PAGE1第03講全等三角形性質(zhì)和判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①全等三角形的概念②全等三角形的性質(zhì)1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的對(duì)應(yīng)元素；(重點(diǎn))2．理解并掌握全等三角形的性質(zhì)，能用符號(hào)正確地表示兩個(gè)三角形全等；(重點(diǎn))3．能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01全等三角形的概念和性質(zhì)能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形．兩個(gè)全等的三角形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【即學(xué)即練1】1．（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，，若，則長(zhǎng)度為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：6．2．（2024八年級(jí)上·黑龍江·專題練習(xí)）如圖，，，則．【答案】/度【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確判斷出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得．【詳解】解：，，，，．故答案為：3．（24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中）如圖，，，，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，點(diǎn)E在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)1(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．（1）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）證明即可．【詳解】（1）∵，，；（2）∵，，∵B，C，D共線，，，，．知識(shí)點(diǎn)02全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.【即學(xué)即練2】1．（24-25八年級(jí)上·福建莆田·期中）已知：如圖，點(diǎn)，在線段上，，，，與交于點(diǎn)．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：，，即：．，，．2．（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等．（1）先由推出，再結(jié)合已知的另外兩組相等邊，根據(jù)判定定理證明；（2）根據(jù)（1）中得到的全等三角形得出對(duì)應(yīng)角相等，再利用判定定理證明，進(jìn)而得到．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）證明：在和中知識(shí)點(diǎn)03全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【即學(xué)即練3】1．（24-25八年級(jí)上·重慶榮昌·期末）如圖，在△和△中，，，，四點(diǎn)在同一直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）由可證，可得；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，在△和△中，，，；（2）解：，，，，，．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)、在上，，，．(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）利用證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出，再計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：，，，，，的長(zhǎng)為．題型01全等三角形的性質(zhì)例題：（24-25八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）如圖，，，，垂足分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余；熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．依據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴中，又∵∴故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，，若，則的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，即可得到答案．【詳解】解：，，．故選C．2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，與，與是對(duì)應(yīng)角，有下列個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等解答即可求解，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，與，與是對(duì)應(yīng)角，∴，，，，∴正確的結(jié)論是①②④，共個(gè)，故選：．3．（24-25八年級(jí)上·湖南衡陽·期末）如圖，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），與交于點(diǎn)．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長(zhǎng)和；【答案】(1)(2)33.5【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)可得出，然后利用角的和差關(guān)系求解即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出，，然后利用三角形的周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）解∶∵，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，與的周長(zhǎng)和為．題型02用SSS證明兩三角形全等例題：（24-25九年級(jí)下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，．求證：． 【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先得到，再用即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）開封風(fēng)箏是河南開封地區(qū)傳統(tǒng)民間工藝品．開封風(fēng)箏歷史悠久、種類繁多、做工精細(xì)、獨(dú)具特色．每年農(nóng)歷正月至三月的廟會(huì)上，各式各樣的風(fēng)箏競(jìng)相牽放，景象十分壯觀．圖1是小華制作的風(fēng)箏，圖2是風(fēng)箏骨架的示意圖，其中，．(1)求證：；(2)小華發(fā)現(xiàn)平分，你覺得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)正確，見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)、用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）利用即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及角平分線定義求解即可．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：正確，理由：由（1）得，∴，即平分，所以小華的發(fā)現(xiàn)是正確的．2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）（推理能力）如圖，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至圖①所示的位置，且．試說明：；(2)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至圖②所示的位置，仍有，則還成立嗎？請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)不重合，且，則和平行嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立．理由見解析(3)．理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基礎(chǔ)，在不同圖形中由得出是關(guān)鍵．（1）由知，即，又、，由可證；（2）由知，即，又、，由可證；（3）由（1）（2）知，所以，可由平行線的判定得出．【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，即．在和中，所以．?）解：成立．理由如下：因?yàn)椋?，即．在和中，所以．?）解：．理由如下：由（1）（2）知，所以，所以．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是的中點(diǎn)，且．(1)試說明：；(2)判斷和的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)．理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的判定得出答案即可．【詳解】（1）解：因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，在和中，，所以．?）解：．理由如下：因?yàn)椋?，所以．題型03用ASA證明兩三角形全等例題：（24-25九年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，，，，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由，，可得，利用“”即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2），，，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·遼寧盤錦·期末）如圖．在和中，點(diǎn)，，，在同一條直線上．已知，，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)17【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)解答即可．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再由，，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴．（2）解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．(1)求證：．(2)若，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．（1）首先利用平行線的性質(zhì)得，再利用得出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，，，；（2）由（1）可知，，，，，，．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，交于點(diǎn)．試說明：(1)；(2)與互相平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）在和中，運(yùn)用角邊角即可求證；（2）在和中，可證，得到，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，∴，在和中，，∴．（2）證明：由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴與互相平分．題型04用AAS證明兩三角形全等例題：（24-25九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)，分別在直線的兩側(cè)，且，，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)的長(zhǎng)為8．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用等量代換得，從而利用“”證明即可；（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．【詳解】（1）證明：，，且，，在和中，，；（2）解：，，，，的長(zhǎng)為8．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在和中，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，且，．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)、，利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得出，利用即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，即可求出，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，，∴，，∵，∴，∴．2．（24-25八年級(jí)上·湖南永州·期末）陳同學(xué)用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．(1)求證：．(2)求兩堵木墻之間的距離．【答案】(1)見解析(2)兩堵木墻之間的距離為【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題主要考查了全等三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．（1）根據(jù)題意可得，，，，進(jìn)而得到，再根據(jù)等角的余角相等可得，再證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：由題意得：，，，，在和中，（2）解：由（1）知，，，又根據(jù)題意由圖可得：，，，答：兩堵木墻之間的距離為．3．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)2【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．（1）先由平行線的性質(zhì)可得，最后再利用證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，從而即可得解．【詳解】（1）證明：∵，，在和中，，；（2）解：由（1）可得：，，，∵，，，，．題型05用SAS證明兩三角形全等例題：（23-24九年級(jí)下·福建南平·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，，，，求證：．【答案】證明過程見解析．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定，解題的關(guān)鍵是通過已知條件證明三角形全等，進(jìn)而得到角相等，從而證明兩直線平行．先根據(jù)得出，再結(jié)合已知的和，利用“邊角邊”判定定理證明，得到對(duì)應(yīng)角相等，最后根據(jù)同位角相等證明．【詳解】，，，在和中，，．．．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·甘肅武威·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SSS證明三角形全等（SSS）、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等．（1）先由推出，再結(jié)合已知的另外兩組相等邊，根據(jù)（SSS）判定定理證明；（2）根據(jù)（1）中得到的全等三角形得出對(duì)應(yīng)角相等，再利用（SAS）判定定理證明，進(jìn)而得到．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）證明：在和中2．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，使，連接交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若G是上一點(diǎn)，滿足，連接，證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意判定即可得到本題答案；（2）由（1）可得，再結(jié)合已知即可判定，即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：證明：∵，∴，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴．3．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，平分的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查的是角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，再利用證明即可；（2）先求解，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得，再進(jìn)一步求解即可得到答案．【詳解】（1）解：平分，，又，．（2）解：，，由（1）知，．題型06添加條件使兩三角形全等例題：（24-25八年級(jí)上·湖南婁底·期末）如圖，在與中，已知，在不添加任何輔助線的前提下，依據(jù)“”證明，需再添加一個(gè)條件是．【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】此題考查了三角形全等的判定方法，由于，加上為公共邊，所以當(dāng)添加時(shí)，依據(jù)“”可判斷，【詳解】解：∵，，∴當(dāng)添加時(shí)，．也可添加，則可證明，得到，故答案為：（答案不唯一）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，要使，還需要添加一個(gè)條件可以是．（只需寫出一種情況）【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了三角形全等的判定．熟練掌握三角形全等的判定定理，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形全等所需條件，進(jìn)行添加即可，答案不唯一．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又，，∴．故答案為：（答案不唯一）．2．（24-25八年級(jí)上·安徽滁州·期末）如圖，，，在不改變圖形的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使，則需添加的條件是．【答案】（或或）【知識(shí)點(diǎn)】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，進(jìn)行解答，即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵且要使，∴①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；故答案為：（或或）．3．（24-25八年級(jí)上·福建莆田·期末）按照下列條件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能畫出唯一確定的三角形的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】②④【知識(shí)點(diǎn)】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）、構(gòu)成三角形的條件【分析】本題主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理還有．根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：①根據(jù)、、，不能畫出三角形，不符合題意；②根據(jù)，，可得，符合能畫出唯一三角形，符合題意；③根據(jù)，，符合不能畫出唯一三角形，不符合題意；④根據(jù)，，符合能畫出唯一三角形，符合題意；⑤根據(jù)，，符合不能畫出唯一三角形，不符合題意．故答案為：②④．題型07由三角形全等求時(shí)間或線段長(zhǎng)例題：（24-25八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，當(dāng)時(shí)，x的值為；當(dāng)時(shí)，x的值為．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類解決問題．當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得：，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，，的運(yùn)動(dòng)速度也相同，；當(dāng)時(shí)，，，，，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）如圖，做一個(gè)“”字形框架，其中，，足夠長(zhǎng)，于，于點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，使運(yùn)動(dòng)的速度之比，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線上取點(diǎn)，使與全等，則線段的長(zhǎng)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的概念和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵．由題意得，設(shè)，，則，分兩種情況討論：①，，；②，，，分別列方程求解即可．【詳解】解：由題意得，運(yùn)動(dòng)的速度之比，設(shè)，，，，①當(dāng)，，，，解得：，；②當(dāng)，，，，解得：，；故答案為：或．2．（24-25八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，和全等．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，①點(diǎn)在上時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)，即可求解；②點(diǎn)在上時(shí)，同理可求；掌握全等三角形的性質(zhì)，能根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，運(yùn)動(dòng)秒；②點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，，的運(yùn)動(dòng)路程為：，，運(yùn)動(dòng)秒；運(yùn)動(dòng)或秒；故答案為：或．3．（24-25八年級(jí)上·青海海東·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且；點(diǎn)從出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接、．(1)用含的式子表示、；(2)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒，為何值時(shí)，；(3)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)的速度不相等，要使，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少?全等時(shí)為多少?【答案】(1)，；(2)；(3)每秒；．【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)【分析】（）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；（）由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒，則，，再由，則，所以，然后求解即可；（）由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)的速度不相等，則，，則，，即為中點(diǎn)，所以，然后求解即可；本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，列代數(shù)式，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意得：，；（2）解：∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒，∴，，∵；∴，∴，解得，∴時(shí)，；（3）解：由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)的速度不相等，則，∵，∴，，∴為中點(diǎn)，∴，解得：，∴點(diǎn)的速度為每秒．題型08利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和例題：（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在的正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．已知，則和的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的小正方形，則∠1+∠2的度數(shù)為.【答案】/45度【分析】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，則，根據(jù)外角的性質(zhì)卡得，即可求解．【詳解】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用全等的性質(zhì)求網(wǎng)格中的角度，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則度．【答案】【分析】作輔助線，使為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形，可得到，利用等角代換即可得解．【詳解】解：如圖，連接、，，，，由圖可知，在和中，，，，，，故答案為：．一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·廣西來賓·期末）如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出的是（

）A．， B．，，C．，， D．，，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件、靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定定理及三角形的三邊關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、已知一角和一邊，不能判定三角形全等，故該選項(xiàng)不能畫出唯一，不合題意；、已知兩邊及一邊的對(duì)角相等，不能判定三角形全等，故該選項(xiàng)不能畫出唯一，不合題意；、因?yàn)?，所以三條線段不能構(gòu)成三角形，故該選項(xiàng)不能畫出唯一，不合題意；、已知兩角及一角的對(duì)邊相等，由能判定三角形全等，故該選項(xiàng)能畫出唯一，符合題意；故選：．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知，，和全等，則下列表示正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的概念【分析】本題考查全等三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的確認(rèn)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形全等的定義．根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可解題．【詳解】解：，與相對(duì)應(yīng)，，與相對(duì)應(yīng)，，故選：D．4．（2025·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）如圖為個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等圖形，準(zhǔn)確識(shí)圖并判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，標(biāo)注字母，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，從而求出．【詳解】解：如圖，在和中，，，，，，故選：B．

5．（23-24八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)至G，使，從而得出，進(jìn)一步證明，且，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)線段的等量代換推導(dǎo)即可判斷④；設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)，及角的計(jì)算即可得出即可判斷③；當(dāng)時(shí)，可得出；時(shí)，則無法說明，即可判斷①．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至G，使，設(shè)與交于點(diǎn)M，，，垂直平分，，，，，，，，在和中，，，，，②是正確；，，平分，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則無法說明；①是錯(cuò)誤的；設(shè)，則，，，，，，，③是正確的；，，，，④是正確的；故選C．二、填空題6．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，，點(diǎn)C，D，B，F(xiàn)在同一條直線上，，，，則的長(zhǎng)為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算：由全等得到，再由即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：1．7．（24-25八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，在中，，，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明得出，即可得解．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．由全等三角形的性質(zhì)推出，得到，由直角三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．9．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度為．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可證，得到，則，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：5．10．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期末）如圖，在中，，為邊上的高，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在直線上以的速度移動(dòng)，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)s時(shí)，．

【答案】3或7【知識(shí)點(diǎn)】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，注意分類討論．分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．綜上分析可知：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)或時(shí)，．故答案為：3或7．三、解答題11．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】此題查看了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）首先得到，由平行得到，然后證明即可；（2）首先由全等得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)

∵

在和中，；（2）

．12．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）已知，如圖，點(diǎn)A，，，在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】同位角相等兩直線平行、用S