東城區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高二數(shù)學(xué)2023.7本試卷共6頁，滿分100分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共36分)一、選擇題共12小題，每小題3分，共36分.在每個(gè)小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集概念進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)交集的概念得到.故選：A2.從集合中選取兩個(gè)不同的元素，組成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則可確定的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的概念運(yùn)算即可.【詳解】從集合中選取兩個(gè)不同的元素，組成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則可確定的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.3.已知，，，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.【詳解】，，，故.故選：D4.如圖，曲線在點(diǎn)處的切線為直線，直線經(jīng)過原點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義及直線的斜率公式求解即可.【詳解】由題意，，且，所以.故選：C.5.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式可求答案.【詳解】因?yàn)榈耐?xiàng)公式為，令得，所以的系數(shù)為.故選：D.6.如圖（1）、（2）、（3）分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，其對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別是，那么之間的關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合變量間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由散點(diǎn)圖（1）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)，所以；由散點(diǎn)圖（2）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，所以；由散點(diǎn)圖（3）可得，變量與變量之間不相關(guān)，所以，所以故選：B.7.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比相等，那么數(shù)列中與一定相等的項(xiàng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出公比，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知.故選：D8.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得，令，得到或，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，即，解得或，要使得是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.9.在函數(shù)，，，中，導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別對每一個(gè)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)函數(shù)值等于時(shí)，判斷是否求出對應(yīng)的的值，即可得出結(jié)果【詳解】對于A選項(xiàng)，，令，得，即A選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；對于B選項(xiàng)，，令，得，，即B選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；對于C選項(xiàng)，，令，得，由于，的值域?yàn)?，且在的單調(diào)遞增，所以一定有的值使得，即C選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；對于D選項(xiàng)，，令，則，沒有的值使其成立，即D選項(xiàng)導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1，故選：D.10.已知有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機(jī)取出1件產(chǎn)品，抽出的產(chǎn)品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用縮小事件空間來求解.【詳解】第一次取得次品的條件下，第二次取產(chǎn)品時(shí)，共有6件產(chǎn)品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率為.故選：B.11.聲壓級（）是指以對數(shù)尺衡量有效聲壓相對于一個(gè)基準(zhǔn)值的大小，其單位為（分貝）.人類產(chǎn)生聽覺的最低聲壓為（微帕），通常以此作為聲壓的基準(zhǔn)值.聲壓級的計(jì)算公式為：，其中是測量的有效聲壓值，聲壓的基準(zhǔn)值，.由公式可知，當(dāng)聲壓時(shí)，.若測得某住宅小區(qū)白天的值為，夜間的值為，則該小區(qū)白天與夜間的有效聲壓比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知公式，分別計(jì)算出白天和夜間的有效聲壓值，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)該小區(qū)白天的有效聲壓值為,則,設(shè)該小區(qū)夜間的有效聲壓值為,則,故,故選：B12.已知函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有最大值.那么上面說法正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知求得，即可求得說法正確；②根據(jù)已知將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)與的圖象交點(diǎn)問題，作出圖象，求得兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得有兩個(gè)極值點(diǎn)，則說法正確；③結(jié)合圖象，時(shí)，可求得，則單增無最大值，故說法錯(cuò)誤.【詳解】，，對于①，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①正確.對于②，令，得，令，，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，又當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以②正確.對于③，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無最大值，所以③錯(cuò)誤.則說法正確的個(gè)數(shù)為，故選：C第二部分(非選擇題共64分)二、填空題共6小題，每小題3分，共18分.13.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么_______；數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式即可求得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得.【詳解】由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么；由此可知，故，則數(shù)列為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列，故，首項(xiàng)也適合該式，故答案為：4；14.若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以有或，故答案為：15.設(shè)函數(shù)(為常數(shù))，若在單調(diào)遞增，寫出一個(gè)可能的值________.【答案】0（答案不唯一，即可）【解析】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，即為一個(gè)可能的值.故答案為：（答案不唯一，即可）.16.幸福感是個(gè)體的一種主觀情感體驗(yàn)，生活中的多種因素都會影響人的幸福感受．為研究男生與女生的幸福感是否有差異，一位老師在某大學(xué)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：幸福不幸?？傆?jì)男生638128766女生37246418總計(jì)10101741184由此計(jì)算得到，已知，．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，________（填“可以”或“不能”）認(rèn)為男生與女生的幸福感有差異；根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，________（填“可以”或“不能”）認(rèn)為男生與女生的幸福感有差異．【答案】①.可以②.不能【解析】【分析】根據(jù)假設(shè)性檢驗(yàn)中的值對比小概率值進(jìn)行判斷即可.【詳解】由于，則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為男生與女生的幸福感有差異由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為男生與女生的幸福感有差異．故答案為：可以；不能.17.盲盒，是一種新興的商品.商家將同系列不同款式的商品裝在外觀一樣的包裝盒中，使得消費(fèi)者購買時(shí)不知道自己買到的是哪一款商品.現(xiàn)有一商家設(shè)計(jì)了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售賣，已知A、B、C三款玩偶的生產(chǎn)數(shù)量比例為6：3：1.以頻率估計(jì)概率，計(jì)算某位消費(fèi)者隨機(jī)一次性購買4個(gè)盲盒，打開后包含了所有三款玩偶的概率為_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式和相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，買到A得概率為0.4，買的B的概率為0.3，買到C的概率為0.1，.故答案為：.18.設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不論為何值，曲線總存在兩條互相平行的切線；②不論為何值，曲線總存在兩條互相垂直的切線；③不論為何值，總存在無窮數(shù)列，使曲線在處的切線互相平行；④不論為何值，總存在無窮數(shù)列，使曲線在處的切線為同一條直線．其中所有正確結(jié)論的序號是____．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及直線的平行、垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由，則，對于①，令，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，令，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即，所以在，處的切線平行，故①正確；對于②，假設(shè)函數(shù)在處和在處的切線垂直，則，當(dāng)時(shí)，則，顯然不成立，故②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)時(shí)，則（定值），且對于，則，即在的切線不重合，所以在的切線平行，故③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，則（定值），且對于，則，所以在的切線重合，故④正確；故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于③④，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，分別構(gòu)造和，代入檢驗(yàn).三、解答題共5小題，共46分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.某學(xué)校舉行男子乒乓球團(tuán)體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊(duì)伍依次進(jìn)行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊(duì)員在決賽中只能參加一場比賽.某進(jìn)入決賽的球隊(duì)共有五名隊(duì)員，現(xiàn)在需要提交該球隊(duì)決賽的出場陣容，即三場比賽的出場的隊(duì)員名單.（1）一共有多少種不同的出場陣容？（2）若隊(duì)員A因?yàn)榧夹g(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？【答案】（1）60（2）36【解析】【分析】（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，先安排前兩場比賽人員，再安排第三場的比賽人員；（2）從隊(duì)員A上場和不上場來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.【小問1詳解】出場陣容可以分兩步確定：第1步，從5名運(yùn)動員中選擇2人，分別參加前兩場男單比賽，共有種；第2步，從剩下的3名運(yùn)動員中選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的出場陣容種數(shù)為.【小問2詳解】隊(duì)員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：第1類方案是隊(duì)員A不參加任務(wù)比賽，即除了隊(duì)員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，分別取參加前兩場單打比賽，共有種，剩余人員參加雙打比賽；第2類方案是隊(duì)員A參加單打比賽，可以分3個(gè)步驟完成：第1步，確定隊(duì)員A參加的是哪一場單打比賽，共2種；第2步，從剩下4名隊(duì)員中選擇一名參加另一場單打比賽，共4種；第3步，從剩下的3名隊(duì)員中，選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A參加單打比賽的不同的出場陣容有種；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A不參加男子雙打比賽的不同的出場陣容種數(shù)為.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，＝.（1）求在上的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解，再結(jié)合對稱性得在上的解析式；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性即可求的最值，從而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，時(shí)，＝，所以，解得，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，即在上的解析式為；【小問2詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得是減函數(shù)，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.近年來，為改善城市環(huán)境，實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排，許多城市出臺政策大力提倡新能源汽車的使用.根據(jù)中國汽車流通協(xié)會的發(fā)布會報(bào)告，將2023年1月、2月新能源乘用車市場銷量排名前十的城市及其銷量統(tǒng)計(jì)如下表：表12023年1月排名城市銷量1上海123702深圳121323成都87554杭州87185鄭州86736廣州86237重慶73248西安68519天津664910蘇州6638表22023年2月排名城市銷量1上海177072杭州150013深圳138734廣州124965鄭州119346成都114117重慶87128北京87019蘇州860810西安7680（1）從1月、2月這兩個(gè)月中隨機(jī)選出一個(gè)月，再從選出這個(gè)月中新能源乘用車市場銷量排名前十的城市中隨機(jī)抽取一個(gè)城市，求該城市新能源汽車銷量大于10000的概率;（2）從表1、表2的11個(gè)城市中隨機(jī)抽取2個(gè)不同的城市，設(shè)這兩個(gè)城市中2月排名比1月上升的城市的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式計(jì)算可得；（2）依題意可得可取，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)“抽到的城市該月新能源汽車銷量大于10000”為事件，“選取表1”為事件，“選取表2”為事件，則.【小問2詳解】兩個(gè)月共有11個(gè)城市上榜，其中2月排名比1月上升的城市有杭州，廣州，北京，蘇州，故可取，，.所以，，.所以的分布列為故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.22.已知函數(shù)，.（1）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)，求證：恰有2個(gè)極值點(diǎn)；（3）若，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）.（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求得，令，可得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值的概念與計(jì)算，即可求解；（2）求得，結(jié)合，得到方程有兩個(gè)不同的根，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，即可求解；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，可得，則的關(guān)系，如圖下表：120極大值綜上可得，函數(shù)【小問2詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不同的根，設(shè)為且，則有極小值極大值綜上可得，函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn).【小問3詳解】解：因?yàn)?，所以，不等式恒成立，設(shè)，可得，所以的關(guān)系，如圖下表：10極大值所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究