Mf(x)>0,

僅當(dāng)。=2,x=0時(shí)，等號(hào)成立;

加(彳)在［0,+0)］上遞增；

M（x）>M（0）=0:

）（X）之（。一l）g（x）恒成立;

當(dāng)a>2時(shí)，由M'（x）=0,得x=a—2,

當(dāng)x￡（0,a—2）時(shí)，Mz（x）<0,

M（x）在（0,4—2）上遞減，有M（a-2）vM（0）=0,

即去￡（0,4-2）使M（x）vO,

綜上所述，。的取值范圍是(-8,2］.

9.(2021?山東濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)〃x)(xw0)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)二一1.當(dāng)

%>()時(shí)，r(x)>i,則使得/(力>不成立的x的取值范圍是()

A.(-O0,-l)u(0,l)B.(-l,0)u(l,+oo)C.(^x>,-l)u(l,+oo)D.(-l,o)u(o,i)

【答案】B

【解析】由尸⑺>l(穌0),可得析(同一1>0,令g(x)=/(x)—x,則

g'(x)=/'(x)-l>。，故g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)?所以

g(-1)=/(-1)+1=。，

又因?yàn)椤槠婧瘮?shù),所以g(x)=〃x)T為奇函數(shù),所以g(l)=0,且在區(qū)間(f0)

上，g(x)單調(diào)遞增.所以使得/(X)>X,即g(x)>()成立的的取值范圍是

(-1,0)=(1,+00).故選區(qū)

12.(2021?四川成都模擬)已知函數(shù)/G)=l-xsinx.

(1)求函數(shù)/(x)=l-xsinx的圖象在點(diǎn)］，/(1］處切線的方程;

(2)證明：函數(shù)g(x)=lnx+cos/在區(qū)間上單調(diào)遞增.

【解】(1)f\x)=-sinx-xcosx,則/'(])=-sin?^-]cos]=-l,

又/(g)=l-gsing=l—g,則函數(shù)圖像在點(diǎn)處切線的方程為

L—IZ\\))

x+y-l=0.

I(JI

(2)g'(x)=——sinx,當(dāng)xw0,7

xI4

g'(x)=—sinx>(),

x

故函數(shù)g(x)=Inx+cosk在區(qū)間(0,(上單調(diào)遞增.

13.(2021?陜西榆林模擬)已知函數(shù)〃x)=a?-]n_x—x,。工0.

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(另有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解】函數(shù)/(司=以2-111工一工的定義域?yàn)?0,+8).

(1)f,(x')=2ax---\=2ax~~x-l,設(shè)g⑺=加2―1

XX

當(dāng)。<0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)g(力圖象的對(duì)稱軸為x￡<0,g(O)=T.

所以當(dāng)x>()時(shí)，g(x)<0，r(x)<0,函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)〃>0時(shí)，令g(x)=0.得1-爪還1++8〃

4。4a

當(dāng)0</<々時(shí)，g(x)<0，r(x)<°，當(dāng)X>為時(shí)，g(x)>0，r(x)>0.

1+71+867LM、田、、甘*1+J1+8。L孑,田、￥.

所以函數(shù)f(x)在0,-----上單倜遞減，在------,+8上單倜速增.

4〃------------------4a

(2)若外另有兩個(gè)零點(diǎn)，即加—Inx—x=0有兩個(gè)解，。="匕.設(shè)/心)=生匕

XX

.、\-2\nx-x

“3二—三—

x

設(shè)尸(jv)=l-21njv-x,因?yàn)楹瘮?shù)尸(力在(0,+少)上直調(diào)遞減，且/(1)=0,

所以當(dāng)寸，F(xiàn)(A)>0,7f(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)<0,/f(x)<0.

以函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。，”)上單調(diào)遞減，

且X—時(shí),力(x)f0,/z(l)=l,所以O(shè)vovl.

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,1).

14.己知函數(shù)/(力的定義域?yàn)?0,+紇)，導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且滿足+才

則不等式〃了一2022)111(工一2022)40的解集為()

A.(—,2022)52023,”)B.(0,2023)

C.(2022,2023]D.(2023,2024]

【答案】C

【解析】根據(jù)/(x)+V*'(x)lnx>0,x>0得ZH+/，(x)inx>0.

X

設(shè)尸(x)=/*(%)Inx(x>0),則小(x)="入)+/(x)lnx>0,

X

則函數(shù)尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且尸⑴=0,

貝I」不等式/(X—2022)ln(x-2022)<0,可化為產(chǎn)(x—2022)W/(1),

[x-2022>0

則《…c」解得2022VXW2023?故選C

了一202241

15.(2021?甘肅嘉谷關(guān)模擬)設(shè)函數(shù)〃力=?2-。―Ex,其中〃￡R.

(1)討論了(X)的單調(diào)性；

(2)求使得—在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的

的取值范圍.

【解】⑴f(x)=2cix--=2ar~1(x>0).

XX

當(dāng)心0時(shí)，r(x)<0,.f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)4>()時(shí)，由/'(x)=0,有x=F=.

72a

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，/'(x)<0，/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng),+00時(shí)，，(x)>0，/(x)單調(diào)遞胤

綜上：當(dāng)CT0時(shí)，/(1)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)4>0時(shí)，/(X)在內(nèi)單調(diào)遞減，在,+8單調(diào)遞增.

(2)方法一：令g(x)=1—g,s(x)=ei-x.則s'(x)=ei-1.

xe

而當(dāng)”>1時(shí)，s'(x)>0,所以s(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

又由s(l)=O,有s(力>0,從而當(dāng)％>1時(shí),g(x)>0.

當(dāng)〃W0,R>1時(shí)，/(x)=?(x2-l)-inx<0.

故當(dāng)/(x)>g(X)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立時(shí)，必有4>0.

當(dāng)0<av1時(shí)，I—>1.

242。

由(1)有了</°)=0,從而g>0,

7

所以此時(shí)/(X)>g(工)在區(qū)間(1,+00)內(nèi)不恒成立.

當(dāng)azg時(shí)，令=

1n-pi?/\111-r111x3—2x+1r—2x+l

當(dāng)時(shí)，h(x)-2ax+--c'>x---1-———-------->--------->0,

xx~xx~xx~x~

因此,〃(同在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤?1)=0,所以當(dāng)X>1時(shí)，/Z(X)=/(J)-g(x)>0,即/(x)>g(x)恒成立.

綜上，aw；'+8).

方法二：原不等式等價(jià)于在工￡(1,收)上恒成立.

一方面，令g(x)=/(X)-—+e1-'=ar2-Inx--4-elv-a

XX

只需g(x)在x￡(l，+8)上恒大于。即可/(x)--+el-v>0

X

又??“。)=0,故g'(力在x=l處必大于等于0.

令"g'⑴*0,

X.1

可得4N一.

2

另一方面，當(dāng)時(shí)，尸’(犬)=2奴一之+±+3-、之1-4~+二+=7=丁++1，

2'Jx3x2x3x2x：3-1

???不?1,+8)故丁+工一2>0，又**>0，故尸'(X)在時(shí)恒大于0

工當(dāng)4時(shí)，尸(X)在工￡(1,+00)單調(diào)遞增.

:.F(x)>F(l)=2tz-l>0,故g(x)也在xJ(1,+QO)單調(diào)遞增.

，g(x)>g⑴=。，即g(x)在xe(l,+oo)上恒大于0,綜上,。之；.

17.已知函數(shù)/(x)=or'-x+sinx(awR).

(1)當(dāng)。二1時(shí)，證明：函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增；

6

(2)若/(X)為函數(shù)"V)的導(dǎo)函數(shù)，且/(X)…0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解】(1)當(dāng)。=!時(shí)，/(x)=-J-x3-x+sinx,定義域?yàn)镽,

66

則/'(X)=cosx+gx2-1,令，Z(X)=COSX+gx2,?///(-x)=/?(x),所以〃(x)是偶

函數(shù)，

n

當(dāng)時(shí)，hXx)=-sinx+xth(x)=-cosA+1>0,

所以〃'(x)在0+8)單調(diào)遞增，則/xR〃'(0)=(),所以〃(x)在。+8)單調(diào)遞增，所以

A(x)>MO)=O,因?yàn)榱?力為偶函數(shù),所以當(dāng)xwR時(shí)，/?(x)>0,

即當(dāng)X￡R時(shí)，r(x)>0,所以當(dāng)Q=1時(shí)，，函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增；

6

(2)f\x)=cosx+3ar-1,

(i)當(dāng)時(shí)，f\x)=cosx+3ax2-1<3ax2<0,不符合題意；

(ii)當(dāng)。>0時(shí)，??"'(—)=/'。)，為偶函數(shù)，且八0)=0,

則/"(x)=-sinx+6ca,令g(x)=-sinx+6av,則g'(x)=-cosx+6a,

當(dāng)a2：時(shí)，=-cosx+6^>-COSX+1>0,所以g(x)在(0,+功單調(diào)遞增，

故當(dāng)/>0時(shí)，g(x)>g(O)=O,即/〃(幻>0,故門力在(0,+8)單調(diào)遞增，所以

r(x)>r(o)=o,因?yàn)?力為偶函數(shù)，且八o)=o,所以當(dāng)。WR時(shí),ra)“恒

成立；

當(dāng)0<。<一時(shí)，當(dāng)RE(0,24］時(shí)，存在不￡(0,1,使得COSX|=6。，

6\2_

當(dāng)0<工<不時(shí)，g'(x)=-cosx+6a<0,g(x)單調(diào)遞減，故g(x)<g(O)=O,

即x?o,內(nèi))時(shí),f\x)<o,故r(x)在(0,與)單調(diào)遞減，此時(shí)r(x)<r(o)=o,不符

合題意.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為、，.001

18.(2021?貴州凱里模擬)己知Z?>1,且滿足萬(wàn)一3b=21na-ln4b，則()

22222

A.a>2bB.a<2bC.a>bD.a~<b

【答案】A

【解析】由題得，a2—Ina2=3b—In4b?且a>l,b>l,

令/(x)=x-lnx(x>0),則〃x)=l一，二七1,「"(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在

?XA

(1,y)上單調(diào)遞增，Qa>l,b>\,2b>\,又

???/(/)="-Ina2=3/?-In4/7,

.\/(tz2)-/(2Z?)=(3/?-ln4/?)-(2/>-ln2/?)=/?-ln2>0,

即/(/)>/(2力)，.”也以故選A.

20.(2021?北京高三模擬)已知定義在R上的函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù))，=/'("的圖象如圖所

示，則函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間是.

【答案】(f,—2),(2,心)

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)>=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(YO,-2)和(2,+QO).

21.已知函數(shù)/(4)=，^一4(/一x+i)

3

(1)若片-2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間:

(2)求證：對(duì)任意的awR,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解：(1)4=—2時(shí)，/(x)=—X*+2(工~—x+1),

3

貝Ijff(x)=x2+4.r-2=(x+2尸一6,

令/'(x)>。，解得：x>-2+#或xv-2-布，

令/'(x)vO,解得：一2-癡<x<-2+?，

故在(-00,-2-6)和(-2+6，+劃遞增，在(-2-6，-2+6)遞減;

(2)證明：令/(x)=0,則有3〃二一一

x-x+l

Y

令如)=7=7

x~(A-~—2x+3)x~[(x—1)~+2]

則(3)=>0,

(x2-x+1)2(x2-x+\)2

故在R上遞增,

又g*)eR,所以為=g(x)僅有|個(gè)根,

即〃*)只有1個(gè)零點(diǎn).

5.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

1.(2021?廣東惠州模擬)設(shè)函數(shù)段)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為/"),且函數(shù)4v)在x=—2處

取得極小值，則函數(shù))=/?/(幻的圖象可能是(

【答案】C

【解析】???函數(shù)7U）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了（X）,且函數(shù)7U）在工=一2處取得極小值，

當(dāng)?shù)冢疽?時(shí)，/（力＞0；當(dāng)工=-2時(shí)，/a）=0；當(dāng)XV—2時(shí)，/a）vo.

???當(dāng)Q0時(shí)，MV）X）；當(dāng)一2＜\＜0時(shí)，貨3＜0；當(dāng)x=-2或0時(shí)，xf（x）=O：當(dāng)工＜一2時(shí),

MXx）＞0.故選C.

2.（2021?山東商澤模擬）若函數(shù)/（力=/（-/+2工+力在區(qū)間5,。+1）上存在最大值,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

-1+

，逐石、B.(—1,2)

22

-1+石

【答案】c

［解析］因?yàn)椋郏╔）=/［-X2+2x+a-2x+2）=ex［-x2+a+2）,

且函數(shù)/（X）在區(qū)間（。,々+1）上存在最大值，故只需〃（司=一工2+〃+2滿足

/2（4）＞0,〃（。+1）＜0,所以_Q2+Q+2＞0，—（a+l『+a+2＜0,解得

一"石＜”2.故選C.

2

3.（2021?安徽模擬）對(duì)于函數(shù)/（力=（2工一寸比，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為（f-0）。（"+8）;②/（"＞（）的解集為（0,2）；

③/（一0）是極小值，/（、反）是極大值；④/（x）有最大值，沒有最小值.

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】/（x）=（2x-?）e\則尸⑴=（2-巧",故函數(shù)在（YO,-&）和（"時(shí)

上單調(diào)遞減，在［-右,行］上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知②③④正

確,①錯(cuò)誤，應(yīng)該是/卜）的單調(diào)遞減區(qū)間為（口,一行）和（庭,+＜@.故選C.

4.(2021?黑龍江哈爾濱第三中學(xué)檢測(cè))函數(shù)/(x)=V-2c￥2+c2x在X=2處取極小值,

則c=()

A.6或2B.6或一2C.6D.2

【答案】D

【解析】/'(工)=3%2-40￥+。2.../，(2)=12-a+。2=0/.<?=2或。=6

當(dāng)c=6時(shí)，/'(X)=3X2-24X+36=3(X-2)(X-6),當(dāng)/<2時(shí)/'(X)>0,當(dāng)2〈工V6

時(shí)/'(x)<0,函數(shù)/(￡|在x=2處取極大值，不符題意，舍去；

當(dāng)c=2時(shí)，/r(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),

當(dāng)x>2時(shí)/(耳>0,當(dāng)gvxv2時(shí)，(x)<0,函數(shù)f(x)在x=2處取極小值.故選D.

5.(2021?遼寧丹東模擬)已知函數(shù)/(x)=j]nxx>]，若存在實(shí)數(shù)也，滿足()工$<，，

且/($)=/")，則Z-4s的最小值為()

2

A.1B.e-lC.2-ln2D.2-21n2

【答案】D

【解析】作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示:

y=m（x）

因?yàn)?(s)=/(z)，結(jié)合圖象可知2s=lnf=〃7,(0<mW2)，可得S=￡,f=d”,

t-4s=em-2m=h(m),h\m)=en,-2,令〃'(〃?)=，"-2=0,解得m=In2,

可以判斷函數(shù)〃(加)在(0,In2)上單調(diào)減,在。n2,2)上單調(diào)增,所以以“)在〃?=ln2處取

得最小值，且/?(ln2)=e"2-2In2=2-2In2.故選D.

6.(2021?湖南懷化三模)已知函數(shù)/*)=|劃一,-3,廣。)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).①/U)在區(qū)

x

間(0,+0。)是增函數(shù)；②當(dāng)/￡(-8,0)時(shí)，函數(shù)火外的最大值為一1；③y=/*)-r(x)有

2個(gè)零點(diǎn)；④ra)-r(-x)=2.則上述判斷正確的序號(hào)是()

A.?<3)B.①④C.??D.①②

【答案】A

【解析】當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)=x---3,r*)=l+'r>(),所以/")在區(qū)間(0,+⑼是

增函數(shù)，即①正確；

當(dāng)工<0時(shí)，/(x)=-x---3=(-x)+(--)-3>-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)取到最小值，

XX

所以②不正確；

丁_4E?_V_1

當(dāng)工>0時(shí)，/*)一/'(幻二^———，

廠

令武工)=丁-4/-工_],則g，*)=3x2-8x-l,由于△>0,g'(0)=—IvO,所以g(x)

在(0,y)上先減后增，且g(0)=-l<0,所以g。)在(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)：

工3—2工2—Y—1

當(dāng)戈＜o(jì)時(shí)，/(幻一r(幻=△、”

JT

令40)=/一2/一方一1,則〃'")=3九2-4x-l,由于A>O,"(O)=T〈O,所以依幻

在(-oo,0)上先增后減，且"(0)=-1<0,所以力(勸在(-8,0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn);

綜上可知，y=/(x)-r(x)有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；

當(dāng)工>0時(shí)?，［*)=1+4，/'*)-/'(一幻=0,所以④不正確；故選A.

X

7.(2021?湖北宜昌調(diào)研)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-M+ox(a>0),若/")在((),“上的

最大值為一，則。=________.

2

【答案】a=-

2

［解析】vf(x)=\nx+ln(2-x)+ar定義域?yàn)?0,2)

12x-2

VXG(0,1],a>()

7^2傘-2)

2X-2

???/。)=g_2嚴(yán)>°，「?Ax)在(0，l］上單調(diào)遞增，故/*)在(。,1］上的最大值為

八1)=。=；.

8.(2021?河南開封高三模擬)設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)/U)=lnx—V的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線

2x+y—2=0上任意一點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)距離的最小值為.

叵

【答案】5

【解析】由題意知，當(dāng)函數(shù)段)的圖象在點(diǎn)尸(即，然)處的切線人與直線/2：2x+