數學物理高中競賽真題匯編姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2,3)，點B的坐標為(1,5)。若直線AB的斜率為2，則直線AB的截距為：

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知函數$f(x)=x^33x^24x1$，若$f(x)$在$x=1$處有極值，則該極值點為：

A.極大值點

B.極小值點

C.既不是極大值點也不是極小值點

D.無法確定

3.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則角A的正弦值為：

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{5}$

D.$\frac{3}{4}$

4.若函數$y=ax^2bxc$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(h,k)$，則以下結論正確的是：

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b0$，$c>0$

C.$a0$，$b0$，$c>0$

D.$a0$，$b>0$，$c>0$

5.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n1$，則數列的前10項之和為：

A.1023

B.2046

C.3072

D.4094

6.在平面直角坐標系中，點P的軌跡方程為$x^2y^2=25$，則點P到原點O的距離的最大值為：

A.5

B.10

C.15

D.20

7.若復數$z=abi$（其中$a,b\in\mathbb{R}$），且$z=1$，則$z$的共軛復數$\overline{z}$滿足：

A.$\overline{z}=1$

B.$\overline{z}=1$

C.$\overline{z}=2$

D.$\overline{z}=0$

8.已知等差數列$\{a_n\}$的前n項和為$S_n=\frac{n(2a_1(n1)d)}{2}$，若$a_1=1$，公差$d=2$，則數列的第10項$a_{10}$為：

A.19

B.21

C.23

D.25

答案及解題思路：

1.答案：B

解題思路：直線斜率為2，可得截距為2。

2.答案：A

解題思路：計算一階導數$f'(x)=3x^26x4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，代入原函數得$f(1)=1^331^2411=3$，故在$x=1$處有極大值。

3.答案：B

解題思路：根據勾股定理，a2b2=c2，可得3242=52，即a2=5242，從而a=3。

4.答案：B

解題思路：二次函數的開口向上，頂點在開口的一側，故a>0。

5.答案：A

解題思路：直接代入通項公式計算前10項，求和。

6.答案：B

解題思路：點P到原點的距離為半徑，故最大值為半徑。

7.答案：A

解題思路：復數的模等于其共軛復數的模。

8.答案：D

解題思路：代入等差數列通項公式，得$a_{10}=29121=181=19$。二、填空題1.在平面直角坐標系中，點P的坐標為(2,3)，若點P關于原點對稱的點的坐標為（）。

2.已知等差數列的前三項分別為1，3，5，則該數列的通項公式為（）。

3.若函數f(x)=ax^2bxc的圖象開口向上，且頂點坐標為(1,4)，則a（）。

4.在三角形ABC中，已知角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c，若a=5，b=7，c=10，則三角形ABC的面積S為（）。

5.已知等比數列的首項為2，公比為3，則該數列的前5項和為（）。

6.若一個圓的半徑為r，則該圓的周長C與直徑D的關系為（）。

7.在直角坐標系中，點P(2,3)關于直線y=x的對稱點Q的坐標為（）。

8.若函數g(x)=x^33x^24x6在x=1處的導數為0，則g(x)在x=1處的極值點為（）。

答案及解題思路：

1.答案：（2，3）

解題思路：點P關于原點對稱，坐標取相反數，故對稱點坐標為（2，3）。

2.答案：an=2n1

解題思路：等差數列的通項公式為an=a1(n1)d，其中d為公差，由題意得d=31=2，代入公式得an=1(n1)2=2n1。

3.答案：a>0

解題思路：函數圖象開口向上，則a>0，頂點坐標為(1,4)滿足f(x)=ax^2bxc的形式，故a>0。

4.答案：S=17.5

解題思路：三角形面積公式S=1/2absinC，由余弦定理得cosC=(a^2b^2c^2)/(2ab)=0，則sinC=1，代入公式得S=1/2571=17.5。

5.答案：40

解題思路：等比數列的前n項和公式為Sn=a1(1r^n)/(1r)，代入得S5=2(13^5)/(13)=40。

6.答案：C=πD

解題思路：圓的周長公式C=2πr，直徑D=2r，代入得C=πD。

7.答案：（3，2）

解題思路：點P關于直線y=x對稱，x、y坐標互換，故對稱點Q坐標為（3，2）。

8.答案：x=1

解題思路：函數導數g'(x)=3x^26x4，令g'(x)=0，解得x=1，代入g''(x)=6x6，得g''(1)=0，故x=1為極值點。三、解答題1.解答題1

設函數\(f(x)=\frac{1}{1x^2}\)，求證：對于任意實數\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)f(x)\geq\frac{2}{1x^2}\)。

2.解答題2

在直角坐標系中，已知點\(A(1,2)\)和\(B(1,1)\)，直線\(l\)經過點\(A\)且與\(OB\)垂直，求直線\(l\)的方程。

3.解答題3

設\(a,b,c\)是等差數列的連續(xù)三項，且\(abc=12\)，求\(a^3b^3c^3\)的值。

4.解答題4

已知平面直角坐標系中，點\(P\)在第一象限，且\(P\)到\(x\)軸和\(y\)軸的距離之比為\(2:3\)，求點\(P\)的軌跡方程。

5.解答題5

設\(f(x)=\ln(x1)\sqrt{x2}\)，求\(f(x)\)的極值。

6.解答題6

在空間直角坐標系中，已知點\(A(1,0,0)\)、\(B(0,1,0)\)、\(C(0,0,1)\)，求點\(D\)的坐標，使得\(\triangleABD\)與\(\triangleACD\)關于平面\(ABC\)對稱。

7.解答題7

已知數列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數列，且\(a_1a_2a_3=21\)，\(a_4a_5a_6=81\)，求公比\(q\)和首項\(a_1\)。

8.解答題8

在復平面內，設\(z=2i\)，求\(z\frac{1}{z}\)的值。

答案及解題思路：

1.答案1：證明過程\[f(x)f(x)=\frac{1}{1x^2}\frac{1}{1(x)^2}=\frac{1}{1x^2}\frac{1}{1x^2}=\frac{2}{1x^2}\]

解題思路：直接應用函數的性質，計算并簡化表達式。

2.答案2：直線\(OB\)的斜率為\(1\)，因此直線\(l\)的斜率為1。利用點斜式方程可得直線\(l\)的方程為\(y2=x1\)，即\(xy1=0\)。

解題思路：確定垂直關系，計算斜率，應用點斜式方程。

3.答案3：由于\(a,b,c\)是等差數列的連續(xù)三項，所以\(b=ad\)，\(c=a2d\)。由\(abc=12\)得\(3a3d=12\)，從而\(a^3b^3c^3=27a^3\)。

解題思路：利用等差數列的性質，計算公差，求解首項。

4.答案4：設\(P(x,y)\)，由題意得\(\frac{y}{x}=\frac{2}{3}\)，即\(y=\frac{2}{3}x\)。代入橢圓標準方程\(x^2y^2=\frac{13}{2}\)中，得點\(P\)的軌跡方程。

解題思路：建立比例關系，代入標準方程求解。

5.答案5：對\(f(x)\)求導得\(f'(x)=\frac{2x}{(1x^2)^2}\frac{1}{2\sqrt{x2}}\)。令\(f'(x)=0\)解得\(x\)的值，然后判斷極值。

解題思路：求導，求解駐點，判斷極值。

6.答案6：由于\(\triangleABD\)與\(\triangleACD\)關于平面\(ABC\)對稱，所以\(D\)在平面\(ABC\)的垂線的中點，坐標為\(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)。

解題思路：利用對稱性質，計算中點坐標。

7.答案7：設\(a_1=a\)，則\(a_2=aq\)，\(a_3=aq^2\)。由\(aaqaq^2=21\)和\(aq^3aq^4aq^5=81\)解得\(q\)和\(a\)。

解題思路：利用等比數列的性質，列方程求解。

8.答案8：\(z\frac{1}{z}=2i\frac{1}{2i}=2i\frac{2i}{5}=2.40.2i=\sqrt{2.4^20.2^2}=\sqrt{5.760.04}=\sqrt{5.8}\)。

解題思路：利用復數運算，求模長。四、證明題1.1

證明：若函數\(f(x)=x^36x^29x\)在\(x=1\)處有極值，則證明\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極大值。

2.2

證明：設\(a,b\)是實數，且\(ab=0\)，證明\(ab\geq0\)。

3.3

證明：若\(\sinx\cosx=1\)，則\(\sin2x=1\)。

4.4

證明：若\(\log_{a}(x1)\log_{a}(x1)=2\)，則\(x>1\)。

5.5

證明：設\(a,b,c\)是等差數列的公差，且\(a^2b^2c^2=3\)，證明\((abc)^2=9\)。

6.6

證明：設\(a,b,c\)是等比數列的公比，且\(abc=1\)，證明\(a^2b^2c^2=3\)。

7.7

證明：若\(\sinx\cdot\cosx=\frac{1}{2}\)，則\(x\)的取值范圍是\(\left[2k\pi\frac{\pi}{6},2k\pi\frac{\pi}{3}\right]\)，其中\(zhòng)(k\)是整數。

8.8

證明：若\(\frac{1}{a}\frac{1}\frac{1}{c}=1\)，則\(abc\geq8\)。

答案及解題思路：

1.解：對\(f(x)\)求導得\(f'(x)=3x^212x9\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)。又因為\(f''(x)=6x12\)，所以\(f''(1)=60\)，故\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極大值。

2.解：由\(ab=0\)得\(a=b\)。則\(ab=(b)b=b^2\leq0\)。因此\(ab\geq0\)。

3.解：由\(\sinx\cosx=1\)得\(\sinx=1\cosx\)。兩邊平方得\(\sin^2x=12\sinx\cosx\cos^2x\)。由\(\sin^2x\cos^2x=1\)得\(2\sinx\cosx=0\)。所以\(\sin2x=2\sinx\cosx=0\)。

4.解：由\(\log_{a}(x1)\log_{a}(x1)=2\)得\(\log_{a}[(x1)(x1)]=2\)。由對數函數的定義得\((x1)(x1)=a^2\)。所以\(x^21=a^2\)。因為\(x>1\)，所以\(x^2>2\)，得\(x>\sqrt{2}\)。

5.解：設等差數列的公差為\(d\)，則\(a=bd\)，\(c=bd\)。所以\(a^2b^2c^2=(bd)^2b^2(bd)^2=3b^22d^2\)。因為\(a^2b^2c^2=3\)，所以\(3b^22d^2=3\)。兩邊同時除以3得\(b^2\frac{2}{3}d^2=1\)。由等差數列的性質得\(b=\frac{ac}{2}\)，代入上式得\(\left(\frac{ac}{2}\right)^2\frac{2}{3}d^2=1\)。因為\(ac=2b\)，所以\(b^2\frac{2}{3}d^2=1\)。因此\((abc)^2=9\)。

6.解：設等比數列的公比為\(q\)，則\(a=\frac{q}\)，\(c=bq\)。所以\(a^2b^2c^2=\frac{b^2}{q^2}b^2b^2q^2\)。因為\(abc=1\)，所以\(b^3=1\)，得\(b=1\)。代入上式得\(\frac{1}{q^2}1q^2=3\)。所以\(q^42q^21=0\)，解得\(q^2=1\)。因此\(a^2b^2c^2=3\)。

7.解：由\(\sinx\cdot\cosx=\frac{1}{2}\)得\(\sin2x=2\sinx\cosx=1\)。所以\(2x=\frac{\pi}{2}2k\pi\)或\(2x=\frac{3\pi}{2}2k\pi\)。因此\(x=\frac{\pi}{4}k\pi\)或\(x=\frac{3\pi}{4}k\pi\)，其中\(zhòng)(k\)是整數。又因為\(\frac{\pi}{4}k\pi\frac{\pi}{6}\)，所以\(x\)的取值范圍是\(\left[2k\pi\frac{\pi}{6},2k\pi\frac{\pi}{3}\right]\)。

8.解：由\(\frac{1}{a}\frac{1}\frac{1}{c}=1\)得\(\frac{abacbc}{abc}=1\)。所以\(abacbc=abc\)。由\(abc\geq8\)得\(abacbc\geq8\)。因此\(abc\geq8\)。五、應用題1.1

題目：已知函數$f(x)=x^24x3$，求證：$f(x)$在$x=2$時取得最小值。

解題思路：首先計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=2x4$，然后令$f'(x)=0$，解得$x=2$。再計算$f(x)$的二階導數$f''(x)=2$，因為$f''(x)>0$，所以$x=2$是$f(x)$的極小值點，進而證明$f(x)$在$x=2$時取得最小值。

2.2

題目：已知等差數列$\{a_n\}$的前三項為$1$，$3$，$5$，求該數列的通項公式。

解題思路：由題意可得，公差$d=31=2$。根據等差數列的定義，通項公式為$a_n=a_1(n1)d$，代入$a_1=1$和$d=2$得$a_n=1(n1)\times2=2n1$。

3.3

題目：已知函數$f(x)=3x^24x1$，求證：$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。

解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=6x4$。因為當$x>0$時，$6x4>0$，所以$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。

4.4

題目：已知等比數列$\{a_n\}$的前三項為$2$，$6$，$18$，求該數列的通項公式。

解題思路：由題意可得，公比$q=\frac{6}{2}=3$。根據等比數列的定義，通項公式為$a_n=a_1\timesq^{n1}$，代入$a_1=2$和$q=3$得$a_n=2\times3^{n1}$。

5.5

題目：已知函數$f(x)=\frac{1}{x}\sqrt{x}$，求證：$f(x)$在$(0,\infty)$上存在唯一的最小值。

解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=\frac{1}{x^2}\frac{1}{2\sqrt{x}}$。令$f'(x)=0$，解得$x=4$。再計算$f(x)$的二階導數$f''(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\frac{2}{x^3}$，因為當$x>0$時，$f''(x)>0$，所以$f(x)$在$(0,\infty)$上存在唯一的最小值。

6.6

題目：已知函數$f(x)=e^xe^{x}$，求證：$f(x)$在$R$上為增函數。

解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=e^xe^{x}$。因為當$x\inR$時，$e^xe^{x}>0$，所以$f(x)$在$R$上為增函數。

7.7

題目：已知平面直角坐標系中，點$A(1,2)$，$B(4,6)$，點$C$的坐標為$(x,y)$，且$\triangleABC$為等腰三角形，$AC=BC$。求點$C$的坐標。

解題思路：由于$\triangleABC$為等腰三角形，所以$AC=BC$，即$(x1)^2(y2)^2=(x4)^2(y6)^2$?；喌?2x12y32=0$，解得$x=6$，$y=1$。所以點$C$的坐標為$(6,1)$。

8.8

題目：已知函數$f(x)=\log_2(x1)\log_2(x1)$，求證：$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。

解題思路：首先化簡$f(x)=\log_2(x^21)$。計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=\frac{2x}{x^21}$。因為當$x>0$時，$x^21>0$，且$2x>0$，所以$f'(x)>0$，進而證明$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。

答案及解題思路：

1.1答案：$f(x)$在$x=2$時取得最小值。解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=2x4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，再計算$f(x)$的二階導數$f''(x)=2$，因為$f''(x)>0$，所以$x=2$是$f(x)$的極小值點。

2.2答案：通項公式為$a_n=2n1$。解題思路：由等差數列的定義，通項公式為$a_n=a_1(n1)d$，代入$a_1=1$和$d=2$得$a_n=2n1$。

3.3答案：$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=6x4$，因為當$x>0$時，$6x4>0$，所以$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。

4.4答案：通項公式為$a_n=2\times3^{n1}$。解題思路：由等比數列的定義，通項公式為$a_n=a_1\timesq^{n1}$，代入$a_1=2$和$q=3$得$a_n=2\times3^{n1}$。

5.5答案：$f(x)$在$(0,\infty)$上存在唯一的最小值。解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=\frac{1}{x^2}\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=4$，再計算$f(x)$的二階導數$f''(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\frac{2}{x^3}$，因為當$x>0$時，$f''(x)>0$，所以$f(x)$在$(0,\infty)$上存在唯一的最小值。

6.6答案：$f(x)$在$R$上為增函數。解題思路：計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=e^xe^{x}$，因為當$x\inR$時，$e^xe^{x}>0$，所以$f(x)$在$R$上為增函數。

7.7答案：點$C$的坐標為$(6,1)$。解題思路：由等腰三角形性質，可得$(x1)^2(y2)^2=(x4)^2(y6)^2$，化簡得$2x12y32=0$，解得$x=6$，$y=1$。

8.8答案：$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。解題思路：首先化簡$f(x)=\log_2(x^21)$，計算$f(x)$的一階導數$f'(x)=\frac{2x}{x^21}$，因為當$x>0$時，$x^21>0$，且$2x>0$，所以$f'(x)>0$，進而證明$f(x)$在$(0,\infty)$上單調遞增。六、綜合題1.1

題目：已知函數\(f(x)=x^33x^24x1\)，求證：對于任意實數\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)\geq1\)。

解題思路：考慮函數的導數\(f'(x)\)來判斷函數的單調性。分析函數在實數范圍內的最小值。

答案：

\(f'(x)=3x^26x4\)

令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。

分析\(f'(x)\)的符號，可知\(f(x)\)在\(x=\frac{2}{3}\)處取得局部極小值，在\(x=1\)處取得局部極大值。

計算\(f\left(\frac{2}{3}\right)\)和\(f(1)\)，發(fā)覺\(f\left(\frac{2}{3}\right)>1\)且\(f(1)=1\)。

因此，\(f(x)\geq1\)對所有實數\(x\)成立。

2.2

題目：在直角坐標系中，已知點\(A(1,2)\)，點\(B\)在直線\(y=x1\)上，且\(\triangleABP\)是等腰直角三角形，其中\(zhòng)(P\)為點\(B\)關于\(y\)軸的對稱點。求點\(B\)的坐標。

解題思路：根據等腰直角三角形的性質，確定\(BP\)的長度。利用對稱性和直線方程求解點\(B\)的坐標。

答案：

設點\(B\)的坐標為\((x,x1)\)，則\(P\)的坐標為\((x,x1)\)。

由于\(\triangleABP\)是等腰直角三角形，\(AB=BP\)。

利用距離公式，得\(\sqrt{(x1)^2(x12)^2}=\sqrt{(x1)^2(x12)^2}\)。

解方程得\(x=0\)或\(x=2\)。

因此，點\(B\)的坐標為\((0,1)\)或\((2,3)\)。

3.3

題目：在平面直角坐標系中，拋物線\(y=ax^2bxc\)與直線\(y=kxd\)相交于點\(E\)和\(F\)，且\(E\)和\(F\)關于原點對稱。求\(a,b,c,k,d\)的關系。

解題思路：利用對稱性，首先確定\(E\)和\(F\)的坐標。通過代入這些坐標到拋物線和直線方程中，找到\(a,b,c,k,d\)之間的關系。

答案：

設\(E(x_1,y_1)\)，\(F(x_1,y_1)\)。

由于\(E\)和\(F\)在拋物線上，有\(zhòng)(y_1=ax_1^2bx_1c\)和\(y_1=ax_1^2bx_1c\)。

將\(E\)和\(F\)的坐標代入直線方程，得\(y_1=kx_1d\)和\(y_1=kx_1d\)。

比較兩式，得\(a=k\)和\(b=0\)。由于\(E\)和\(F\)關于原點對稱，\(c\)和\(d\)必須相等。

4.4

題目：已知復數\(z\)滿足\(z1=z1\)，且\(\text{Re}(z)=2\)。求\(z\)的值。

解題思路：利用復數的幾何意義，結合\(z1=z1\)和\(\text{Re}(z)=2\)來確定\(z\)的位置。

答案：

由于\(z1=z1\)，\(z\)在復平面上到點\(1\)和\(1\)的距離相等，因此\(z\)在\(y\)軸上。

又因為\(\text{Re}(z)=2\)，所以\(z=2bi\)，其中\(zhòng)(b\)是實數。

代入\(z1=z1\)，得\(2bi1=2bi1\)。

解得\(b=0\)，因此\(z=2\)。

5.5

題目：在三角形\(ABC\)中，已知\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，\(AB=10\)。求\(AC\)的長度。

解題思路：利用正弦定理或余弦定理來求解三角形的邊長。

答案：

由于\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，可以得出\(\angleC=75^\circ\)。

利用正弦定理\(\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}\)，得\(AC=\frac{AB\cdot\sinB}{\sinC}\)。

代入數值，得\(AC=\frac{10\cdot\sin45^\circ}{\sin75^\circ}\)。

計算得\(AC\approx7.07\)。

6.6

題目：設\(a,b,c\)是等差數列的前三項，且\(abc=9\)，\(abc=27\)。求該等差數列的公差。

解題思路：利用等差數列的性質和韋達定理來求解公差。

答案：

設等差數列的公差為\(d\)，則\(a=bd\)，\(c=bd\)。

由\(abc=9\)，得\(3b=9\)，解得\(b=3\)。

由\(abc=27\)，得\((bd)\cdotb\cdot(bd)=27\)。

代入\(b=3\)，得\(3^3d^2\cdot3=27\)，解得\(d^2=0\)或\(d^2=9\)。

因此，公差\(d=0\)或\(d=3\)。

7.7

題目：已知\(\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2}\)，求\(\sin2\alpha\cos2\alpha\)的值。

解題思路：利用三角恒等變換和已知條件來求解。

答案：

\((\sin\alpha\cos\alpha)^2=2\)。

\(\sin^2\alpha2\sin\alpha\cos\alpha\cos^2\alpha=2\)。

\(12\sin\alpha\cos\alpha=2\)。

\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=1\)。

\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha1\)。

由于\(\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2}\)，可以推出\(\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\alpha\)。

代入\(\cos2\alpha\)的表達式，得\(\cos2\alpha=2(\sqrt{2}\sin\alpha)^21\)。

計算得\(\sin2\alpha\cos2\alpha=12(\sqrt{2}\sin\alpha)^21\)。

由于\(\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2}\)，可以簡化為\(\sin2\alpha\cos2\alpha=2\)。

8.8

題目：在空間直角坐標系中，已知點\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，\(C(7,8,9)\)。求三角形\(ABC\)的面積。

解題思路：利用向量叉乘求三角形面積。

答案：

向量\(\overrightarrow{AB}=(41,52,63)=(3,3,3)\)。

向量\(\overrightarrow{AC}=(71,82,93)=(6,6,6)\)。

向量\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\\333\\666\end{vmatrix}\)。

計算得\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,0)\)。

由于\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\)的模為0，說明\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)共線，因此\(\triangleABC\)是退化的，面積為0。七、拓展題1.1

題目：設函數\(f(x)=x^33x^24x1\)，求證：對于任意實數\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)\geq0\)。

解題思路：對函數\(f(x)\)進行因式分解，然后利用導數判斷函數的極值點，最后通過極值點的函數值判斷函數的最小值。

答案：\(f(x)=x^33x^24x1=(x1)^2(x1)\)。因為\((x1)^2\geq0\)對所有\(zhòng)(x\)都成立，且\((x1)\)在\(x=1\)時為零，所以\(f(x)\geq0\)。

2.2

題目：在平面直角坐標系中，已知點\(A(2,3)\)和點\(B(1,2)\)，求直線\(AB\)的方程。

解題思路：利用兩點式直線方程公式，先求出直線的斜率，然后代入公式求出直線方程。

答案：直線\(AB\)的斜率\(k=\frac{32}{2(1)}=\frac{1}{3}\)，所以直線方程為\(y3=\frac{1}{3}(x2)\)，整理得\(x3y7=0\)。

3.3

題目：已知等差數列的前\(n\)項和為\(S_n=3n^22n\)，求該數列的首項\(a_1\)和公差\(d\)。

解題思路：利用等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1(n1)d)\)，代入已知條件求解。

答案：代入\(S_n=3n^22n\)得\(\frac{n}{2}(2a_1(n1)d)=3n^22n\)，解得\(a_1=1\)，\(d=4\)。

4.4

題目：設\(a,b,c\)是等比數列的前三項，且\(abc=12\)，\(abc=27\)，求\(a^2b^2c^2\)。

解題思路：利用等比數列的性質和已知條件，先求出\