17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理素養(yǎng)目標(biāo)1.了解互逆命題、互逆定理之間的聯(lián)系和區(qū)別，并能寫出一個(gè)命題的逆命題；

2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形；3.了解勾股數(shù)，會(huì)判斷三個(gè)數(shù)是不是勾股數(shù)；重難點(diǎn)重點(diǎn)4.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，體驗(yàn)用全等三角形證明勾股定理的逆定理的過程.重點(diǎn)知識(shí)回顧1.直角三角形有哪些性質(zhì)?(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.勾股定理abcABC知識(shí)回顧abcABC2.一個(gè)三角形，滿足什么條件是直角三角形?(1)有一個(gè)角是直角；(2)有兩個(gè)角的和是90°.上面兩種方法都是用角度判斷的，能用三角形三邊的關(guān)系來判斷是否為直角三角形嗎?新知導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，同學(xué)們能說出它的題設(shè)和結(jié)論嗎?勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為

a，b，斜邊為

c，那么

a2+b2=c2.結(jié)論：a2+b2=c2.題設(shè)(條件)：直角三角形的兩條直角邊長分別為

a，b，斜邊為

c.abc新知導(dǎo)入反過來，如果一個(gè)三角形的三邊長

a，b，

c，

滿足

a2+b2=c2.那么這個(gè)三角形的題設(shè)和結(jié)論是怎樣的?結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形.題設(shè)(條件)：三角形的三邊長

a，b，

c，

滿足

a2+b2=c2.結(jié)論能成立嗎？探究新知據(jù)說，古埃及人用如圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距的

13個(gè)結(jié)，然后以

3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距，5個(gè)結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.345上述三角形的三邊滿足什么數(shù)量關(guān)系？32+42=52

這種做法真的可以得到一個(gè)直角三角形嗎？探究新知（1）2.5，6，6.5；（2）

4，7.5，8.5.以下面各組數(shù)為邊長畫三角形，所畫三角形是直角三角形嗎？(單位：cm)2.566.547.58.5探究新知每組中較小兩個(gè)數(shù)的平方和與較大數(shù)的平方之間有什么關(guān)系?每組中較小兩個(gè)數(shù)的平方和=

較大數(shù)的平方即，2.5262

6.52；

7.52428.52；2.566.547.58.5探究新知用量角器分別測量三角形中最大角的度數(shù)，為多少度?2.566.547.58.590°猜想：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.探究新知A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長

a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．△ABC≌△A′B′C′

∠C是直角△ABC是直角三角形構(gòu)造兩直角邊分別為a，b的Rt△A′B′C′分析：探究新知已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求證：△ABC是直角三角形.ABCabc證明：如圖，作△A'B'C'，使∠C'=90°，

B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.A'B'C'ab在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的對應(yīng)角相等).即△ABC是直角三角形.歸納總結(jié)勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長

a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc歸納總結(jié)思維軸1找2算3判最長邊算出兩短邊的平方和與最長邊的平方判斷等量關(guān)系最長邊為斜邊，其所對應(yīng)的角為直角利用邊的關(guān)系判斷直角三角形：探究新知命題1如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2．命題2如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．這兩個(gè)命題有什么不同？題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論命題1與命題2的題設(shè)、結(jié)論正好相反．歸納總結(jié)我們把像這樣，題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題.

如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.題設(shè)A結(jié)論B①題設(shè)B結(jié)論A②原命題逆命題互逆命題探究新知命題1如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2．命題2如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．真命題真命題原命題成立時(shí)，它的逆命題一定成立嗎？探究新知原命題：如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等.逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角.真命題假命題原命題：如果兩直線平行，那么同位角相等.逆命題：如果同位角相等，那么兩直線平行.真命題真命題結(jié)論：原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.歸納總結(jié)一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理.命題2：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.真命題真命題互逆命題勾股定理勾股定理的逆定理互逆定理例題練習(xí)判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a

15，b

8，c

17；(2)a

13，b

14，c

15.分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方.(2)∵132

142

169

196

365，152225

∴132

142

152∴根據(jù)勾股定理，這個(gè)三角形不是直角三角形.解：(1)∵152

82

225

64

289，172289

∴152

82

172∴根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形.歸納總結(jié)如果三角形的三邊長

a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足

a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如15，8，17這樣能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，為勾股數(shù).歸納總結(jié)常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)

k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).如：3，4，56，8，10擴(kuò)大2

倍

勾股數(shù)勾股數(shù)例題練習(xí)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16nmile，“海天”號每小時(shí)航行12nmile.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？思考1：題目已知了哪些信息？“遠(yuǎn)航”、“海天”號的速度，運(yùn)行時(shí)間，QR30，“遠(yuǎn)航”號的航向.思考2：由題目信息，可以得出什么？PQ，PR，QR的長度，

145°.12NEP

QR例題練習(xí)12NEP

QR實(shí)際問題：“海天”號沿哪個(gè)方向航行？16×1.5=2412×1.5=1830241830“遠(yuǎn)航”號沿東北方向∠1=45°抽象成數(shù)學(xué)問題解決實(shí)際問題12NEP

QR幾何問題：知______________，求______________PQ,PR,QR的長∠2的度數(shù)利用勾股定理逆定理求度數(shù)例題練習(xí)解：根據(jù)題意，PQ

=

16×1.5

=

24，PR

=

12×1.5

=

18，QR

=

30.因?yàn)?/p>

242

+

182

=

302，即

PQ2

+

PR2

=

QR2，所以∠QPR

=

90°.由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知，∠1

=

45°.

因此∠2

=

45°，即“海天”號沿西北方向航行.21EPNRQ歸納總結(jié)解決實(shí)際問題的步驟：1.標(biāo)注有用信息，明確已知和所求；